中考数学超常发挥的五个技巧

中考数学超常发挥的五个技巧
数学考试要取得好成绩，首先要有扎实的基础知识、熟练的基本技能和在长年累月的刻苦钻研中培养起来的数学能力，同时，临场的发挥也是至关重要的。

下面结合数学科的特点，谈几条考试的建议，以便使同学们临场不慌，并能在紧张的考试中超水平发挥。

一、提前进入“角色”
考前一个晚上睡足八个小时，早晨吃好清淡早餐，按清单带齐一切用具，提前半小时到达考区，一方面可以消除新异刺激，稳定情绪，从容进场，另一方面也留有时间提前进入“角色”让大脑开始简单的数学活动，进入单一的数学情境。

如清点一下用具是否带全(笔、橡皮、作图工具、身分证、准考证等)。

2.把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”。

3.最后看一眼难记易忘的结论。

4.互问互答一些不太复杂的问题。

一些经验表明，“过电影”的成功顺利，互问互答的愉快轻松，不仅能够转移考前的恐惧，而且有利于把最佳竞技状态带进考场。

二、精神要放松，情绪要自控
最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此间保持心态平衡的方法有三种
①转移注意法：避开临考者的目光，把注意力转移到某一次你印象较深的数学模拟考试的评讲课上，或转移到对往日有趣、滑稽事情的回忆中。

②自我安慰法：如“我经过的考试多了，没什么了不起”，“考试，老师监督下的独立作业，无非是换一换环境”等。

③抑制思维法：闭目而坐，气贯丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐气，如此进行到发卷时。

三、迅速摸透“题情”
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不忙匆匆作答，可先从头到尾、正面反面通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作全面调查，一般可在十分钟之内做完三件事。

顺利解答那些一眼看得出结论的简单选择或填空题(一旦解出，情绪立即稳定)。

2.对不能立即作答的题目，可一面通览，一面粗略分为A、B两类：A类指题型比较熟悉、估计上手比较容易的题目，B类是题型比较陌生、自我感觉比较困难的题目。

3.做到三个心中有数：对全卷一共有几道大小题有数，防止漏做题，对每道题各占几分心中有数，大致区分一下哪些属于代数题，哪些属于三角题，哪些属于综合型的题。

通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

四、信心要充足，暗示靠自己
答卷中，见到简单题，要细心，莫忘乎所以，谨防“大意失荆州”。

面对偏难的题，要耐心，不能急。

考试全程都要确定“人家会的我也会，人家不会的我也会”的必胜信念，使自己始终处于最佳竞技状态。

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五、三先三后
在通览全卷、并作了简单题的第一遍解答后，情绪基本趋于稳定，大脑趋于亢奋，此后七八十分钟内就是最佳状态的发挥或收获丰硕果实的黄金季节了。

实践证明，满分卷是极少数，绝大部分考生都只能拿下部分题目或题目的部分得分。

因此，实施“三先三后”及“分段得分”的考试艺术是明智的。

先易后难。

就是说，先做简单题，再做复杂题；先做A类题，再做B类题。

当进行第二遍解答时(通览并顺手解答算第一遍)，就无需拘泥于从前到后的顺序，应根据自己的实际，跳过啃不动的题目，从易到难。

2.先高(分)后低(分)。

这里主要是指在考试的后半段时要特别注重时间效益，如两道题都会做，先做高分题，后做低分题，以使时间不足时少失分；到了最后十分钟，也应对那些拿不下来的题目就高分题“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。

3.先同后异。

就是说，可考虑先做同学科同类型的题目。

这样思考比较集中，知识或方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。

一般说来，考试解题必须进行“兴奋灶”的转移，思考必须进行代数
学科与几何学科的相互换位，必须进行从这一章节到那一章节的跳跃，但“先同后异”可以避免“兴奋灶”过急、过频和过陡的跳跃。

