人工智能第六章6.1-6.2
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第六章 归结原理
6.1 子句集的Herbrand域 一、 Herbrand域与 Herbrand解释
定义（Herbrand域） H0是出现于子句集 的常量符 是出现于子句集S的常量符 定义（ 域 号集。 如果S中无常量符号出现 中无常量符号出现， 号集 。 如果 中无常量符号出现 ， 则 H0 由一个常量 符号a组成 组成。 符号 组成。 对于i＝1，2，…，令 对于 ＝ ， ， ， Hi = Hi-1∪｛所有形如 1，…，tn)的项的集合｝ 所有形如f(t 的项的集合｝ ， 的项的集合 其中f(t 是出现在S中的所有 元函数符号， 其中 1，…，tn)是出现在 中的所有 元函数符号， ， 是出现在 中的所有n元函数符号 tj∈ Hi-1，j＝1，…，n． ＝ ， ， ． 级常量集， 称为S的 称Hi为S的i级常量集，H∞ 称为 的Herbrand域， 的 级常量集 域 简称S的H域。 简称 的 域 12/23/2011
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定义（部分解释）对于子句集 的语义树中的 定义（部分解释）对于子句集S的语义树中的 每一个节点N， 的某个解释的子集， 每一个节点 ，I(N)是S的某个解释的子集，称 是 的某个解释的子集 I(N)为S的部分解释。 的部分解释。 为 的部分解释
显然， 满足C， 弄假C。 显然，I1，I2满足 ，I3弄假 。
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6.2 Herbrand定理 定理
Herbrand定理是符号逻辑中一个很重要的定 理．Herbrand定理就是使用语义树的方法， 把需要考虑无穷个H解释的问题，变成只考虑 有限个解释的问题．
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如果某区域D上的解释 满足子句集S， 上的解释I满足子句集 引理 如果某区域 上的解释 满足子句集 ， 则对应于I的任意一个 解释 也满足S。 则对应于 的任意一个H解释 也满足 。 的任意一个 解释I*也满足 只考虑子句集的H解释是否够用？ 只考虑子句集的 解释是否够用？ 解释是否够用 子句集S恒假当且仅当 被其所有H解释弄假 恒假当且仅当S被其所有 解释弄假。 定理 子句集 恒假当且仅当 被其所有 解释弄假。 证明: 必要性显然。 证明 必要性显然。 充分性。假设S被其所有 解释弄假， 被其所有H解释弄假 又是可满足的。 充分性。假设 被其所有 解释弄假，而S又是可满足的。 又是可满足的 设解释I满足 满足S，于是由引理知，对应于I的 解释 解释I*也满足 设解释 满足 ，于是由引理知，对应于 的H解释 也满足 S，矛盾．故S是不可满足的． 是不可满足的． ，矛盾． 是不可满足的
从现在起，如不特别指出，提到的解释都是指 解释 解释． 从现在起，如不特别指出，提到的解释都是指H解释．
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结论
l）子句 C的基例 C’被解释 I满足，当且仅当 ） 满足， 的基例 被解释 满足 C’中的一个基文字 出现在 I中． 中的一个基文字L’出现在 中 中的一个基文字 2）子句 被解释 满足，当且仅当 被解释I满足 ）子句C被解释 满足， C的每一个基例都被 满足． 的每一个基例都被I满足 的每一个基例都被 满足． 3）子句 C被解释 I弄假，当且仅当 弄假， ） 被解释 弄假 至少有一个C的基例 的基例C’被 弄假 弄假。 至少有一个 的基例 被I弄假。 4）子句集 不可满足，当且仅当 不可满足， ）子句集S不可满足 对每个解释I，至少有一个S中某个子句 的基例C’被 中某个子句C的基例 对每个解释 ，至少有一个 中某个子句 的基例 被I 弄假。 弄假。
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原子集 基例
基：把对象中的变量用常量代替后得到的无变量符号出现的对象。 把对象中的变量用常量代替后得到的无变量符号出现的对象。
基项、基项集、基原子、基原子集合、基文字、基子句、 基项、基项集、基原子、基原子集合、基文字、基子句、 基子句集
