常微分方程33线性常系数齐次方程
第七节 常系数齐次线性微分方程
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 j , r4 r5 j , 故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
r1 j ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
得齐次方程的通解为
y1 e
( j ) x
,
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 j ,
令 z ln y
则 z z 0,
特征根 1
x x x x z C e C e y C e C e . 通解 1 2 1 2
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
高数第十二章 常系数齐次线性微分方程
即 r (r 2r 5) 0
2 2
得特征根 r1 r2 0, r3 1 2i , r4 1 2i
故所给方程的通解为
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x).
21
d4w 例6 求方程 4 4 w 0的通解, 其中 0. dx
9
y1 , y2 仍是微分方程的解. 且
y1 e x cos x x cot x y2 e sin x
不是常数. 于是微分方程的通解为
y e (C1 cos x C2 sin x)
x
C1 , C2是任意常数.
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通 解的方法称为特征根法.
定理 y e 是微分方程(2)的解 r是代数
rx
方程 r p1 r
n
n
n 1
pn1 r pn 0的根.
pn1 r pn 0为微分
称方程 r p1 r
n 1
方程(2)的特征方程.其根为(2)的特征根.
n阶常系数齐次线性微分方程的解的情况见 下表 :
解 特征方程为
r4 4 0
因 r 4 4 r 4 2r 2 2 4 2r 2 2
(r 2 2 )2 2r 2 2
(r 2 2r 2 )(r 2 2r 2 )
所以特征方程可写成 ( r 2 2r 2 )( r 2 2r 2 ) 0
p2 4q 特征根 r1,2 2 2 (1) p 4q 0; 分三种情形 : 2 (2) p 4q 0;
(3) p 2 4q 0.
常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法
█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)
微分方程中的常系数齐次线性方程求解
微分方程中的常系数齐次线性方程求解在微积分学中，常系数齐次线性方程是一类常见的微分方程。
它们的解可以通过一定的方法得到。
在本文中，我们将介绍如何求解常系数齐次线性方程。
一、什么是常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程是指形如y″+ay′+by=0的微分方程，其中a和b为常数。
它们的特点是方程中的未知函数及其导数的系数都是常数。
二、求解常系数齐次线性方程的方法1. 特征方程法特征方程法是求解常系数齐次线性方程的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）写出微分方程的特征方程，特征方程就是对应的代数方程。
对于y″+ay′+by=0，其特征方程为r²+ar+b=0。
（2）解特征方程，求得特征根。
设特征根为r₁和r₂，则特征方程的解为r₁和r₂。
根的个数和重根的情况会影响方程的解形式。
（3）根据特征根求解原方程的解。
当r₁和r₂为不同的实根时，原方程的通解可以表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂为常数。
当r₁和r₂为不同的复数根时，通解可以表示为y=e^(αx)(C₁cos(βx)+C₂sin(βx))，其中α为实部，β为虚部。
2. 代入法代入法也是一种常用的求解常系数齐次线性方程的方法。
具体步骤如下：（1）设定未知函数的形式。
根据方程的阶数，设定未知函数的形式，如y=e^(mx)。
（2）将未知函数及其导数带入微分方程，消去常数，得到相应的代数方程。
（3）解代数方程，得到未知函数的表达式。
根据代数方程的解，确定未知函数的形式。
（4）确定未知函数的常数。
根据给定的初始条件，确定未知函数中的常数值。
3. 傅里叶级数法对于特定的边界条件，常系数齐次线性方程还可以通过傅里叶级数法进行求解。
该方法主要适用于周期性边界条件的问题。
三、实例分析为了更好地理解求解常系数齐次线性方程的方法，我们来看一个具体的实例。
例题：求解方程y″+3y′+2y=0.解法：首先写出特征方程r²+3r+2=0，解得特征根r₁=-1，r₂=-2.特征根不相等，所以方程的通解为y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)。
常系数齐次线性微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ′′+py ′+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r −±+−= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,函数、是方程的解, 又x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e ee y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为.x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=方程的两个线性无关的解.这是因为, 是方程的解, 又x r e y 11=x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+′+′′ ,0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以也是方程的解, 且xr xe y 12=x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为.x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α−i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α−i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α−i β)x =e αx (cos βx −i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1−y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x −=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为r 2−2r −3=0, 即(r +1)(r −3)=0.