第二章流变学的基本概念
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第2章 流变学的基本概念
u x u y u , 和 z x y z
分别表示各坐标 轴方向上的单位 伸长，即变形对 各坐标的变化率。
无穷小位移梯度张量
2.3.2 应变张量
根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张 量可分解为两部分：
1 u x u z （ + ） 2 z x 1 u y u z （ + ） y 2 z y u z 1 u z u y （ + ） 2 y z z 1 u x u y 1 u x u z 0 （ ） （ ） 2 y x 2 z x 1 u y u x u y 1 u y u z ） （ ） （ =E+W 2 x y y 2 z y 1 u u u z 1 u z u y x z （ ） （ ） 2 x z 2 y z z u x x du 1 u y u x （ + ） ds 2 x y 1 u u （ z + x） 2 x z 1 u x u y （ + ） 2 y x u y
2.2.3.2 张量的代数运算
1）张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
2）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P 11 T P P21 P 31 P 12 P22 P32 P P 13 11 P23 P21 P P33 31
第2章 流变学的基本概念
主要内容
2.1 流体形变的基本类型
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 2.3 应力张量和应变张量 2.4 本构方程和材料函数
分别表示各坐标 轴方向上的单位 伸长，即变形对 各坐标的变化率。
无穷小位移梯度张量
2.3.2 应变张量
根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张 量可分解为两部分：
1 u x u z （ + ） 2 z x 1 u y u z （ + ） y 2 z y u z 1 u z u y （ + ） 2 y z z 1 u x u y 1 u x u z 0 （ ） （ ） 2 y x 2 z x 1 u y u x u y 1 u y u z ） （ ） （ =E+W 2 x y y 2 z y 1 u u u z 1 u z u y x z （ ） （ ） 2 x z 2 y z z u x x du 1 u y u x （ + ） ds 2 x y 1 u u （ z + x） 2 x z 1 u x u y （ + ） 2 y x u y
2.2.3.2 张量的代数运算
1）张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
2）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P 11 T P P21 P 31 P 12 P22 P32 P P 13 11 P23 P21 P P33 31
第2章 流变学的基本概念
主要内容
2.1 流体形变的基本类型
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 2.3 应力张量和应变张量 2.4 本构方程和材料函数
流变学的基本概念2
利用包轴现象可以设计出一种 圆盘挤出机，熔融的物料从加 料口加入，在 旋转流动中沿轴 爬升，而后从轴心处的排料口 排除 ，如左图所示。其优点在 于，制造方便。性能稳定，可 以用作 橡胶加工螺杆挤出机 的 喂料装置，可以提高混合效果 和基础挤出稳定性 。
(2) 剪切变稀现象 (shear thinning)
椭圆管道
锥形口模
? 牛顿流体旋转时的次级流动是离心力造 成的。
? 高分子液体的次级流动方向往往与牛顿 型流体相反，是由粘弹力和惯性力综合 形成的。这种反常的次级流动在流道与 模具设计中十分重要。
(7) 孔压误差和弯流压差
测量流体内压力时， 若压力传感器端面安 装得低于流道壁面， 形成凹槽，则测得的 高分子液体的内压力 将低于压力传感器端 ? 面安装得与流道壁面 相平时测得的压力， 如下图中有ph ? p，这 ? 种压力测量误差称孔 压误差。
牛顿流体
非牛顿流体
法向应力Biblioteka 出口收缩出口胀大挤出胀大现象
?挤出胀大现象产生的原因：其产生的原因也被归结为高分子熔体具有
弹性记忆能力所致，当高分子流体被迫挤出时即想恢复它原来的状态，从而
出现胀大。 当熔体进入口模时，收到强烈的拉伸和剪切形变，其中 拉伸形变属弹性形变，这些形变在口模中只有部分得到松弛，剩余 部分在挤出口模后发生弹性恢复，从而出现挤出胀大现象。
?实验表明，高分子浓溶液和熔体都具有这种性 质，因而能产生稳定的 连续拉伸形变，具有良好 的纺丝和成膜能力。
(6) 各种次级流动
研究表明，高分子液体 在均匀压力梯度下通过 非圆形管道流动时，往 往在主要的纯轴向流动 上，附加出现局部区域 性的环流，称为次级流 动，或二次流动，在通 过截面有变化的流道时 ，有时也发生类似的现 象，甚至更复杂的还有 三次，四次流动。
(2) 剪切变稀现象 (shear thinning)
椭圆管道
锥形口模
? 牛顿流体旋转时的次级流动是离心力造 成的。
? 高分子液体的次级流动方向往往与牛顿 型流体相反，是由粘弹力和惯性力综合 形成的。这种反常的次级流动在流道与 模具设计中十分重要。
(7) 孔压误差和弯流压差
测量流体内压力时， 若压力传感器端面安 装得低于流道壁面， 形成凹槽，则测得的 高分子液体的内压力 将低于压力传感器端 ? 面安装得与流道壁面 相平时测得的压力， 如下图中有ph ? p，这 ? 种压力测量误差称孔 压误差。
