2.1一元多项式的定义和运算

a0 a1 x a2 x 2 ... an x n 中， 在多项式 a0 叫做零次项或常数项 a1 x 叫做一次项 i ai x 叫做 i 次项， ai 叫做 i 次项系数
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一元多项式常用符号 f ( x), g ( x), h( x),... 来表示。 例如：
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2、设 f ( x ) x x 1，
2
g ( x ) a ( x 1) b( x 1)( x 1) c( x 1)
2
2
当a, b, c为何值时，f ( x ) g ( x )。
3、证明：当f ( x ) 0时，f ( x )是偶次多项式。
( 4) x (5) 4
1 2
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2.1.2 多项式相等
定义2 若是数环R上两个一元多项式 f (x) 和g (x) 有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x)和g (x)就说是相等 。记为 f (x) = g (x)。 例如： 1 0 x 5 x 2 x 3 0 x 4
2
作业：P30:1、2
24
3 2
(1) f ( x)是零多项式，则a b 0,2b 0, c 0,
从而a b c 0。 (2)a b 0, c 0。
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例3 求k,t使 ( x 2 kx 1)( x 2 tx 1) x 4 x 2 1 。 解 将左端两多项式相乘，原式可化为
1 0 x 5x 2 x3 1 5x 2 x3
规定： ②在一个多项式中，可以任意添上或 去掉一些系数为零的项。
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一个数环R上系数不全为零的多项式可以唯一 地写成
a0 a1 x a2 x an x (an 0)
2 n
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代数是搞清楚世界上数量关系的工具。
――怀特黑德
当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、 美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到 充分的快乐。
- -柯普宁(前苏联哲学家)
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第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10
例如：若f ( x) 2 x 3x 2 7 x 4 , 则 f ( x)） 4。 （ 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。
零多项式没有次数。以后谈到多项式 f (x) 的次数时， 总假定 f ( x) 0。
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我们在初等代数中曾经学习过多项式的加法、减 法及乘法。两个多项式相加（或相减）就是把它 们的同次项的系数相加（或相减）。两个多项式 相乘就是把第一个多项式的各个单项与第二个多 项式的各个单项分别相乘，然后合并同次项。
(2) f x g x a0b0 a0b1 a1b0 x anbm x n m
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由an 0, bm 0得anbm 0 ，所以由(2)得 f x g x
的次数是n + m .
由（1）， x g x 的次数显然不超过n，另一方面， f
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二、多项式的乘法 给定数环R上两个多项式
f x a0 a1 x a2 x an x
2
n
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
2 n m
f (x) 与g (x) 的积指的是
f x g x c0 c1 x c2 x cn m x
多项式
一元多项式的定义和运算 多项式的整除性 多项式的最大公因式 多项式的分解 重因式 多项式函数 多项式的根 复数和实数域上多项式 有理数域上多项式 多元多项式 对称多项式
2
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2.1 一元多项式的定义和运算
一、教学内容 2.1.1 多项式的定义 2.1.2 多项式相等 2.1.3 多项式的次数 2.1.4 多项式的运算 二、教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质。 三、重点、难点 一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运 算性质。
（i）当 f x g x 0 时,
0
f x g x max f x , g x
0 0
0 f x g x 0 f x 0 g x （ii）
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f ( x) 2 3 x x 5 x , g ( x) 3 x 2，
2 3
h( x) 2 x 4 2ix2 1 都是x的多项式。 规定：①若是某个i次项的系数是1，那么这 个1可以省略不写；
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问：下列各式是不是x的多项式？
(1)2 x 1, 1 3 (2) x 5 x 5, 2 (3)2 x 1 3x x 2
并且设m ≤ n, f (x) 与g (x) 的和指的是
f x g x a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x 2 an bn x n
这里当m < n 时， bm1 bn 0
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求多项式的和的运算叫做多项式的加法运算。
定义 g x b0 b1 x b2 x bm x ，
2 m
若g x b0 b1 x b2 x bm x ，
2 m
并称之为g ( x )的负多项式。
于是，可定义多项式的减法为
f x g x f x g x
所以由推论1必有 但 f x 0，
g x hx 0，
即
g x hx 。
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例2 当 a, b, c 是什么数时，多项式
3 2 3
f x ax bx c bx x
2

（1）是零多项式？ （2）是零次多项式？ 解 整理得 f ( x ) (a b) x 2bx c。
注意：若把一个多项式按“降幂”书写
an x n an 1 x n 1 a1 x a0
an 0 时，an x n叫做多项式的首项. 当
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四、多项式次数的运算性质
定理 设f x 和g (x) 是数环R上两个多项式,并且
f x 0, g x 0 .那么
f x g x 0。
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推论2 f x g x f x hx , f x 0 g x hx 证明 由 f x g x f x hx 得
f x g x hx 0
证明: 设 0 f x n, 0 g x m
f x a0 a1 x a2 x 2 an x n , an 0 g x b0 b1 x b2 x 2 Βιβλιοθήκη Baidu bm x m , bm 0
且 m n 那么
(1) f x g x a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x 2 an bn x n
例1 : 设f ( x) 1 3x 2 x 2 , g ( x) 2 2 x x 3。 试求f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), f ( x) g ( x)。
f ( x) g ( x) 3 5 x 2 x x ,
2 3
f ( x) g ( x) 1 x 2 x x ,
2.1.5
多项式环
我们用R[x] 表示数环R上一个文字x的多项式的 全体。 并且把在其中如上定义了加法和乘法运算的R[x] 叫作数环R上的一元多项式环。
练习
1、设f ( x ) 2 x 3x , g ( x ) 3 x 2 x ，
3 2 3
求f ( x ) g ( x )，f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x )。
这里： ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 ,
k 0, 1, 2,, n m 其中：当k n时, ak 0,当k m时, bk 0。
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求多项式的积的运算叫做多项式的乘法运算。
三、多项式运算法则 （1）加法交换律: f x g x g x f x （2）加法结合律: f x g x hx f x g x hx （3）乘法交换律: f x g x g x f x （4）乘法结合律: f x g x hx f x g x hx
于是，我们可以对多项式引入次数的概念。
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2.1.3 多项式的次数
an x n 叫做多项式 定义3
f ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n (an 0)
的最高次项,非负整数n叫做多项式 f (x)
的次数， 记作 ( f ( x)) n
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数学与计算机科学学院高等代数课件 推论1
f x g x 0 f x 0 或
g x 0。
证明 若是 f x 和g (x) 中有一个是零多项式， 那么由多项式乘法定义得 f x g x 0。
若是 f x 0且g ( x) 0，
那么由上面定理的证明得
x (k t ) x (2 kt) x (k t ) x 1 x x 1
4 3 2 4 2
由两个多项式相等的定义可得
k t 0 2 k t 1
解得 k 1, t 1或k 1, t 1。
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2 3
f ( x) g ( x) 2 8 x 10 x 2 3x 3 3x 4 2 x 5。
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2.1.4
多项式的运算
一、多项式的加法 给定数环R上两个多项式
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n 2 m g x b0 b1 x b2 x bm x
3
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2.1.1 多项式的定义
定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项 式指的是形式表达式
a0 a1 x a2 x ... an x
2
n
其中n是非负整数而 都是数环R中的数。
a0 , a1 , a2 ,..., an
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