高考第一轮复习函数的解析式

高考第一轮复习

函数的表示方法

★知识梳理

一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★热点考点题型探析

考点1：用图像法表示函数

例1.（广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：

进水量出水量蓄水量

甲乙丙

（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．

则一定不正确

．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) .

[解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。

从而一定不正确

．．．的论断是（2）

训练1．(湖北)函数|1

|

|

|ln-

-

=x

e

y x的图象大致是( )

[解析] D；当1

≥

x时，1

)1

(=

-

-

=x

x

y，可以排除A和C；又当

2

1

=

x时，

2

3

=

y，可以排除B

考点2：用列表法表示函数

[例2] （北京）已知函数()

f x，()

g x分别由下表给出

的值为；满足[()][

g x g

>的值是

[解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。

[解析]由表中对应值知[(1)]

f g=(3)1

f=；

x 1 2 3

()

f x 1 3 1

x 1 2 3

()

g x 3 2 1

时间

1

1时间

2

1时间

0346

6

5

当3=x 时，[(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ====，不满足条件， 训练2（江苏改编）二次函数c bx ax y ++=2

（x ∈R ）的部分对应值如下表：

则不等式0<++c bx ax 的解集是

[解析] )3,2(-；由表中的二次函数对应值可得，二次方程02=++c bx ax 的两根为－2和3，又根据

)2()0(-a ，所以不等式02<++c bx ax 的解集是)3,2(-

考点3：用解析法表示函数

掌握求函数的解析式的一般常用方法：

（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 例3．已知二次函数)(x f 满足564)12(2

+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法

令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(9552

1

6)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2

R x x x x f ∈+-=

方法二：配凑法

因为9)12(5)12(410)12(564)12(2

2

2

++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2

R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法

因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2

)(，从而由564)12(2

+-=+x x x f 可求出

951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=

训练3.已知211

(1)1f x x

+=-，求()f x 的解析式．

分析：可用换元法，配凑法求()f x 解析式． 解法一：令11t x +

=(1)t ≠，则11

x t =

-，代入得：2

()(1)1f t t =--， 即2

()2(1)f x x x x =-≠．

解法二：22211111111

(1)(2)(1)2(1)x x x x x f x x x x x x x x

-+-+++=

=⋅=⋅-=+-+， 又1

11x

+

≠，2()2(1)f x x x x ∴=-≠． 点评：解法一是换元法，已知[()]f g x 的解析式且()g x 存在反函数时，可用换元法．一般步骤为：（1）令()g x t =，并求出t 的取值范围（即的()g x 值域）；（2）解出()x t ϕ=；（3）将()g x t =，()x t ϕ=同时代入函数[()]f g x 并化简；（4）以x 代t 且写出x 的取值范围（即t 的取值范围）．

例4．已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．