复数计算练习题
复数练习题运算与解方程
复数练习题运算与解方程在数学学习中，复数是一种非常重要的概念。
通过对复数的运算和解方程的练习，我们可以更好地理解和应用复数。
本文将通过一系列练习题来帮助读者加深对复数运算和解方程的理解。
一、复数运算练习题1. 计算以下复数的和：a = 2 + 3i，b = -4 + 5i解：a + b = (2 + 3i) + (-4 + 5i) = -2 + 8i2. 计算以下复数的差：a = 6 + 2i，b = 3 - 4i解：a - b = (6 + 2i) - (3 - 4i) = 3 + 6i3. 计算以下复数的积：a = 2 + 3i，b = -4 + 5i解：a * b = (2 + 3i) * (-4 + 5i) = -23 + 2i4. 计算以下复数的商：a = 6 + 2i，b = 3 - 4i解：a / b = (6 + 2i) / (3 - 4i) = -0.1 + 1.4i5. 求以下复数的共轭复数：a = 3 - 2i解：a的共轭复数为3 + 2i二、解复数方程练习题1. 解方程：z^2 + 4z + 13 = 0解：首先使用求根公式，令： a = 1， b = 4， c = 13根据求根公式，有：z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a将a、b、c带入上式，得到： z = (-4 ± √(4^2 - 4*1*13)) / 2*1 z = (-4 ± √(-36)) / 2z = (-4 ± 6i) / 2z = -2 ± 3i2. 解方程：z^2 + 2z + 1 = 0解：同样使用求根公式，令： a = 1， b = 2， c = 1根据求根公式，有：z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a将a、b、c带入上式，得到：z = (-2 ± √(2^2 - 4*1*1)) / 2*1z = (-2 ± √(4 - 4)) / 2z = (-2 ± √0) / 2z = -1通过以上的练习题，我们加深了对复数运算和解方程的理解。
复数练习题附答案
复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。
练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 \( 4 + 2i \)。
练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 \( i^2 = -1 \)，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 \( 14 - 5i \)。
练习题3：求复数 \( z = 3 - 2i \) 的共轭复数。
答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 \( z = 2 + i \) 的模（magnitude）。
答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是复数的实部和虚部。
所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 \( z = 1 + i \) 的逆。
答案5：复数的逆通过公式 \( \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 计算。
首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 \( |1 + i|^2 = 2 \)。
复数的四则运算同步练习题
复数的四则运算同步练习题一、选择题1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 复数－i ＋1i等于( A ) A ．－2i i C ．0 D ．2i7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19． 在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A )C ．－43D ．－3411． 若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,z?z̅i +2=2z ，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C（D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i -（D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ）A ．1＋iB ．－1－iC ．1＋3iD ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31ii +-=( D )A .1-2i +i D .1+2i29.下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ C ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-30.复数2(1)2i i -=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是 （ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积． 解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2. 52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