牛顿流体
非牛顿流体
法向应力Biblioteka 出口收缩出口胀大挤出胀大现象
?挤出胀大现象产生的原因：其产生的原因也被归结为高分子熔体具有
弹性记忆能力所致，当高分子流体被迫挤出时即想恢复它原来的状态，从而
出现胀大。 当熔体进入口模时，收到强烈的拉伸和剪切形变，其中 拉伸形变属弹性形变，这些形变在口模中只有部分得到松弛，剩余 部分在挤出口模后发生弹性恢复，从而出现挤出胀大现象。
?实验表明，高分子浓溶液和熔体都具有这种性 质，因而能产生稳定的 连续拉伸形变，具有良好 的纺丝和成膜能力。
(6) 各种次级流动
研究表明，高分子液体 在均匀压力梯度下通过 非圆形管道流动时，往 往在主要的纯轴向流动 上，附加出现局部区域 性的环流，称为次级流 动，或二次流动，在通 过截面有变化的流道时 ，有时也发生类似的现 象，甚至更复杂的还有 三次，四次流动。
流变学(二)
Polymer Rheology
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 一、张量的初步概念 1、张量的定义
BUCT
在场中某一点处，由于作用面方位不同而取得不同量 值的物理量称为张量，它既有大小，又有方向，还和 作用面的方位有关。 张量分量数目由阶数定，即： 张量分量数目=3n （数量30 、矢量31 、二阶张量32 ）
Polymer Rheology
BUCT
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 二、应力的概念 1、作用在材料上的力
BUCT
r 体积力（远程力）：重力、磁力等 单位：[力]∕[长度Δ ]2T
表面力（近程力）：摩擦力、压力等 Kgf/cm2
2=Pa N/m ΔA
2、内力与应力
r ΔT r σ = lim ΔAc → 0 ΔA c
II ε =
BUCT
εx
1 γ yx 2
εx
1 III ε = γ yx 2 1 γ zx 2
Polymer Rheology
1 1 γ xy εy γ yz εx 2 2 + + 1 1 εy γ zy εz γ zx 2 2 1 1 γ xy γ xz 2 2 1 εy γ yz = ε 1 • ε 2 • ε 3 2 1 γ zy εz 2
τ 12 σ 22 − σ m τ 32
⎤ τ 23 ⎥ ⎥ σ 33 − σ m ⎥ ⎦
τ 13
应力张量
球应力张量
偏斜应力张量
1 σ m = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 3
Polymer Rheology
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 五、应力张量的特殊形式 1、静压张量
第二章 流变学的基本概念
1. 简单实验
材料是均匀的，各向同性的， 而材料被施加的应力及发生的应变 也是均匀和各向同性的，即应力、 应变与坐标及其方向无关。
1.1 应变
1.1.1 各向同性的压缩和膨胀
y
c
x
b` b a c` a` 各向同性膨胀
z
a`=aα b`=bα c`=c α α-伸缩比
1
a`a b`b c`c 1 a b c 1
变化规律。
log
A t B a C
A：t 随 ↑ 而↑,
支化聚合物。如支化PE
B：t 与 无关: 聚合度低的线性高物:POM、PA-66 C：t 随 ↑而↓,
logŕ
高聚合度PP
拉伸流动中会发生链缠结, 拉伸黏度降低, 同时链伸展并沿 流动方向取向,分子间相互作用增加,流动阻力增加,伸展黏 度变大.拉伸黏度取决于这两个因素哪一个占优势.
t df / ds
df 为作用在表面上无限小面积ds上的力。在简单 实验中由于力是均匀的。 应力——材料单位面积受到的表面力作用
t f /s
1.2.1 应力的分量表示法和应力张量
应力的性质：应力的大小；方向；作用面。 应力的分量第1个下标表示作用面，第2个下 标表示应力的方向。 作用力的方向与作用面垂直，被称为应力的 法向分量, txx、 tyy 、 tzz。 作用力的方向与作用面平行，被称为应力的 切向分量，txy、 tyx 、 tzx、txz、tzy、tyz。
微晶的存在 起到交联的 作用
结晶性线形聚合物的拉伸模量与温度的关系 其形状与无定型聚合物类似，其区别是坪台区较宽，
且平台处的模量较高.
3.5 模量的分子量依赖性
低温时粘弹性主要决定于大分 子链的小链段的运动，而与大 分子链本身的尺寸基本上无关 。在高温时的粘弹性则涉及到 较大链段的复杂运动，以解开 缠绕并最后大分子链间相互滑 移 ，所以分子量对拉伸模量的 影响主要在高弹态和粘流态
第二章 流变学的基本概念
D、简单剪切 设流体的应力状态为，只有剪切分量ζxy 是常数，而 其它剪切分量为0，即在y=常数的平面上沿x方向受 到剪应力，按照应力对称原则，在x=常数的平面上 沿y方向也有剪切应力存在。如右图1.7所示。 此时应力可表示为
0 xy yx 0 0 0
第二章:流变学的基本概念
在流变学中讨论变形时,要研究变形时应力与
应变的关系,遵从胡克定律;讨论流动时,要研 究应力与应变速率的关系,遵从牛顿定律.下面 我们就从简单实验着手,讨论一些基本物理量.
2.1基本物理量
一、张量分析基础 1、张量概念 a、标量：只有大小，如温度、时间 b、矢量：既有大小又有方向，如位移、速度、 加速度、力 如空间坐标中，线段长度用OP表示，方向用 3 箭头表示，记为 OP a
二、应力及应力张量 1、应力的表示 物体在外力作用会产生流动和变形，但物体同时为抵抗 流动和变形，物体内部产生相应的应力。应力定义为材料 内部单位面积上的响应力，单位为Pa。
F lim s 0 s
2、应力张量 应力作用在材料的哪个面上.也是一个考虑的因素之一.因为 同样大小和方向的应用,如果作用面不同,材料也会发生不同 的变形所以应力也是一个张量. 由大小,方向及方向面的三 个因素决定.