其根r 1=−1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e −x +C 2e 3x .例2 求方程y ′′+2y ′+y =0满足初始条件y |x =0=4、y ′| x =0=−2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=−1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e−x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e−x.将上式对x求导,得y′=(C2−4−C2x)e−x.再把条件y′|x=0=−2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e−x.例 3 求微分方程y′′−2y′+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2−2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1−2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) +⋅⋅⋅+p n−1y′+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n−1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′,⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k −1)sin βx ].例4 求方程y (4)−2y ′′′+5y ′′=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4−2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2−2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±−=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++−.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−2y ′−3y =0,它的特征方程为r 2−2r −3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得−3b 0x −2b 0−3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得, −3b ⎩⎨⎧=−−=−13233100b b b 0=3, −2b 0−3b 1=1.由此求得b 0=−1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+−=x y .例2 求微分方程y ′′−5y ′+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−5y ′+6y =0,它的特征方程为r 2−5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得−2b 0x +2b 0−b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得, −2b ⎩⎨⎧=−=−0212100b b b 0=1, 2b 0−b 1=0. 由此求得210−=b , b 1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*−−=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+−+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *′′−5y *′+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′−5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x −5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)−5(2b 0x +b 1)]e 2x =[−2b 0x +2b 0−b 1]e 2x .方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ−−−++= x i n lx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()(21)]()([21ωλωλ−+++−= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ−++=, 其中)(21)(i P P x P n l −=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ′′+py ′+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y −=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y −=+′+′′的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ−++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ−++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′+py ′+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ−i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ′′+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ′′+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(−3ax −3b +4c )cos2x −(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31−=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+−=. 