数学复数的习题及其答案
数学复数的习题及其答案
题目：数学复数的习题及其答案
在数学中，复数是由实数和虚数组成的数。
复数可以用a+bi的形式表示，其中a是实部，bi是虚部，而i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数在数学中有着广泛的应用，包括在电路分析、信号处理、量子力学等领域中都有重要的作用。
下面是一些关于复数的习题及其答案，希望能帮助大家更好地理解复数的概念和运算。
1. 计算下列复数的和与差：
(a) (3+4i) + (2-5i)
(b) (5-2i) - (3+7i)
答案：
(a) (3+4i) + (2-5i) = 5-i
(b) (5-2i) - (3+7i) = 2-9i
2. 计算下列复数的乘积与商：
(a) (2+3i) * (4-5i)
(b) (6-2i) / (2+4i)
答案：
(a) (2+3i) * (4-5i) = 23-2i
(b) (6-2i) / (2+4i) = 1-i
3. 求下列复数的模和共轭复数：
(a) 4+3i
(b) 2-6i
答案：
(a) |4+3i| = √(4^2+3^2) = 5, 共轭复数为4-3i
(b) |2-6i| = √(2^2+(-6)^2) = 2√10, 共轭复数为2+6i
通过以上习题的练习，相信大家对复数的概念和运算有了更深入的理解。
复数在数学中有着重要的地位，希望大家能够在学习中加深对复数的认识，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
(完整版)复数练习题(有答案)
复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．复数21−i (i 为虚数单位)的共轭复数是A ． 1+iB ． 1−iC ． −1+iD ． −1−i2．已知a ∈R，i 是虚数单位．若z ＝a ＋√3i ，z ·z ＝4，则a ＝( )A ． 1或－1B ． √7或－√7C ． －√3D ． √33．已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．（2018兰州模拟）若复数z 满足(3−4i )z =4+3i ，则|z |=（ ）A ． 5B ． 4C ． 3D ． 15．（2018北京大兴区一模）若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数z 1+i 的点是( )A ． EB ． FC ． GD ． H6．（2018江西省景德镇联考）若复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，则|z |=（ ）A ． 2B ． √2C ． 1D ． 2√27．（福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试）已知复数a +bi =(1−i )21+i （i 是虚数单位，a,b ∈R )，则a +b =（ ）A ． −2B ． −1C ． 0D ． 28．（山东K 12联盟2018届高三开年迎春考试）若复数z = 1 + i + i 2 + i 3 +⋯+ i 2018 +|3−4i |3−4i ，则z 的共轭复数z̅的虚部为 A ． −15 B ． −95C．95D．−95i9．（上海市徐汇区2018届高三一模）在复平面内，复数5+4ii（i为虚数单位）对应的点的坐标为_____10．（上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模））设m∈R，若复数(1+ mi )(1+i )在复平面内对应的点位于实轴上，则m=______．11．（2018届浙江省杭州市第二中学6月热身）若复数z满足(1−2i)⋅z=3+i（i为虚数单位），则z=__________；|z|=__________．12．已知z=(a+i)2,(a∈R)，i是虚数单位.(1)若z为纯虚数，求a的值；(2)若复数z在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=\frac{1}{1-i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）。
A。
$\frac{1+i}{2}$ B。
$\frac{1-i}{2}$ C。
$\frac{-1+i}{2}$ D。
$\frac{-1-i}{2}$2.已知复数 $z=\frac{11+22i}{1-i(m-m^2i)}$ 为纯虚数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$ B。
$-1$ C。
$i$ D。
$-i$3.若复数 $z=(2+i)i$（其中 $i$ 为虚数单位），则复数$z$ 的模为（）。
A。
$5$4.复数 $z=\frac{3i}{5-2i}$ 的虚部是（）。
A。
$\frac{15}{29}$ B。
$\frac{3}{29}$ C。
$-\frac{3}{29}$ D。
$-\frac{15}{29}$5.已知 $2i+1=z\cdot5\left(5-\frac{1}{z}\right)$，则$z=$（）。
A。
$1$ B。
$3$ C。
$2$ D。
$-2$6.复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1-2i$，$z$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot z=$（）。
A。
$5$ B。
$-5$ C。
$5i$ D。
$-5i$7.已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4i}{1+i}$ 在复平面内对应的点在（）。
