一元多项式的定义和运算
一元一元多项式
一元一元多项式
一元多项式是一个非负整数，形式表达式为$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+······+a_nx^n$，其中$a_i$（$i=0,1,2,······,n$）称为该多项式的系数，$n$称为该多项式的次数。
若$a_0=0$，即$f(x)=a_1x+a_2x^2+······+a_nx^n$，则称之为零多项式。
零多项式不定义次数。
如果两个多项式有相同的次数，并且同次项的系数完全相等，则称这两个多项式相等。
一元多项式的运算有加法（减法）、乘法。
加法是将两个多项式中对应的项相加，减法是将被减式各项减去减式各项，乘法是将两个多项式相乘。
一元多项式运算性质包括：1. 数域$P$上任意两个多项式相加（减），其结果仍为数域$P$上的多项式；2. 如果$f(x)$和$g(x)$的次数相同，且$f(x)\neq0$，则$f(x)+g(x)$的次数等于它们次数之和，$f(x)·g(x)$的次数等于它们次数的积；3. 运算满足交换律、结合律和分配律。
一元多项式在数学和物理学等领域中都有广泛应用，例如在求解方程、微积分和线性代数等方面。
第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算
第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算在计算机科学中，一元多项式是常见的代数表达式形式，通常用来表示多项式函数。
虽然一元多项式的计算看似简单，但如果使用数据结构来实现，将会大大提高计算效率。
这篇文档将详细介绍基于链表的两个一元多项式的基本运算。
一元多项式的定义：在代数学中，一元多项式是一种含有一个未知数的代数多项式。
它是指一个代数式，它是由保持仅仅又有限个多项式的乘积。
此外，一元多项式在基本运算方面具有封闭性，这也是为什么它被广泛应用的原因之一。
在这里，我们将讨论在计算机科学中对一元多项式的实现。
链表的定义：链表是一种线性数据结构，其中数据元素不是常规的数组索引组织，而是通过信息存储元素之间的链来相互连接。
每个元素被称为节点，并且每个节点包含一个下一个节点的指针。
基于链表的一元多项式的实现：基于链表的一元多项式的实现涉及到将每个多项式的系数和指数存储为链表中的节点。
这种实现的主要优点是，它可以轻松地进行添加和删除操作，可以有效地分配内存，而不会浪费存储空间。
考虑到一元多项式的基本运算包括加法，减法和乘法，我们将详细介绍每种操作的实现。
一、基于链表的两个一元多项式的加法操作在实现一元多项式加法时，我们需要创建两个链表来存储两个多项式。
链表节点应该包含两个属性：系数和指数。
然后我们可以使用以下方法将两个多项式相加。
1. 定义两个指针p1和p2分别指向多项式链表的头部。
2. 定义一个新链表，用于存储相加的项。
3. 当p1和p2都不为空时循环进行以下操作：a. 如果p1当前节点的指数小于p2当前节点的指数，则将p1的节点添加到新链表中并将p1指针向下移动一个节点。
b. 如果p1当前节点的指数大于p2当前节点的指数，则将p2的节点添加到新链表中并将p2指针向下移动一个节点。
c. 如果p1和p2当前节点的指数相等，则将两个节点的系数相加，并将结果添加到新链表中，并将p1和p2指针都向下移动一个节点。
的所有剩余项添加到新链表中。
一元多项式——精选推荐
第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。
简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。
2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。
例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。
证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。
练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。
二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。
1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。
其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。
若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。
0a 为常数项。
2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。
3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
高等代数一元多项式
证设
f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b0,
其中 an ̸= 0, bm ̸= 0. 则 ∂(f(x)) = n, ∂(g(x)) = m.
. .. . . ..
次数公式
(1) 在考虑多项式 f(x) 和 g(x) 的和时，不妨设 n ≥ m 且令 bm+1 = bm+2 = · · · = bn = 0，则
f(x)
+
g(x)
=
∑n (ai
+
bi)xi.
i=0
从而 ∂(f(x) + g(x)) ≤ n = max(∂(f(x)), ∂(g(x))). (2) f(x)g(x) 的首项是 anbmxn+m，显然 anbm ̸= 0，因之，f(x)g(x) ̸= 0 而且它的次数就是 n + m.
. .. . . ..