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定义 (原子集、Herbrand底) 设S是子句集，形 原子集、 是子句集， 原子集 底 是子句集 的基原子集合， 如P(t1,…,tn)的基原ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ集合，称为 的Herbrand底 的基原子集合 称为S的 底 的原子集． 或S的原子集． 的原子集 其中P(x 是出现于S的所有 元谓词符号， 其中 1，…，xn)是出现于 的所有 元谓词符号， ， 是出现于 的所有n元谓词符号 t1，…，tn是S的H域中的元素． ， 的 域中的元素． 域中的元素 定义（基例） 是子句集， 是 中的一个子 定义（基例） 设S是子句集，C是S中的一个子 是子句集 域中元素代替C中所有变量所得到的 句．用S的H域中元素代替 中所有变量所得到的 的 域中元素代替 基子句称为子句C的基例 的基例。 基子句称为子句 的基例。
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对应于I的 解释 解释I* 对应于 的H解释
定义（对应于 的 解释 解释I*） 定义（对应于I的H解释 ） 设I是子句集S在区域D上的解释。 H是S的H域。 σ 是如下递归定义的H到D的映射： 1） ①若S中有常量符号,H0是出现在S中所有常量符号的集合。 对任意a∈H0，规定σ (a)=I(a)． ②若S中无常量符号,H0={a}。 规定σ (a)=d,d∈D。 2）对任意(h1,…,hn)∈Hin,及S中任意n元函数符号f(x1,…,xn) , 规定σ(f(h1，…，hn)) =I(f(h1σ，…，hnσ)) 。
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例.
S＝｛P(x), Q(y,f(y,a))｝ ＝ ｝ 的一个解释I如下 令S的一个解释 如下： 的一个解释 如下： D＝{1，2} a f(1, 1) f(1, 2) f(2, 1) f(2, 2) ＝ ， 2 1 2 2 1 P(1) P(2) Q(1, 1) Q(1, 2) Q(2, 1) Q(2, 2) T F F T F T 对应于I的 解释 解释I*： 对应于 的H解释 ： I*＝｛～P(a), Q(a, a), P(f(a, a)), ～Q(a, f(a, a)), ＝ Q(f(a, a), a), ～Q(f(a, a), f(a, a)), …｝ ｝
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语义树
语义树） 是子句集， 是 的原子集 关于S 的原子集． 定义 （语义树） 设S是子句集，A是S的原子集．关于 是子句集 的语义树是一棵向下生长的树T． 的语义树是一棵向下生长的树 ．在树的每一节上都以如下 方式附着A中有限个原子或原子否定的集合 中有限个原子或原子否定的集合： 方式附着 中有限个原子或原子否定的集合： 1）对于树中每一个节点 ，只能向下引出有限的直接的节 ）对于树中每一个节点N， L1，…，Ln． ， 是附着在L 上所有文字的合取， 设Qi是附着在 i上所有文字的合取，i=1, … ,n， ， 则Q1∨…∨Qn是一个恒真的命题公式． ∨ 是一个恒真的命题公式． 2）对树中每一个节点 N，设 I（N）是树 由根向下到节点 ） ， （ ）是树T由根向下到节点 N 并包含 N的一个分枝的所有节上附着文字的并集， 的一个分枝的所有节上附着文字的并集， 的一个分枝的所有节上附着文字的并集 则I（N）不含有任意的互补对． （ ）不含有任意的互补对．
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例
S={P(x), Q(y, f(y, z))} 的一个解释I如下 令S的一个解释 如下 的一个解释 如下: D={1, 2} f(1, 1) f(1, 2) f(2, 1) f(2, 2) 1 T F F 2 T 2 1 F T P(1) P(2) Q(1, 1) Q(1, 2) Q(2, 1) Q(2, 2) 对应1得 解释 解释： 指定 a对应 得H解释： 对应 I1*＝｛P(a), ～Q(a, a), P(f(a, a)), ～Q(a, f(a, a)), ～Q(f(a, a), a), ～ ＝ Q(f(a, a), f(a, a)), …｝ ｝ 对应2得 解释 解释： 指定 a对应 得H解释： 对应 ＝｛～P(a), Q(a, a), P(f(a, a)), ～Q(a, f(a, a)), Q(f(a, a), a), ～ I2*＝｛～ ＝｛～ Q(f(a, a), f(a, a)),12/23/2011 …｝ ｝
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例.