A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限8.已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z=5+3i$，则$\frac{z}{i}=$（）。
A。
$-3+5i$ B。
$5-3i$ C。
$-5+3i$ D。
$3+5i$9.若复数 $z=\frac{a+i}{1-i}$，$a\in R$，为纯虚数，则$z+a=$（）。
A。
$1+2i$ B。
$2i-1$ C。
$2+2i$ D。
$-2i+1$10.已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2+i}=2-i$，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）。
(完整版)复数计算练习题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C 2.10i2－i＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4i D ．2－4i答案 A3．若w ＝－12＋32i ，则w 4＋w 2＋1等于( ) A ．1 B ．0 C ．3＋3i D ．－1＋3i答案 B4．在(12＋32i)12的展开式中，所有奇数项的和等于( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．i 答案 B 5．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i答案 B 解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i.∴z ＝1－3i. 6．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2等于( )A ．4iB ．－4iC．2i D．－2i 答案 C7．复数(2＋2i)4(1－3i)5等于()A．1＋3i B．－1＋3i C．1－3i D．－1－3i 答案 B8．复数1＋2i3＝()A．1＋2i B．1－2i C．－1 D．3答案 A解析1＋2i3＝1＋2－i＝1＋2i，故选A.9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于() A．(x－1＋3i)(x－1－3i)B．(2x－2＋3i)(2x－2－3i)C．2(x－1＋i)(x－1－i)D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)答案 B10．复数i3(1＋i)2＝()A．2 B．－2 C．2i D．－2i 答案 A解析由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.11．复数z＝11－i的共轭复数是()A.12＋12i B.12－12iC．1－i D．1＋i 答案 B解析 z ＝11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，z ＝12－12i ，故选B. 12．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝2＋i ，则z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝________. 答案 －6解析 z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝(z 4－4z 3＋6z 2－4z ＋1)－2＝(z －1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.14．i4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝________(n 为正整数)． 答案 0 15．已知(1－i )31＋i＝a ＋3i ，则a ＝________. 答案 －2－3i16．设z ∈C ，z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________. 答案 34＋i解析 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2. ∴a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i. ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)若复数z ＝m 2＋m －2＋(2m 2－m －3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解析 由题意得z ＝m 2＋m －2－(2m 2－m －3)i. ∴⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，－(2m 2－m －3)>0，即⎩⎨⎧m 2＋m －2>0，2m 2－m －3<0， 解得1<m <32.18．(12分)计算(12＋32i)3.解析 方法一 ∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(12＋32i)＝(32i)2－(12)2＝－34－14＝－1.方法二 原式＝(12)3＋3×(12)2×32i ＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋338i －98－338i ＝－1.19．