多项式的运算律
1 加法交换律：f(x) + g(x) = g(x) + f(x). 2 加法结合律：(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)). 3 乘法交换律：f(x)g(x) = g(x)f(x). 4 乘法结合律：(f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x)).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
次数公式
一元多项式.ppt
主要内容
定义 多项式的运算 多项式的运算规律
一、定义
在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给
定的数域 P 作为基础. 设 x 是一个符号(或称文字) 我们有
定义 2 设 n 是一非负整数. 形式表达式
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ,
(1)
其中 a0 , a1 , … , an-1 , an 全属于数域 P ，称为系数
P 称为 P[x] 的系数域 .
注意：我们在集合 P[x] 中定义了加法和乘法，与整数 集Z中定义的加法和乘法比较一下就可以发现： 它们所满足的运算律是一样的.
从而我们是否可以设想：在整数集Z中的元素关于 这两种运算所具备的一些性质，是否可以类比的推广 到集合P[x] 中呢？
我们以下的工作就是将整数集Z中的重要结论 （算术基本定理）：每一个大于1的整数都可以唯 一地分解为一些素数的乘积.推广到P[x] 中.即每一 个多项式都可以分解为素（不可约）多项式的乘积.
asb0 as1b1 a1bs1 a0bs aibj . i js
所以 f (x) g(x) 可表成
f (x)g(x) mn aibj xs .
s0 i js
显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘 等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式.
+ (a1 + b1)x + (a0 + b0)
n
(ai bi )xi . i0
即文字的同次幂的系数相加.
பைடு நூலகம்
2. 乘法
f (x) ·g(x) = anbmxn+m + (anbm-1 + an-1bm )xn+m-1
数据结构一元多项式的运算
数据结构一元多项式的运算正文：1. 引言本文档旨在介绍数据结构中一元多项式的运算方法。
一元多项式是指在一个变量上的多项式，其中每一项由一个系数和一个指数组成。
我们将会讨论一元多项式的表示、存储和基本运算，包括多项式的加法、减法、乘法和求导等操作。
2. 一元多项式的表示和存储2.1 一元多项式的定义一元多项式是指在一个变量x上的多项式，每一项由一个系数和一个指数组成，例如：2x^3 - 5x^2 + 3x + 1.其中，2、-5、3和1分别是系数，3、2、1和0分别是指数。
2.2 一元多项式的表示方法一元多项式可以使用数组、链表或其他数据结构来表示。
在本文中，我们选择使用数组来表示一元多项式。
数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。
例如，多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 可以表示为 [1, 3, -5, 2]。
2.3 一元多项式的存储结构为了表示一元多项式，我们可以使用一个数组来存储多项式的系数。
数组的长度应该比多项式的最高指数大1.数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。
例如，数组 [1, 3, -5, 2] 表示的多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 中，索引0对应指数为3的项，索引1对应指数为2的项，以此类推。
3. 一元多项式的基本运算3.1 一元多项式的加法一元多项式的加法是指将两个多项式相加，并合并同类项。
具体操作如下：- 将两个多项式的系数相加，并将结果存储在一个新的多项式中。
- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。
3.2 一元多项式的减法一元多项式的减法是指将一个多项式减去另一个多项式，并合并同类项。
具体操作如下：- 将两个多项式的系数相减，并将结果存储在一个新的多项式中。
- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。
3.3 一元多项式的乘法一元多项式的乘法是指将两个多项式相乘，并合并同类项。
具体操作如下：- 遍历一个多项式的每一项，与另一个多项式的每一项相乘。
数据结构一元多项式的运算
