热力学统计物理 课后习题 答案
热力学与统计物理学课后习题及解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。
解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：TP nR V T V V αp 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 压强系数：TV nR P T P P βV 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=−⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()⎰−=dP κdT αV T ln 如果PκT αT 11==，，试求物态方程。
解： 体胀系数：p T V V α⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1，等温压缩系数：TT P V V κ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T Tp −=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，dP κdT αV dV T −= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：()⎰−=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛−=dP P dT T V 11ln 得：C pT V +=lnln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是()0£=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：£1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T L L α，等温杨氏模量定义为：TL A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£，其中A 是金属丝的截面积。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常量。
热力学统计物理 课后习题 答案
第一章 热力学的基本规律1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为nRT pV =由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数T pV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰-=dp dT V T καln ，如果P T T 1,1==κα，试求物态方程。
解： 体胀系数 pT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数 TT p V V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,=其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T Tp κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= dp dT VdV T κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得()⎰-=dp dT V T καln 根据题设 ， 若 pT T 1,1==κα ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C pT V +=ln ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。
1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为FT L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α ，等温杨氏模量定义为TL F A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
热力学与统计物理课后习题答案
T
S T
V
；即
T T 0 S V CV
于是： 0>
p 正p数
V T V S
于是：
< 0p
V S
CP
T
S T
P
T
S , T ,
p p
T
S, p S,V
S,V T , p
T
p V
S
S,V T , p
T p V S
S T
,V ,V
T ,V T , p
化简。
解：由式(3.2.7)得：U TS pV ；又由式(3.4.6)得：
dp L dT TV
；L TS
Pa
U L L p dT T dp
L1
p T
dT dp
第四章 多元系的复相平衡和化学平衡
=0。
解： 由式(2.2.7)得：
(
U V
)T
p
=T
( T
)V
-p;
(
U V
)T
=0
;
p
T
( p T
)V
( U V
)T
=
(U ,T ) (V ,T )
(U ,T )
=
( p,T )
( p,T ) (V ,T )
U =0= ( p )T
(
p V
)T
∵
( p V
)T≠0
;
(
U p
)=T 0。
习题2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无
)U
>0
证: 由式(2.1.2)得： dH TdS VdP
等H过程: (TdS )H (VdP)H
热力学统计物理 课后习题 答案
第六章 近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322证明：由式子（6-2-13），在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 上式可以理解为将相空间（μ空间）体积元4πVP 2dP （体积V ，动量球壳4πP 2dP ）除以相格大小h 3而得到的状态数。
