常微分方程33线性常系数齐次方程

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3 欧拉公式
1) 复指函数与欧拉公式
e t e ( i ) t e te i t
其中 e(it) 1it(it)2(it)3
2! 3!
[1(t)2 (t)4 ] i[t(t)3(t)5]
2! 4!
3! 5!
co t sisitn e itco t sisin t
cost1(eiteit)
而组成方程（3.3.5）的基本组解.
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e1t,e2t,L,ent
（3.3.8）
e1t
e2t
ent
W [e1t,e2t,,ent] 1e1t
2e2t nent
1n1e1t n21e2t nn1ent
1 1
e(12n)t 1
2
1n1 n21
1
n
n n1
1 jin(i j)0所以解组（3.3.8）线性无关.
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dnx dn 1x
dx
dtna1dtn 1Lan 1dtanx0
（2） i(i1,2,.n)中有复数，
e1t,e2t,L,ent
若则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现.
设 1 是i特征根，则 2 i 也是特征根，
则方程相应地有两个复值解：
e( i)tet(co t isitn ) e( i)tet(co t isitn )
而 z(t)(t)i(t)是该方程的复值解,
则z (t ) 的实部 (t) 和虚部 (t) 以及 z (t ) 的
共轭 z ( t ) 也都是该方程的解.
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d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 … … a n 1 (t)d d x t a n (t)x 0(3.3.4)
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dnx dn 1x
dx
dtna1dtn 1Lan 1dtanx0
e1t,e2t,L,ent
（3.3.5）wk.baidu.com（3.3.8）
（1） i(i1,2,.n)均为实数，
则（若3.3.8）是方程（3.3.5）的n个线性无关的实值解，
则方程（3.3.5）的通解为
x (t) c 1 e 1 t c 2 e 2 t c n e n t 其中 c1,c2, ,cn 为任意常数.
e t 成为方程（3.3.5）解的充要条件为：
F () n a 1 n 1 a 2 n 2 a n 1 a n 0 （3.3.7）
方程（3.3.7）称为方程（3.3.5）的特征方程，它
的根称为方程（3.3.5）的特征根.
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dnx dn 1x
dx
dtna1dtn 1Lan 1dtanx0
3.3线性齐次常系数方程
在上一节中我们讨论了线性方程通解的 结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出， 对一般的线性方程没有普遍的解法，
但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程， 可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数 齐次方程通解的解法。
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一 复值函数
如果 (t) 和 (t) 是区间(a,b)上定义的 实函数，
其中 ai(t)i(1,2,n)及 f ( t ) 是区间 at b上的实函数. 若有区间（a,b）上复值函数:
xz(t) (t) i(t)
满足上述方程，则称 xz(t) 为上述方程的复值解.
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定理3.12 如果方程 d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 … … a n 1 (t)d d x t a n (t)x 0(3.3.4) 中所有系数 ai(t)i(1,2,n)都是实值函数.
称 z(t)(t)i(t)为该区间上(a,b) 的复值函数 .
1 连续 如果实函数 (t) 和 (t) 在区间(a,b)上 连续,
就称 z (t ) 在区间上(a,b)上连续.
2 可微 如果实函数 (t) 和 (t) 在区间(a,b)上 可微,
就称 z (t ) 在区间上(a,b)上可微.
且复值函数 z (t ) 的导数定义如下:
L[z(t)] 0
即 z ( t ) 也是方程（3.3.4）的解.
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二 常系数齐次线性方程
d dtnn xa1d dtn n1 x 1Lan 1d dx tanx0（3.3.5）
（其中a1,a2,L a为n 常数）为n阶常系数齐次线性方程.
为求得该方程的通解，我们先利用待
定指数函数法求其基本解组. 一阶常系数齐次线性微分方程
dzdi d
dt dt dt
2
若 z1(t) 和 z2 (t) 可微, c为复值常数，
那么有如下性质:
性质1: d(z1(t)z2(t))d1(z t)d2(zt)
dt
dt dt
性质2:
d[cz1(t)]cd1z(t)
dt
dt
性质3: d [z1 (td )z2(tt) ]dd 1 (tz )tz2(t)z1 (t)dd 2(tz)t
证明：由已知条件及 L[ x] 的性质可得
L [( t ) i( t ) L ] [( t ) i ] [ L ( t ) 0 ]
由此得 L [(t) ]L [(t) ]0
所以 (t)， (t)都是方程（3.3.4）的解
又
L[z(t)]L[(t) ]iL [(t)]
因为 L [(t) ]L [(t) ]0可得
（3.3.5）
F ( ) n a 1 n 1 a 2 n 2 a n 1 a n 0 （3.3.7）
1 特征根为单根
设 1,2,L是,（n3.3.7）的n个不相同根，
则对应方程（3.3.5）有n个解
e1t,e2t,L,ent
（3.3.8）
这n个解在区间a t b上线性无关，从
2
sint1(eiteit)
2i
4
2) 复指函数的性质
记 i 表示 i的共轭.
性质1: et et
性质2: e(12)t e1te2t
性质3:
d (et ) et
dt
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4 复值解 考虑方程
d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 … … a n 1 (t)d d x t a n (t)x f(t)
有通解 xcet
dx x
dt
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dnx dn 1x
dx
dtna1dtn 1Lan 1dtanx0
（3.3.5）
因此，对方程（3.3.5）求指数函 数形式的解
x et
（3.3.6）
把（3.3.6）代入方程（3.3.5）得
L [ e t ] ( n a 1 n 1 a 2 n 2 a n 1 a n ) e t 0