C=～P(x)∨Q(f(x)) ～ ∨
I1={～P(a),～Q(a),～P(f(a)),～Q(f(a)),～P(f(f(a))),～Q(f(f(a))),…} ～ ～ ～ ～ ～ ～
I2={P(a),Q(a),P(f(a)),Q(f(a)),P(f(f(a))),Q(f(f(a))),…} I3={P(a),～Q(a),P(f(a)),～Q(f(a)),P(f(f(a))),～Q(f(f(a))),…} ～ ～ ～
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~A , 当A 被I 指定为F i i
i = 1,2,...
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H解释的例子
例 S={P(x)∨Q(x), R(f(y)) } S的H域={a, f(a), f(f(a)), … } S的原子集： A={P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), … } S的H解释： I1* ={ P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), … } I2* ={ ～P(a), ～Q(a), R(a), P(f(a)), ～Q(f(a)), ～R(f(a)), … }
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二、Herbrand解释与普通解释的关系 解释与普通解释的关系
子句集S的 解释是 的普通解释。 解释是S的普通解释 子句集 的H解释是 的普通解释。 S的普通解释不一定是 的H解释：普通解释不 的普通解释不一定是S的 解释 解释： 的普通解释不一定是 是必须定义在H域上 即使定义在H域上 域上， 域上， 是必须定义在 域上，即使定义在 域上，也 不一定是一个H解释 解释。 不一定是一个 解释。 任取普通解释I，依照I， 任取普通解释 ，依照 ，可以按如下方法构造 S的一个 解释 ，使得若 S在 I下为真则 S在 的一个H解释 的一个 解释I*， 在 下为真则 在 I*下也为真。 下也为真。 下也为真
一、语义树
定义(互补对 是原子， 定义 互补对) 设 A是原子，两个文字 和～A 互补对 是原子 两个文字A和 都是另一个的补，集合｛ ，～ ，～A｝ 都是另一个的补，集合｛A，～ ｝称为一个互 补对． 补对． 定义(Tautology,重言式 含有互补对的子句． 重言式) 定义 重言式 含有互补对的子句．
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H解释 解释
定义（子句集的 解释 解释） 是子句集， 是 的 域 定义（子句集的H解释） 设S是子句集，H是S的H域，I*是S在H上 是子句集 是 在 上 的一个解释．称I*为S的一个 解释，如果I*满足如下条件： 的一个解释． 为 的一个H解释，如果 满足如下条件： 的一个 解释 满足如下条件 1） I*映射 中的所有常量符号到自身。 映射S中的所有常量符号到自身 ） 映射 中的所有常量符号到自身。 2）若f是S中n元函数符号，h1，…，hn是H中元素，则I*指定映射： 元函数符号， 中元素， 指定映射： ） 是 中 元函数符号 ， 中元素 指定映射 (h1，…，hn) →f (h1，…，hn) ， ， 设A={A1，A2，…，An， … } 是S的原子集。于是S的一个 解释I ， 的原子集。于是 的一个H解释 的原子集 的一个 解释 可方便地表示为如下一个集合： 可方便地表示为如下一个集合： I* ＝｛m1，m2，…，mn，…｝ ， ｝ 其中, 其中 A , 当Ai 被I 指定为T mi = i
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对应于I的 解释 解释I* 对应于 的H解释
对应于I的 解释 是如下的一个H解释 解释I*是如下的一个 解释： 对应于 的H解释 是如下的一个 解释： 任取S中 元谓词符号 元谓词符号P(x 任取 中n元谓词符号 1,…,xn)， ， 任取(h 任取 1,…,hn)∈Hn，规定 ∈ TI*(P(h1，…，hn))=TI(P(h1σ，…，hnσ)) ， ，
6.1 子句集的Herbrand域 一、 Herbrand域与 Herbrand解释