数据结构一元多项式的运算数据结构一元多项式的运算1、引言1.1 研究背景1.2 研究目的2、一元多项式的定义2.1 一元多项式的概念2.2 一元多项式的表示方法2.3 一元多项式的次数和系数2.4 一元多项式的零多项式和常数项2.5 一元多项式的加法运算2.6 一元多项式的减法运算2.7 一元多项式的乘法运算3、一元多项式的特殊运算3.1 一元多项式的乘方运算3.2 一元多项式的取余运算3.3 一元多项式的求导运算3.4 一元多项式的积分运算3.5 一元多项式的复合运算4、一元多项式的应用4.1 一元多项式在数学中的应用4.2 一元多项式在计算机科学中的应用4.3 一元多项式在工程领域中的应用5、实例分析5.1 实例一：一元多项式的相加减5.2 实例二：一元多项式的乘法运算5.3 实例三：一元多项式的特殊运算应用6、结论附件：附件一：一元多项式的代码实现示例法律名词及注释：1.一元多项式: 指仅有一个未知数的多项式。
2.多项式的次数: 多项式中各项最高次幂的次数。
3.多项式的系数: 多项式中各项中未知数的系数。
4.零多项式: 所有系数均为0的多项式。
5.常数项: 多项式中次数为0的项，即常数项。
6.多项式的加法运算: 将两个多项式相同次项的系数相加。
7.多项式的减法运算: 将两个多项式相同次项的系数相减。
8.多项式的乘法运算: 将两个多项式的各项相乘，并根据指数相加合并同类项。
9.多项式的乘方运算: 将一个多项式自乘n次。
10.多项式的取余运算: 两个多项式相除后的余数部分。
11.多项式的求导运算: 对多项式中的每一项进行求导操作。
12.多项式的积分运算: 对多项式中的每一项进行积分操作。
13.多项式的复合运算: 将一个多项式代入另一个多项式中进行运算。
§1.2_一元多项式的定义和运算
an 0, bm 0 anbm 0
f x g x 0
f x g x nm
多项式乘法没有零因子。
第一章 多项式
推论1：若 f x g x 0 f x 0或g x 0 证：若f=0或g=0，则必有fg=0。 反之，若 f x 0, g x 0
第一章
多项式
定义2： f x , g x 是两个多项式， f x g x
最高次项， 亦称为首项。 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 方程 a0 a1x an xn 0 是一个条件等式而不是 两个多项式相等。 定义3： 设 f x a0 a1x
k 相乘积的和作为 x 的系数。得：
k f x g x aib j x k 0 i j k 2 3 2 例1.2.3：设 f x 3x 4x 5, g x x 2x x 1
nm
f x g x x 5x 5x 6
f x n.
第一章 多项式
an xn , an 0,
非负整数n称为 f x 的次数，记为：
2 f x 3 x 2x 1, f x 2, 例1.2.2：
f x 3, f x 0
零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。 零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不 定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这 个多项式不是零多项式。 首一多项式：首项系数为1的多项式。 二、多项式的运算 定义4： 设 f x a0 a1x
第一章 多项式
高代多项式
第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。
一元多项式的定义
as bo as 1b1 a1bs 1 a0bs
ai b j . i js
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4．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
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乘法：
f ( x ) g ( x ) anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
(a1b0 aob1 ) x a0b0
n m
s 1 i j s
( ai b j ) x i
注: f ( x ) g( x ) 中s 次项的系数为
a1 x a0
其中 a0 , a1 , , an P , 称为数域P上的一元多项式． 常用 f ( x ), g ( x ), h( x ) 等表示．
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注： 多项式 f ( x ) an x an1 x
2 2 2 2
但 ( f ( x )) 为偶数. x( g ( x ) h ( x )) f ( x ),
2 2 2 2
这与已知矛盾.
故 f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 从而
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3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a0 a i x i ,
高等代数第一章一元多项式