偏应力张量的重要特征是对角线之和等于0。
应变 1.2.1 各向同性的压缩与膨胀(书10页)
1.2
a a b b c c a b c
.2.2
拉伸与单向压缩
l l l b b c c b c
ε为长度的分数增量,δ为侧边长的 分数减量.两者均称为应变.
第二章 流变学的基本概念
l′＝l
b′＝b c′＝c V/V0＝2Biblioteka ＝1＋ <<1
＝1－ <<1
l l l
为长度的分数增量 为侧边的分数减量
5
b b c c b c
体积的分数变化
△V/V＝[(1＋)(1－)2-1]
由于<<1，<<1，故
△V/V≈－2
拉伸时，>1，<1，>0，>0， 压缩时，<1，>1，<0，<0，即长度缩小，截面增大
△V/V＝3－1＝（1＋）3－1＝3＋32＋3
由于<<1
△V/V≈3
△V/V是边长的分数变化的3倍
各向同性膨胀是均匀的变形（Homogeneous）。物体内 任何体积单元都变化3倍，当然物体不一定是立方柱体
4
2.2.2 拉伸和单向压缩 （Extension and uniaxial expension）
特点 材料均匀、各向同性，材料被施加的应力及发生的应变也 是均匀和各向同性，即应力、应变与坐标及其方向无关
2
2.2 应变（Strain）
2.2.1 各向同性的压缩和膨胀 （Isotropic compression and expansion）
a′＝a b′＝b
比 更常见 和更常用
c′＝c
a b c 称为伸缩比（Stretch ratio） >1，膨胀， a b c <1，压缩, 3表示体积的变化
a a b b c c <<1 ，>0，膨胀，<0，压缩 1 3 a b c
体积变化量△V/V0，V0是原始体积，△V是体积之变化量
b′＝b c′＝c V/V0＝2Biblioteka ＝1＋ <<1
＝1－ <<1
l l l
为长度的分数增量 为侧边的分数减量
5
b b c c b c
体积的分数变化
△V/V＝[(1＋)(1－)2-1]
由于<<1，<<1，故
△V/V≈－2
拉伸时，>1，<1，>0，>0， 压缩时，<1，>1，<0，<0，即长度缩小，截面增大
△V/V＝3－1＝（1＋）3－1＝3＋32＋3
由于<<1
△V/V≈3
△V/V是边长的分数变化的3倍
各向同性膨胀是均匀的变形（Homogeneous）。物体内 任何体积单元都变化3倍，当然物体不一定是立方柱体
4
2.2.2 拉伸和单向压缩 （Extension and uniaxial expension）
特点 材料均匀、各向同性，材料被施加的应力及发生的应变也 是均匀和各向同性，即应力、应变与坐标及其方向无关
2
2.2 应变（Strain）
2.2.1 各向同性的压缩和膨胀 （Isotropic compression and expansion）
a′＝a b′＝b
比 更常见 和更常用
c′＝c
a b c 称为伸缩比（Stretch ratio） >1，膨胀， a b c <1，压缩, 3表示体积的变化
a a b b c c <<1 ，>0，膨胀，<0，压缩 1 3 a b c
体积变化量△V/V0，V0是原始体积，△V是体积之变化量
第二章 流变学的基本概念03
第二不变量
& & &i j
& & & & & & & & & & & & = exx exx + exy e yx + exz ezx + e yx exy + e yy e yy + e yz ezy & & & & & & + ezxexz + ezy e yz + ezz ezz
A0
u y u x u z exx = = e yy = = ezz = =ε x y z 1 u x u y exy = e yx = y + x = exz = ezx = e yz = ezy = 0 2
简单剪切simple shear
A0
F θ
F
1 u x u y 1 = γ exy = e yx = + y 2 2 x
v x v y & & = γ& exy = e yx = + y x
& = 2γ& 2 I2
2.4 本构方程和材料函数
连续性方程 运动方程 能量方程
本构方程 材料函数
作业
1. 何为应变张量？ 2. 何为应变速率张量？ 3. 推导三类基本类型流体的应变张量？
Strain (应变 应变) 应变
Shear strain
剪切应变
dx γ= dy
F
dx v+dv v A dy F
Shear rate
切变速率
dγ dv γ& = = dt dy
第二章 流变学基本概念
剪切应变变形
应变 =
位移 间隙
剪切应变通常简称为应变 应变没有单位。因此人们采用 ‘% strain’ 或 ‘millistrain’ 采用应变的原因是它与几何形状无关
剪切应力
施加在单位面积上的力称为剪切应力
力 面积
=
N m2
1 N/m2 = 1 Pa
粘性流动
如果立方体是粘性液体，当我们施加一个力时，我们就 得到一个恒定的流动而不是一个形变 这个流动能够描述为应变随时间变化的函数关系
第三不变量:
2.4本构方程
本构方程又称流变状态方程，是联系应力张量和应变张量或应变 速率张量之间的关系方程，而联系的系数通常是材料常数，如粘 度、模量等. 从理论上讲：建立流体的本构方程是流变学最重要的任务，是将 计算方法引入流变学的关键。寻找合适的本构方程至今仍然是流 变学领域研究的一个热点。 从工程上讲：它是高分子加工过程复杂流动问题的工程分析基础。
单元表面作用力
图2-4中δS 是截面积，δF是作用力，v为法向单位矢量。P点应力σ的定义
2.3.1 应力张量
力：F 三个相互垂直面 力分解：F1， F2， F3 引入微元面和dS
得应力：T1，T2，T3
符号说明：
Txx 、 Tyy 、 Tzz 它们分别垂直于 x 、 y 、 z 轴垂直 的平面上称为法向应力分量。 Txy 、 Tyz 、 Txz 、 Tzx 、 Tyz 、 Tzy 均为某一平面上 平行的切应力方向， 第一个下标表示该分量作