三先三后，要结合实际，要因人而异，谨防“高分题久攻不下，低分题无暇顾及”。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若关于x 的一元二次方程kx 2
-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围( ) A.k 1<且k 0≠ B.k 0≠
C.k 1<
D.k 1>
2．
1
3的倒数是（ ） A.13
B.3
C.3-
D.13
-
3．在一个不透明的袋子中放有a 个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a 的值约为（ ） A.10
B.15
C.20
D.24
4．如图，在四边形中，
分别是
，
，
，
边上的点，某同学探索出如下结论，其中
不正确．．．
的是（ ）
A.当是各边中点且时，四边形为菱形
B.当是各边中点且
时，四边形
为矩形
C.当不是各边中点时，四边形不可能为菱形
D.当
不是各边中点时，四边形
可以为平行四边形
5．关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．关于x 的方程233
4
ax a x +=-的解为1x =，则a =( )
A.1
B.3
C.-1
D.-3
7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论正确的是（ ）
A ．
AD DE
DB BC
= B ．
BF EF
BC AB
= C ．
AE EC FC
DE
= D ．
EF BF
AB BC
= 8．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG 中，EF ＝8cm ，EG ＝12cm ，∠EFG ＝45°．则AB 的长为（ ）cm ．
A ．8
B ．12
C ．42
D ．62
9．已知点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）都在正比例函数＝（m ﹣4）x 的图象上，并且x 1＜x 2，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜4
B ．m ＞4
C ．m≤4
D ．m≥4
10．如图，下列条件中，不能判定//AD BC 的是( )
A.12∠=∠
B.180BAD ADC ︒∠+∠=
C.34∠=∠
D.180ADC DCB ︒∠+∠=
11．下列说法正确的是( )
A ．为了解航天员视力的达标情况应采用抽样调查方式
B ．一组数据3，6，7，6，9的中位数是7
C ．正方体的截面形状一定是四边形
D ．400人中一定有两个人的生日在同一天是必然事件
12．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠AOC ＝110°，则∠ADC ＝（ ）
A ．55°
B ．110°
C ．125°
D ．70°
二、填空题
13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=3
5
，则cosB 的值为_____. 14．如图点A 在反比例函数y ＝
k
x
（x ＜0）的图象上，作Rt △ABC ，直角边BC 在x 轴上，点D 为斜边AC 的中点，直线BD 交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k ＝_____．
15．计算：①
2
3
2
n
m
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
_____；②
b a
a b a b
-=
--
_____．
16．如图，若AB∥CD，∠C=60°，则∠A+∠E=_____度．
17．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数
6
(0) y x
x
=>
的图象上，则点C的坐标为．
18．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的___．
三、解答题
19．解不等式组:
5(1)21
11
1(3)
32
x x
x x
+>-
⎧
⎪
⎨
-≥-
⎪⎩
，并把它的解集在数轴上表示出来
.
20．解不等式组
315
1
2
2
x x
x
+≥
⎧
⎪
⎨-
>-
⎪⎩
．并写出所有整数解．
21．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣3，﹣2，﹣1，0，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
（1）求第五个台阶上的数x是多少？
（2）求前21个台阶上的数的和是多少？
（3）发现：数的排列有一定的规律，第n个﹣2出现在第个台阶上；
（4）拓展：如果倩倩小同学一步只能上1个或者2个台阶，那么她上第一个台阶的方法有1种：1＝1，上第二个台阶的方法有2种：1+1＝2或2＝2，上第三个台阶的方祛有3种：1+1+1＝3、1+2＝3或2+1＝3，…，她上第五个台阶的方法可以有种．
