概率经典例题与解析近年高考题50道带答案

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【经典例题】

【例1】(2012湖北)如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是

A .1-

2π B . 12 - 1π C . 2π D . 1π

【答案】A

【解析】令OA=1,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为S 1,围成OC 为S 2,作对称轴OD ,则过C 点.S 2

即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 .在扇形OAD 中 S 1

2 为扇

形面积减去三角形OAC 面积和

S 22 , S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ,S 1+S 2= π-24 ,扇形OAB 面积S= π4

,选A .

【例2】(2013湖北)如图所示,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌

后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E(X)=( )

A. 126125

B. 65

C. 168125

D. 75 【答案】B

【解析】X 的取值为0,1,2,3且P(X =0)=27125,P(X =1)=54125,P(X =2)=36125,P(X =3)=8125,故E(X)=0×

27

125+1×54125+2×36125+3×8125=6

5

,选B.

【例3】(2012四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在

通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

A. 14

B. 12

C. 34

D. 78

【答案】C

【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮,第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮,由题意⎩⎨⎧0≤x≤4,

0≤y≤4,

满足条件的关系

式为-2≤x-y≤2. 根据几何概型可知,事件全体的测度(面积)为16平方单位,而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位,

故概率为1216=3

4

.

【例4】(2009江苏)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m )分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】0.2

【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2 【例5】(2013江苏)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为________. 【答案】20

63

【解析】基本事件共有7×9=63种,m 可以取1,3,5,7,n 可以取1,3,5,7,9.所以m ,n 都取到奇数共有20种,故所求概率为20

63

.

【例6】(2013山东)在区间[-3,3]上随机取一个数x ,使得|x +1|-|x -2|≥1成立的概率为________. 【答案】13

【解析】当x<-1时,不等式化为-x -1+x -2≥1,此时无解;当-1≤x≤2时,不等式化为x +1+x -2≥1,解之得x≥1;当x>2时,不等式化为x +1-x +2≥1,此时恒成立,∴|x+1|-|x -2|≥1的解集为[)1,+∞.在[]-3,3上使不等式有解的区间为[]1,3,由几何概型的概率公式得P =3-13-(-3)=1

3

.

【例7】(2013北京)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 【答案】213;12

13

;3月5日

【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i=1,2,…,13).

根据题意,P(Ai)=1

13

,且Ai∩Aj=(i≠j).

(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B =A5∪A8. 所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=2

13

.

(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且 P(X =1)=P(A3∪A6∪A7∪A11) =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=4

13,

P(X =2)=P(A1∪A2∪A12∪A13) =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=4

13,

P(X =0)=1-P(X =1)-P(X =2)=5

13.

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

513

413

413

故X 的期望E(X)=0×513+1×413+2×413=12

13

.

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

【例8】(2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为2

3,中奖可

以获得2分;方案乙的中奖率为2

5,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖

中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求X≤3的概率;

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

【答案】11

15

;方案甲.

【解析】方法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为2

5,且两人中奖与否互不影响.记“这2

人的累计得分X≤3”的事件为A ,

则事件A 的对立事件为“X=5”,

因为P(X =5)=23×25=415,所以P(A)=1-P(X =5)=11

15,

即这两人的累计得分X≤3的概率为11

15

.

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