07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答.doc

2007年爲务紅兮菴赛培训班

线面积分练习题参考解答2006.5.13

一•填空题（每小题3分，共15分）

1 •设厶为椭圆手+召=1，其周长为Q ， 解:贞（2xy 2

+ 3x 2

+ 4y 2

心=巾 2xy 2

ds + 血（3x 2

+ 4y 2

）dy =

0 4-也 则 j (2 卩 2 + 3x 2 + 4b )d5= 12° L 2•设27:x + y + z=l,则Jj(x + |^|)dS =

JA /3 ・

L

解：JJ(x + A|)dS = Hxd5 + JJ[41S

JI 2As = 1 2Q •

<4加i

X

+ M +》|)dS 二胡 dS

二制

x 2+(y+l)2<2

Wl + z ：+zfdrd 尸制Vjdxd 尸耳再・1・1 =扌屁

%

丫2 + / + 2 二 R 2

3 •密度为仏的均匀金属丝厂:X 十V 十〜—K 对于兀轴的转动惯量

x+尹十z=0

4 =細）尿・

解：—也3+门“亦=訓厂（++尸+才）“佔時“尼血论詁疋.2欣

=扌“（）兀7?'・

4 •设厶：宀（卩+ 1）2二2

xdy-ydx x 2

十尹2 +2尹十3

-7T

5.设X:z = -y]l-x 2

-y 2

,贝!j / = jj x 2

dydz + cos ydzdx + zdxdy =

3 71

解：/ = JJ x 2dydz+ JJ cos ydzdx + JJ zdxdy = 0 + 0 - jj -^X-x 2 -y 2

dxdy =

i^-

评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意

①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；

②与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如

光滑曲面刀关于x = 0（即yOz平面）对称（包括侧也对称），则有

0, 若伪x的偶函数，

⑵dj也二2j“（xj,z）dWz,若f为x的奇函数.

L刀半

③也可利用轮换对称性。

二.选择题（每小题3分，共15分）（将正确选项的代号填在括号内）

1 •设曲线积分\c xy2dx^y（p（x）dy与路径无关，其中0（x）有连续的导数，且

0(0) = 0 ,贝叮(:;xy2dx + y(p(x)dy等于

(A)l・(B) 0・(C) 21. (D)|.

(::xy2dx + y(p(x)dy = J； w(0)dy + [兀• F dx = 0 + * = £ 2.设S:x2+/+z2=l 解:

(沦0)，5是S在第一卦限中的部分，则有

(A) 口xdS = 4JJ xdS ・(B) jj ydS = 4 jj xdS ・

S S] S S]

(C) JJ zdS = 4jj xdS ・(D) jj xyzdS = 4JJ xyzdS ・答：(C )

S S\ S S\

解：因为S :x2 + y2 -\-z2 =1 （z > 0）关于x = 0对称，关于尹=0也对称，且兀和入；yz 都是x的奇函数、尹是尹的奇函数，于是U xdS = 0, jj xyzdS = 0, jj>d5 = 0 , s s s {B 4jj xdS > 0,4JJ xyzdS > 0 ,故（A）、（B）、（D）都不对•事实上，将JJzdS S] S| s 视为密度〃 =z时$的质量，则显然有Jjzd5 = 4jj zdS ,再由x,y,z在S】上

S S|

的轮换对称性有Jj zdS = 4口zdS = 4口xdS・

S S] S]

3•设Z = {（x,j；?z）|x2+/+z2=^2},在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是

（A） x2dS,^j* x2dvdz ・（B）前xdS,曲Xdpdz ・

E2•外z

（C）前xdS,曲xdydz ・（D）前xydS,前ydzdx・答：（B ）

解：因为2'关于x = 0 （即yOz 平面）对称，x 和卩是x 的奇函数，而F 是x 的

xydS = 09 x 2dS = 2[Jf x 2

dS =

；

£ 乞半

而第二类曲面积分xdydz = 2 xdydz = 2 jj yjR 2-y 2-z 2

dydz =

,

/ 第 y 2+z 2

有前 ydzdx = 2 前 ydzdx -

4•设曲线厶:/（x,^） = l （/（x,y ）具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M 和 第IV 象限的点N,厂为厶上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分少于零的是

(A) J 厂/Cr,y)d¥ ・

(C) J 厂/(x 』)d5・

(B) \r f(x,y)Ay ・

(D) J 厂./；(s)dr + /：(x 』)dp ・ 答：(B)

解：J 厂/(x,，)& = ]*厂& = J dx 〉0,不选(A)；

J./(兀J )dy =(厂dp = J dx<0,选(B)； J 厂 f(x,y)d5 = J 厂ch > 0,不选(C)；

J 厂 /：(x ，y)^ + f ；(x, y)dy = J 厂 df(x,y) = J ： df(x 9 y) = = 1-1 =

0, 不选(D)・

5 •设 Z :z = x 2

+ y 2

(z < 1), D xv :x 2

+ y 2

< \ ,则 jj zdydz 可化为二重积分 (B) jj(x 2+y 2

) (-2x)dxdy ・

%，

偶函数，故第一类曲面积分皿

(A) || (x 2

+ 尸)• 2xdxdy ・

(C) ^(x 2+y 2

)-2ydxdy.

5

(D) jj(x 2+y 2

)-(Lrdy.