(12分)已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解析 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin 2θ)． (2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)． 由点P 在直线y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12.∴sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6，56π，76π，116π.20．(12分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，试求实数a 、b 的值．解析 化简得z ＝1＋i 代入方程，得 a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i.∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1， ∴⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4. 21．(12分)设z ＝(a 2－a －6)＋a 2＋2a －15a 2－4i(a ∈R )，试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由．解析 假设复数z 能为纯虚数，则⎩⎨⎧a 2－a －6＝0，a 2＋2a －15a 2－4≠0.∴⎩⎨⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠－5且a ≠3且a ≠±2.∴不存在a 使复数z 为纯虚数．22．(12分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解析 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， 得z 的实部为正数，z 的虚部为负数． ∴复数z 对应的点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎨⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2).消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。
高中复数练习题及讲解及答案
高中复数练习题及讲解及答案### 高中复数练习题及讲解及答案#### 练习题1. 复数的加减法- 计算以下复数的和：\(3 + 4i\) 和 \(1 - 2i\)。
2. 复数的乘法- 求 \((2 + 3i)(1 - i)\) 的乘积。
3. 复数的除法- 计算 \(\frac{2 + i}{1 + i}\)。
4. 复数的共轭- 找出 \(3 - 4i\) 的共轭复数。
5. 复数的模- 求 \(5 + 12i\) 的模。
6. 复数的幂运算- 计算 \((2 + i)^2\)。
7. 复数的指数形式- 将 \(8\) 表示为 \(2\) 的幂次形式。
8. 复数的极坐标形式- 将 \(-3 - 4i\) 转换为极坐标形式。
9. 复数的三角函数- 求 \(\sin(3 + 4i)\)。
10. 复数的对数- 计算 \(\log(-8 + 0i)\)。
#### 讲解复数是实数和虚数的组合，形如 \(a + bi\)，其中 \(a\) 和 \(b\)是实数，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。
1. 加减法：直接对实部和虚部分别进行加减。
2. 乘法：使用分配律，然后合并同类项。
3. 除法：将分母的实部和虚部合并，然后乘以共轭复数，简化表达式。
4. 共轭复数：改变虚部的符号。
5. 模：计算 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)。
6. 幂运算：使用二项式定理或幂的性质。
7. 指数形式：使用欧拉公式 \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\)。
8. 极坐标形式：表示为 \(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\)，其中 \(r\) 是模，\(\theta\) 是辐角。
9. 三角函数：使用复数的指数形式和欧拉公式。
10. 对数：首先将复数转换为极坐标形式，然后应用对数的性质。
#### 答案1. \(4 + 2i\)2. \(2 + 5i\)3. \(3 - i\)4. \(3 + 4i\)5. \(13\)6. \(3 + 4i\)7. \(2^3\)8. \(5(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4))\)9. 无实数解，因为 \(\sin\) 函数在复数域内没有定义。
高中复数加减法练习题(打印版)
高中复数加减法练习题（打印版）# 高中复数加减法练习题## 一、基础练习题1. 计算以下复数的和：\[ z_1 = 3 + 4i \]\[ z_2 = 1 - 2i \]求 \( z_1 + z_2 \)。
2. 计算以下复数的差：\[ w_1 = 2 - 5i \]\[ w_2 = 1 + 3i \]求 \( w_1 - w_2 \)。
3. 给定复数 \( a = 2 + 6i \) 和 \( b = -1 - 3i \)，求 \( a -b \)。