定义（Herbrand域） H0是出现于子句集 的常量符 是出现于子句集S的常量符 定义（ 域 号集。 如果S中无常量符号出现 中无常量符号出现， 号集 。 如果 中无常量符号出现 ， 则 H0 由一个常量 符号a组成 组成。 符号 组成。 对于i＝1，2，…，令 对于 ＝ ， ， ， Hi = Hi-1∪｛所有形如 1，…，tn)的项的集合｝ 所有形如f(t 的项的集合｝ ， 的项的集合 其中f(t 是出现在S中的所有 元函数符号， 其中 1，…，tn)是出现在 中的所有 元函数符号， ， 是出现在 中的所有n元函数符号 tj∈ Hi-1，j＝1，…，n． ＝ ， ， ． 级常量集， 称为S的 称Hi为S的i级常量集，H∞ 称为 的Herbrand域， 的 级常量集 域 简称S的H域。 简称 的 域 12/23/2011
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定义（部分解释）对于子句集 的语义树中的 定义（部分解释）对于子句集S的语义树中的 每一个节点N， 的某个解释的子集， 每一个节点 ，I(N)是S的某个解释的子集，称 是 的某个解释的子集 I(N)为S的部分解释。 的部分解释。 为 的部分解释
显然， 满足C， 弄假C。 显然，I1，I2满足 ，I3弄假 。
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6.2 Herbrand定理 定理
Herbrand定理是符号逻辑中一个很重要的定 理．Herbrand定理就是使用语义树的方法， 把需要考虑无穷个H解释的问题，变成只考虑 有限个解释的问题．
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如果某区域D上的解释 满足子句集S， 上的解释I满足子句集 引理 如果某区域 上的解释 满足子句集 ， 则对应于I的任意一个 解释 也满足S。 则对应于 的任意一个H解释 也满足 。 的任意一个 解释I*也满足 只考虑子句集的H解释是否够用？ 只考虑子句集的 解释是否够用？ 解释是否够用 子句集S恒假当且仅当 被其所有H解释弄假 恒假当且仅当S被其所有 解释弄假。 定理 子句集 恒假当且仅当 被其所有 解释弄假。 证明: 必要性显然。 证明 必要性显然。 充分性。假设S被其所有 解释弄假， 被其所有H解释弄假 又是可满足的。 充分性。假设 被其所有 解释弄假，而S又是可满足的。 又是可满足的 设解释I满足 满足S，于是由引理知，对应于I的 解释 解释I*也满足 设解释 满足 ，于是由引理知，对应于 的H解释 也满足 S，矛盾．故S是不可满足的． 是不可满足的． ，矛盾． 是不可满足的
从现在起，如不特别指出，提到的解释都是指 解释 解释． 从现在起，如不特别指出，提到的解释都是指H解释．
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结论
l）子句 C的基例 C’被解释 I满足，当且仅当 ） 满足， 的基例 被解释 满足 C’中的一个基文字 出现在 I中． 中的一个基文字L’出现在 中 中的一个基文字 2）子句 被解释 满足，当且仅当 被解释I满足 ）子句C被解释 满足， C的每一个基例都被 满足． 的每一个基例都被I满足 的每一个基例都被 满足． 3）子句 C被解释 I弄假，当且仅当 弄假， ） 被解释 弄假 至少有一个C的基例 的基例C’被 弄假 弄假。 至少有一个 的基例 被I弄假。 4）子句集 不可满足，当且仅当 不可满足， ）子句集S不可满足 对每个解释I，至少有一个S中某个子句 的基例C’被 中某个子句C的基例 对每个解释 ，至少有一个 中某个子句 的基例 被I 弄假。 弄假。
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原子集 基例
基：把对象中的变量用常量代替后得到的无变量符号出现的对象。 把对象中的变量用常量代替后得到的无变量符号出现的对象。
基项、基项集、基原子、基原子集合、基文字、基子句、 基项、基项集、基原子、基原子集合、基文字、基子句、 基子句集