自由粒子的能量动量关系为mP 22=ε因此 εm P 2=， εmd PdP =将上式代入（2）式，即得到在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322------------（3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =εεd m h L 2122⎪⎭⎫⎝⎛证明：对于一维自由粒子，有n Lhn L p ==π2 dn Lhdp =∴由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→ p d hLd 2n = 再由 εεm mp 2p 22==得 所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 212222 d D ⎪⎭⎫⎝⎛===， 证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n Lh p n L h p ==, y y x x dn Lhdp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为y x y x dp dp dn dn 22hL ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp hL pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用mp 22=ε则可得在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4 证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4-------------------（3） 6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布{}{}'l l a a 和必须满足：∑=llN a， ∑=llN a''，∑∑=+llllll E aa ''εε，其中E 为系统总能量。
热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即00p V pV C T T ==（常量）， 或.p V C T=（5） 式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学 统计物理 答案
CV T
dT RT ln V b
a V
U 0 TS 0
F S T V
CV T
V
dT R ln V b S 0
U F TS
C
dT
a V
U0
例8、由麦氏关系之一导出其余三个关系，如由
S V T p p T
( p ,V )
p ( S ,V ) S V
∴
T p V S S V
T V P S S p
引入变量S, p可得 引入变量T, V可得
S p V T T V
dp p
)
ln T ln p C
∴ 物态方程为：
pV CT
C为常数
习题1.4 解： (1)选择T、p为状态参量，则V=V（T, p)
V V dp V的全微分为： dV dT T p p T
两边同除以V： dV
1 V 1 V dT V V T p V p
Tf Ti
C p Ldx ln
Tf T1 T1 T2 L x
C p L dx ln(
T1 Tf
T1 T2 LT f
x)
均匀杆总熵变为：
S
L
0
S i
L
0
C p L dx ln(
1
T1 Tf
T1 T2 LT f
x)
根据积分公式
ln( a bx)dx b (a bx)[ln( a bx 1)
热力学与统计物理课后习题答案第一章
热力学与统计物理课后习题答案第一章1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T p V T p - 即000p V pV C T T ==（常量）， 或.pV CT = （5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
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第七章 玻耳兹曼统计7． 1 试根据公式 Pa lL证明，对于非相对论粒子lVP21 2 22 U 222n x , n y , n z2m 2mL n x n yn z ，（ 0, 1, 2, ）有P3 V上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明： 处在边长为 L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为P21 222 22n x , n y , n z 0, 1, 2, ） ------- （1）n x , n y ,n z2m 2mLn x n yn z（为书写简便，我们将上式简记为aV 23----------------------- （ 2）其中 V=L 3 是系统的体积，常量a(2 ) 2222l 代表 n x ,n y ,n z 三2m n xn y n z ，并以单一指标个量子数。
由（ 2）式可得L2aVV35 32l--------------------- （ 3）3 V代入压强公式，有 PL2 2 Ua lal l---------------------- （ 4）lV3V l3 V式中 Ual l是系统的内能。
l上述证明未涉及分布的具体表达式， 因此上述结论对于玻尔兹曼分布， 玻色分布和费米分布都成立。
注：（ 4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（ 4）中的U 仅指平动内能。
7． 2 根据公式 Pa lL证明，对于极端相对论粒子lVcp c2n x 2 n y 2 n z 2 11 U2 ， n x , n y , n z 0, 1, 2, 有PL3 V 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为2 n x 2 n y 2 n z 2 1c 2 ， n x , n y , n z 0, 1, 2,-------（ 1）n x ,n y ,n zL1为书写简便，我们将上式简记为aV 3 ----------------------- （ 2）其中 V=L 3 是系统的体积， 常量 a 2 c n x 2 n y 2n z 212，并以单一指标 l 代表 n x ,n y ,n z 三个量子数。
《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案
和
Y
是T 的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范
围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由
1
J YA T2 T1
降至
2
时，其张力的增加为
解：由物态方程
f J , L, T 0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
L T J 1. T J J L L T
如果 解：以
1 1 , T T p
，试求物态方程。
T, p
为自变量，物质的物态方程为
V V T , p ,
其全微分为
V V dV dp. dT T p p T
全式除以
（1）
V
，有
dV 1 V 1 V dp. dT V V T p V p T
（3）
T
1 V 1 nRT 1 . V p T V p 2 p
（4）
1.2 证明任何一种具有两个独立参量 系数
T, p
的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数
及等温压缩
，根据下述积分求得：
lnV = αdT κT dp
L L0
0.5, 1.0, 1.5
A 1 106 m 2 , 0 5 104 K 1
，试计算当
分别为
和
2.0
时的
J, Y,
值，并画出
J, Y,
对
L L0
的曲线.