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *′=a cos2x −2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(−2ax −2b +c )sin2x ,y *′′=2c cos2x −2(2cx +a +2d )sin2x −2a sin2x +2(−2ax −2b +c )cos2x =(−4ax −4b +4c )cos2x +(−4cx −4a −4d )sin2x .y *′′+ y *=(−3ax −3b +4c )cos2x +(−3cx −4a −3d )sin2x .由, 得⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−=+−=−0340304313d a c c b a 31−=a , b =0, c =0, 94=d .。
常微分方程的常系数线性方程
常微分方程的常系数线性方程常微分方程是求解自然现象中变量随时间变化的数学工具。
它是描述自然现象中许多重要现象如振荡、决策、生长和衰变等的基础。
常微分方程又可分为一阶方程和高阶方程。
一般的高阶方程可以通过将其转化为同阶但有更多变量的方程来解决。
而本文所涉及的是常微分方程中的常系数线性方程，它是一类重要的高阶方程，大量实际问题都可以用常系数线性方程来描述和解决。
一、基本概念和定义常系数线性方程是指高阶形式为$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = f(x)$的方程，其中$n \in N, a_i \in R (i=0,1,...,n-1)$是常数，$f(x)$是已知函数，$y=y(x)$是要解的未知函数。
该方程中的常数称为常系数，线性指$f(x)$为一次函数，即不含有未知函数$y$的高次项。
二、解法为了求解常系数线性方程，我们首先要解其特征方程，即解形如$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = 0$的齐次方程。
特征方程的根称为特征根，常系数线性方程的解法要分三种情况：实根不同、重根和虚根。
(1)实根不同的情况当特征方程有$n$个不同实根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为$y_1,y_2,...,y_n$，那么方程的通解为$y=c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n$，其中$c_1,c_2,...,c_n$是任意常数。
(2)重根的情况当特征方程有一个重根$\lambda$时，设对应的齐次方程的两个线性无关解分别为$y_1=e^{\lambda x}$和$y_2=xe^{\lambda x}$，那么方程的通解为$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$，其中$c_1，c_2$是任意常数。
(3)虚根的情况当特征方程有$n$个对应的虚根$\alpha_1 \pm \beta_i i(1\leq i\leq m)$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为：$y_1=e^{\alpha_1x}cos\beta_1x,...,y_{2m-1}=e^{\alpha_1x}cos\beta_mx$$y_2=e^{\alpha_1x}sin\beta_1x,...,y_{2m}=e^{\alpha_1x}sin\beta _mx$那么方程的通解为$y=(c_1cos\beta_1x+c_2sin\beta_1x)e^{\alpha_1x}+...+(c_{2m-1}cos\beta_mx+c_{2m}sin\beta_mx)e^{\alpha_1x}$，其中$c_1,c_2,...,c_{2m}$是任意常数。
常系数齐次线性微分方程组
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dx dt
1
2
5 1 x
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故有特征根 1 3i, 2 3i 且是共轭的. 1 3i 对应的特征向量 r (r1, r2 )T 满足方程
2
x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 r2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
常系数线性方程组
(1 3i)r1 5r2 0
取 r1 5 得 r2 1 3i,则 r (5,1 3i)T是 1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
x(t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
x(t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程解读
1 , 2 ,L, n
均为实根
方程 ( ) 的通解可表示为
x c1e 1t c2 e 2t cn e nt
②若特征方程有复根 因方程的系数是实常数。复根将成对共轭出现 设
1 a ib 是方程的一个特征根
2 a ib 也是一个特征根 则方程 ( ) 有两个复值解
e e
(a i b ) t (a i b ) t
e (cos bt i sin bt )
ea t (cos bt i sin bt )
at
对应两个实值解
e cos bt , e sin bt
at
at
例1 解
求方程 x 2 x 3x 0
第一步：求特征根
的通解。
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解 定义 如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
dnx d n 1 x a1 (t ) n 1 n dt dt dx an 1 (t ) an (t ) x f (t ) dt ()
三、变系数齐次线性方程
欧拉(Euler) 方程
n n 1 d x d x dx n n 1 t a1t an1t an x f (t ) n n 1 dt dt dt
其中 a1 , a2 ,..., an 为常数。
引入自变量代换
t eu , u ln t
类似方法进行下去，可得
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程