Force, F
Constant velocity, v化速率称为剪切应变速率 （shear strain rate）或剪切速率（SHEAR RATE ）
第二节流变学简介
D
切力增加——上行线
切力降低——下行线
滞后面积：上行 线和下形线不重合
S
环形曲线
衡量触变性大小的定量指标——滞后面积
D
S
产生触变的原因：对流体施加剪切力后，破坏
了液体内部的网状结构，当剪切力减小时，液 体又重新恢复原有结构，恢复过程所需时间较 长，因而触变流动曲线中上行线和下行线就不 重合
D
S
பைடு நூலகம்
n
a
(n>1)
切稀！越切越稀！
式中ηa ——表观粘度（apparent viscosity ）
如甲基纤维素、西黄蓍胶、海藻酸钠等链状高 分子的1%水溶液表现为假塑性流动，其原因是： 随着S值的增大，这些高分子的长轴按流动方向有 序排列，减少了对流动的阻力。
流动公式：D=Sn/a
D
剪切力增大， 粘度下降，
D
S
触变流动的特点：塑性流体、假塑性流体、
胀性流体中多数具有触变性
药剂中很多制剂具有触变性：如油制普鲁 卡因注射液 液体或半固体制剂：糖浆、某些软膏等 其它材料：钻井泥浆、土壤
三、流变性的测定
对于液体制剂来说，最重要的流变学特性就是黏 度。动力学黏度计算公式为：
S n( D ) D
黏度的测定方法：
在其它材料中表现： 油漆、牙膏、泥浆等
塑性流体的结构变化示意图 产生原因：体系中粒子受到范德华力或氢键作 用在静置状态下形成立体网络结构，要使体系 流动，就要破坏这些网状结构。
（二）假塑性流动（pseudoplastic flow）
假塑性流动的流动曲线随着 S 值的增大，粘 度下降的流动现象称为假塑性流动，其流动公 式如下所示：
第
第二章 流变学基本概念
H
剪切应变变形
在上端面施加一个力，该力就产生一个形变 Force, F
剪切应变变形
在上端面施加一个力，该力就产生一个形变 Force, F
剪切应变变形
在上端面施加一个力，该力就产生一个形变 Force, F
剪切应变变形
在上端面施加一个力，该力就产生一个形变 du Force, F
h
（剪切应变）Shear Strain = du / h
可将应力张量T分解为两部分，一是和.流体的形变有关 的动力学应力τ ，也称为偏应力张量，另一部分是张量 的各向同性部分。那么应力张量T可以写为:
当i=j时，应力分量就是法向应力，其他分量叫做剪切应力。
拉伸实验
各向同性的压缩 Tn=-nP
式中，P为压力，它是正的，所以在式前加上负号，表示Tn的方向与n相 反，是内向的。流体静止时内部的接触力就属于这种性质，所以各向同 性的应力有时也称作流体静压力(hydrostatic stress)。面体被流体包 围并处于平衡时其内部的应力也是各向同性的。
2.1 流体变形的基本类型
流体变形的分类：
原边长：l, m, n
拉伸和单向膨胀
各向同性的压缩和膨胀 简单剪切和简单剪切流
拉伸后：l‘, m’, n‘
l‘=λl m’ =μλ
n‘=μn
λ为伸长比
V/V0=λμ2 V:流体元变形后体积 V0：初始体积
简单剪切和简单剪切流
剪切应变变形
想象一个放置在固定面上的类似橡胶状材料的立方体
换句话说，在y面上施加一个剪切应力 Tyx时，必定随之施加一个作用于x面上 的大小相同的剪切应力Txy，才能使试样 保持平衡。因此，在简单剪切实验中， 应力张为:
2.3.2 应变张量
第二章 流变学的基本概念02
l
简单拉伸示意图
拉伸应力σ 为材料的起始截面积） 拉伸应力σ = F / A0 （A0为材料的起始截面积） 拉伸应变（相对伸长率） 拉伸应变（相对伸长率）ε = （l - l0）/l0 = l / l0
各向同性的压缩和膨胀isotropic
材料受到均匀压力压缩时发生的体积形变称压缩应变 材料受到均匀压力压缩时发生的体积形变称压缩应变 （γ V）。
Hydrostatic and Deviatoric Stress
(偏应力张量 偏应力张量) 偏应力张量
δ11 δ12 δ13 δm : the isotropic pressure δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 δ m = (δ11 + δ 22 + δ 33 ) / 3 = Constant δ 31 δ 32 δ 33 δ12 δ13 δ m 0 0 δ11 δ m 0 δ + δ δ 22 δ m δ 23 = 0 21 m 0 0 δ m δ 31 δ 32 δ 33 δ m
δ22
F
x2
δ11
x1 x3
N2 = δ22-δ33 δ
p= 3
δ33
δ 11 + δ 22 + δ 33
=0
法向应力差不会由于各向同性压力的加入而改变！ 法向应力差不会由于各向同性压力的加入而改变！
Relationship between Normal Force Difference and Shear Rate
A0
材料经压缩以后，体积由 缩小为V，则压缩应变： 材料经压缩以后，体积由V0缩小为 ，则压缩应变： γ V = （V0 - V）/ V0 = V / V0=3ε ） ε
简单剪切simple shear
第二章 高分子流变学基本概念
加入第二组分，可降低熔体粘度，改善加工性能（提高
产品质量）
例子：PPS/PS
PPS的加工缺点
PPS的优点
PPS 分子链呈刚性, 结晶度可达 75%, 韧性较差, 又因熔点高, 在 熔融过程中易与空气中的氧发生
热氧化交联反应, 致使粘度不稳
定。通过聚合物共混改性是克服
PPS 上述缺点的有效措施。
PS的加工优点
填料 塑料和橡胶中的填料不但填充空间、降低成本，而 且改善了聚合物的某些物理和机械性能。常见的填料有炭 黑、碳酸钙、陶土、钻白粉、石英粉等。
Thank you !