解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为
L L2 0 J bT 2 , L0 L
热力学统计物理 课后习题 答案 (2)
第七章 玻耳兹曼统计7．1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()222222212z y x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηπε，（ Λ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηπε （ Λ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为32-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()22222)2(z y x n n n ma ++=ηπ，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由（2）式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。
7．2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于极端相对论粒子 ()212222zy x n n n Lc cp ++==ηπε， Λ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n nn n n n Lczy x++=ηπε， Λ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1）为书写简便，我们将上式简记为31-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()212222z y x n n n c a ++=ηπ，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
热力学统计物理 课后习题 答案
第四章 多元系的复相平衡和化学平衡4.1 证明：若将U 看作独立变量T,V ,n 1,⋅⋅⋅,n k 的函数，试证明 (1) VUVn U n U i ii∂∂+∂∂=∑ (2) VUv n U u ii i ∂∂+∂∂=解：（1）多元系的内能()k n n V T U U 1,,=是变量V ,n 1,⋅⋅⋅,n k 的一次齐函数。
根据εular 定理，()k n n V T U U λλλλ 1,,'=⋅，mf x fx iii=∂∂∑ 有U V U V n U n x f x j jn V T n V T i i ii i=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∑∑,,,, ------------------（1） 式子中偏导数的下标n i 指全部K 个组元，n j 指除i 组元外的其他全部组元。
（2）根据体积和内能为广延量，有iii v n V ∑=，iii u n U ∑= --------------------（2）根据（1）结论 VUVn U n U i ii∂∂+∂∂=∑------------------（1） 将（2）式代入（1）式，有i ii u n U ∑=V UV n U n i ii∂∂+∂∂=∑V U v n n U n ii i ii i ∂∂+∂∂=∑∑------------------（3） 上式对n i 的任意取值都成立，故有VUv n U u ii i ∂∂+∂∂=4.2证明μi (T,P,n 1,⋅⋅⋅,n k )是n 1,⋅⋅⋅,n k 的零次齐函数,0)(=∂∂∑jiii n n μ。
证明：根据式jnP T i i n G ,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ------------------（1） μi 是第i 个组元的化学势。
G 是广延量，是n 1,⋅⋅⋅,n k 的一次齐函数，即()()k k n n p T G n n p T G 11,,,,λλλ=------------------（2）将上式对λ求导，有 左式=()()λλλλλλλλ∂∂∂∂=∂∂∑)(,,)(,,11i k i k n n n p T n G n n p T G()k i in n p T n Gn λλλ 1,,)(∂∂=∑()k i i n n p T n λλμ 1,,∑=---------------（3）右式=()()k k n n p T G n n p T G 11,,],,[=∂∂λλ()k i i n n p T n 1,,μ∑=------（4） 令式（3）与式（4）相等，比较后可以知道()()k i k i n n p T n n p T 11,,,,μλλμ= --------------（5）上式说明μi (T,P,n 1,⋅⋅⋅,n k )是n 1,⋅⋅⋅,n k 的零次齐函数，根据欧勒定理有0)(=∂∂∑jiii n n μ 4.4理想溶液中各组元的化学势为i i x RT P T ln ),(g i +=μ(1)假设溶质是非挥发性的。
热力学统计物理第四版答案
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即00p V pV C T T ==（常量）， 或.p V C T =（5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学与统计物理答案汪志诚
热力学与统计物理答案(汪志诚) 第一章热力学的基本规律1.1 热力学系统的平衡态及其描述1.什么是热力学系统？热力学系统有哪些分类？答：热力学系统是指由大量相互作用的粒子组成的集合体，可以用一些宏观物理量来描述其状态。
热力学系统可以分为孤立系统、封闭系统和开放系统。
2.什么是热力学平衡态？热力学平衡态有哪些性质？答：热力学平衡态是指在没有外界影响的情况下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。
热力学平衡态具有均匀性、各向同性和稳定性等性质。
3.如何描述热力学系统的状态？常用的状态参量有哪些？答：热力学系统的状态可以用一组状态参量来描述，常用的状态参量有体积、温度、压力和熵等。
1.2 热力学第零定律温度1.热力学第零定律的内容是什么？如何理解？答：热力学第零定律的内容是：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。
这个定律说明了温度是描述热力学系统状态的一个重要参量，也是进行热交换的驱动力。
2.什么是温度？温度有哪些性质？答：温度是描述热力学系统状态的一个宏观参量，表示系统的冷热程度。
温度具有可加性和可比较性等性质，可以用温度计来测量。
3.温度与微观粒子运动的关系是什么？答：温度与微观粒子运动的关系可以通过麦克斯韦-玻尔兹曼分布来描述。
在一定温度下，系统中微观粒子的速度分布服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，粒子的平均动能与温度成正比。
1.3 热力学第一定律能量守恒定律1.热力学第一定律的内容是什么？如何理解？答：热力学第一定律的内容是：物体内能的增加等于物体吸收的热量和对物体所作的功的总和。
这个定律说明了能量守恒和转换的规律，即能量既不会凭空产生也不会凭空消失，只会从一种形式转换成另一种形式。
2.什么是内能？内能有哪些性质？答：内能是指热力学系统中所有微观粒子的动能和势能之和。
内能是一个状态函数，具有可加性和单调性等性质。
热力学统计物理 课后习题 答案
则顶点在球心的立体角d,在太阳表面所张的面积为R2SUN d。
假设太阳是黑体，则根据斯特藩-玻耳兹曼定律，得到单位时间内在立
体角内辐射的太阳辐射能量为 T4 R2SUN d
第二步：题设给出单位时间内，投射到地球大气层外单位面积上的太阳
辐射能量为JSE=1.35103Jm-2s-1（该值称为太阳常数），
式子中的f(V)是体积V的函数.