x
(n)
a1 x
( n 1)
an1 x an x 0
1、复值函数 定义
z (t ) (t ) i (t ) t [a, b]，
(t )， (t )是定义在 [ a , b ] 上的实函数。
极限
lim z (t ) lim (t ) i lim (t ) t0 [a, b]，
z (t ) z (t0 ) dz d lim z (t0 ) t t0 t t0 dt t t0 dt
t t0
d i dt
t t0
易验证
d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) dt dt dt d dz1 (t ) [cz1 (t )] c dt dt d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
()
F ( ) n a1n1 an1 an 0
① 特征根为实根 I. 设 1 0 是 k 重特征根 方程 ( ) 有 k 个线性无关的解 II. 设
1, t , t 2 ,
, t k 1
1 0 是 k 重特征根
e1t , te1t , t 2e1t , , t k 1e1t
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解 定义 如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
线性齐次微分方程与常系数齐次微分方程
线性齐次微分方程与常系数齐次微分方程线性齐次微分方程是微分方程中的常见类型之一，特点是方程中只包含未知函数及其导数，且各项的系数是常数。
常系数齐次微分方程是线性齐次微分方程的一种特殊形式，其中各项的系数都是常数。
一、线性齐次微分方程的定义与性质在数学中，线性齐次微分方程的一般形式可表示为：$$\frac{{d^n y}}{{dx^n}} + a_{n-1}\frac{{d^{n-1} y}}{{dx^{n-1}}} + \cdots + a_1\frac{{dy}}{{dx}} + a_0y = 0$$其中，$a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}$为常数，$y$为未知函数，$n$为正整数。
线性齐次微分方程的性质如下：1. 线性齐次微分方程是n阶微分方程，其解包括n个独立的任意常数；2. 如果$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$是齐次方程的解，那么对应的线性组合$c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + \cdots + c_ny_n(x)$也是方程的解；3. 如果$y_1(x)$和$y_2(x)$分别是齐次方程的解，那么它们的线性组合$c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$也是齐次方程的解；4. 对于齐次方程的任意解$y(x)$，可以通过乘以任意非零常数$k$得到另一个解$k\cdot y(x)$。
二、常系数齐次微分方程的解法常系数齐次微分方程是线性齐次微分方程的特殊形式，其特点是方程中各项的系数均为常数。
对于一阶常系数齐次微分方程，其一般形式为：$$\frac{{dy}}{{dx}} + ay = 0$$其中，$a$为常数。
常系数齐次微分方程的解法如下：1. 将方程改写为$\frac{{dy}}{{dx}} = -ay$；2. 将方程分离变量，得$\frac{{dy}}{{y}} = -a\,dx$；3. 对两边同时求不定积分，得到$\ln|y| = -ax + C$；4. 解出原方程的解为$y(x) = Ce^{-ax}$，其中$C$为任意常数。
常微分方程的基本概念与常系数线性齐次方程
常微分方程的基本概念与常系数线性齐次方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述函数未知量及其导数之间关系的方程。
在数学和科学领域中，常微分方程是一种重要的数学工具，用于建立数学模型和解决实际问题。
本文将介绍常微分方程的基本概念，并着重讨论常系数线性齐次方程。
一、常微分方程的基本概念1.1 未知函数的定义在常微分方程中，未知函数是一个关于自变量的函数，我们通常用y表示。
常微分方程的解就是使得方程成立的函数。
1.2 阶数和次数常微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。
次数是指方程中导数的最高幂次数。
1.3 解的定义对于给定的微分方程，如果存在一个函数满足方程的条件，那么这个函数就是方程的解。
1.4 初始条件为了确定微分方程的解，需要给出一些初始条件。
初始条件是指在某一点上给出的函数值及其导数值。
二、常系数线性齐次方程常系数线性齐次方程是一种形式为函数及其导数的线性组合，并且系数都是常数的微分方程。
2.1 常系数在常系数线性齐次方程中，系数都是常数，不随自变量的变化而变化。
2.2 齐次性一个微分方程是齐次的，意味着方程中只存在未知函数及其导数，没有非齐次项。
2.3 线性性一个微分方程是线性的，意味着未知函数及其导数只以一次幂出现，并且可以通过线性叠加来求解。
2.4 解的求解对于常系数线性齐次方程，可以通过特征根的方法来求解。
特征根是方程对应的齐次方程的根。
2.5 解的形式一般来说，常系数线性齐次方程的解可以表示为指数函数的线性组合。
特殊情况下，解还可以表示为三角函数的线性组合。
三、小节三在这一部分，我们将介绍常微分方程的应用领域和意义。
常微分方程广泛用于物理学、工程学、经济学等领域，用于建立数学模型和求解实际问题。
通过求解常微分方程，我们可以得到函数的解析解，更好地理解和预测自然界和社会现象的行为规律。
总结：本文介绍了常微分方程的基本概念和常系数线性齐次方程。
常微分方程33线性常系数齐次方程
2! 4!
3! 5!
cos t i sin t ei t cos t i sin t
cos t 1 (ei t ei t )
2
sin t 1 (ei t ei t )
2i
4
2) 复指函数的性质
记 i 表示 i 的共轭. 性质1: et et
设特征方程有k 重根 1 ,则有 F (1) F ' (1) F (k1) (1) 0, F k (1) 0
（1） 若 1 0 则特征方程有因子k，因此，
an an1 ank1 0
则特征方程有形式：n a1n1 ankk 0
则方程相应地有两个复值解：
e(i )t et (cos t i sin t) e(i )t et (cos t i sin t)
由定理3.12知它们的实部和虚部也是方程的解，
故方程的两个实值解为：et cos t, et sin t
14
2 特征根有重根
因此有解 et , e2t ,te2t . 方程通解为：
x(t) c1et c2e2t c3te2t . 其中 c1, c2, c3 为任意常数.