一、牛顿流体和非牛顿流体
1、牛顿流体：
牛顿流体是指在受力后极易变形，且切应力与变形速率 （或切变速率）成正比的低粘性流体
凡流动行为符合牛顿流动定律的流体，称 为牛顿流体。牛顿流体的粘度仅与流体分 子的结构和温度有关，与切应力和切变速 率无关。
牛顿流体：水、甘油、高分子稀溶液。
剪切形变
dx dy
（5）聚合物熔体的弹性现象和原因；
（6）了解拉伸流动；
引言
流变学： 是研究材料流动和变形规律的一门科学。
聚合物流变学： 为高分子成型加工奠定理论基础。
聚合物熔体流动时，外力作用发生粘性流动，同 时表现出可逆的弹性形变。故称之为弹粘体。
聚合物的流动并不是高分子链之间的简单滑移， 而是运动单元依次跃迁的结果。 （蚯蚓蠕动）
B 、粘度的分子量分布的依赖性 分子量分布宽的试样对切变速率敏感性大。
塑料：分布宽些容易挤出，流动性好，但分布太 宽会使性能下降。
橡胶：分布宽，低分子量，滑动性好，增塑作用， 高分子是保证一定力学性能。
C、 分子链支化的影响 短支链多：η低，流动性好，橡胶加入支化的橡胶 改善加工流动性。
流变学课件
结晶型聚合物有晶体和熔体
1％以下的稀溶液，其性能不随时间 变化，属于牛顿流体
聚合物溶体
10％以上时，属于非牛顿的假塑性流 体，有剪切变稀的特征
高达60％，失去流动性,属于非牛顿的 宾汉流体
更高浓度时，高交联度和高粘度，成为 冻胶和凝胶 （非牛顿）
聚合物液态 悬浮体
剪切变稀的特征，假塑性非牛顿流体 剪切变稠特征，即膨胀性非牛顿流体 剪切速率较高时，假塑性非牛顿流体
均质：材料的性质是均匀的，即其性质与试样采取的部 位无关，反之则是非均质的
各向同性：如果材料的性质与方向无关
两种性质取决于实验的规模与实验的分析测试技术
第三章 线性弹性
3.1 虎克定律与弹性常数
虎克定律: 应力与应变之间存在线性关系
=c
弹性常数 线性弹性（Linear elasticity）也称为虎克弹性
3.1.1 拉伸或单轴压缩（Extension and uniaxial expansion）
拉伸实验中，材料在受拉应力作用下产生长度方向的应 变，根据虎克定律：
=E
E为常数，称为杨氏模量 (Young’s modulus)，或拉伸 弹性模量（Tensile elastic modulus），拉伸模量
2.2.3 简单剪切和简单剪切流动 （Simple shear and simple shearing flow）
＝w/l=tan
称为剪切应变（Shear strain）
如应变很小，即 <<1，可近似地认为＝
对液体来说，变形随时间变化 ，其变形可用剪切速率 （Rate of shear）来表示
免常见的高浓度 必然高粘度和高 压力的工作点
其溶液的粘度-浓度和粘度-温度的变化不同于一般高 分子体系，它可以在较低的牵引拉伸比下，获得较 高的取向度
1％以下的稀溶液，其性能不随时间 变化，属于牛顿流体
聚合物溶体
10％以上时，属于非牛顿的假塑性流 体，有剪切变稀的特征
高达60％，失去流动性,属于非牛顿的 宾汉流体
更高浓度时，高交联度和高粘度，成为 冻胶和凝胶 （非牛顿）
聚合物液态 悬浮体
剪切变稀的特征，假塑性非牛顿流体 剪切变稠特征，即膨胀性非牛顿流体 剪切速率较高时，假塑性非牛顿流体
均质：材料的性质是均匀的，即其性质与试样采取的部 位无关，反之则是非均质的
各向同性：如果材料的性质与方向无关
两种性质取决于实验的规模与实验的分析测试技术
第三章 线性弹性
3.1 虎克定律与弹性常数
虎克定律: 应力与应变之间存在线性关系
=c
弹性常数 线性弹性（Linear elasticity）也称为虎克弹性
3.1.1 拉伸或单轴压缩（Extension and uniaxial expansion）
拉伸实验中，材料在受拉应力作用下产生长度方向的应 变，根据虎克定律：
=E
E为常数，称为杨氏模量 (Young’s modulus)，或拉伸 弹性模量（Tensile elastic modulus），拉伸模量
2.2.3 简单剪切和简单剪切流动 （Simple shear and simple shearing flow）
＝w/l=tan
称为剪切应变（Shear strain）
如应变很小，即 <<1，可近似地认为＝
对液体来说，变形随时间变化 ，其变形可用剪切速率 （Rate of shear）来表示
免常见的高浓度 必然高粘度和高 压力的工作点
其溶液的粘度-浓度和粘度-温度的变化不同于一般高 分子体系，它可以在较低的牵引拉伸比下，获得较 高的取向度
流变学基础讲课文档
以S表示。
2.剪切速度，单位为S-1，以D表示。
小分子流动与高分子黏性流动机理的区 别：
流动机理：
小分子的流动，简单来说是靠整个分子的孔 穴跃迁完成的。运动单元是整个分子。
在小分子液体内部，存在许多与小分子尺寸 相当的孔穴，在外力作用下，分子不断沿外力方 向跃迁填补前面的空穴，分子原来占有的位置成 为新的空穴后，又让后面的分子跃入，从而形成 了液体的宏观流动。
➢ 由外部应力而产生的固体的变形，如除去其应力，则固 体恢复原状，这种性质称为弹性。
➢ 把这种可逆性变形称为弹性变形，而非可逆性变形称为 塑性变形。
➢ 流动主要表示液体和气体的性质。流动的难易与物质本
身具有的性质有关，把这种现象称为粘性。流动也视为一 种非可逆性变形过程。
➢ 实际上，某一种物质对外力表现为弹性和粘性双重特性 （粘弹性）。这种性质称为流变学性质，对这种现象进行 定量解析的学问称为流变学。
切变应力与切变速率
➢ 在流速不太快时，可将流动着的液体视为互相平行移动 的液层叫层流（如下图），由于各层的速度不同，便形成 速度梯度du/dy，这是流动的基本特征（水中之游鱼）。
表征体系流变性质的两个基本参数：
u
1. 在单位液层面积（A）上施加的使
y
各液层间产生相对运动的外力称为剪
切应力，简称剪切力，单位为N/m2，
（c）假塑性流动 ➢式中，ηa ——表观粘度（apparent viscosity）。 ➢ 假塑性流动的特点：没屈伏值；过原点；切应速度增大， 形成向下弯的上升曲线，粘度下降，液体变稀。
假塑性流体的结构变化示意图
切力变稀体原因：1、由于剪切力作用使分子缠结解 开。2、由于大分子的长链结构，流动时，从不同 流速的液层中挣脱到同一流速层中去，而发生取 向。
流变学的基本知识
