生产函数估计与预测方法介绍
生产函数的估计
生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1．含义我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。
（1）影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。
在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。
对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y =（3）数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回归方程及参数估计1）一元线性回归模型①总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。
生产理论—生产函数分析P
8
0.83
6
0.67
2
0.25
0
0
-2
-0.33
总产量曲线 表明了在资本量不变而劳 动量变动时可以达到的最大产量。
边际产量与平均产量曲线
Q
平均产量最大
C
短期总产量曲线上的 特殊点
D 总产量最大
TPL
B
Q
边际产量最大
L
APL L
MPL 平均产量和边际产量曲线的求取
TP、AP与MP之间的关系 1.TP与MP： MP>0, L↑→TP↑ MP=0, TPmax MP<0, L↑→TP↓ MPmax，TP处拐点。
生产过程中所使用的这种投入要素的数量都是不 变的。比如厂商的工厂和专业化设备。
第二节 一种可变生产要素的生产函数
（短期生产函数Short run product function ）
Q = f (L,K)
一、一种可变要素的总产量、平均产量和边际 产量
1.一种可变要素的总产量(TP: total product) 是指企业在某一时期,在其它生产要素不变 时,投入一种可变要素所生产的全部产品。
例3：
某公司，每小时产量Q和工人的数量L与 每小时所用的机器的数量K之间的关系 为 Q 10 LK ，工人的工资是每小时8元， 机器的价格是每小时2元。如果该公司 每小时生产80单位产品，它应该使用多 少工人和机器呢?
例4：
某企业
0.5 0.9
Q=5L K
问：(1)资本和劳动的产出弹性各为多少? 如果企业增加资本(或劳动)的投入量 10%,产出将增加多少?
资本数量 K 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
第二节 生产函数
总产量、平均产量、 总产量、平均产量、边际产量
Q 最高点
TP
0 4 6 9 MP L
AP
三条产量曲线关系的特点： 三条产量曲线关系的特点：
1.三条产量曲线都是先升后降. 1.三条产量曲线都是先升后降. 三条产量曲线都是先升后降 2.边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均 2.边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均 产量曲线的最高点. 产量曲线的最高点. 3.边际产量=0,总产量最大 边际产量<0, 边际产量=0,总产量最大; <0,总产 3.边际产量=0,总产量最大;边际产量<0,总产 量绝对减少 4.TP、AP曲线之所以先升后降都是由MP曲线 曲线之所以先升后降都是由MP 4.TP、AP曲线之所以先升后降都是由MP曲线 决定。 决定。
（三）可变投入量的合理区间
Q 最高点 TP
一
0
二
三
L 4 6 9 AP MP
长期生产函数—两种生产要素 第三节 长期生产函数 两种生产要素 的最适组合
一.等产量线 二.等成本线 三.生产要素最适组合
一.等产量线
1.等产量线: 1.等产量线: 能生产相等产量的两 等产量线 种生产要素的不同数量的组合. 种生产要素的不同数量的组合.
L2
L
2.等产量线的特征:
K
Q3 Q1 o Q2 L
边际技术替代率 MRTS (marginal rate of technical substution)
边际技术替代率是维持相同的产量水平时, 边际技术替代率是维持相同的产量水平时, 增加一单位生产要素与另一生产要素所 减少的数量的比率. 减少的数量的比率. MRTSLK= -ΔK/ΔL = MPL/MPK • ΔTPL = -ΔTPK • ΔL • MPL = -ΔK• MPK • -ΔK/ΔL = MPL/MPK
经济学中的生产函数
经济学中的生产函数经济学中的生产函数是用来描述生产过程中投入和产出之间的关系的数学模型。
它是宏观经济理论中一个重要的概念，通过衡量投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解和分析经济增长、资源配置以及生产效率等问题。
本文将介绍生产函数的基本概念、不同形式的生产函数以及其在经济学中的应用。
生产函数的基本概念生产函数是通过将输入要素与产出数量相联系来描述生产过程的函数关系。
它通常表示为Q = f(K, L, ...)，其中Q表示产出数量，K表示资本投入，L表示劳动投入，...表示其他可能的生产要素。
生产函数假设其他影响因素保持不变的情况下，投入要素与产出之间存在一定的关系。
不同形式的生产函数常见的生产函数形式包括线性生产函数、柯布-道格拉斯生产函数和双曲线生产函数等。
线性生产函数的形式为Q = aK + bL，其中a和b为常数。
线性生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈线性关系，即资本和劳动的增加对产出的影响是恒定的。
柯布-道格拉斯生产函数的形式为Q = K^αL^β，其中α和β为正数。
柯布-道格拉斯生产函数假设资本和劳动投入对产出存在递增的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递增的。
双曲线生产函数的形式为Q = AK / (B + CK)，其中A、B和C为正数。
双曲线生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈递减的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递减的。
生产函数在经济学中的应用生产函数在经济学中有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 增长理论：生产函数是经济增长理论中的重要工具，通过描述投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解经济增长的来源与驱动力。
基于生产函数的分析，我们可以探讨如何提高生产要素的质量和效率，促进经济增长。
2. 资源配置：生产函数可以帮助我们优化资源配置，实现资源的高效利用。
通过权衡不同要素的投入和产出，我们可以确定最优的生产要素组合，以实现最大的产出效益。
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
西方经济学6生产函数
O
L
图4-4 等产量曲线
K
H R Q3 Q2 Q1
在生产的经济区域内， ● 在生产的经济区域内，等产 量曲线的斜率为负， 量曲线的斜率为负，其形状 凸向原点。 凸向原点。 边际技术替代率(The 边际技术替代率
Marginal Rate of Technical Substitution，简记为 ，简记为MRTS)
MRTS LK K的减少量 ∆K = =− L的增加量 ∆L
MRTS LK
L
∆K MP L =− = ∆L MP K
O
图4-4 等产量曲线
K
H R Q3 Q2 Q1
● 等产量曲线与坐标原点的距 离表示产量水平的高低， 离表示产量水平的高低，距 原点越远的等产量曲线代表 的产量水平越高；反之， 的产量水平越高；反之，则 越低。 越低。 ● 同一平面上的任意两条等产 量线不能相交， 量线不能相交，否则与定义 矛盾。 矛盾。
图4-8 规模报酬的三种情况
谢谢！
3
平均产量 （AP） 0 3
1 2 1 3 3
3 2
3 5
2
总产量曲线、 总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线关系图
Q Ⅰ B TP A D E O L1 L2 L3 MP AP L Ⅱ C Ⅲ
总产量曲线、 图4-1 总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线
几点说明： 几点说明：
资本不变，随着劳动量增加，总产量曲线、 资本不变，随着劳动量增加，总产量曲线、平均产 量曲线和边际产量曲线都是先上升后下降 先上升后下降。 量曲线和边际产量曲线都是先上升后下降。 边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均产量曲线 边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均产量曲线 的最高点。 的最高点。 边际产量为正数时，（ 边际产量为正数时，（MP＞0），总产量增加； ＞ ），总产量增加； ，（ ），总产量增加 边际产量为零时，（ 边际产量为零时，（MP=0），总产量最大； ），总产量最大； ，（ ），总产量最大 边际产量为负数时，（ 边际产量为负数时，（MP＜0），总产量减少。 ＜ ），总产量减少。 ，（ ），总产量减少