## 二、进阶练习题4. 计算复数 \( x = 4 - 2i \) 和 \( y = 3 + i \) 的和，并简化结果。
5. 给定复数 \( p = 1 + i \) 和 \( q = -2 - 4i \)，求 \( p - q \) 并将其表示为 \( a + bi \) 的形式。
6. 计算复数 \( r = 5i \) 和 \( s = -3 - 2i \) 的差，并简化结果。
## 三、混合运算练习题7. 计算 \( (2 + 3i) + (1 - 4i) - (3 - 2i) \)。
8. 给定 \( u = 2 - i \) 和 \( v = 3i \)，求 \( u + v - (1 + 2i) \)。
9. 计算 \( (-1 + 2i) - (3 - 4i) + (2 + i) \) 并简化。
## 四、应用题10. 在复平面上，点 \( A \) 表示复数 \( 4 + 3i \)，点 \( B \) 表示复数 \( 1 - 2i \)。
求点 \( A \) 和点 \( B \) 之间的距离。
11. 已知复数 \( z = 3 - 4i \)，求 \( z \) 与原点 \( O \) 之间的距离。
12. 计算复数 \( w = 2 + 5i \) 与 \( x = -1 - 3i \) 的和，并在复平面上表示这个和。
注意：请同学们认真完成以上练习题，掌握复数的加减法运算规则，提高解题能力。
数学复数练习题附答案
数学复数练习题附答案数学复数练习题附答案复数是数学中一个重要的概念，它可以用来描述实数范围之外的数。
复数由实部和虚部组成，其中实部是一个实数，虚部是一个带有虚数单位i的实数。
在解决各种数学问题和物理问题中，复数起着重要的作用。
本文将提供一些复数练习题，并附带答案，以帮助读者更好地理解和掌握复数的概念和运算。
1. 计算下列复数的模和辐角：a) 3 + 4ib) -2 - ic) 5i答案：a) 模：|3 + 4i| = √(3^2 + 4^2) = 5辐角：θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°b) 模：|-2 - i| = √((-2)^2 + (-1)^2) = √5辐角：θ = arctan(-1/-2) ≈ -26.57°c) 模：|5i| = √(0^2 + 5^2) = 5辐角：θ = arctan(0/5) = 0°2. 计算下列复数的共轭复数：a) 2 + 3ib) -4 - 5ic) 6i答案：a) 共轭复数：2 - 3ib) 共轭复数：-4 + 5ic) 共轭复数：-6i3. 将下列复数写成极坐标形式：a) 1 + ib) -2 - 2ic) 3i答案：a) 极坐标形式：√2 * (cos(π/4) + i * sin(π/4))b) 极坐标形式：2√2 * (cos(3π/4) + i * sin(3π/4))c) 极坐标形式：3 * (cos(π/2) + i * sin(π/2))4. 计算下列复数的乘积：a) (2 + i)(3 - 2i)b) (4 - 3i)(-2 + i)c) (5i)(-2i)答案：a) 乘积：(2 + i)(3 - 2i) = 6 + i - 4i - 2i^2 = 6 - 3i - 2(-1) = 8 - 3ib) 乘积：(4 - 3i)(-2 + i) = -8 + 4i + 6i - 3i^2 = -8 + 10i + 3 = -5 + 10ic) 乘积：(5i)(-2i) = -10i^2 = -10(-1) = 105. 计算下列复数的商：a) (2 + i)/(3 - 2i)b) (4 - 3i)/(-2 + i)c) (5i)/(-2i)答案：a) 商：(2 + i)/(3 - 2i) = (2 + i)(3 + 2i)/(3^2 + 2^2) = (6 + 4i + 3i + 2i^2)/13 = (6 + 7i - 2)/13 = 4/13 + (7/13)ib) 商：(4 - 3i)/(-2 + i) = (4 - 3i)(-2 - i)/((-2)^2 + 1^2) = (-8 + 6i + 4i - 3i^2)/5 = (-8 + 10i + 3)/5 = -5/5 + (10/5)i = -1 + 2ic) 商：(5i)/(-2i) = 5i/(-2i) = -5/2通过以上练习题的解答，我们可以更好地理解复数的概念和运算。
复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)
复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)复数的四则运算同步练题1.若复数z满足z + i - 3 = 3 - i，则z等于6 - 2i。
2.复数i + i^2在复平面内表示的点在第二象限。
3.复数z1 = 3 + i，z2 = -1 - i，则z1 - z2等于4 + 2i。
4.设z1 = 2 + bi，z2 = a + i，当z1 + z2 = 0时，复数a + bi 为-2 - i。
5.已知|z| = 3，且z + 3i是纯虚数，则z等于3i。
6.复数-i + 1/i等于-2i。
7.i为虚数单位，1/i + 1/i^3 + 1/i^5 + 1/i^7等于2i。
8.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a + i)i = b + i，则a = 1，b = -1.9.在复平面内，复数i + 1 + i/(1 + 3i)^2对应的点位于第二象限。
10.设复数z的共轭复数是z，若复数z1 = 3 + 4i，z2 = t + i，且z1·z2是实数，则实数t等于3/4.11.若z = (1 + 2i)/i，则复数z等于-2 + i。
12.复数z = 1/(1 - i)的共轭复数是1/2 - 1/2i。
13.(1 - i)(1 + 2i)/(1 + i) = -2 + i。