《临床血液流变学》P5第二章流变学的基本知识第一节流变学、生物流变学及类血液流变学一、流变学流变学（rheology）一词中的rheo起源于希腊语，有流动之意。
远在公元前5世纪，人们就流传着希腊哲学家Heraclitus的一句脍炙人口的名言：“一切在流，一切在变”。
流变学一词由此而来。
然而，流变学成为一门独立学科则是20世纪20年代的事情，当时，由于橡胶、塑料、油漆、润滑剂以及食品工业的迅速发展，推动了对上述原材料的研究。
因为这些物质都包含有流动和复杂变形的结构，这些物质所具有的运动现象，很难用经典的弹性力学和流体力学的方法来分析，为此，研究这类物质的流动与变形，必须紧密结合这些物质的结构和物理、化学属性，美国的物理化学家Bingham 在对油漆、糊状粘土、印刷油墨、润滑剂以及某些食品作了大量的研究后，认为这些物质都包含有使其能够复杂变形和流动的结构，其运动方式远较一般弹性体的变形和一般液体的流动复杂。
同时还指出，这些物质的复杂变形发生在流动过程中，并对其流动产生重大影响，在他的倡议下，美国于1928年成立了流变学会，并把研究物质流动和变形的科学称为流变学。
与流体力学、弹性力学、材料力学相比，流变学有2个突出的不同特点：其一，流变学研究的重点不仅限于物质的粘性运动和弹性变形，而是兼有这2种物理属性，或者更确切地说，是由这2种物理属性结合而成的物质的新的物理属性，即粘弹性和塑弹性。
其二，流变学研究的内容和范围不仅从宏观角度去探讨物质的力学性质和行为，而且还从微观的角度去揭示物质内部结构及其理化性质与其宏观力学和运动的关系。
由此可见，流变学又可以看作是物体的力学与构成物体的物质化学互相渗透的科学，正是从这一点出发，流变学又被定义为有关物体的力学性质和力学行为的物理化学。
物质在外力作用下能够变形或运动，是物质的普遍特性，不论是液体的流动，弹性体的变形或者是更为复杂的塑性、粘弹性以及塑弹性，均属于物质流变性的表现方式。
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第二章 流变学的基本概念
制造学院
课程内容
流体形变的基本类型 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 应力张量和应变张量 本构方程和材料函数
流体形变的基本类型
流体所有的流变现象都是力学行为
流动变形时
应力与应变 应力与应变
速率
流体形变的基本类型
Ⅰ.拉伸和单向膨胀
流体元在拉伸方向的长度增加而在另外两个 方向上的长度则缩短。
11 12 13 11 12 13
21
22
23
•
22
23
31 32 33 • • 33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）并矢张量
将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：
A1B1
A2 B1
A3B1
A1B2 A2 B2 A3 B2
A1B3
A2
B3
A3B3
并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特 殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。
0
Tyy
0
0 0 Tzz
应力张量和应变张量
③简单剪切
在实验中，应力与作用面平行。 总力矩为：
dL Tyxdxdydz Txydxdydz
为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必 须施加相应的另一个剪切应力。
0 Txy 0 T Tyx 0 0
1 0 0
= 0 1 0
0 0 1
当i j时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力
应力张量和应变张量
简单流变实验中的应力张量
①拉伸实验 在矩形断面上施加一个与端面垂直的力。
Txx 0 0
T
0
0 0
0 0 0
应力张量和应变张量
②各向同性压缩
应力矢量总是与分隔面垂直，且在某给定点 上的大小与分割面方向无关。
应力张量和应变张量
当S 0时，比值F S 趋于一个确定的极限dF dS
极限向量可写为： T dF dS
极限向量T 称为面力，或称为应Байду номын сангаас向量， 即代表作用在面上的单位面积的力；
应力张量和应变张量
Ⅰ.应力张量
在笛卡尔坐标系中，可以将某点的作用力分 解在该点附近的三个互相垂直的微分面上，微分 面的方向与选择的坐标方向相同。将各个面的分 力除以微体积元对应的表面积，得到相关的应力， 再沿坐标方向进行分解，得到的分量形式为:
简单剪切形变示意图
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
标量、矢量和张量是用数学方法处理流 体流动与变形时，常用的物理量。
1）标量 在选定了测量单位后，仅有数值大小决定的物理量。 2）矢量 同上条件，由数值大小和空间决定的物理量。 3）张量 是矢量的推广，是在一点处不同方向上有不同量值 的物理量。
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
简单拉伸示意图
流体形变的基本类型
Ⅱ.各向同性的压缩和膨胀
在各向同性膨胀中，任何形状的流体元都变 为几何形状相似但尺寸变大的流体元。
各向同性膨胀实验示意图
流体形变的基本类型
Ⅲ.简单剪切和简单剪切流
在简单剪切实验中，流体元的顶面相对于底 面发生位移，而高度保持不变，使得原来与底面 垂直的一边在变形后与其原来位置构成一定的角 度。可以用 来表示
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
4）张量相等
在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
5）张量的加减
按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
6）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P11 P12 P13 P11 P12 P13
Txy Tyy
Txz Tyz
Tzx Tzy Tzz