22．某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型新闻体育动画娱乐戏曲
人数12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有人，这些学生数占被调查总人数的百分比为%．（2）被调查学生的总数为人，统计表中m的值为，统计图中n的值为．
（3）在统计图中，E类所对应扇形圆心角的度数为．
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．
23．计算（﹣2）2﹣|﹣3+5|+（1﹣3）0
24．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC
垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE＝1 2 S
△CEF
．其中正确的是（）
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
25．如图，ABC
内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，
AD ，使得FAC AOD ∠=∠，D BAF ∠=∠
.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，2CE =，求AC 、EF 的长.
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C C D C C A B D
C
二、填空题 13．
3
5
14．
15．2
2
94n m 1-
16．60 17．（3，6）． 18．稳定性． 三、解答题
19．﹣2＜x≤3，表示在数轴上见解析. 【解析】 【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】
5(1)2111
1(3)32x x x x ①②+>-⎧⎪
⎨-≥-⎪⎩
， 解①得：x ＞﹣2， 解②得：x≤3，
故不等式组的解集是：﹣2＜x≤3，
表示在数轴上如下：
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．不等式组的所有整数解为﹣2，﹣1，0． 【解析】 【分析】
先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出不等式组的所有整数解． 【详解】
3151
22
x x x +≥⎧⎪
⎨->-⎪⎩①② ， 解不等式①得：x≤
1
2
， 解不等式②得：x ＞﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤
12
， ∴不等式组的所有整数解为﹣2，﹣1，0． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
21．（1）第五个台阶上的数x 是﹣3（2）-33（3）（4n ﹣2）（4）8 【解析】 【分析】
（1）将两组相邻4个数字相加可得；根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得x ； （2）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得； （3）台阶上的数字是每4个一循环，根据规律可得结论． （4）根据第一步上1个台阶和2个台阶分情况讨论可得结论． 【详解】
（1）由题意得：﹣3﹣2﹣1+0＝﹣2﹣1+0+x ， x ＝﹣3，
答：第五个台阶上的数x 是﹣3；
（2）由题意知：台阶上的数字是每4个一循环， ﹣3﹣2﹣1+0＝﹣6， ∵21÷4＝5…1，
∴5×（﹣6）+（﹣3）＝﹣33， 答：前21个台阶上的数的和是﹣33； （3）第一个﹣2在第2个台阶上，
第二个﹣2在第6个台阶上，
第三个﹣2出现在第10个台阶上；
…
第n个﹣2出现在第（4n﹣2）个台阶上；
故答案为：（4n﹣2）；
（4）上第五个台阶的方法：1+1+1+1+1＝5，1种，
1+1+1+2＝5，1+2+2＝5，1+2+1+1＝5，1+1+2+1＝5，4种，
2+2+1＝5，2+1+2＝5，2+1+1+1＝5，3种，
∴1+4+3＝8种，
答：她上第五个台阶的方法可以有8种．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中数字的变化特点，求出相应的结果．
22．（1）30，20；（2）150，45，36；（3）21.6°；（4）160
【解析】
【分析】
（1）观察图表体育类型即可解决问题；
（2）根据“总数＝B类型的人数÷B所占百分比”可得总数；用总数减去其他类型的人数，可得m的值；根据百分比＝所占人数/总人数可得n的值；
（3）根据圆心角度数＝360°×所占百分比，计算即可；
（4）用学生数乘以最喜爱新闻节目所占百分比可估计最喜爱新闻节目的学生数．
【详解】
（1）最喜爱体育节目的有 30人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20%．
故答案为30，20；