1第一章多项式21.1 数域3数是数学的一个最基本的概念，研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，按照所研究的问题不同，我们对数的范围界定也不一样。
例如22x 在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。
210x 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。
自然数整数有理数实数复数NZQRC这是一个认识的渐进的过程。
在讨论多项式的因式分解、方程的根等问题时，都跟数的范围有关。
4在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加、减、乘、除四则运算以及经过四则运算后是否还在这个集合之中。
例如自然数集N 只对加法和乘法封闭，而整数集Z 对加、减、乘三种运算封闭，但对除法不封闭；而有理数集Q 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭，同样，实数集R 、复数集C 对加、减、乘、除四种运算都封闭。
定义( 运算封闭)：在一个数的集合P 中，如果集合中任意两个数做某种运算后的结果仍在P 中，则称数集P 对这种运算是封闭的(closed) 。
5定义1(数域)：设P 是一个由一些复数组成的数的集合，其中包含0和1。
如果P 中的任意两个数对加、减、乘、除（除数不为0）都是封闭的，则称P 是一个数域(number field )。
有理数集Q ，实数集R ，复数集C 都是数域，且是三个最重要的数域。
如果某个数集只对加、减、乘封闭，则称其为数环。
整数集是一个数环.任意一个数域P 都是复数域C 的子集，都包含有理数域Q 作为其子域，即满足.Q P C 在Q 和R 之间存在其它数域；但在R 与C 之间没有别的数域存在.61.2 一元多项式教学目的和要求1. 掌握一元多项式形式表达式的准确定义.2. 掌握一元多项式的加法、减法、乘法的运算和运算律.3. 掌握一元多项式经过运算后的次数，并会用相关结论解题.78一、基本概念设x 是一个符号(或称文字)，P 是一个数域，定义2：n 是一个非负整数，形式表达式其中,,,,,011P a a a a n n 称为系数在数域P 中的一元多项式(one variable polynomial )，或称为数域P 上的一元多项式。
5.1 一元多项式和运算
第五章多项式5.1 一元多项式和运算定义 设F 为数域, x 为一个符号(也称不定元). 形如称为F 上关于x 的一元多项式, 一元多项式常简称多项式, 为第 i 次项,同时称 f (x ) 为n 次多项式, 记为deg f (x )=n . 当 时, 称 为 其中称 110(),nn n n f x a x a x a −−=+++ 1100[]{|,,0,1,...,}nn n n i F x a x a xa n a F i n −−≥=+++∈∈= 10,,,,n n a a a F −∈ ii a x i a 则称 f (x )为首一多项式.F 上一元多项式全体记为 0a 其中n 是非负整数,称为第i 次项系数, 称为常数项, 首项,为首项系数, 0n a ≠nn a x n a 若a n =1,注1 常数项多项式:零多项式: 零次多项式: 注200(),f x a a F =∈ ．()0f x =．00()0,f x a a F =≠∈．.−∞()0deg ()0.f x f x ≠≥0()0deg ()=0.f xa f x =≠定义零多项式次数为的充分必要条件是 的充分必要条件是例1ii x x x x x 23221(1)0;(2);(3);(4);(5)1π∞=+−∑定义 设是数域F 上的多项式, 如果则称f (x )与g (x )相等, 记为1110()n n n n f x a x a x a x a −−=++++ 1110()mm m m g x b x b xb x b −−=++++ i im n a b i n (0,1,2,,), ===且()().f xg x =定义 设 f (x ), g (x )是F 上多项式, 适当增加几个系数为零的项, 可设 定义加法:则 f (x ) + g (x )是 F 上多项式.1110()nn n n f x a x a x a x a −−=++++ 1110()n n n n g x b x b x b x b −−=++++ 1111100()()()()()()nn n n n n f x g x a b x a b xa b x a b −−−+=++++++++多项式的加法满足性质(1) 结合律: (f (x )+g (x ))+h (x )=f (x )+(g (x )+h (x )); (2) 交换律: f (x )+g (x )=g (x )+f (x ); (3) 存在零元: f (x )+0=f (x );对于定义 (4) 存在负元: f (x )+(–f (x ))=0.0(),nii i f x a x ==∑0()().nii i f x a x =−=−∑定义 设 定义数乘:则 cf (x ) 是 F 上多项式.1110()[],,nn n n f x a x a x a x a F x c F −−=++++∈∈ 1110()nn n n cf x ca x ca xca x ca −−=++++多项式的数乘满足性质:对任意的有 (5) c (f (x )+g (x ))=cf (x )+cg (x ); (6) (c +d )f (x )=cf (x )+df (x ); (7) (cd )f (x )=c (df (x )); (8) 1f (x )=f (x ).