故有 （2）
根据（2.2.7）式，在温度保持不变时，内能随体积的变化率与物态方程
的关系
（3）
得 （4）
说明：如果物质具有形式为P=f(V)T 的物态方程，则物质的内能与体积
无关，只是温度T的函数。
2.4 求证：1 2
解：1焓的全微分为 （1-1）
令=0，得 （1-2）
第二章 均匀物质的热力学性质
2.1温度维持为250C，压强在0至1000Pn之间，测得的水的实验数据如
下：
若在250C的恒温下，将水从1 Pn加压至1000Pn，求水的熵增和从外界
吸收的热量。
解：将题设定为=A+BP (1)
由吉布斯函数G的全微分dG= SdT+VdP
得麦氏关系
(2)
因此
(3)
将P1=1 Pn,P2=1000 Pn，代入得 S= 0.527Jmol1K1
和 描述。
熵函数的全微分为
在可逆绝热过程中=0有
焓H（T，P）的全微分为
节流过程中=0有 （2）
式（1）和式（2）相减，得
2.9证明，，并由此推出
和。
根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度T的
函数。
解：式
（1）
以T，V 状态参量，将上式求对V的偏导数，
热力学与统计物理课后习题答案第一章
1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量）， 或.pV CT = （5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
《热力学与统计物理学》习题解答
《热力学与统计物理学》习题解答
热力学与统计物理学习题解答：
P1. 一个双分子物质中有两个粒子，其中一个是A粒子而另一个则是B
粒子。
当它们达到蒸汽相时，请估计它们各自的平均表面速度。
答：根据热力学原理，在蒸汽相中，A粒子和B粒子的平均表面速
度应该是相同的，且都等于Boltzmann常数乘以绝对温度的平方根
（kT^(1/2)）。
P2. 甲烷气体在室温下的布朗运动速度是多少？
答：甲烷气体的平均布朗运动速度等于Boltzmann常数乘以绝对
温度的平方根 (kT^(1/2))，在室温（293K）下，则为1.25×10^5 m/s。
P3. 为什么热力学第三定律的最终状态是均匀的熵？
答：热力学第三定律的最终状态是均匀的熵，这是因为概率分布
函数定义熵，而不断扩大分布函数来接近熵最大值，就可以最大化熵。
而这正是热力学第三定律所要求的。
热力学·统计物理答案 第一章(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由得：nRT PV =VnRTP P nRT V ==; 所以, TP nR V T V V P 11)(1==∂∂=αT PVRn T P P V /1)(1==∂∂=βP P nRT V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1Tα= 1Tpκ=,试求物态方程。
解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此,dp pVdT T V dV T p )()(∂∂+∂∂=, 因为T T p pVV T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以,dp dT VdVdp V dT V dV T T κακα-=-=,所以,⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.CT pV pdpT dT V =-=⎰:,ln 得到习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。
问（1压强要增加多少np 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100np ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=∆=V x T κ所以，410*07.4,622-=∆=V p x n 错习题1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行，其体积变化可忽略。
线胀系数定义为ηα)(1T L L ∂∂=等杨氏摸量定义为T LA L Y )(∂∂=η其中A 是金属丝的截面积，一般说来，α和Y 是T 的函数，对η仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。
热力学统计物理课后习题答案
1. 1试求理想气体的体胀系数 :，压强系数：和等温压缩系数：T解：已知理想气体的物态方程为 pV 二nRT 由此得到体胀系数-貯。
诵冷，1. 2证明任何一种具有两个独立参量 T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和 等温压缩系数，根据下述积分求得 InV =:・dT -：T dp ，如果：•二丄「.T -，试求物态方TP程。
解：体胀系数:=-—V 5丿p等温压缩系数K T =--—]V 2P 人这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得根据题设，若〉=丄，冷=丄T p则有InV =ln T C ， PV=CTp要确定常数C,需要进一步的实验数据。