（2）总人数＝30÷20%＝150人，
m＝150﹣12﹣30﹣54﹣9＝45，
n%＝
54
150
×100%＝36%，即n＝36，
故答案为150，45，36．
（3）E类所对应扇形的圆心角的度数＝360°×
9
150
＝21.6°，
故答案为21.6°；
（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为2000×12
150
＝160人，
答：估计该校最喜爱新闻节目的学生数为160人．
【点睛】
本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．1
【解析】
【分析】
原式第一项利用平方的定义，第二项根据绝对值的性质化简，第三项依据零指数幂法则运算即可. 【详解】
原式＝2﹣2+1＝1． 【点睛】
此题考查了实数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键. 24．C 【解析】 【分析】
①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，
②设BC=x ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出S △CEF 和S △ABE ，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】
①四边形ABCD 是正方形， ∴AB═AD，∠B=∠D=90°． 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AE AF
AB AD
=⎧⎨
=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ）， ∴BE=DF ∵BC=CD ，
∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ， ∵AE=AF ，
∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）． ②设BC=a ，CE=y ， ∴BE+DF=2（a-y ） EF=2y ，
∴BE+DF 与EF 关系不确定，只有当y=（2−2）a 时成立，（故②错误）． ③当∠DAF=15°时， ∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ， ∴∠DAF=∠BAE=15°， ∴∠EAF=90°-2×15°=60°， 又∵AE=AF
∴△AEF 为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y 2＝(2x)2
∴x 2
=2y （x+y ） ∵S △CEF =
12x 2，S △ABE =12
y(x+y)， ∴S △ABE =12S △CEF ．（故④正确）． 综上所述，正确的有①③④，
故选C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
25．（1）证明见解析；（2）6AC =，463
EF =. 【解析】
【分析】
（1）由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；
（2）连接BF ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
（1）∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAF+∠FAC=90°，
∵∠D=∠BAF ，∠AOD=∠FAC ，
∴∠D+∠AOD=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD 是⊙O 的切线；
（2）连接BF ，
∵∠FAC=∠AOD ，
∴△ACE ∽△OCA ， ∴AC AE CE OC OA AC
==，
∴
2
33
AC AE
AC
==，
∴AC=AE=6，
∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，
∴AE BE CE EF
=，
∴
662
=
2EF
-
，
∴
46
3
EF=．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列各组的两项是同类项的为（ ）
A.3m 2n 2与-m 2n 3
B.12xy 与2yx
C.53与a 3
D.3x 2y 2与4x 2z 2
2．寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（ ）
A ．20
B ．22
C ．25
D ．20或25
3．如图，将边长为的正方形绕点B 逆时针旋转30°，那么图中点M 的坐标为（ ）
A.（，1）
B.（1，）
C.（，）
D.（，）
4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y x x
=>的图象交矩形OABC 的边AB 于点D ，交边BC 于点E ，且BE ＝2EC ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．12