4.1 生产函数
4.1 生产函数⏹生产函数的概念⏹常见的生产函数1.生产函数的概念;生产函数是指在一定时期内，在一定技术条件下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
产量= f（各投入生产要素）(劳动资本土地企业家才能)Q = f（L, K, N, E）企业家才能:企业家的组织能力、管理能力、创新能力土地:自然界一切能用于生产的物资（土地、森林、湖泊、海洋）2、几种类型的生产函数1）固定投入比例生产函数（又称里昂惕夫生产函数）：表示在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的。
其生产函数的通常形式为：Q=Minimum (L/u, K/v)其中，常数u和v分别为固定的劳动和资本的生产技术系数2）可变比例生产函数：是指生产某种产品所需要的各种生产要素的配合比例是可以改变的。
它表明各种生产要素之间可以相互替代。
4.2 短期生产函数•短期生产函数•总产量、平均产量和边际产量•边际收益递减规律•生产三阶段1、短期生产函数1）短期与长期：短期：生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的时间周期。
长期：生产者可以调整全部生产要素的数量的时间周期。
2）短期生产函数：一种可变生产要素的生产函数的形式。
公式：Q=f(L，K )2、总产量、平均产量、边际产量（1）总产量总产量(TP )是指一定量的某种生产要素所生产出来的全部产量。
TP L是指一定量的劳动投入所生产出来的全部产量。
（2）平均产量（AP）平均产量(AP)是指平均每单位某种生产要素所生产出来的产量。
AP L是指平均每单位劳动所生产出来的产量。
(3)边际产量（MP）边际产量(MP)是指某种生产要素素每增加一单位所增加的产量。
MP L是指每增加一单位劳动所增加的产量。
1）TP L与MP L之间的关系。
①当MP L>0时，相应的TP L曲线是上升的；②当MP L<0时，相应的TP L曲线的斜率为负。
(生产管理知识)生产函数估计与预测方法介绍
生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1．含义我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。
（1）影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。
在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。
对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y =（3）数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回归方程及参数估计1）一元线性回归模型①总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。
生产函数概述
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月11日星期六
生产要素的种类
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
生产函数的定义
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
Q=f(L,K)
两种投入要素
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
生产的时期的 划分
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
短期生产函数
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
技术进步
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
技术进步与生 产函数
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
问题
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
答案
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
生产函数的统 计估计
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
估计的复杂性
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
效率标准的使用
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
函数形式的选择
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
乘数生产函数
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
等产量曲线的特性
• 等产量曲线的特性： ①等产量曲线的斜率为负。 ②等产量曲线凸向原点。 ③任两条等产量曲线不可相交。 ④任一点必有一条等产量曲线通过。 ⑤愈往右上方的等产量曲线，其产量会愈 大。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
边际技术替代率
在技术不变条件下，为维持相同的产量，在放弃同一 单位的劳动后，所必须弥补资本的数量。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
MRTS
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
MRTS的另一种表达
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
边率际递技减术规替律代
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
生产函数
生产函数生产函数是经济学中的一个重要概念，旨在描述生产与投入之间的关系。
它是一种数学模型，用来分析生产过程中资本和劳动投入对产出的影响。
本文将从生产函数的定义、特点、应用以及相关概念的介绍等方面展开阐述。
首先，我们来了解一下生产函数的定义。
生产函数是指在特定时间段内，使用特定技术条件下，输入产出关系的数学表达式。
通常情况下，将生产函数表示为Y = F(K, L)，其中Y表示产出，K表示资本投入，L表示劳动投入。
生产函数提供了一种方式来衡量资本和劳动对产出的贡献。
生产函数具有以下几个特点。
首先，它展示了生产过程中的某种生产关系，描述了资本和劳动对产出的影响。
其次，生产函数是一种数学模型，可以通过对数据的统计分析来确定。
此外，生产函数是一个多变量函数，即它以多个自变量（如资本和劳动）为输入变量。
生产函数在经济学中具有广泛的应用。
首先，它可以用来分析并评估生产效率。
通过研究生产函数，我们可以了解资本和劳动对于产出的贡献程度，从而判断生产过程的效率水平。
其次，生产函数还可用于制定政策。
例如，政府可以根据生产函数的结果制定相应的产业政策，以促进经济发展。
此外，生产函数还被广泛用于经济增长理论的研究，帮助我们了解经济增长的原因和机制。
除了生产函数，还有一些与之相关的概念。
首先，边际产出是指增加一单位投入所带来的额外产出。
边际产出递减是指随着投入增加，边际产出会逐渐减少的现象。
其次，规模报酬是指在投入比例不变的情况下，产出的增长情况。
分为递增、递减和恒等三种情况。
此外，还有一些衍生概念如平均产出、边际成本等。
总之，生产函数是经济学中重要的概念，用于描述生产过程中资本和劳动投入对产出的影响。
它是一个数学模型，通过分析生产函数可以揭示生产效率、指导政策制定以及研究经济增长。
通过了解相关概念如边际产出、规模报酬等，我们可以更深入地理解和应用生产函数的原理。
第八章生产和成本函数的估计
MC = - 50 + 20 Q
括号中为t-值
注意: TC既可估计为二次，也可以估计为三次。
TC = C1 Q + C2 Q2 + C3 Q3
如果TC为三次，那么AC将为二次: AC = C1 + C2 Q + C3 Q2
第20页，共23页。
二、长期成本函数的估计
(.65) (.12)
(.14)
R 2 = 0.966
• 此函数是否为规模收益不变?