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定义 (原子集、Herbrand底) 设S是子句集，形 原子集、 是子句集， 原子集 底 是子句集 的基原子集合， 如P(t1,…,tn)的基原ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ集合，称为 的Herbrand底 的基原子集合 称为S的 底 的原子集． 或S的原子集． 的原子集 其中P(x 是出现于S的所有 元谓词符号， 其中 1，…，xn)是出现于 的所有 元谓词符号， ， 是出现于 的所有n元谓词符号 t1，…，tn是S的H域中的元素． ， 的 域中的元素． 域中的元素 定义（基例） 是子句集， 是 中的一个子 定义（基例） 设S是子句集，C是S中的一个子 是子句集 域中元素代替C中所有变量所得到的 句．用S的H域中元素代替 中所有变量所得到的 的 域中元素代替 基子句称为子句C的基例 的基例。 基子句称为子句 的基例。
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对应于I的 解释 解释I* 对应于 的H解释
定义（对应于 的 解释 解释I*） 定义（对应于I的H解释 ） 设I是子句集S在区域D上的解释。 H是S的H域。 σ 是如下递归定义的H到D的映射： 1） ①若S中有常量符号,H0是出现在S中所有常量符号的集合。 对任意a∈H0，规定σ (a)=I(a)． ②若S中无常量符号,H0={a}。 规定σ (a)=d,d∈D。 2）对任意(h1,…,hn)∈Hin,及S中任意n元函数符号f(x1,…,xn) , 规定σ(f(h1，…，hn)) =I(f(h1σ，…，hnσ)) 。
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例.
S＝｛P(x), Q(y,f(y,a))｝ ＝ ｝ 的一个解释I如下 令S的一个解释 如下： 的一个解释 如下： D＝{1，2} a f(1, 1) f(1, 2) f(2, 1) f(2, 2) ＝ ， 2 1 2 2 1 P(1) P(2) Q(1, 1) Q(1, 2) Q(2, 1) Q(2, 2) T F F T F T 对应于I的 解释 解释I*： 对应于 的H解释 ： I*＝｛～P(a), Q(a, a), P(f(a, a)), ～Q(a, f(a, a)), ＝ Q(f(a, a), a), ～Q(f(a, a), f(a, a)), …｝ ｝
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语义树
语义树） 是子句集， 是 的原子集 关于S 的原子集． 定义 （语义树） 设S是子句集，A是S的原子集．关于 是子句集 的语义树是一棵向下生长的树T． 的语义树是一棵向下生长的树 ．在树的每一节上都以如下 方式附着A中有限个原子或原子否定的集合 中有限个原子或原子否定的集合： 方式附着 中有限个原子或原子否定的集合： 1）对于树中每一个节点 ，只能向下引出有限的直接的节 ）对于树中每一个节点N， L1，…，Ln． ， 是附着在L 上所有文字的合取， 设Qi是附着在 i上所有文字的合取，i=1, … ,n， ， 则Q1∨…∨Qn是一个恒真的命题公式． ∨ 是一个恒真的命题公式． 2）对树中每一个节点 N，设 I（N）是树 由根向下到节点 ） ， （ ）是树T由根向下到节点 N 并包含 N的一个分枝的所有节上附着文字的并集， 的一个分枝的所有节上附着文字的并集， 的一个分枝的所有节上附着文字的并集 则I（N）不含有任意的互补对． （ ）不含有任意的互补对．
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S={P(x), Q(y, f(y, z))} 的一个解释I如下 令S的一个解释 如下 的一个解释 如下: D={1, 2} f(1, 1) f(1, 2) f(2, 1) f(2, 2) 1 T F F 2 T 2 1 F T P(1) P(2) Q(1, 1) Q(1, 2) Q(2, 1) Q(2, 2) 对应1得 解释 解释： 指定 a对应 得H解释： 对应 I1*＝｛P(a), ～Q(a, a), P(f(a, a)), ～Q(a, f(a, a)), ～Q(f(a, a), a), ～ ＝ Q(f(a, a), f(a, a)), …｝ ｝ 对应2得 解释 解释： 指定 a对应 得H解释： 对应 ＝｛～P(a), Q(a, a), P(f(a, a)), ～Q(a, f(a, a)), Q(f(a, a), a), ～ I2*＝｛～ ＝｛～ Q(f(a, a), f(a, a)),12/23/2011 …｝ ｝
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例.