14.若复数z1 = 1 + i，z2 = 3 - i，则z1·z2等于4 + 2i。
15.已知a + 2i/i = b + i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a + b等于1.16.若复数 $x-2+yi$ 和 $3x-i$ 互为共轭复数，则实数$x$ 和 $y$ 的值为 $(D)$。
17.在复平面内，复数 $i$，$1+i$，$1+3i$ 的和对应的点位于 $(B)$。
18.设 $i$ 是虚数单位，$z$ 是复数 $z$ 的共轭复数，若$z=\frac{1+i}{1-i}$，则 $z=(A)$。
19.若复数 $z$ 满足 $(3-4i)z=|4+3i|$，则 $z$ 的虚部为$(D)$。
高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)
高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
数学复数练习题附答案
数学复数练习题附答案数学复数练习题附答案数学是一门抽象而又实用的学科，而复数是数学中一个非常重要的概念。
复数由一个实数部分和一个虚数部分组成，虚数部分以虚数单位i表示。
在实际应用中，复数常常用于描述电路中的交流电信号、量子力学中的波函数等。
为了帮助读者更好地理解和掌握复数的概念和运算规则，下面将提供一些复数练习题，每道题都附带答案和解析。
1. 计算下列复数的实部和虚部：a) 3 + 4ib) -2 - 5ic) 7i答案和解析：a) 实部为3，虚部为4b) 实部为-2，虚部为-5c) 实部为0，虚部为72. 计算下列复数的共轭复数：a) 2 + 3ib) -4 - 6ic) 5i答案和解析：a) 共轭复数为2 - 3ib) 共轭复数为-4 + 6ic) 共轭复数为-5i3. 将下列复数写成极坐标形式，并计算其模和辐角：a) 1 + ib) -3 - 3ic) 4i答案和解析：a) 极坐标形式为√2 * (cos(π/4) + isin(π/4))，模为√2，辐角为π/4b) 极坐标形式为3√2 * (cos(5π/4) + isin(5π/4))，模为3√2，辐角为5π/4c) 极坐标形式为4 * (cos(π/2) + isin(π/2))，模为4，辐角为π/24. 计算下列复数的乘积：a) (2 + 3i)(4 - i)b) (-3 + 2i)(1 + 5i)c) (2i)(3 - 4i)答案和解析：a) 乘积为(11 + 10i)b) 乘积为(-13 - 13i)c) 乘积为(8 + 6i)5. 计算下列复数的商：a) (3 + 2i)/(1 - i)b) (-4 - 3i)/(2 + 3i)c) (5i)/(2 - i)答案和解析：a) 商为(-1.25 + 2.25i)b) 商为(-1 - 2i)c) 商为(-5i)通过以上练习题，读者可以巩固对复数的实部、虚部、共轭复数、极坐标形式以及复数的乘法和除法运算的理解。
复数复习题及答案
复数复习题及答案1. 复数的一般形式是什么？复数的一般形式是a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 两个复数相加的规则是什么？两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的模长如何计算？复数a+bi的模长是|a+bi|=√(a^2+b^2)。
4. 复数的共轭复数是什么？复数a+bi的共轭复数是a-bi。
5. 两个复数相乘的规则是什么？两个复数相乘时，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
6. 复数的除法如何进行？复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/((c+di)(c-di))。
7. 复数的实部和虚部如何表示？复数a+bi的实部是a，虚部是b。
8. 复数的几何意义是什么？复数a+bi可以在复平面上表示为一个点，其中a是实轴上的坐标，b 是虚轴上的坐标。
9. 复数的幂运算如何进行？复数的幂运算可以通过欧拉公式来实现，即(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r=|a+bi|，θ=arg(a+bi)。
10. 复数的指数形式是什么？复数的指数形式是e^(a+bi)=e^a(cos(b)+isin(b))。
答案：1. a+bi2. (a+c)+(b+d)i3. √(a^2+b^2)4. a-bi5. (ac-bd)+(ad+bc)i6. (a+bi)(c-di)/((c+di)(c-di))7. 实部a，虚部b8. 复平面上的一个点9. r^n(cos(nθ)+isin(nθ))10. e^a(cos(b)+isin(b))。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 C 2.
10i
2－i
＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4i D ．2－4i
答案 A
3．若w ＝－12＋3
2i ，则w 4＋w 2＋1等于( )
A ．1
B ．0
C ．3＋3i
D ．－1＋3i
答案 B
4．在(12＋3
2i)12的展开式中，所有奇数项的和等于( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．i 答案 B 5．已知
z
1＋i
＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i 答案 B 解析 ∵z
1＋i
＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i.∴z ＝1－3i.