19
例2：求 d 4 x x 0 的通解. dt 4
解：特征方程 4 1 0 故特征根为1 1, 2 1, 3 i, 4 i
nent
nn1ent
1
11
e(1 2 n )t 1
1n 1
2
n2 1
n
nn1
(
1 jin
i
j
常系数齐次线形微分方程
• 引言 • 方程形式与分类 • 求解方法 • 应用场景 • 扩展与深化
01
引言
定义与特点
定义
常系数齐次线形微分方程是微分方程 中的一类，其特点是方程中的系数是 常数，且等号右边为0。
特点
这类方程具有线形性质，即未知函数 的最高阶导数项与其它项之间是线形 关系。
历史背景与发展
常系数齐次线性微分方程在物理 学中有广泛应用，如振动、波动、 热传导等。
THANKS
感谢观看
要点二
详细描述
二阶常系数齐次线形微分方程的一般形式为 y'' = -p*y' q*y，其中 p 和 q 是常数。解这类方程通常需要利用三角函 数或双曲函数的性质，通过适当的变量代换将其转化为可解 的形式。
高阶方程
总结词
高阶常系数齐次线形微分方程的解法较 为复杂，需要使用递推关系和数学归纳 法。
VS
+ p(x)y = q(x)。
解法
通过变量代换或积分因子法 ，将非齐次方程转化为齐次 方程，再利用已知的齐次方 程通解，求得非齐次方程的
特解。
应用
非齐次方程在物理、工程等 领域有广泛应用，如振动问 题、热传导问题等。
矩阵形式
定义
将线性微分方程组表示为矩阵形式，可以更方便 地处理多个未知函数的微分方程组。
详细描述
首先将方程中的未知函数与其导数分离，使 方程左侧为代数式，右侧为微分式。然后对 方程进行积分，得到一个关于未知函数的积 分式。最后通过求解代数方程，得到未知函 数的通解。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将原微分方程转化为更容易求解的微分方程。
详细描述
第四讲 常系数线性齐次微分方程
考虑方程
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y 0
(4.19)
其中a1, a2 , , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
dy ax 0 dx
有解 y ceax ,
受此启发,对(4.19)尝试求指数函数形式的解
y ex , (4.20)
dy 1 dy , dx x dt
把上式入原方程得
d 2 y 1 d 2 y dy
dx2
x2 ( dt2
), dt
d 2 y dy
dt 2
2 dt
y0
上述方程的通解为: y(t) (c1 c2t)et ;
故原方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
2
en x
n en x
L
e n1 nx n
1 1 1
e (1 2 L n ) x 1
2 n
n1 1
n1
2
n1 n
e(12 L n ) x
(i j ) 0
1 jin
故解组(4.22)线性无关.
若i (i 1,2, , n)均为实数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 ,从而(4.19)的通解为
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2, , k ,
常系数线性齐次微分方程的解法
常系数线性齐次微分方程的解法齐次线性微分方程是一类重要的常微分方程，广泛应用于物理学、数学和工程学中。
它的定义如下：设$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=F$是连续的关于$x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)}$的n阶齐次线性微分方程，其形式为$$a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=F(x,y,y',\cdots,y^{(n)}).$$其中$a_{0}(x),a_{1}(x),\cdots,a_{n}(x)$都是任意连续函数。
当$a_{n}(x)\neq 0$时，$y^{(n)}$以下各项可以通过一定的函数关系表示，可以把n阶线性微分方程简化为一阶的线性微分方程，从而实现其几何解的求解。
那么，如何才能求解n阶常系数线性齐次微分方程的解呢？常数系数线性齐次微分方程的解法对应有两种，即特征值分解法和非特征值分解法。
首先，我们来介绍一下特征值分解法。
给定n阶常系数线性齐次微分方程，先配合朗普斯特矩阵$\lambda I-A$，$A$为常系数矩阵，$I$为单位矩阵。
求特征值和特征向量，然后可以由下式求出解class解：$$y(x)=e^{\lambdax}\left(C_{1}\vec{v_{1}}+C_{2}\vec{v_{2}}+\cdots+C_{n}\vec{v_{n}}\right)$$其中$\vec{v_{i}}$是特征值$\lambda_{i}$对应的特征向量，$C_{i}$为任意常数。
其次，我们介绍一下非特征值分解法。
首先，先把常系数线性微分方程化为一阶线性微分方程，然后再用比较成熟的求解方法，比如Euler方法、Runge-Kutta方法。
根据已知条件，对积分引力的结果进行求解，求得特定的通解问题，即$y(x)$。