C=～P(x)∨Q(f(x)) ～ ∨
I1={～P(a),～Q(a),～P(f(a)),～Q(f(a)),～P(f(f(a))),～Q(f(f(a))),…} ～ ～ ～ ～ ～ ～
I2={P(a),Q(a),P(f(a)),Q(f(a)),P(f(f(a))),Q(f(f(a))),…} I3={P(a),～Q(a),P(f(a)),～Q(f(a)),P(f(f(a))),～Q(f(f(a))),…} ～ ～ ～
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~A , 当A 被I 指定为F i i
i = 1,2,...
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H解释的例子
例 S={P(x)∨Q(x), R(f(y)) } S的H域={a, f(a), f(f(a)), … } S的原子集： A={P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), … } S的H解释： I1* ={ P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), … } I2* ={ ～P(a), ～Q(a), R(a), P(f(a)), ～Q(f(a)), ～R(f(a)), … }
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二、Herbrand解释与普通解释的关系 解释与普通解释的关系
子句集S的 解释是 的普通解释。 解释是S的普通解释 子句集 的H解释是 的普通解释。 S的普通解释不一定是 的H解释：普通解释不 的普通解释不一定是S的 解释 解释： 的普通解释不一定是 是必须定义在H域上 即使定义在H域上 域上， 域上， 是必须定义在 域上，即使定义在 域上，也 不一定是一个H解释 解释。 不一定是一个 解释。 任取普通解释I，依照I， 任取普通解释 ，依照 ，可以按如下方法构造 S的一个 解释 ，使得若 S在 I下为真则 S在 的一个H解释 的一个 解释I*， 在 下为真则 在 I*下也为真。 下也为真。 下也为真
一、语义树
定义(互补对 是原子， 定义 互补对) 设 A是原子，两个文字 和～A 互补对 是原子 两个文字A和 都是另一个的补，集合｛ ，～ ，～A｝ 都是另一个的补，集合｛A，～ ｝称为一个互 补对． 补对． 定义(Tautology,重言式 含有互补对的子句． 重言式) 定义 重言式 含有互补对的子句．
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H解释 解释
定义（子句集的 解释 解释） 是子句集， 是 的 域 定义（子句集的H解释） 设S是子句集，H是S的H域，I*是S在H上 是子句集 是 在 上 的一个解释．称I*为S的一个 解释，如果I*满足如下条件： 的一个解释． 为 的一个H解释，如果 满足如下条件： 的一个 解释 满足如下条件 1） I*映射 中的所有常量符号到自身。 映射S中的所有常量符号到自身 ） 映射 中的所有常量符号到自身。 2）若f是S中n元函数符号，h1，…，hn是H中元素，则I*指定映射： 元函数符号， 中元素， 指定映射： ） 是 中 元函数符号 ， 中元素 指定映射 (h1，…，hn) →f (h1，…，hn) ， ， 设A={A1，A2，…，An， … } 是S的原子集。于是S的一个 解释I ， 的原子集。于是 的一个H解释 的原子集 的一个 解释 可方便地表示为如下一个集合： 可方便地表示为如下一个集合： I* ＝｛m1，m2，…，mn，…｝ ， ｝ 其中, 其中 A , 当Ai 被I 指定为T mi = i
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对应于I的 解释 解释I* 对应于 的H解释
对应于I的 解释 是如下的一个H解释 解释I*是如下的一个 解释： 对应于 的H解释 是如下的一个 解释： 任取S中 元谓词符号 元谓词符号P(x 任取 中n元谓词符号 1,…,xn)， ， 任取(h 任取 1,…,hn)∈Hn，规定 ∈ TI*(P(h1，…，hn))=TI(P(h1σ，…，hnσ)) ， ，