1. 4描述金属丝的几何参量是长度 L ,力学参量是张力£，物态方程是（£丄,T ）=0，实验通 1 r 鬥）常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为a =丄丄| ，等温杨氏模量L 5丿F定义为Y -L 「匚 ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，：和Y 是T 的函数，对£仅有微A I^L 人第一章热力 学 的 基 本压强系数1 仔、_ n R _ 1 B JT 厂而=T等温压缩系数'-T =以T ，P 为自变量, 物质的物态方程为V =V T,p其全微分为 dV =eVdp 二 V ： dT -V T dp i印」n RT ) T~) p所以C n = C Vn -1弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明，当 温度由T1降至T2时，其张力的增加为厶£ = -YA/T 2-TJ 。
解：f ( £ 丄,T)=0, £ =F £ (L,T)d £=空；dT +( dL — i dT (dL=0)©丿Li 此丿T &T .丿L所以：£= -YA MT ? -TJ1. 6 1mol 理想气体，在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体 所做的功和所吸收的热量。
大学热力学统计物理第四版汪志诚答案
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.8 满足npVC =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为1n V n C C n γ-=- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量0lim .n T n nnQ U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，,V nU C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 所以.n V nV C C p T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （2） 将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得11n TV C -=（常量）。
（3）将上式微分，有12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=所以.(1)nV V T n T ∂⎛⎫=- ⎪∂-⎝⎭ （4） 代入式（2），即得,(1)1n V V pV n C C C T n n γ-=-=-- （5） 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量nC如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n p n VC C n C C -=-。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有đđ.dU Q W =+ （1）对于准静态过程有đ,W pdV =-对理想气体有,V dU C dT =气体在过程中吸收的热量为đ,n Q C dT =因此式（1）可表为().n V C C dT pdV -= （2）用理想气体的物态方程pV vRT =除上式，并注意,p V C C vR -=可得()().n V p V dT dVC C C C T V-=- （3） 将理想气体的物态方程全式求微分，有.dp dV dT p V T+= （4） 式（3）与式（4）联立，消去dTT，有 ()()0.n V n p dp dV C C C C p V-+-= （5）令n p n VC C n C C -=-，可将式（5）表为0.dp dV n p V+= （6） 如果,p V C C 和n C 都是常量，将上式积分即得n pV C =（常量）。
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第七章 玻耳兹曼统计7.1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明,对于非相对论粒子 ()222222212z y x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε,( ,2,1,0,,±±=z y x n n n )有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布与费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε ( ,2,1,0,,±±=z y x n n n )-------(1) 为书写简便,我们将上式简记为32-=aVε-----------------------(2)其中V=L 3就是系统的体积,常量()22222)2(z y x n n n ma ++=π,并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由(2)式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------(3) 代入压强公式,有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------(4) 式中 lll a U ε∑=就是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式,因此上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布与费米分布都成立。
注:(4)式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其她的自由度,式(4)中的U 仅指平动内能。
