固体物理第7课晶格振动一维单原子链ppt课件

弹性波（纵波）的振动
q 其中 q2(波矢 ) Y
其中 2
T
2
v2
2
q 其 v q 中 2 Y
上式是弹性波纵波的公式， ω是圆频率， v是波速， ρ是介质密度，Y是扬氏弹性模量。
如果介质无穷长，q可取任意值，如果介质有长度为L，
则将形成驻波，L=n·λ/2，即1/λ = n / 2L。所以q只能取分
晶格动力学
➢原子振动具有波料二象性，波动形式是晶格振动波， 是一种机械波。粒子形式是声子，不是实际粒子。 ➢晶格振动波： 一是分析晶体中晶格振动的模式数， 二是计算振动波的色散关系，即波动频率—波数的关 系。 ➢声子的种类和晶格振动波的模式数一一对应。 ➢声子的能量—动量关系与晶格振动波的色散关系也 是一一对应。
立值，q=2π/ λ= n π / L。
3.1 一维单原子链（一维布喇菲晶格）
1. 运动方程:简谐近似下的振动 （简谐振动）
原子质量：
原子标号：
平衡间距：
纵向位移：
向右
向左
m n a xn xn 0 xn 0
1.简谐近似
f ：常系数 ＝ a a 0： f 0，吸引力 0： f 0，排斥力
(xn1
xn1 2 xn )
x n Ae i ( t qna )
将 x n 代入上式若发现如果有
下式成立
m 2 2 1 cos( qa ) 4 sin 2 qa
2
( q ) 2 sin qa m 2
则满足振动方程
ω 和 q 的这种关系称为色散关
系或色散曲线 .
m 4
2
1 / 2
d
2N
4
1/ 2
2 d
( )
2N
4
1 / 2
2
m
m
作业：
1 习题3.1(P82) 2 习题3.2(P82)
晶格振动和声子
❖波的数学形式可以表示为波动函数 f(r,t)
❖波动函数形式复杂，某一种特殊的波，有一些基本 的传输模式，对固体中的振动模型，可以采用最简单 的一维单原子链的振动模型。 ❖一维晶体中长度为a的原胞中只含有一个质量为m的 球，它们被弹性系数为k的弹簧联起来，某一个球随 时间作纵向振动，所有球都会振动。
(rn1rn)(rn1rn)
rn1rn1(rnrn)xn1xn
f (xn1xn)
简谐近似下的运动方程
n 号原子的受力：
f 左＝－
f 右＝－
xn xn1 xn1 xn
f 左 与 f 右 方向相反
f f左 f右
(xn1xn12xn)mdd2xt2n mdd2xt2n (xn1xn12xn)
波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 xN1 Aei(tqa) Aei[tq(N1)a] eiqNa1
qNa2l lZq2l 2 l b l
Na a N N
q Nl N l只能N取 个不同的整
a
a2
2
在由N个原胞构成的一维单原子链中，q只能取N个不同 的分立值，这个数目等于链中含有的原胞数。
说明
➢晶格的振动是简谐波，其波长由q确定，而q又取决于 倒易矢量，每个倒易矢量都与晶格点阵中的一族晶面垂 直，且代表这族晶面的面间距。
当
q
2 a
l： ( q ) min
0
q
a
(2l
1 )：
( q ) max
2
m
l Z
色散曲线（振动频谱）
q 弹性介质波
(q)2 sinqa 周期函数，周 2 期倒 为易原胞长度
m 2
a
若qq2al(lZ)，(q)＝(q)xn(q)xn(q) xn Aei(tqn)a
将q限制－ 在a， a第一布里渊区
可以看出当2aqπ 增 时加 ，原子的n无 位任 移何 x 区别，或 认为频率为ω的 含波 着 q中q包 2πl( l Z)个不同的波
a
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
长波近似
(q)2 sinqa
m 2
当q0， 即 时 ：
(q) qa(q) a常 数即 波u速 常 数
➢故q的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着格波波长 为na/l，na代表了某方向的晶体的长度，且格波与晶面
垂直。
➢可见晶体边长是格波的l倍，这里采用了波恩-卡门周期
性边界条件。 ➢驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件比驻波的要求更加宽松。
例题
例题1：试证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子 晶格链，每单位频率间隔的振动模式数为
运动方程的解
由N个原子组成的一原维子链中有N个这样方的程
m
d 2 xn dt2
β(xn1 xn1 2xn )
设方程的解为： xn Aei(tqna)
A： 振幅 ω： 振动的角频率
ei cos isin ei cos isin
qna： 第n个原子振动的位因相子
在简谐近似下，一维单原子链中原子的振动是频率为 的平面波，称之为格波。
2
m
sin
a 2
q
当格波的 变为 d 时，其对应的振动模式
数＝
当格波的 q 变为 q d q 时，其对应的振动模式
数
2 Na d q 即 ( ) d 2 Na d q
2
2
d a
m
1
m 4
2
1/2
d
q
2 Na 2
d
q
2 Na 2
1 a
m
1
/
2
1
m
qm
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速：
u
Y
常 数
Y： 杨 氏 模 量
： 物 质 的 线 密 度
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长 已不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则 ω是q的正弦函数．周期为２π/a。
3.1.4 周期性边界条件
连续介质中的简谐平面 波： Ae i(t x)
格波： Ae i(t qna )
(1)
： 波 数 ，
2
q：波矢， 大小为
2
，方向沿波的传播方向
(2)
可a取任q
意实数
，且只可
a
取分立值
x：连续介质中任意点的 位置 (3) na ：格点的位置
3.1.3 晶格振动的色散关系
m
d 2xn dt 2
比较
弹簧振子的简谐振动：
F
Kx
m
d2x dt2
Kx
令 2＝K
m
d2x dt2
2x
0，其解为：
x
A cos (t
)
（简谐振动）
连续介质中的简谐平面 波：
Aei(tx)
A cos t
x u
Acost
x
u
A cost
2
x
Acost
x
2 / T 2 u /T
令＝2 ，波数
利用欧拉公式可将三角函数表示为e指数形式。
Na
a
q 的线分布密度为
N 2
Na ， 2
a
2
sin
qa
m 2
- q
a
a
2
sin qa 2
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sin
a
q
m2
m 2
d
cos
2
qa 2
m
cos qa a d q a 22
1
sin
2
qa 2
1
m
1
m 4
2
1/2
m2 4
1/2
d
q
2
sin qa m2
()2N4m 21/2
例题2：已知由N个相同原子组成的一维单原子链，晶格格 波为
()2 Nm 22 1/2式 中 m2m
为格波的最高频率，试证它的振动模式总数是N。 (提示： 采用反证法，假设已知振动模式总数为N)
例题1 解 答
q 2 l ( l Z ) ， 在 q 空间 长度内 q 只能取 N 个值
第3章 晶格振动和晶格的热学性质
晶体原子不是静止状态，而是在作热运动。 晶体中的粒子在其平衡位置附近作微振动，而且由于 晶体内原子间存在相互作用力，因此各个原子的振动 不是孤立的，而是相互联系的。 整个晶格可以看作是一个互相耦合的振动系统，这个 系统的运动通常称为晶格振动。
晶格振动不仅对晶体的比热、热传导、热膨胀有影响， 而且和晶体的电学性质、光学性质、介电性质也有密 切联系。 利用晶格振动理论可对它们进行统一描述。