5．如图，⊙O 的半径OA ＝8，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B ，C 点，则BC ＝（ ）
A.83
B.82
C.43
D.42
6．若a b <，则下列结论不一定成立的是（ ）
A ．11a b -<-
B ．22a b <
C ．33a b ->-
D ．22a b <
7．如图，在锐角ABC 中，延长BC 到点D ，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ，MN 分别交ACB ∠、ACD ∠的平分线于E ，F 两点，连接AE 、AF .在下列结论中.①OE OF =；②CE CF =；③若12CE =，5CF =，则OC 的长为6；④当AO CO =时，四边形AECF 是矩形.其中正确的是( )
A ．①④
B ．①②
C ．①②③
D ．②③④
8．下列计算正确的是（ ）
A.a 2⋅a 3＝a 6
B.a 6÷a 3＝a 2
C.（ab ）2＝ab 2
D.（﹣a 2）3＝﹣a 6
9．据池州市统计局发布，2018年我市全年生产总值684.9亿元，比上年增长5.7%，若今、明两年年增长率保持不变，则2020年全年生产总值为（ ）
A ．（1+5.7%×2）×684.9亿元
B ．（1+5.7%）2×684.9亿元
C ．2×（1+5.7%）×684.9亿元
D ．2×5.7%（1+5.7%）×684.9亿元
10．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A.2x -8x+17=0
B.2x -6x-10=0
C.2x -42x+9=0
D.2x -4x+4=0
11．如图，菱形OABC 的一条边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OA ＝2，∠C ＝120°，则点B′的坐标为（ ）
A.（6，﹣6）
B.（6，6）
C.（3，3）
D.（3，﹣3） 12．下列计算正确的是（ ）
A ．3a ﹣a ＝3
B ．（a 2）3＝a 6
C ．3a+2a ＝2a 2
D ．a 2﹣a 2＝a 4 二、填空题
13．计算：23-=____________.
14．x 的值为____________时，分式无意义．
15．如图所示，在平面直角坐标系中，(00)A ，，(20)B ，，1
APB △是等腰直角三角形且190P ∠=︒，把
1
APB △绕点B 顺时针旋转180︒，得到2BP C △，把2BP C △绕点C 顺时针旋转180︒，得到3CP D △，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点2019P 的坐标为__________．
16．因式分解：3327a a -=____.
17．写出以2+3和2﹣3为根的一元二次方程____（要求化成一般形式）．
18．在实数范围内因式分解：34a a -=__________．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，过点A 2081,
4,33B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的直线l 分别与x 轴、y 轴交于点C ，D ． （1）求直线l 的函数表达式．
（2）P 为x 轴上一点，若△PCD 为等腰三角形直接写出点P 的坐标．
（3）将线段AB 绕B 点旋转90°，直接写出点A 对应的点A 的坐标．
20．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线2
2+4(0)y ax ax a a =-+<经过点B.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M 是抛物线上一动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM.设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；
（3）在（2）的条件下，,以MA 、MB 为邻边作平行四边形MBNA
①当平行四边形MBNA 面积最大时,点N 的坐标为____
②当平行四边形MBNA 面积为整数时,点M 的个数为___
21．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC＝36°，求∠CAO度数．
22．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，位于中国广东省伶仃洋区域内，为珠江三角洲地区环线高速公路南环段，青州航道桥“中国结∙三地同心”主题的斜拉索塔如图（1）所示.某数学兴趣小组根据材料编制了如下数学问题，请你解答.
如图（2），BC，DE为主塔AB（主塔AB与桥面AC垂直）上的两条钢索，桥面上C、D两点间的距离为16m，主塔上A、E两点的距离为18.4m，已知BC与桥面AC的夹角为30°，DE与桥面AC的夹角为38°。