• 如果劳动增加10%, 电力产量将如何?
第11页，共23页。
• 应该是规模收益递增, 因为参数之和大于1 。
– 0.53 + 0.65 = 1.18
• 如果%L = 10%, 那么%Q = E L L =
.65(10%) = 6.5%
第12页，共23页。
第二节 成本函数估计
第13页，共23页。
一、短期成本函数的估计
1、搜集变动成本与产量数据； 2、选择合适的函数形式； 3、估计函数的参数。
第14页，共23页。
线性成本函数
• 在短期成本函数估计中， TC 常常假定总成本函数为线 性方程式，它意味着边际 成本保持不变。图形如右
U状曲线
第18页，共23页。
估计短期成本函数
• 例子: 总成本的时间序列 数据
回归结果:
• 二次总成本函数
TC = C0 + C1 Q + C2 Q2 Predictor Coeff StdErr T-value
TC
Q
Q2
Constant 1000 300 3.3
900
精选第二章生产函数
2.3 生产函数的设定（建模）
（ 2 ）以要素之间替代性质的描述为线索的生产函数的发展
3) C-D 生产函数模型：假设 K 与 L 之间的替代弹性为 1 。
➢ 1928 年美国数学家Charles Cobb和经济学家Paul Dauglas提出的生产函数模型为：
Y AK L
❖ 待估参数A为效率系数，是广义技术进步水平的反映， 显然，应该有A>0 。
在宏观经济模型中，生产函数可以代表整个国家（或地区） 的生产过程，是将整个经济系统看作一个总和企业时的生 产过程，估计模型时会涉及到“加总”的问题。
2.2 生产函数定义、特性
（ 3 ）生产函数中关于弹性的概念
要素产出弹性：当其它投入要素 不变时，某要素投入增加 1% 所 引起的产出量的变化一般情况。 下,要素的产出弹性大于 0 小于 1 。
f L
2.2 生产函数定义、特性
边际技术替代率
2.2 生产函数定义、特性
（ 4 ）与生产函数有关的几个概念
规模报酬：生产函数中
资本、劳动等非技术要 素的投入量同时增长λ 倍，产出量增长的倍数。 规模报酬不变时，被称为 生产函数的一阶齐次性。
规模报酬递减 f(λK,λL) < λ f(K,L,)
规模报酬不变 f(λK,λL)=λ f(K,L,)
从而，代入要素替代弹性公式可得：
2) 投入产出生产函数模型：假设 K 与 L 之间是完全不可
替代的，则 Y 与K、L 组合之间的关系可用如下模型描
述：
Y min K , L a b
其中，a、b为常数，分别表示生产1单位Y 所必须投入的K、L的数量
从而有K Ya，L bY，即K / L a / b，则d（K / L） 0，故 0.
第二讲生产函数
一、生产函数基础知识二、经济增长理论三、生产者行为理论四、消费者行为理论五、完全竞争市场和一般均衡六、不完全竞争市场七、博弈论八、要素市场九、市场失效和公共选择生产函数一、生产函数的概述（一）生产函数的概念生产函数是生产过程中投入与其产出之间的一种函数关系。
即，一定时期内，在技术水平不变的情况下，投入生产要素的某种组合与其所能产出的最大产量之间的关系，一般可以写为Y=f(K,L,A,…)其中，Y—产出；K—资本；L—劳动力；A—技术。
（二）生产函数的特性1.生产函数：y=f（x1，x2，…，222211212222212()nn n n ny y yx x x x x y x x y y y x x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦xn ），递增的凹函数/0i y x ∂∂>凹函数：H= 为负定对称阵 2.齐次性与规模报酬为了简便，常常假定只有资本和劳动力两种投入要素，那么生产函数变为),(L K f Y =规模报酬：又称规模收益，研究当要素量扩大相同倍数，产出量扩大的情况。
固定规模收益：对所有t 0 ，f（tx）=tf（x）都成立，生产函数是一阶齐次的。
规模收益递减：如果产出增加的比例小于各投入要素增加的比例，对所有t>1都有f（tx）<tf(x)规模收益递增：如果产出增加的比例大于各投入要素增加的比例，对所有t>1都有f（tx）>tf(x)在长期生产过程中，企业的规模报酬一般都会经过这样三个阶段的变化，即：规模报酬递增→规模报酬不变→规模报酬递减。
3.等产量曲线等产量曲线是指在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合的点的轨迹。
以常数Q表示既定的产出水平，则相应的生产函数为Y=f(K,L)=Q等产量曲线具有三个特点：①平面内有无数条曲线，且离原点越远代表产量水平越高；②各曲线不相交；③各曲线凸向原点，即曲线上各点的斜率为负且斜率的绝对值逐渐减小。
第五章生产函数
两种投入要素：
变动投入要素的定义是：生产过程中所使用的
投入要素，其数量是随着预期生产量的变化而变 化的。
固定投入要素的定义是：生产过程中所需要的
一种投入要素，它在整个既定时期内不管生产量 是多少，生产过程中所使用的这种投入要素的数 量都是不变的。在短期内，不管生产过程的运营水平
是高还是低，固定投入要素的成本必定要发生。
花在劳动上的一元钱产生3, 花在资本上的一元 钱产生2。
所以，使用更多的劳动
在资本上少花一元钱，产量下降2个单位, 但花 在劳动上，会形成3个单位。
一个数量例子
米勒公司每小时产量与工人和设备使用时间的关系如
下：
Q10 LK
L为工人数量（人），K为设备使用时间（小时），工人每小时 工资8元，设备每小时价格2元。
技术效率是指投入要素与产出量之间的 实物关系。当投入既定，产量最大或产 出既定，投入最少时就实现了技术效率。
经济效率是指成本与收益之间的关系。 成本既定，收益最大或收益既定，成本 最低时就实现了经济效率。
技术效率是经济效率的基础，但并不等 于经济效率，实现了技术效率并不一定 也实现了经济效率。
技术效率与经济效率
(a) 生产电视机的四种方法
劳动成本 资本成本 生产方法 ($75/天) ($250/天)
总成本 成本/TV
a
$75 + $250,000
= $250,075
$25,007.50
b
750
+ 2,500
= 3,250
325.00
c
7,500
+ 2,500
= 10,000
1,000.00
Py
MP x MP y
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型
柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数模型齐微辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）E-mail: qiwei1119@摘 要：柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function ）用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数.本文对大量的生产数据进行处理，建立多项式拟合模型和线性规划模型对数据进行处理完成问题，对生产数据分析我们建立了多项式拟合，通过误差分析，多项式拟合模型是完全符合数据的.但通过使用线性回归方法求得的柯布-道格拉斯生产函数，通过对其进行误差分析我们知道柯布-道格拉斯生产函数与原始数据的误差比多项式拟合模型下的误差小的多.关键词：柯布-道格拉斯生产函数；多项式拟合；线性回归柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素.他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：Y AK L αβ=其中： Y —— 产量；A —— 技术水平；K —— 投入的资本量；L —— 投入的劳动量；,αβ——K 和L 的产出弹性.经济学中著名的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数的一般形式为 (,),0,1Q K L aK L αβαβ=<< （1-1）其中,,Q K L 分别表示产值、资金、劳动力，式中,,a αβ要由经济统计数据确定.现有《中国统计年鉴（2003）》给出的统计数据如表（其中总产值取自“国内生产总值”，资金 取自“固定资产投资”，劳动力取自“就业人员”）[3].问题1：运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并做出模型的分析与检验.问题2：建立Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数,αβ的解释.问题3：将几个模型做出比较与分析.表0-1 经济统计数据年份 总产值/万亿元 资金/万亿元 劳动力/亿人1984 0.7171 0.0910 4.8179 1985 0.8964 0.2543 4.9873 1986 1.0202 0.3121 5.1282 1987 1.1962 0.3792 5.2783 1988 1.4928 0.4754 5.4334 1989 1.6909 0.4410 5.5329 1990 1.8548 0.4517 6.4749 1991 2.1618 0.5595 6.5491 1992 2.6638 0.8080 6.6152 1993 3.4634 1.3072 6.6808 1994 4.6759 1.7042 6.7455 1995 5.8478 2.0019 6.8065 1996 6.7885 2.2914 6.8950 1997 7.4463 2.4941 6.9820 1998 7.8345 2.8406 7.0637 1999 8.2068 2.9854 7.1394 2000 9.9468 3.2918 7.2085 2001 9.7315 3.7314 7.3025 2002 10.4791 4.3500 7.37401.问题一求解1.1 模型建立假设：有()()()t L t K t Q ,,分别表示产值，资金和劳动力，并假设()t Q 仅与()()t L t K ,有关[1]..由表0-1中的数据拟合出()()()t L t K t Q ,,的关系：用Matlab 画出表1-1中数据的关系图，应用Matlab 中的plot 画出图形如图1-1.图1-1产值、资金和劳动力数据关系图由图1-1可知：选定()t Q 看作是()()t L t K +的一元多项式的优化模型.从而建立模型()()()()t L t K G t Q +=.1.2 模型的求解通过Matlab 计算出()t Q 和()()t L t K + 数据之间拟合误差如表1-1.表1-1 数据拟合次数误差拟合次数 1 2 3 4 5 6 误差 3.0313 2.4294 1.5141 1.2366 1.0898 1.0887由上表得知五次拟合和六次拟合误差已经达到很接近，和四次拟合误差相差很大，所以本文选择五次拟合来求解模型()()()()t L t K G t Q +=.本文选用的是Matlab 中的plotfit 来五次拟合数据求解模型并用rcoplot 来误差分析. 得到的拟合多项式系数p 如表1-2.表1-2 多项式系数多项式次数5 4 3 2 1 0 相应系数 0.0062 -0.2711 4.6074-37.6090 148.3464 -226.4984这样就知道了模型多项式为:()()()()()()()()()()()()()()()54320.00620.2711 4.607437.6090148.3464226.4984Q K t L t K t L t K t L t K t L t K t L t =×+−×++×+−×++×+−(1-1) 多项式模型下，新的产值预测值如表1-3.表1-3 多项式模型的产值预测值年份1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 预测值0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773年份1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 预测值 4.7428 5.6358 6.5850 7.28598.23048.65859.27909.920810.4620程序运行所得到的残差图如图1-2.图1-2 模型数据的残差图由图1-2可以看到除了第十七个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近.继而得出模型：()()()()()()()()()()()()()()()54320.00620.2711 4.607437.6090148.3464226.4984Q K t L t K t L t K t L t K t L t K t L t =×+−×++×+−×++×+− (1-2)1.3 模型的误差分析 本文在假设的前提下，确定(),()()K t L t Q t 与的关系，即()Q t 可看作是()()K t L t +的一元多项式，从而本文做分析得到，做五次的多项式拟合达到最佳拟合.能从S 的值知道拟合误差，S 中有R 类似于回归中的判别系数、df 自由度、normr 拟合算法中用到的范德孟系数.本文通过预测值Y 值可以看到和原始值y 存在着误差，但是这些误差都是在可接受范围之内的误差[2].2 问题二的线性回归模型2.1模型的建立本文假设的是在1=+βα的情况下，用)(t Q ，)(t K ，)(t L 分别表示某一地区或部门在时刻t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作))(),(()(t L t K F t Q =(2-1) 其中F 为待定函数.对于固定的时刻t ，上述关系可写作),(L K F Q =(2-2)为寻找F 的函数形式，引入记号L Q z =，L K y = (2-3) z 是每个劳动力的产值，y 是每个劳动力的投资.如下的假设是合理的：z 随着y 的增加而增长，但增长速度递减.进而简化地把这个假设表示为()z ag y =，αy y g =)(，10<<α (2-4)显然函数)(y g 满足上面的假设，常数0a >可看成技术的作用.