T 称为应力张量，而Tij则称为应力张量分量。
应力张量和应变张量
通常将应力张量分解为两部分：
⑴流体形变有关的动力学应力，偏应力张量； ⑵张量的各向同性部分；
T -P Tij -Pij ij
应力张量和应变张量
称为单位张量，可定义为以下形式：
Tn nP
流体静止时（完全流体无论何时）内部的 接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力 也称为流体静压力。
应力张量和应变张量
在各向同性压缩实验中，应力在任何方向 都与作用面垂直且大小相同。即在笛卡尔坐标 中：
Txx Tyy Tzz P
剪切应力分量均为零，则应力张量为：
Txx 0 0
T
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)mi nj
t' ij
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
tmn
(x1,
x2
,
x3
) im
jn
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
Ⅲ.张量的运算
1）单位张量（克罗内克算子）
1 0 0
I
ij
0
1
0
0 0 1
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
2）对称张量 张量的分量满足 ij ji ，则称这样的张量为对称 张量。
T1 (Txx ,Txy ,Txz ) T2 (Tyx ,Tyy ,Tyz ) T3 (Tzx ,Tzy ,Tzz )
第一个下标表示 该应力的作用面。
第二个下标表示 该应力的方向。
应力张量和应变张量
在笛卡尔坐标系中，只需在三个面上的应力
分量，就能完整描述材料的受力情况。可成以下 矩阵形式：
T TTxyxx
②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张 量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。
③如果某个张量方程在一个坐标系中能够成立， 那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一 定成立。
应力张量和应变张量
物体受力的类型：
1）外力 作用在物体上的非接触力，也称为长程力。 2）表面力 施加在物体外表面的接触力。 3）内部应力 是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体 表面的接触力，又称为近程力。
Ⅱ.数学定义
不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关 系：
标量： 矢量：
张量：
( x1
,
x2
,
x3
)
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fi
(x1,
x2
,
x3
)
Fk'
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)ki
Fi '
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fk
( x1 ,
x2
,
x3
)ik
tij
( x1 ,
x2
,
x3
)
t' m
T
P
P21
P22
P23
P21
P22
P23
P31 P32 P33 P31 P32 P33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
7）向量和张量的乘积
向量与张量点乘，其积均为一个矢量。
8）张量与张量乘积
张量与张量单点积得一张量：
T P•Q
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
Ⅳ.张量的重要性
①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等 于零，在所有笛卡尔坐标系中也为零。
制造学院
课程内容
流体形变的基本类型 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 应力张量和应变张量 本构方程和材料函数
流体形变的基本类型
流体所有的流变现象都是力学行为
流动变形时
应力与应变 应力与应变
速率
流体形变的基本类型
Ⅰ.拉伸和单向膨胀
流体元在拉伸方向的长度增加而在另外两个 方向上的长度则缩短。
11 12 13 11 12 13
21
22
23
•
22
23
31 32 33 • • 33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）并矢张量
将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：
A1B1
A2 B1
A3B1
A1B2 A2 B2 A3 B2
A1B3
A2
B3
A3B3
并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特 殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。
0
Tyy
0
0 0 Tzz
应力张量和应变张量
③简单剪切
在实验中，应力与作用面平行。 总力矩为：
dL Tyxdxdydz Txydxdydz
为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必 须施加相应的另一个剪切应力。
0 Txy 0 T Tyx 0 0
1 0 0
= 0 1 0
0 0 1
当i j时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力
应力张量和应变张量
简单流变实验中的应力张量
①拉伸实验 在矩形断面上施加一个与端面垂直的力。
Txx 0 0
T
0
0 0
0 0 0
应力张量和应变张量
②各向同性压缩
应力矢量总是与分隔面垂直，且在某给定点 上的大小与分割面方向无关。
应力张量和应变张量
当S 0时，比值F S 趋于一个确定的极限dF dS
极限向量可写为： T dF dS