常系数齐次微分方程求解
x + C4 sin
β
2
x)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例7. 解方程 y(4) + 2y′′ + y = 0 . 解: 特征方程: r 4 + 2 r 2 +1 = 0
即 ( r 2 +1 )2 = 0
特征根为 则方程通解 :
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
作业： 习题7-7 作业：P- 340习题 习题
dx + 2n + k2 x = 0 dt dt2 x t =0 = x0, dx t =0 = v0 dt
d2 x
o x x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2 x 方程: + k2 x = 0 dt2 特征方程: r 2 + k 2 = 0, 特征根: r , 2 = ±i k 1
例2. 求解初值问题
d2s ds +2 +s =0 2 dt dt ds = −2 s t =0 = 4 , dt t = 0
−t
解: 特征方程 r 2 + 2 r +1 = 0 有重根 r = r2 = −1, 1 因此原方程的通解为 s = (C1 + C2 t ) e 利用初始条件得
C1 = 4, C2 = 2
高等数学
主讲人： 苏本堂
解的特征: 解的特征 简谐振动 A: 振幅,
ϕ : 初相,
周期:
固有频率 (仅由系统特性确定)
dx dx (下图中假设 x t =0 = x0 > 0, dt
t =0
常微分方程的常系数线性齐次方程
常微分方程的常系数线性齐次方程一、前言在科学研究，物理、化学、工程等学科中，经常需要研究动态系统及其特性，而常微分方程是研究动态系统的重要工具，常微分方程常常是一些简单的描述自然规律的数学模型。
而常微分方程中最常见的方程就是线性齐次方程，本文将重点探讨常系数线性齐次方程。
二、线性齐次方程线性齐次方程是指一个方程形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$，其中$p(x)$和$q(x)$是$x$的函数，$y$是$x$的函数。
这个方程的特点是它的二阶导数、一阶导数和本函数都是线性的，并且本函数的系数为$0$，因此它是齐次的。
这个方程的一般形式可以写为下面的形式：$y''+ay'+by=0$其中$a,b$都是常数。
三、常系数线性齐次方程常系数线性齐次方程是指常数$a,b$都是常数的线性齐次方程，即：$y''+ay'+by=0$对于这个方程，可以得到它的特征方程：$r^2+ar+b=0$特征方程的根决定了方程的通解的形状。
根据根的不同情况，可以分为三种情况：1. 两个实根当特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解可以写为：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$其中$C_1,C_2$是任意常数。
2. 一个实根当特征方程只有一个实根$r$时，通解可以写为：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$其中$C_1,C_2$是任意常数。
3. 两个复根当特征方程有两个复根时，通解可以写为：$y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$其中$a$是实数，$b$是非零实数，$C_1,C_2$是任意常数。
四、应用常系数线性齐次方程可以应用于多个领域，如化学动力学、机械振动、电路分析等领域。
在机械振动领域，常系数线性齐次方程可以描述弹簧振子、摆钟等系统的运动，分析它们的振幅、周期等特性。
在电路分析领域，常系数线性齐次方程可以描述电路中电感、电容的影响，预测电路的响应等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13
dnx dn 1x
dx
dtna1dtn 1Lan 1dtanx0
（2） i(i1,2,.n)中有复数，
e1t,e2t,L,ent
若则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现.
设 1 是i特征根，则 2 i 也是特征根，
则方程相应地有两个复值解：
e( i)tet(co t isitn ) e( i)tet(co t isitn )
其中 ai(t)i(1,2,n)及 f ( t ) 是区间 at b上的实函数. 若有区间（a,b）上复值函数:
xz(t) (t) i(t)
满足上述方程，则称 xz(t) 为上述方程的复值解.
6
定理3.12 如果方程 d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 … … a n 1 (t)d d x t a n (t)x 0(3.3.4) 中所有系数 ai(t)i(1,2,n)都是实值函数.
称 z(t)(t)i(t)为该区间上(a,b) 的复值函数 .
1 连续 如果实函数 (t) 和 (t) 在区间(a,b)上 连续,
就称 z (t ) 在区间上(a,b)上连续.
2 可微 如果实函数 (t) 和 (t) 在区间(a,b)上 可微,
就称 z (t ) 在区间上(a,b)上可微.