(),()[],,,f x g x F x c d F ∈∈定理 F [x ]关于多项式的加法与数乘构成 F 上的线性空间.注 F [x ]是无限维线性空间. 对任意正整数n ,线性无关.证明 若 由多项式相等定义, 即得 故线性无关. 21,,,,nx x x 20120,nna a x a x a x ++++= 0120.na a a a ===== 21,,,,nx x x定义 设定义乘法:其中则 f (x )g (x ) 是 F 上多项式.11101110()[],()[],n n n n m m m m f x a x a x a x a F x g x b x b x b x b F x −−−−=++++∈=++++∈ 1110()()m nm n m n m n f x g x c xc xc x c ++−++−=++++ 0110(0,1,,)k i j k k k i j kc a b a b a b a b k m n −+===+++=+∑多项式的乘法满足性质:对任意的 有 (9) (f (x )g (x )) h (x )=f (x )(g (x ) h (x )); (10) f (x )g (x )=g (x )f (x );(11) (f (x )+g (x ))h (x )=f (x ) h (x )+g (x ) h (x ); (12) c (f (x )g (x ))=(cf (x ))g (x )= f (x )(cg (x )). 定理 F [x ]关于多项式的加法,数乘和乘法构成 F 上带单位元1的交换代数.(),(),()[],f x g x h x F x c F ∈∈引理设f(x), g(x)是F上多项式, c是F上非零数, 则(1) deg (f(x) + g(x)) ≤ max{deg f(x), deg g(x)};(2)deg (cf(x))= deg f(x);(3) deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x).证明 (3) 若f(x), g(x)有一个为零多项式, 则命题成立.若f(x), g(x)均为非零多项式, 首项分别为a n x n, b m x m, 则f(x) g(x)首项为a n b m x n+m , a n b m ≠0,因此deg f(x) g(x) = n+m.命题若f(x), g(x)是F上非零多项式, 则f(x)g(x)也是F 上非零多项式.证明因为f(x), g(x)是F上非零多项式, 因此它们的次数均大于等于0,又 deg (f(x)g(x)) = deg f(x) +deg g(x) ≥ 0,故 f(x)g(x) 是非零多项式.推论若f(x)是非零多项式, 且f(x) g(x) = f(x) h(x), 则g(x) = h(x).证明因为f(x) g(x) = f(x) h(x),所以f(x)(g(x) - h(x))=0.又因为f(x)≠0,则由命题有g(x) - h(x)=0，所以g(x) = h(x).例2 设 且f 2(x )+ g 2(x )=0, 则f (x )=g (x )=0.证明 反证法 假设f (x )≠0 或者g (x )≠0, 记 不妨设n ≥m , 则f 2(x )+ g 2(x )首项系数为, 故f 2(x )+ g 2(x )的首项系数不为0, 矛盾. 注 例2结论对复数域不成立. 如 110110(),0,(),0,nn n n n i m m m m m i f x a x a xa a a g xb x b xb b b −−−−=+++≠∈=+++≠∈222+,n nna b a 或221+=0,10,0.i i ≠≠但(),()[]，f x g x x ∈ n na b ,∈小结(1) 一元多项式的定义、运算(2) 次数、首项(3) 主要证明方法: 次数, 首项。
一元多项式
多项式的运算_加法1
设f (x), g (x)∈ K[x], 适当增加几个系数为0的项, 可设
f ( x) = an x + an−1x +L+ a1x + a0 g(x) = bn xn + bn−1xn−1 +L+ b1x + b0
n
n−1
定义加法 加法: 加法
f (x) + g(x) = (an + bn )xn + (an−1 + bn−1)xn−1 +L+ (a1 + b1)x + (a0 + b0 )
• • • • • • 1.加法满足交换率 2.加法满足结合率 3.乘法满足交换率 4.乘法满足结合率 5.满足乘法对加法的分配率 6.乘法满足消去率(有条件）
• 多项式的次数公式在多项式的讨论中占 有重要地位; • (1) 若 f(x)g(x)＝0, 则 f(x)＝0, 或 g(x)＝0. • (2) 若 f(x)g(x)＝ f(x)h(x), 且 f(x)≠0, 则g(x)＝h(x).