极限向量T 称为面力，或称为应Байду номын сангаас向量， 即代表作用在面上的单位面积的力；
应力张量和应变张量
Ⅰ.应力张量
在笛卡尔坐标系中，可以将某点的作用力分 解在该点附近的三个互相垂直的微分面上，微分 面的方向与选择的坐标方向相同。将各个面的分 力除以微体积元对应的表面积，得到相关的应力， 再沿坐标方向进行分解，得到的分量形式为:
简单剪切形变示意图
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
标量、矢量和张量是用数学方法处理流 体流动与变形时，常用的物理量。
1）标量 在选定了测量单位后，仅有数值大小决定的物理量。 2）矢量 同上条件，由数值大小和空间决定的物理量。 3）张量 是矢量的推广，是在一点处不同方向上有不同量值 的物理量。
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
简单拉伸示意图
流体形变的基本类型
Ⅱ.各向同性的压缩和膨胀
在各向同性膨胀中，任何形状的流体元都变 为几何形状相似但尺寸变大的流体元。
各向同性膨胀实验示意图
流体形变的基本类型
Ⅲ.简单剪切和简单剪切流
在简单剪切实验中，流体元的顶面相对于底 面发生位移，而高度保持不变，使得原来与底面 垂直的一边在变形后与其原来位置构成一定的角 度。可以用 来表示
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
4）张量相等
在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
5）张量的加减
按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
6）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P11 P12 P13 P11 P12 P13
Txy Tyy
Txz Tyz
Tzx Tzy Tzz
T 称为应力张量，而Tij则称为应力张量分量。
应力张量和应变张量
通常将应力张量分解为两部分：
⑴流体形变有关的动力学应力，偏应力张量； ⑵张量的各向同性部分；
T -P Tij -Pij ij
应力张量和应变张量
称为单位张量，可定义为以下形式：
Tn nP
流体静止时（完全流体无论何时）内部的 接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力 也称为流体静压力。
应力张量和应变张量
在各向同性压缩实验中，应力在任何方向 都与作用面垂直且大小相同。即在笛卡尔坐标 中：
Txx Tyy Tzz P
剪切应力分量均为零，则应力张量为：
Txx 0 0
T
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)mi nj
t' ij
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
tmn
(x1,
x2
,
x3
) im
jn
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
Ⅲ.张量的运算
1）单位张量（克罗内克算子）
1 0 0
I
ij
0
1
0
0 0 1
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
2）对称张量 张量的分量满足 ij ji ，则称这样的张量为对称 张量。
T1 (Txx ,Txy ,Txz ) T2 (Tyx ,Tyy ,Tyz ) T3 (Tzx ,Tzy ,Tzz )
第一个下标表示 该应力的作用面。
第二个下标表示 该应力的方向。
应力张量和应变张量
在笛卡尔坐标系中，只需在三个面上的应力
分量，就能完整描述材料的受力情况。可成以下 矩阵形式：
T TTxyxx
②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张 量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。
③如果某个张量方程在一个坐标系中能够成立， 那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一 定成立。
应力张量和应变张量
物体受力的类型：
1）外力 作用在物体上的非接触力，也称为长程力。 2）表面力 施加在物体外表面的接触力。 3）内部应力 是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体 表面的接触力，又称为近程力。
Ⅱ.数学定义
不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关 系：
标量： 矢量：
张量：
( x1
,
x2
,
x3
)
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fi
(x1,
x2
,
x3
)
Fk'
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)ki
Fi '
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fk
( x1 ,
x2
,
x3
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( x1 ,
x2
,
x3
)
t' m
T
P
P21
P22
P23
P21
P22
P23
P31 P32 P33 P31 P32 P33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
7）向量和张量的乘积
向量与张量点乘，其积均为一个矢量。
8）张量与张量乘积
张量与张量单点积得一张量：
T P•Q
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
Ⅳ.张量的重要性
①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等 于零，在所有笛卡尔坐标系中也为零。