且复值函数 z (t ) 的导数定义如下:
dzdi d
dt dt dt
2
若 z1(t) 和 z2 (t) 可微, c为复值常数，
那么有如下性质:
性质1: d(z1(t)z2(t))d1(z t)d2(zt)
dt
dt dt
性质2:
d[cz1(t)]cd1z(t)
dt
dt
性质3: d [z1 (td )z2(tt) ]dd 1 (tz )tz2(t)z1 (t)dd 2(tz)t
3
3 欧拉公式
1) 复指函数与欧拉公式
e t e ( i ) t e te i t
其中 e(it) 1it(it)2(it)3
2! 3!
[1(t)2 (t)4 ] i[t(t)3(t)5]
2! 4!
3! 5!
co t sisitn e itco t sisin t
cost1(eiteit)
L[z(t)] 0
即 z ( t ) 也是方程（3.3.4）的解.
8
二 常系数齐次线性方程
d dtnn xa1d dtn n1 x 1Lan 1d dx tanx0（3.3.5）
（其中a1,a2,L a为n 常数）为n阶常系数齐次线性方程.
为求得该方程的通解，我们先利用待
定指数函数法求其基本解组. 一阶常系数齐次线性微分方程
2
sint1(eiteit)
2i
4
2) 复指函数的性质
记 i 表示 i的共轭.
性质1: et et
性质2: e(12)t e1te2t
性质3:
d (et ) et
dt
5
4 复值解 考虑方程
d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 … … a n 1 (t)d d x t a n (t)x f(t)
e t 成为方程（3.3.5）解的充要条件为：
F () n a 1 n 1 a 2 n 2 a n 1 a n 0 （3.3.7）
方程（3.3.7）称为方程（3.3.5）的特征方程，它
的根称为方程（3.3.5）的特征根.
10
dnx dn 1x
dx
dtna1dtn 1Lan 1dtanx0
证明：由已知条件及 L[ x] 的性质可得
L [( t ) i( t ) L ] [( t ) i ] [ L ( t ) 0 ]
由此得 L [(t) ]L [(t) ]0
所以 (t)， (t)都是方程（3.3.4）的解
又
L[z(t)]L[(t) ]iL [(t)]
因为 L [(t) ]L [(t) ]0可得
而 z(t)(t)i(t)是该方程的复值解,
则z (t ) 的实部 (t) 和虚部 (t) 以及 z (t ) 的
共轭 z ( t ) 也都是该方程的解.
7
d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 … … a n 1 (t)d d x t a n (t)x 0(3.3.4)
3.3线性齐次常系数方程
在上一节中我们讨论了线性方程通解的 结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出， 对一般的线性方程没有普遍的解法，
但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程， 可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数 齐次方程通解的解法。
1
一 复值函数
如果 (t) 和 (t) 是区间(a,b)上定义的 实函数，
12
dnx dn 1x
dx
dtna1dtn 1Lan 1dtanx0
e1t,e2t,L,ent
（3.3.5） （3.3.8）
（1） i(i1,2,.n)均为实数，
则（若3.3.8）是方程（3.3.5）的n个线性无关的实值解，
则方程（3.3.5）的通解为
x (t) c 1 e 1 t c 2 e 2 t c n e n t 其中 c1,c2, ,cn 为任意常数.
而组成方程（3.3.5）的基本组解.
11
e1t,e2t,L,ent
（3.3.8）
e1t
e2t
ent
W [e1t,e2t,,ent] 1e1t
2e2t nent
1n1e1t n21e2t nn1ent
1 1
e(12n)t 1
2
1n1 n21
1
n
n n1
1 jin(i j)0所以解组（3.3.8）线性无关.
有通解 xcet
dx x
dt
dnx dn 1x
dx
dtna1dtn 1Lan 1dtanx0
（3.3.5）
因此，对方程（3.3.5）求指数函 数形式的解
x et
（3.3.6）
把（3.3.6）代入方程（3.3.5）得
L [ e t ] ( n a 1 n 1 a 2 n 2 a n 1 a n ) e t 0
（3.3.5）
F ( ) n a 1 n 1 a 2 n 2 a n 1 a n 0 （3.3.7）
1 特征根为单根
设 1,2,L是,（n3.3.7）的n个不相同根，
则对应方程（3.3.5）有n个解
e1t,e2t,L,ent
（3.3.8）
这n个解在区间a t b上线性无关，从