由(2-3)，(2-4)即可得到(2-2)式中F 的具体形式为1Q aK L αα−=，10<<α(2-5)由(2-5)式容易知道Q 有如下性质 0,>∂∂∂∂L Q K Q ，0,2222<∂∂∂∂LQ K Q (2-6) 记L Q Q K ∂∂=，K Q 表示单位资金创造的产值；LQ Q L ∂∂=，L Q 表示单位劳动力创造的产值，则从(2-5)式可得α=Q KQ K ，α−=1QLQ L ，Q LQ KQ L K =+ (2-7) (2-7)式可解释为：α是资金在产值中占有的份额，α−1是劳动力在产值中占有的份额.于是α的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.2.2模型的求解本文求解得出1Q aK L αα−=中的()1b 和α值为：0.7784和0.7833，这样能求得a 的值为：2.1780，β的值为：1-0.7833，即为：0.2167.这样得到模型如下：()()()2167.07833.01780.2t L t K t Q ×= (2-8)利用以上模型求解出一组新的预测值如表2-1.表2-1 多项式模型的产值预测值年份预测值0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773年份1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 预测值 4.7428 5.6358 6.5850 7.28598.23048.65859.27909.9208 10.4620程序运行所得的残差图如图2-1所示：图2-1 模型数据残差图由图2-1可以看到除了第一个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近，这样可以得到线性回归模型是符合题目的.继而模型可得：()()()0.78330.21672.1780Q t K t L t =× (2-9)程序计算得到的r 和rint 值见表2-2.表2-2 r 和rint 值 r rint 0.4259 0.2705 0.5814-0.1634 -0.4602 0.1334-0.2005 -0.4950 0.0940-0.2001 -0.4979 0.0976-0.1620 -0.4691 0.14510.0175 -0.2999 0.33490.0572 -0.2568 0.37120.0402 -0.2775 0.3580-0.0410 -0.3620 0.2799-0.1575 -0.4687 0.1537-0.0672 -0.3857 0.25130.0284 -0.2901 0.34690.0690 -0.2462 0.38410.0923 -0.2200 0.40470.0387 -0.2747 0.35210.0439 -0.2686 0.35640.1576 -0.1427 0.45780.0347 -0.2737 0.3431-0.0136 -0.3188 0.29172.3 模型α和β的解释通过对柯布-道格拉斯生产函数传递变形后，进行求解得出βα,的值，同样也进行预测数据和原始数据比较.从图上可以知道模型中参数βα,的解释：α是劳动力产出的弹性系数，β是资本产出的弹性系数，从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）.根据α和β的组合情况，它有三种类型：①1αβ+>称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的.②1<+βα称为递减报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的.③1=+βα称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益.3 问题三:模型比较分析模型一是通过假设后进行拟合得到模型关系式，模型二是通过变形后线性回归运算得到模型.他们与实际之间都存在误差.五次多项式拟合模型的数据误差数是：1.0898.线性回归模型数据误差：r =[0.4259 -0.1634 -0.2005 -0.2001 -0.1620 0.0175 0.0572 0.0402 -0.0410 -0.1575 -0.0672 0.0284 0.0690 0.0923 0.0387 0.0439 0.1576 0.0347 -0.0136];m=sum(r)得到这个模型的误差数：m=1.0000e-004.可以看出1.0000e-004<1.0898,很明显柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数比假设的多项式拟合函数更接近实际数据，更加准确.在生产产值上的预测，柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数预测的结果近似就是准确生产值[4].4 评价和结论4.1 模型缺点一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.只有明确一定历史阶段的社会生产力特征才能构造出最能反映当时生产力发展水平的生产函数.在工业时代，生产力水平是以单位量的资本和劳动力的投入所能获得的产成品的数量来衡量的.也就是说工业时代的生产力是以产量、能耗、劳动生产率等针对物质、能量的生产和利用等概念构成的.而对工业时代生产力水平的衡量是以投入产出的数量为依据的，表现在：（1）工业时代的生产是在一个较为稳定的生产技术条件下形成的，是针对某一生产和设计都很成熟的产品进行物质性生产.（2）工业时代衡量生产技术水平的标志是在一定的时间范围内，单位量的资本和劳动力的投人所能获得的产成品的数量.（3）工业时代的生产力水平体现为以某一生产技术组织资本和劳动力的投入，从而获得最接近于该生产技术所能达到的产出极限.柯布—道格拉斯生产函数正是在工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特征的函数模型.当人类进入到信息经济时代，由于信息资源的加入、技术的不断进步，导致生产力发展的特征和性能发生了变化，信息时代的经济发展特征是以性能、质量、产品的差异性组合，客户服务和信息管理等为主要竞争手段的.这样也就决定了信息时代这种以非物质，非能量的信息经济的生产力的概念与工业时代截然不同.如果仍然以工业时代测算生产力的方法去考察信息时代中信息技术对生产力的作用的话，肯定无法对其做出准确的判断.同样，原有的柯布——道格拉斯生产函数已经不能再适应新的经济发展形态，在工业时代用以衡量生产力水平的产量，资本投入量和劳动力投入量已经不能完全适应信息时代的生产力发展水平了；在信息经济时代，所投入的生产要素的核心成分从资本、劳动力逐渐转变为以信息技术为代表的高新技术.当信息资源应用于生产中时，对生产人员、资本、流程等形成革命性的影响作用，极大地提高了生产要素生产率，促进了经济发展.