求主塔AB的高.（结果精确到1米，参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，3≈1.7）
23．某校在苏州园林研学时，校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1:3 (即:1:3
AB BC ),且B C E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(侧倾器的高度忽略不计).
,,
24．计算或化简
（1）12﹣3tan30
2
1
2
-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（2）（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣2）2
25．如图，在正方形网格纸中，每一个小正方形的边长为一线段AB的两个端点都在小正方形的顶点上，请按下面的要求画图．
(1)在图1中画钝角三角形ABC，点C落在小正方形顶点上，其中△ABC有一个内角为135°，△ABC的面积为4，并直接写出∠ABC的正切值；
(2)在图1中沿小正方形网格线画一条裁剪线，沿此裁剪线将钝角三角形ABC分隔成两部分图形，按所裁剪图形的实际大小，将这两部分图形在图2中拼成一个平行四边形DEFG，要求裁成的两部分图形在拼成平行四边形时互不重叠且不留空隙，其中所拼成的平行四边形的周长为8+22，各顶点必须与小正方形的顶点重合．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B A A D A D B B A B
二、填空题
13．1
9
；
14．-1 15．()
4037,1
16．3a(a+3)(a-3)
17．x 2
﹣4x+1＝0（答案不唯一）．
18．()()22a a a +-
三、解答题 19．（1）483y x =-
+；（2）（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣73
，0）；（3）点A′的坐标为（0，﹣13）或（8，173）． 【解析】
【分析】
（1）由点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线l 的函数表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C ，D 的坐标，进而可得出CD 的长，分DC ＝DP ，CD ＝CP ，PC ＝PD 三种情况考虑：①当DC ＝DP 时，利用等腰三角形的性质可得出OC ＝OP 1，进而可得出点P 1的坐标；②当CD ＝CP 时，由CP 的长度结合点C 的坐标可得出点P 2，P 3的坐标；③当PC ＝PD 时，设OP 4＝m ，利用勾股定理可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值，进而可得出点P 4的坐标．综上，此问得解；
（3）过点B 作直线l 的垂线，交y 轴于点E ，则△DOC ∽△DBE ，利用相似三角形的性质可求出点E 的坐标，由点B ，E 的坐标，利用待定系数法可求出直线BE 的函数表达式，设点A′的坐标为（n ，
34n ﹣13），由A′B＝AB 可得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出点A′的坐标，此题得解．
【详解】
（1）设直线l 的函数表达式为y ＝kx+b （k≠0），
将A （1，203），B （4，83
）代入y ＝kx+b ， 得：20384+b=3k b k ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得：438k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的函数表达式为y ＝﹣
43x+8． （2）当x ＝0时，y ＝﹣43
x+8＝8， ∴点D 的坐标为（0，8）；
当y ＝0时，﹣
43
x+8＝0， 解得：x ＝6，
∴点C 的坐标为（6，0），
∴CD ＝10．
分三种情况考虑（如图1所示）：
①当DC ＝DP 时，OC ＝OP 1，
∴点P 1的坐标为（﹣6，0）；
②当CD ＝CP 时，CP ＝10，
∴点P 2的坐标为（﹣4，0），点P 3的坐标为（16，0）；
③当PC ＝PD 时，设OP 4＝m ，
∴（6+m ）2＝82+m 2，
解得：m ＝73
， ∴点P 4的坐标为（﹣73
，0）． 综上所述：点P 的坐标为（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣
73，0）． （3）过点B 作直线l 的垂线，交y 轴于点E ，如图2所示，
∵点B （4，83
），点D （0，8）， ∴BD ＝228
(04)(8)3-+-＝203
， ∵∠CDO ＝∠EDB ，∠DOC ＝∠DBE ＝90°，
∴△DOC ∽△DBE ， ∴DE DB DC DO =，即203108
DE =， ∴DE ＝253
， ∴点E 的坐标为（0，﹣13
）． 利用待定系数法可求出直线BE 的函数表达式为y ＝34
x ﹣13， 设点A′的坐标为（n ，34
n ﹣13），
∵A′B＝AB ，
∴（4﹣n ）2+[83﹣（34
n ﹣13）]2＝（4﹣1）2+（83﹣203）2， 即n 2﹣8n ＝0，
解得：n 1＝0，n 2＝8，
∴点A′的坐标为（0，﹣
13）或（8，173）． 【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分DC ＝DP ，CD ＝CP ，PC ＝PD 三种情况，利用等腰三角形的性质求出点P 的坐标；（3）利用相似三角形的性质及待定系数法，求出过点B 且垂直于直线l 的直线的解析式．
20．（1）223y x x =-++；（2）21522s m m =-
+ ，254
；（3）①（35-,24 ）②12 【解析】
【分析】
(1)求出A 、B 两点坐标,把B 点坐标代入抛物线的解析式即可解決问题.
(2)如图1中,连接OM,设M(m,-m 2+2m+3)，根据S=S △BOM+ S △AOM-S △AOB 计算即可.再利用次函数的性质求出最大值
