生产函数估计与预测方法介绍

生产函数估计与预测方法介绍

一、生产函数的估计

1．含义

我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。

2．方法与步骤

估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。

为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。

（1）影响变量的选取

就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。

（2）生产函数形式的确定

上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数

2

211b b X AX Y =

（3）数据的收集

当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。数据类型包括时序数据和截面数据。回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，

（4）建立回归方程及参数估计

1）一元线性回归模型

①总体回归模型

如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差

公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。如果在一定时期内一些因素的单独影响都比较零散、微弱，就可以不把它们单独列为自变量，而合并为一个随机因素。在一个模式中是否存在随机误差，体现了确定型依存关系和统计型依存关系的区别。随机误差体现了在X 取既定值时Y 的变异。

②假定前提

a. ε是随机变量

对应于某个X 既定值，ε的符号和绝对值的大小是随机的，它既独立于X 的取值，也独立于前一项ε值。

b.ε服从正态分布

影响Y 的其它因素的作用趋于互相抵消，E （ε）=0，Y 的期望值落在总体回归线上，在给定X 值后，Y 值围绕Y 的期望值呈正态分布。

c.对于任何X 值，ε有恒定的方差2,x y σ（同方差性）

。 无论X 取什么值，Y 值围绕总体回归线的变异程度相同。

③总体回归直线方程与样本回归直线方程

如果从总体回归函数，εβα++=x Y 中排除ε，就得到表示Y 值随X 取值而定的正态分布期望值与X 值关系的方程—总体回归直线方程bx a x y +=,μ

上式表明，在X 的值给定的条件下，Y 的期望值是X 的严密的线性函数。x y ,μ称为Y 的条件平均数，对于一个双变量协变总体，当自变量X 取特定值时，因变

量取值服从如下 正态分布),(~2,,x y x y N Y σμ

根据样本数据拟合的直线，称为样本回归直线。

t

t x b a y ˆˆˆ+=，t=1,2，…… 式中Y 是样本回归线上与X 相对应的Y 值，可视为x y ,μ的估计，称为Y 的估

计值或拟合值，a

ˆ为截距，b ˆ为斜率，表示当X 变化1个单位时Y 的变化量，它们是总体回归系数a,b 的估计值。

实际观测到的变量Y 值，并不完全等于y

ˆ，如果用e 表示两者之差，它与总体误差项ε相对应

t t t y

Y e ˆ-= e 称为残差 由上述可知，样本回归直线是对总体回归直线的近似反映。回归分析的主要

任务就是采用适当的方法，充分利用样本所提供的信息，使得样本回归直线尽可能地接近真实的总体回归直线。

④回归模型参数的估计

a.回归系统的估计

根据样本资料确定样本回归方程时，一般总希望Y 的估计值从整体来看尽可能接近实际观测值。即残差t e 的总量越小越好，为了避免t e 简单的代数和会相互抵消，也便于数学上的处理，通常采用残差平方和2t e ∑作为衡量偏差的尺度。最小二乘法就是根据这一思路，通过使残差平和和为最小来估计回归系数的一种方法。

222)ˆˆ()ˆ(t

t t t t x b a Y y Y e Q --∑=-∑=∑= 很明显，残差平方和Q 的大小将依赖于a

ˆ和b ˆ的取值。根据微积分求极小值的原理，Q 对a

ˆ和b ˆ的偏导必须为零。 ⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑+∑∑=∑+t t t t t t Y X X b X a

Y X b a n 2ˆˆˆˆ 2)())((x x x x x x b i i i -∑--∑=⇒ 或 2

2)(ˆt t t t t t x x n Y X Y X n b ∑-∑∑∑-∑= X b Y a -= n

X b Y a t t ∑-∑=ˆ a

ˆ,b ˆ的具体数值即回归系数的估计值随选取的样本不同而不同，所以它是随机变量。

b.总体方差的估计

除了a ，b 之外 ，一元线性回归模型还包括了另一个未知参数，总体方差2,x y σ，

它可以反映理论模型误差的大小。在数学上，2,x y σ的无偏估计是2,x y S 。

2)(222,--∑=-∑=∧

n y Y n e S x y n 为样本容量，x y S ,称为估计标准误差。

它可用于描述用样本数据拟合回归直线时，在X 取特定值时Y 观察值对于相应的拟合值的离散程序。