综合上述原因，需要对柯布——道格拉斯生产函数做出了一定的修正，使之适用于信息时代的生产力发展水平.4.2 模型改进4.2.1 对投入量的计量对投入的计量应包含：信息技术设备的资本投入，如电脑、数控设备、信息化管理设备、网络设备和其他软件等等；信息技术的劳动力投入，如电脑软件编制人员、硬件安装维护人员、信息化管理人员等等；非信息技术设备的资本投入，如传统的工业技术装备、生产设备、厂房等其他在工业时代类似的资本投入；非信息技术的劳动力投入，比如生产线上的操作工、一般管理人员等，这里需要指出的是“非信息技术的劳动力”既包括一般意义上的蓝领工人，也包括其他一些白领管理人员.4.2.2 对产出量的计量对产出量的计量则不应仅包含单位生产成品数量，而是应该考虑到生产者的盈利水平是否提高.因为从工业时代过渡到信息时代，企业的竞争手段已经从“低成本生产”转向了“全方位的优质服务”.这其实也是竞争发展到一定阶段的必然结果.所以，考察信息技术对生产力具有怎样的影响务必要从一个新的视角出发，不能仅仅衡量其对产成品数量的影响，更应从信息技术是否对提高整体赢利水平，扩大市场份额和增强竞争实力等方面进行综合考察.4.2.3 改进后的模型改进后的柯布—道格拉斯生产函数的表现形式为：0011a b c d Y K L K L =式中： Y —— 产量；0K —— 非信息技术设备的资本投入；0L —— 非信息技术的劳动力投入；1K —— 信息技术设备的资本投入；1L —— 信息技术的劳动力投入；,,,a b c d —— 产出弹性.此模型较原来的模型增加了信息技术设备的资本投入1K 和信息技术的劳动力投入1L ，使得模型成为更贴近时代的生产模型，改进后的柯布—道格拉斯生产函数0011a b c d Y K L K L =是在现代信息工业经济时代构造出的反映了现代信息工业经济时代生产力特征的函数模型.改进后的柯布—道格拉斯生产函数模型更具有时代特色，适用性更广、更具时代感.参考文献[1]唐焕文,贺明峰.《数学模型引论》[M],北京:教育出版社,2005.[2]雷功炎.《数学模型讲义》[M],北京:京大学出版社,2002.[3]白其峰.《数学建模案例分析》[M],京:洋出版社,2000.[4]李庆杨,王能超,易大意.《数值分析》[M],京:华大学出版社,2005.Cobb-Douglas production function modelQiweiCollege of Science,Liaoning Technology University,Fuxin (123000)AbstractCobb-Douglas production function used to predict national and regional systems or large industrial enterprises in production and development of the means of production of an economic model, called the production function. In this paper, a large number of production data Process, the establishment of polynomial fitting model and the linear programming model for data processing is complete problems, the production data analysis We have established a polynomial fitting, through error analysis, polynomial fitting model is fully consistent with the data . But through the use of linear regression obtained O'Brien - Douglas production function, through its error analysis we know that O'Brien - Douglas production function with the raw data of error than polynomial fitting model of the small number of errors .Keywords: Cobb-Douglas production function; polynomial fitting; linear regression。
CD生产函数估计-2
C —D 生产函数估计方法生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
经济学中，C —D 生产函数是针产出表示为技术、资本和劳动投入量的函数，是经济学中普遍使用的生产函数，函数形式为：210βββL K Y =，其中，Y 、K 、L 分别表示产出、资本投入量和劳动投入量，0β表示技术系数，1β、2β分别表示资本和劳动的产出弹性。
将C —D 生产函数转化经对数变换，转换为如下形式：)log()log()log()log(210L K Y βββ++=以上方程将C —D 生产函数转化为线性形式，利用相关数据可以在Eviews 软件中运用OLS 估计实现对生产函数中各系数的估计。
一、 数据准备将收集到的产出、资本、劳动的时间序列数据保存为Excel 文件二、 创建工作文件并录入数据创建工作文件：打开Eviews 软件，依次点击“File —New —Workfile ”，在Frequency 对话框中选择相应的时间序列类型，Start 对话框中输入起始时间，End 对话框中输入终止时间，Name 对话框中输入工作文件名称，完成上术操作后，点击OK ，这样便创建好了一个工作文件。
建立序列：点击“Object —New Object ”，在Type of object 选项中选择对象类型为Series ，在Name for object 对话框中输入变量名称“y ”，点击OK ，这样就创建了产出序列。
用同样方法创建资本和劳动序列K 、L 。
（命令操作方法：data y k l ）。
录入数据：在Workfile 容器中双击y ，打开y 序列，点击菜单栏“Edit+/-”切换为可编辑状态，按后在表格中按时间序列依次输入数据。
用同样方法分别录入k 、l 序列的数据。
三、变量对数化点击软件主窗口“Quick —Gernerate Series …”，在“Enter equation ”对话框中输入表达式“ly=log(y)”，点击OK ，这样便将y 序列转换为对数序列，并保存为新序列ly 。
生产函数估计与预测方法介绍
生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估量1．含义我们在《经济学》课程的学习中差不多明白，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估量实际确实是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估量生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回来分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回来分析，我们必须第一构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回来分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回来结果对数据的拟合程度，以及回来分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回来分析前提条件不成立的回来分析结果是没有意义的。