7.2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明,对于极端相对论粒子 ()212222zy x n n n Lc cp ++== πε, ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布与费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n nn n n n Lczy x++= πε, ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------(1)为书写简便,我们将上式简记为31-=aVε-----------------------(2)其中V=L 3就是系统的体积,常量()212222z y x n n n c a ++= π,并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由(2)式可得VaV V l L εε313134-=-=∂∂----------------------(3)代入压强公式,有VUa VV a P l ll L ll3131==∂∂-=∑∑εε----------------------(4) 式中 lll a U ε∑=就是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式,因此上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布与费米分布都成立。
7.4试证明,对于遵从玻尔兹曼分布的系统,熵函数可以表示为∑-=SS SP PNkS ln ,式中P S 就是粒子处在量子态S 的概率, 1Z e N e P ss S βεβεα---== , ∑S对粒子的所有量子态求与。
证明:根据式(6-6-9),处在能量为的量子态S 上的平均粒子数为sef s βεα--=---------(1)以N 表示系统的粒子数,粒子处在量子态S 上的概率为1Z e N e P ss S βεβεα---==---------(2) 显然,P S 满足归一化条件1=∑S sP ---------(3)式中∑s 就是对粒子所有可能的量子态求与。
粒子的平均能量可以表示为S S sP E ε∑=----(4)根据式(7-1-13),定域系统的熵为)(ln )ln (ln 111εβββ+=∂∂-=Z Nk Z Z Nk S )(ln 1S SS Z P Nk βε+=∑ ==== ∑-=SS SP PNkS ln ----------------(5)最后一步用了(2)式,即S S Z P βε--=1ln ln ----------------(6)(5)式的熵表达式就是具有启发性的。
熵就是广延量,具有相加性。
(5)式意味着一个粒子的熵等于 。
它取决于粒子处在各个可能状态的概率P S 。
如果粒子肯定处在某个状态r,即=δs r ,粒子的熵等于零;反之,当粒子可能处在多个微观状态时,粒子的熵大于零。
这与熵就是无序度的量度的理解自然就是一致的。
如果换一个角度考虑,粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息。
粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。
所以,也可以将熵理解为信息缺乏的量度。
7.5固体含有A 、B 两种原子.试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为[]()[]()()[]x x x x Nk x N Nx N k S --+-=-=1ln 1ln !1!!ln其中N 就是总原子数,x 就是A 原子的百分比,(1一x )就是B 原子的百分比.注意x <1.上式给出的熵为正值.证明:A 、B 两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx 个A 种原子在N 个格点随即分布的状态数:[]()[]!1!!x N Nx N C NxN-=Ω所以混合熵[]()[]()[]{}!1ln )!ln(!ln !1!!lnln x N Nx N k x N Nx N k k S ---=-=Ω=当N 很大时,利用公式()得,1ln !ln -≈m m m()()()()[]{}()()[]x x x x Nk Nx N x N Nx Nx N N k S --+-=-------≈1ln 1ln 1ln 11ln 1ln证毕7.8气体以恒定的速度沿Z 方向作整体运动。
试证明,在平衡状态下分子动量的最概然分布为Z Y X P P P P mdP dP dP h VeZ Y X 3])([22022-++--βα。
证明:气体就是非定域系统,由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。
与分布{}a 相应的气体的微观状态数为!l la lla l ∏∏=Ωω---------(1)其对数为)1(ln ln !ln ln ln --=-=Ω∑∑∑∑l l ll l ll ll l la a a a a ωω---------(2)在气体沿Z 方向作整体运动的情形下,分布必须满足下述条件:N a l l=∑;E a l l l=∑ε ;Z lZ l lP P a =∑---------(3)其中P Z 就是气体在Z 方向的总动量,P LZ 就是处在能级l 的分子所具有的Z 方向动量。
气体分子的最概然分布就是在限制条件(3)下,使ln Ω为极大的分布。