(3)①如图2中,设N(x,y),根据中点坐标公式列出方程组即可解决问题.②如图3中,平行四边形AMBN 的面积为S=2 S △ABM=-m 2+5m,求出S 的范围,画出图象即可解决问题
【详解】
(1):直线:y=-3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A,B 两点,
∴A(1,0),B(0,3),
把点B(0,3)代入y=ax 2-2ax+a+4得a=-1
∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3
（2)如图1中,连接OM,设M(m,-m 2+2m+3)
・∴S=S △BOM+S △AOM- S △AOB=
221131531(23).(022222m m m m m +-++-=-+＜m ＜3) ∵S=22151525()22224m m m -+=--+
∵-12
＜0 ∴m=52 时,S 有最大值为254
（3）①如图2中,设
N(x,y)
∵当△MAB 面积最大时,平行四边形MBNA 面积最
大,由(2)可知,M （5724
， ）,A(1,0),B(0,3)
∵四边形AMBN 是平行四边形,
∴AB 与MN 互相平分 51022270342
2x y ⎧+⎪+=⎪⎪⎨⎪++⎪=⎪⎩ ，解得3254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴点N 坐标（-3524
，）
故答案为（-3524，）
②如图3中
∵平行四边形AMBN 的面积为
S=2· S△ABM=-m 2+5m
∵a=-1<0
∴S 有最大值=
254 ∴0<S<254
∵S 是整数,
∴S=1或2或3或4或5或6
由图象可知对应的m 的值有12个
故答案为12
【点睛】
此题为二次函数综合题，考查了三角形面积，平行四边形面积，解题关键在于把已知点代入到方程求参数
21．（1）证明见解析（2）18°
【解析】
【分析】
（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD 即可；（2）利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质求解即可．
【详解】
（1）证明：∵∠D ＝∠C ＝90°，
∴△ABC 和△BAD 都是Rt △，
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
AD BC AB BA =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）；
（2）∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，
∴∠ABC ＝∠BAD ＝36°，
∵∠C ＝90°，
∴∠BAC ＝54°，
∴∠CAO ＝∠CAB ﹣∠BAD ＝18°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”．
22．22m
【解析】
【分析】
在Rt △AED 中求AD ，再在Rt △ABC 中求AB.
【详解】
解：在Rt △AED 中
18.423()tan tan 380.8
AE AE AD m EDA ====∠︒ 所以，AC=CD+AD=16+23=39(m)
在Rt △ABC 中
3tan 39tan 303913313 1.7223
AB AC C =∙=∙︒=⨯
=≈⨯≈ (m) 答：主塔AB 的高22m.
【点睛】
解直角三角形的运用.
23．树高为9米
【解析】
【分析】 过点A 作AF ⊥DE 于F ，可得四边形ABEF 为矩形，设DE=x ，在Rt △DCE 和Rt △ABC 中分别表示出CE ，BC
的长度，求出DF 的长度，然后在Rt △ADF 中表示出AF 的长度，根据AF=BE ，代入解方程求出x 的值即可．
【详解】
如图，过点A 作AF DE ⊥于F ，则四边形ABEF 为矩形，
3AF BE EF AB ∴===，米，设DE x =，
在Rt CDE ∆中,3603
DE CE x tan ==， 在Rt ABC ∆中，13333AB
AB BC BC ==∴=，，， 在Rt AFD ∆中()333330x DF DE EF x AF x tan -=-=-∴==-，， ()333333AF BE BC CE x x ==+∴-=+，，解得9x =(米).
答：树高为9米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
24．（1）34-；（2）4x ﹣13
【解析】
【分析】
（1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先算乘法，再换上同类项即可．
【详解】
解：（1）原式＝23﹣3×33﹣4 ＝23﹣3﹣4
＝3﹣4；
（2）原式＝x 2﹣9﹣x 2+4x ﹣4＝4x ﹣13．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数，整式的混合运算等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
25．(1)画图见解析，tan ∠ABC ＝
12
；(2)见解析. 【解析】
【分析】
（1）利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）沿图中虚线剪开，可以拼成平行四边形DEFG．【详解】
(1)如图1中，△ABC即为所求．
作AH⊥BC于H．
∵S△ABC＝1
2
•BC•AH＝4，BC＝210，
∴AH＝210 5
在Rt△ABH中，BH＝22410 5
AB AH
-=，
∴tan∠ABC＝AH1 BH2
=．
(2)如图2中，平行四边形DEFG如图所示．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，勾股定理，平行四边形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.。