（1）阻碍变量的选取就一个具体的回来分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回来分析时，我们应该关于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些专门重要的说明变量。
在进行回来分析时应注意不要漏掉重要的说明变量，但这并不意味着说明变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的说明变量反而会引起一些统计上的问题，一样来说，当说明变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会阻碍到模型的说明力。
关于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被说明变量有明显不同的阻碍时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回来分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采纳多元线性的，但一样最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y（3）数据的收集当模型的具体形式差不多确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回来分析中也会碰到数据不足的情形，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回来方程及参数估量1）一元线性回来模型①总体回来模型假如两个变量在总体上存在线性回来关系，能够用下式表示ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回来模型的参数，ε是X 变量以外其它所有阻碍因素对Y 值的总合阻碍，故称随机干扰项。
对我国生产率的分析和预测
对我国生产率的分析和预测施发启一、传统生产函数模型索洛在1957年把道格拉斯、丁伯根的贡献和肯德里克（1956年）编制的国民生产帐户融成一体，提出了技术变化和总量生产函数，并表示为：),,(T L K F Y = （1-1）式中Y 是产出，K 是资本投入，L 是劳动投入，T 是时间，在规模报酬不变的假设下，它反映了技术变化的效益理念。
总量生产函数反映了产出和投入的依存关系。
经数学推导，可得到索洛方程为：ϕ++=...l s k s y l k （1-2）式中.y 是产出增长率，.k 是资本投入增长率，.l 是 劳动投入增长率，ϕ是生产率增长率；k s 和l s 分别为初始投入中资本和劳动的份额，因此1=+l k s s 。
在80年代以前，ϕ被定义为全要素生产率增长率（TFP ），从生产者平衡理论的观点，ϕ意味着技术进步贡献量。
（1-2）式反映了生产增长是由资本投入增长、劳动投入增长和生产率增长组成，如果把生产要素资本和劳动力叫做生产力，那么技术进步也是生产力。
由（1-2）我们可以得出生产率增长率的度量方法是...l s k s y l k --=ϕ （1-3） 迄今为止，世界各国都在应用索洛增长方程来度量生产率增长率。
虽然在索洛以后，有很多学者，如丹尼森、乔根森等，都做出很大努力，试图改进索洛方法，但由于国民核算体系不能满足数据的要求，他们提出的模型大都为理论探索，远没有像索洛方程那样实用。
国外有很多研究报告经常用Y ln ∆表示产出增长率.y ，K ln ∆表示资本投入增长率.k ，L ln ∆表示产出增长率.l ，则（1-3）可写成：L s K s Y l k ln ln ln ∆-∆-∆=ϕ （1-4）或 )/l n ()/l n (L Y s K Y s l k ∆+∆=ϕ （1-5）式中)/ln(K Y ∆是资本生产率增长率，)/ln(L Y ∆是劳动生产率增长率。
因此，生产率增长率就等于资本生产率增长率与劳动生产率增长率的加权和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1．含义我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。
（1）影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。
在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。
对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y =（3）数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回归方程及参数估计1）一元线性回归模型①总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。
如果在一定时期内一些因素的单独影响都比较零散、微弱，就可以不把它们单独列为自变量，而合并为一个随机因素。
在一个模式中是否存在随机误差，体现了确定型依存关系和统计型依存关系的区别。
随机误差体现了在X 取既定值时Y 的变异。
②假定前提a. ε是随机变量对应于某个X 既定值，ε的符号和绝对值的大小是随机的，它既独立于X 的取值，也独立于前一项ε值。
b.ε服从正态分布影响Y 的其它因素的作用趋于互相抵消，E （ε）=0，Y 的期望值落在总体回归线上，在给定X 值后，Y 值围绕Y 的期望值呈正态分布。
c.对于任何X 值，ε有恒定的方差2,x y σ（同方差性）。
无论X 取什么值，Y 值围绕总体回归线的变异程度相同。
③总体回归直线方程与样本回归直线方程如果从总体回归函数，εβα++=x Y 中排除ε，就得到表示Y 值随X 取值而定的正态分布期望值与X 值关系的方程—总体回归直线方程bx a x y +=,μ上式表明，在X 的值给定的条件下，Y 的期望值是X 的严密的线性函数。
x y ,μ称为Y 的条件平均数，对于一个双变量协变总体，当自变量X 取特定值时，因变量取值服从如下 正态分布),(~2,,x y x y N Y σμ根据样本数据拟合的直线，称为样本回归直线。
tt x b a y ˆˆˆ+=，t=1,2，…… 式中Y 是样本回归线上与X 相对应的Y 值，可视为x y ,μ的估计，称为Y 的估计值或拟合值，aˆ为截距，b ˆ为斜率，表示当X 变化1个单位时Y 的变化量，它们是总体回归系数a,b 的估计值。
