二项式定理常见题型

二项式定理

1．二项式定理：

011

()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++

++

+∈，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r

n r

r n C a

b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和

等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a

与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122

(1)()n r r n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122

(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-

++

+-∈

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，·1

k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n

n n n n n n C C C C C +++

++

+=，

变形式12

21r n

n n n n n C C C C +++++=-。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123

(1)(11)0n n

n n n n n n C C C C C -+-+

+-=-=，

从而得到：024213

21

11222

r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++

++⋅⋅⋅=⨯=

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0011222

0120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=+++

+=+

+++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135

(1)(1),()

2

(1)(1),()

2

n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②

①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n

C

-,12n n

C

+同时取得最

大值。

⑥系数的最大项：求()n

a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112

r r

r r A A A A +++≥⎧⎨

≥⎩，从而解出r 来。

6．二项式定理的十一种考题的解法： 【题型一：二项式定理的逆用】

【例1】：1232

1666 .n

n n n n n C C C C -+⋅+⋅+

+⋅=

解：012233

(16)6666n n n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距，

123

211221666(666)6

n

n n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅+

+⋅=

⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-

【练1】：1231393 .n n

n n n n C C C C -++++=

解：设123

1393n n

n n n n n S C C C C -=+++

+，则

12233

0122333333333331(13)1

n n n n

n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =+++

+=++++

+-=+-(13)141

33

n n n S +--∴==

【题型二：利用通项公式求n x 的系数】

【例2】：在二项式n

+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n n

C -=，即2

45n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由

2

102

1

10343

4110

10

()

()r r r

r

r

r r T C x x C x

--

+-

-+==，由题意102

3,643

r r r --

+==解得， 则含有3x 的项是第7项633

61

10210T C x x +==,系数为210。

【练2】：求29

1()2x x

-

展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r r

r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =

故9x 的系数为3

39121()22

C -=-。

【题型三：利用通项公式求常数项】 【例3】：求二项式210(

x 的展开式中的常数项？

解：5202102

110101()()2r r r r r r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88

910145()2256T C ==

【练3】：求二项式6

1(2)2x x -的展开式中的常数项？

解：666216611(2)(1)()(1)2()22

r r r r r r r r r

r T C x C x

x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以33

46(1)20T C =-=-

【练4】：若21

()n x x +的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =

解：42444212

51()()n n n n T C x C x

x

--==，令2120n -=，得6n =. 【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】

【例4】：求二项式9

展开式中的有理项？