6．复数⎝
⎛⎭
⎪⎫2i 1＋i 2
等于( )
A．4i B．－4i C．2i D．－2i 答案 C
7．复数
2＋2i4
1－3i5
等于( )
A．1＋3i B．－1＋3i C．1－3i D．－1－3i 答案 B
8．复数1＋2
i3
＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1 D．3
答案 A
解析1＋2
i3
＝1＋
2
－i
＝1＋2i，故选A.
9．在复数集C分解因式2x2－4x＋5等于( ) A．(x－1＋3i)(x－1－3i)
B．(2x－2＋3i)(2x－2－3i)
C．2(x－1＋i)(x－1－i)
D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)
答案 B
10．复数i3(1＋i)2＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
答案 A
解析由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.
11．复数z＝
1
1－i
的共轭复数是( )
A.1
2
＋
1
2
i B.
1
2
－
1
2
i
C．1－i D．1＋i
答案 B 解析 z ＝
11－i
＝1＋i 1－i
1＋i
＝12＋12i ，z ＝12－1
2
i ，故选B. 12．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z
z －1＝( )
A ．2i
B ．－2i
C ．2
D ．－2
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知复数z ＝2＋i ，则z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝________. 答案 －6
解析 z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝(z 4－4z 3＋6z 2－4z ＋1)－2＝(z －1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2
＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.
14．i4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝________(n 为正整数)． 答案 0 15．已知
1－i 3
1＋i
＝a ＋3i ，则a ＝________.
答案 －2－3i
16．设z ∈C ，z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________. 答案 3
4
＋i
解析 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2. ∴a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i. ∴⎩⎨
⎧
a ＋a 2＋
b 2＝2，b ＝1.
∴⎩⎨⎧
a ＝34，
b ＝1，
∴z ＝3
4
＋i.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)若复数z ＝m 2＋m －2＋(2m 2－m －3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，数m 的集合．
解析 由题意得z ＝m 2＋m －2－(2m 2－m －3)i. ∴⎩⎨⎧
m 2
＋m －2>0，－2m 2
－m －3>0，
即⎩⎨⎧
m 2
＋m －2>0，
2m 2
－m －3<0，
解得1<m <3
2
.
18．(12分)计算(12＋32
i)3
.
解析 方法一 ∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(1
2＋
32i)＝(32i)2－(12)2＝－34－1
4
＝－1. 方法二 原式＝(12)3＋3×(12)2×32i ＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋33
8i
－98－33
8
i ＝－1. 19．(12分)已知复平面点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ
＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB →
对应的复数为z .
(1)求复数z ；
(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝1
2
x 上，求θ的值．
解析 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin 2θ)．
(2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)． 由点P 在直线y ＝12x ，得－2sin 2
θ＝－12.
∴sin 2θ＝14，∴sin θ＝±1
2
.
又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6，56π，76π，116π. 20．(12分)已知复数z ＝1－i
2＋3
1＋i
2－i
，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，试
数a 、b 的值．
解析 化简得z ＝1＋i 代入方程，得
a ＋
b ＋(2＋a )i ＝1－i. ∴⎩⎨
⎧
a ＋
b ＝1，2＋a ＝－1，
∴⎩⎨
⎧
a ＝－3，
b ＝4.
21．(12分)设z ＝(a 2－a －6)＋a 2＋2a －15
a 2－4i(a ∈R )，试判断复数z 能否为
纯虚数？并说明理由．
解析 假设复数z 能为纯虚数，则
⎩⎨⎧
a 2－a －6＝0，a 2＋2a －15a 2－4
≠0.∴⎩⎨
⎧
a ＝3或a ＝－2，a ≠－5且a ≠3且a ≠±2.
∴不存在a 使复数z 为纯虚数．
22．(12分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？
解析 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， 得z 的实部为正数，z 的虚部为负数． ∴复数z 对应的点在第四象限．
设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎨
⎧
x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋2.
消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。