实际观测到的变量Y 值，并不完全等于yˆ，如果用e 表示两者之差，它与总体误差项ε相对应t t t yY e ˆ-= e 称为残差 由上述可知，样本回归直线是对总体回归直线的近似反映。
回归分析的主要任务就是采用适当的方法，充分利用样本所提供的信息，使得样本回归直线尽可能地接近真实的总体回归直线。
④回归模型参数的估计a.回归系统的估计根据样本资料确定样本回归方程时，一般总希望Y 的估计值从整体来看尽可能接近实际观测值。
即残差t e 的总量越小越好，为了避免t e 简单的代数和会相互抵消，也便于数学上的处理，通常采用残差平方和2t e ∑作为衡量偏差的尺度。
最小二乘法就是根据这一思路，通过使残差平和和为最小来估计回归系数的一种方法。
222)ˆˆ()ˆ(tt t t t x b a Y y Y e Q --∑=-∑=∑= 很明显，残差平方和Q 的大小将依赖于aˆ和b ˆ的取值。
根据微积分求极小值的原理，Q 对aˆ和b ˆ的偏导必须为零。
⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑+∑∑=∑+t t t t t t Y X X b X aY X b a n 2ˆˆˆˆ 2)())((x x x x x x b i i i -∑--∑=⇒ 或 22)(ˆt t t t t t x x n Y X Y X n b ∑-∑∑∑-∑= X b Y a -= nX b Y a t t ∑-∑=ˆ aˆ,b ˆ的具体数值即回归系数的估计值随选取的样本不同而不同，所以它是随机变量。
b.总体方差的估计除了a ，b 之外 ，一元线性回归模型还包括了另一个未知参数，总体方差2,x y σ，它可以反映理论模型误差的大小。
在数学上，2,x y σ的无偏估计是2,x y S 。
2)(222,--∑=-∑=∧n y Y n e S x y n 为样本容量，x y S ,称为估计标准误差。
它可用于描述用样本数据拟合回归直线时，在X 取特定值时Y 观察值对于相应的拟合值的离散程序。
c.最小二乘估计量的性质最小二乘法是估计方法中的一种，最小二乘估计量是总体回归系数的无偏估计量，数学上还可进一步证明，在所有的无偏估计量中回归系数的最小二乘估计量的方差最小；同时随着样本容量的增大，其方差会不断缩小，所以它又是最优和一致估计量。
2）多元线性回归模型现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响，右这种场合，仅仅考虑单个变量是不够的，这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下，两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，它是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较繁琐。
①总体回归函数与总体回归直线t kt k t t t x x x εβββα+++++=Y Λ2211kt k t x y x x ββαμ+++=Λ11.α表示截距，j β表示在其它自变量保持不变的情况下，自变量j x 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，成为偏回归系数。
②前提假定与一元线性前提假定相同，另外再加上，回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系。
③样本回归方程kt k t t x x Y ∧++=ββαΛ11ˆˆˆ (t=1,2,……n) ④模型的估计以三元线性回归方程为例，即t t t x x Y 2211ββα++=a.回归系数的估计（最小二乘法）2221122)ˆˆ()ˆ(tt t t t t x x Y Y Y e MinQ ββ--∑=-∑=∑= ⎪⎩⎪⎨⎧∑+∑+∑=∑∑+∑+∑=∑∑+∑+=∑22211222122111122112ˆˆˆˆˆˆˆˆˆx x x x Y X x x x x Y X x x n Y ββαββαββα b.总方差的估计kn e S t y -∑=2212.n ：样本容量，k :方程中回归系数的个数22,n y S 称为回归估计的标准误差，越小表明样本回归方程的代表性越强3ˆˆˆ22112,-∑-∑-∑-∑=n Y x Y x Y Y S x y ββα 3）非线性回归模型如果因变量和自变量之间是非线性关系，我们就必须采用非线性回归模型，但对非线性回归模型的估计必须首先将其转化为线性函数，然后再利用先行回归方法估计各参数。
非线性回归模型主要有以下几种：①幂函数2211b b x ax Y = 两边取对数，得：2211ln ln ln ln x b x b a Y ++=令：Y Y ln =' a A ln = 11ln x x =', 22ln x x =' 221x b x b A Y '+'+=' 这种形式就是前面的三元线性回归方程。
利用前文所述方法估计模型参数。
特点：方程中的参数可以直接反映因变量Y 对于某一个自变量的弹性。
Y x ax b Y X x ax b YX X Y Z b b b b x y /)(/)(2121112111211111=⋅⋅=⋅∂∂=-=1b 即，b 1是在其它因素不变的条件下，x 1变动1%所引起Y 变动的百分比。
②指数型：2121x x b ab Y = 两边取对数，得：2211ln ln ln ln b x b x a Y ++=令Y Y ln =' a A ln = 11ln b B = 22ln b B =，则2211x B x B A Y ++='③多项式函数32dx cx bx a Y +++=令：x x =1 22x x = 33x x =321dx cx bx a Y +++=非线性回归方程转化为线性回归方程后，可利用前文所述方法，估计各参数，最后利用反函数转化为最初形式。
（5）回归模型的检验1）经济学检验经济学检验主要是检验参数估计值的符号和取值区间所显示的自变是与应变量的变化关系是否与理论和人们的实践经验相一致。
2）统计学检验利用统计学中的抽样理论来检验样本回归方程的可靠性。
a.拟合程度的评价所谓拟合程度，是指样本观测值聚在样本回归线周围的紧密程度，判断回归模型拟合程序优劣最常用的数量指标是可决系数，该指标是建立在对总离差平方和进行分解的基础上。
tt t t t t e Y Y Y Y Y Y Y Y +-=-+-=-)ˆ()ˆ()ˆ()( 总离差=可解释离差+未解释离差两边取平方，得)ˆ)(ˆ(2)ˆ()(22tt t t t Y Y Y Y e Y Y Y Y --∑+∑+-∑=-∑ 22)ˆ()ˆ(tt Y Y Y Y -∑+-∑= SSE SSR SST +=离差平方和=回归平方和+残差平方和显而易见，如果各个样本观察点与样本回归直线靠得越紧，SSR 在SST 中所占比重超越大，因此可定义这一比例为可决系数。
222)()ˆ(11Y Y Y Y SST SSE SST SSR r t t t -∑-∑-=-== 102≤≤r 可决系数越大，方程拟合度越高，在多元线形回归方程中，为了更准确地衡量回归方程的拟合程度，常使用经调整的多元可决系数。