•设
f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + L + a1 x + a0 g ( x) = bm x m + bm −1 x m −1 + L + b1 x + b0
• 多项式的和：同次幂系数相加 • 次数满足 ∂( f ( x) + g ( x)) ≤ max{∂f ( x), ∂g ( x)} • 多项式的乘积： • 两个多项式f（x），g（x）乘积的首项 等于首项的乘积，a n b m x • 从而次数满足
Definition3：如果两个多项式
一元多项式的定义
一元多项式的定义一元多项式是数学中常见的一个概念，也是代数学中的基础内容之一。
它由一个变量和系数构成，变量通常用字母表示，系数可以是实数或复数。
一元多项式的一般形式为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0其中，P(x)表示一元多项式，a_n, a_{n-1}, ..., a_0表示系数，x表示变量，n表示多项式的次数。
一元多项式的次数是指最高次项的次数，而系数则表示每个变量的权重。
一元多项式的次数可以是非负整数，次数为0的多项式称为常数。
例如，P(x) = 3x^2 + 2x - 1是一个次数为2的一元多项式。
一元多项式具有以下特性：1. 线性叠加性：任意两个一元多项式相加或相减，仍然是一个一元多项式。
例如，P(x) = 2x^2 + 3x + 1和Q(x) = 4x - 2相加得到R(x) = 2x^2 + 7x - 1。
2. 系数相等性：两个一元多项式在相同的次数上的系数相等，才能认为这两个多项式相等。
例如，P(x) = 2x^2 + 3x + 1和Q(x) = 2x^2 + 3x + 1是相等的一元多项式。
3. 零多项式：所有系数都为零的一元多项式称为零多项式，记作0。
例如，P(x) = 0是一个零多项式。
4. 一元多项式的加法和减法：一元多项式的加法和减法可通过对应项的系数相加或相减得到。
例如，P(x) = 2x^2 + 3x + 1和Q(x) = 4x - 2相加得到R(x) = 2x^2 + 7x - 1，相减得到R(x) = 2x^2 - x + 3。
5. 一元多项式的乘法：一元多项式的乘法是指将两个多项式的每一项进行相乘，并将同次幂的结果合并。
例如，P(x) = (x + 1)(x - 2)展开得到P(x) = x^2 - x - 2。
6. 一元多项式的除法：一元多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式。
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例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。
当a=0时，S 0，即只包含一个零组成的数
环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？
4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？
例2：证明 Z i a bi a,b Z,i2 1 是一个数环。
11 2,1 2 3,1 3 4, , N F
0 1 1,0 2 2,0 3 3,
对 x Q, x 0, x a , a,b Z,
b
故 xF,Q F.
, Z F
问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
要检验几种运算？ 定理1.1.3：设F是一个含有非零数的数集，则F
当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是
d
a b 2 a b 2 c d 2 c d 2
cd cd
2 2
a1 b1
2, a1, b1 Q
问题：8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？
定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F, a 0. 于是 a a 0 F, a a 1 F.
例： 4a+3b，3x2 2x 1, 3 y 1 .
25
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
后来又把多项式定义为R上的函数：
f x a0 a1x anxn
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代。
问题：1、高等代数中采用什么观点定义多项式？
2、多项式的形式观点与多项式的函数观点
问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 集是不是数域？
7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？
例3：证明 Q 2 a b 2 a,b Q 是一个数域。
证明要点：先证 Q 2 有一个非零元 1 1 0 2 ，
对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
设 c d 2 0 c d 2 0（否则当 d 0 c 0矛盾；
问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。
二、数域 定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，如果F 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。 定义 ：设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非 零数； ② 对 a,b F, 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域， 且是三个最重要的数域。
常数项或是否矛盾？
首项
定义1零：设次x项是一个文字（或符号）首，项n系是数一个非负整数
形式表达式
n
a0 a1x an xn ai xi i0
—（2.1）
其中 a0, a1, , an F ，称为数域F上的一元多项式。
ai 称为i次项系数。
高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方 面推广了中学的多项式定义：
是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除 数不为零）仍属于F。 问题：11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C
之间是否有别的数域？
例：对任意素数P， QP a b p a,b Q
是一个数域。Q QP R
在R与C之间不可能有别的数域。
设有数域F，使 R F C ，故
x F, x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。
例1.2.1：f x 1 2x 3x2 9x3 是Q上多项式；
有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
（代即数运运算算是：设否A封是闭一）个非。空集合，定义在A上的一个代数运算 运整算数封例的闭如商：两就这是都如个不个指有果集整存A集一中合在合数定一中一中的是个，个任和整元则法两、素数称则个与差，该，元之集、它素这对合使做积证应对A某仍明。中这一是整任个运整意数运算两数集算后个封，的对元闭结但加素。果两、A仍个减在A、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。
一、数环 定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a,b S ，总有 a b, a实数集R，复数集
C都是数环。 问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（ F1, F2 是数域，则F1 F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
§1.2 一元多项式的定义和运算
一、多项式的概念
中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 法运算的整式）的代数和叫多项式。
§1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围，学习数学也是如此。
比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
x2 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就
（若b=0，则 x aR，矛盾）。 a,b R, a,b F, bi F, bi b i F 可见F=C。
问题：12、设 S1 和 S2 是数环，试问 S1 S2, S1 S2 是不是数环？若是，给出证明，
若不是举出反例。 若 S1和 S2 是数域情况又如何？
S1 S2不是数域,反例:S1 a b 2 a,bQ , S2 a b 3 a,bQ