令各有a l 的变化δ a l , ln Ω将因而有变化l llla a δωδlnln ∑-=Ω限制条件(3)要求N a l lδδ=∑;0==∑E a l l lδδε ;0==∑Z l lZ lP a P δδ用拉氏乘子 α1,β 与γ乘这三个式子并从δ ln Ω中减去,得0)(lnln 1=+++-=---Ω∑l lZ l lllZ a P a P E N δγβεαωγδβδδαδ根据拉氏乘子法原理,每个δ a l 的系数都等于零,所以有0ln=+++lZ l llP a γβεαω或lZs P l l ea γβεαω---=1---------(4)可以将式(4)改写成为动量的连续分布:在体积V=L 3内,在P X 到P X +dP X ,P Y 到P Y +dP Y ,P Z 到P Z +dP Z ,的动量范围内的分子数为Z Y X p p p p mdP dP dP h VeZz y x 3)(22221γβα-++---------(5) 或 Z Y X p p p p mdP dP dP hVez y x 3])([220221-++--βα-------(6) 其中βγm P -=0mP m 2220121βαβγαα-=-=-------(7)式中的参量α1,β 与P 0由(3)式确定。
由(3)式中的 得2333])([2)2(20221βπαβαm hV e dP dP dP h V eN Z Y X p p p p mz y x --++--∞+∞-==⎰⎰⎰-------(8) 代入(6)式消去 ,可将气体分子的动量分布表达为Z Y X p p p pm dP dP dP e mN z y x ])([2232022)2(-++-βπβ-------(9)利用(9)式求P Z 的平均值,得0])([2232022)2(P dP dP dP P em P Z Y X Z p p p p mZ z y x ==-++-∞+∞-⎰⎰⎰βπβ所以P 0就是P Z 的平均值。
P 0与P Z 的关系为P Z =NP 0在气体具有恒定的整体速度的情形下,气体的平衡状态不受破坏,其物态方程仍由PV=NKT 描述。
根据此容易证明 β=1/KT7.9气体以恒定速度v 0沿Z 方向作整体运动。
求分子的平均平动能量。
解:根据上题,以恒定速度v 0沿Z 方向作整体运动的气体,其分子的速度分布为Z Y X V V V V kT mdv dv dv e kTm N z y x ])([2232022)2(-++-π---------(1) 分子平均动量的平均值为Z Y X V V V V kTmz y x dv dv dv e V V V m kT m z y x ])([2222232022)(21)2(-++-∞+∞-⎰⎰⎰++=πε)212121()2(2022)(22222221Z V V kT mz Y V kT m y X V kT m x dv e V m dv e V m dv e V m kT m z y x --∞+∞--∞+∞--∞+∞-⎰⎰⎰++=π上式头两项积分后分别等于1/2KT,第三项的积分等于ZV V kT mz Z V V kT mz dv e V V dv e V V m kT m z z 2020)(20)(220212)((21)2(--∞+∞---∞+∞-⎰⎰+-⋅π)20)(220Z V V kTmdv eV z --∞+∞-⎰-20202121mV mV kT -+=因此, 202123mV kT +=ε(2)式表明,气体分子的平均能量等于无规热运动的平均能量3/2KT 及整体运动能量1/2mv o 2之与。
7.11试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度0ZX与相对速率r v =的概率分布,并求相对速率的平均值r v . 解:先求速度分布:两分子的相对速度r v 在dv rx dv ry dv rz 内的几率()()()()()r r v v V v V v d v V v V v d v V +==⎰⎰111211()[]z y x v v v v v v v v v kTm dv dv dv ekT m rz z ry y rx x z y x 111)()()(232121212121212⎰⎰⎰∞∞-++++++++-⎪⎭⎫⎝⎛=π其中与v 1x 有关的分量为[]2/1222212221)(2222122121--∞∞---∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞∞-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰⎰kT m edx eedv eedv erx rx rx x rx rx x x v kT m x kTm v kT m x v v kT m v kT m x v v v kTm π同理可求得v 1y 、v 1z 分量分别为2/1222--⎪⎭⎫ ⎝⎛kT m e ry v kT m π与2/1222--⎪⎭⎫ ⎝⎛kT m erz v kT m π()222/32/322322812r r v kT m v kT m r ekT m kT m ekT m v V ---⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=∴πππ引入2m≡μ,则速度分布为: rz ry rx v kTdv dv dv ekT x222/32μπμ-⎪⎭⎫ ⎝⎛把变数换为v r ,θ,φ,并对θ,φ积分,则得到速率分布为r r v kTdv v ekT x222/3224μπμπ-⎪⎭⎫ ⎝⎛相对速率的平均值v mkTkTdv v ev kT v r v kTr r x2828240222/32===⎪⎭⎫⎝⎛=⎰∞-ππμπμπμ7.14分子从器壁的小孔射出,求在射出的分子束中,分子的平均速率与方均根速率。