初中数学三角形证明题经典题型训练汇总(修订版)精选-共29页
初中数学44道经典的三角形证明题汇总(两篇)
引言：三角形是数学中重要的几何形状之一，而三角形的证明题也是数学学习中的重要内容。
本文总结了初中阶段数学中44道经典的三角形证明题，帮助学生更深入地理解三角形的性质和定理，同时提高解题能力和逻辑思维能力。
概述：本文分为五个大点介绍了这44道经典的三角形证明题。
每个大点下面包含了59个小点详细阐述。
这些证明题涵盖了三角形的等边、等腰、直角、等腰直角以及一般三角形的性质和定理。
正文内容：一、等边三角形的证明题1.证明等边三角形三条边相等。
2.证明等边三角形三个内角都是60度。
3.证明等边三角形任意一角的正弦值都是√3/2。
4.证明等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。
5.证明等边三角形的内切圆半径等于边长的二分之一。
二、等腰三角形的证明题1.证明等腰三角形的两个底角相等。
2.证明等腰三角形的顶角是其它两个角的一半。
3.证明等腰三角形的中线等于底边的一半。
4.证明等腰三角形的高等于底边的一半。
5.证明等腰三角形的内切圆半径等于底边的一半。
三、直角三角形的证明题1.证明直角三角形的两个锐角的和等于90度。
2.证明直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边长。
3.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之和的一半。
4.证明直角三角形的两个锐角的正弦值之和等于1。
5.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之差的一倍。
四、等腰直角三角形的证明题1.证明等腰直角三角形的两个锐角相等。
2.证明等腰直角三角形的斜边等于直角边的平方根。
3.证明等腰直角三角形的面积等于直角边的平方除以2。
4.证明等腰直角三角形对角线相等。
5.证明等腰直角三角形的两条直角边互相垂直。
五、一般三角形的证明题1.证明三角形内部三条角的和等于180度。
2.证明三角形外角等于不相邻的内角之和。
3.证明三角形三边之和大于第三边。
4.证明三角形两边之比的正弦值等于对应两个角的正弦值之比。
5.证明三角形中位线之和等于第三条边的一半。
总结：通过这44道经典的三角形证明题的学习，学生能够更深入地理解三角形的性质和定理。
八年级上册三角形相关证明题大全(适用于复习巩固)(K12教育文档)
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三角形证明题1、求证：三角形一边的中线小于其他两边和的一半。
（1)已知△ABC中，AB=4cm ,BC=6cm ,BD是△ABC的中线，求BD的取值范围。
（2）在△ABC中,AC=5，中线AD=7,则AB边的取值范围是( )A。
1〈AB〈29 B。
4<AB<24 C.5〈AB〈19 D.9<AB〈19(3)在△ABC中，AD是BC上的中线，求证：AD＜1/2（AB+AC）。
2、如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点,CE⊥BD于E．(1)若BD平分∠ABC,求证CE=错误!BD；（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化,求它的变化范围；若不变，求出它的度数,并说明理由。
CEDB A3、在△ABC中，,AB=AC, 在AB边上取点D，在AC延长线上了取点E ，使CE=BD ，连接DE 交BC于点F，求证DF=EF 。
B4、如图，取一张长方形纸片,用A 、B 、C 、D表示其四个顶点，将其折叠,使点D与点B重合。
图中有没有全等的三角形,如果有，请先用“≌”表示出来，再说明理由。
5、如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE, 垂足为F,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D 。
全等三角形证明经典40题(含答案)
1.已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 的长.解：延伸AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22.已知：BC=ED,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是CD 中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF 和EFADBC∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 衔接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF. ∵∠ABC=∠AED. ∴∠ABE=∠AEB. ∴ AB=AE.在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF和三角形AEF全等.∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).3.已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延伸线于点G CG∥EF,可得,∠EFD＝CGD DE ＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）BA CDF2 1 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又,EF∥AB ∴,∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形, AC＝CG 又EF＝CG ∴EF＝AC4.已知：AD等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠CA证实：延伸AB取点E,使AE＝AC,衔接DE∵AD等分∠BAC∴∠EAD＝∠C AD∵AE＝AC,AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5.已知：AC等分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE证实：在AE上取F,使EF＝EB,衔接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF,CE＝CE,∴△CEB≌△CEF(SAS)∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC等分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE.CE分离等分∠ABC.∠BCD,且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.在BC上截取BF=AB,衔接EF∵BE等分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE , CE等分∠BCD ,CE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD7.已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C证实：设线段AB,CD地点的直线交于E,则：△AED是等腰三角形.∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.8.P是∠BAC等分线AD上一点,AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB在AC上取点E, 使AE＝AB. ∵A E＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE,∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB. PC＜EC＋PE ∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB.9.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证：AC-AB=2BE证实：延伸BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC –AB =FC,FB=2BE∵∠ABC=3∠C∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C∵∠AFB=∠C+∠FBC∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C∴∠FBC=2∠C即∠FBC=∠C∴FB=FC∴AC-AB=FB=2BE10．如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证：AD⊥BC．解：延伸AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△ACD中｛AB=AC ∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC11．如图,OM等分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A.B为垂足,AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证实：∵OM等分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB12.如图,已知AD∥BC,∠PAB的等分线与∠CBA的等分线订交于E,CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．做BE的延伸线,与AP订交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角等分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角等分线∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC13.如图,△ABC中,AD是∠CAB的等分线,且AB=AC+CD,求证：∠C=2∠B延伸AC到 E 使AE=AC 衔接 ED∵ AB=AC+CD∴ CD=CE 可得∠B=∠E△CDE为等腰∠ACB=2∠B14．已知：如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,（1）求证：△AED≌△EBC．（2）不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出成果,不请求证实）：证实：∵DC∥AB∴∠CDE＝∠AED∵DE＝DE,DC＝AE∴△AED≌△EDC∵E为AB中点∴AE＝BE∴BE＝DC∵DC∥AB∴∠DCE＝∠BEC∵CE＝CE∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC15.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的等分线,BD 的延伸线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延伸线于F．求证：BD=2CE．证实：∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四点共元∵∠ABE=∠CBE∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G,衔接AG,则：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE16.如图：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证：△AED≌△BFC.证实：∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）17.如图：AE.BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF.求证：AM是△ABC的中线.证实：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴AM是△ABC的中线.18.如图：在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点.求证：BD⊥AC.∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC19.AB=AC,DB=DC,F是AD的延伸线上的一点.求证：BF=CF在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC20.如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.AE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DC BF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,个中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE＝CF,M在BC的中点,试解释三只石凳E,F,M正好在一条直线上.证实：衔接EF ∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）22．已知：点 A.F.E.C 在统一条直线上, AF ＝CE,BE∥DF,BE＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行,内错角相等）∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF（SAS ）23.已知：如图所示,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.衔接BD;∵AB=ADBC=D∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;∵BC=DCE \F 是中点∴DE=BF; ∵AB=ADDE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF.24．如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．证实：在△ADC,△ABC 中∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边） ∵AB=AD,BC=CD 在△DEC 与△BEC 中∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD ∴△DEC≌△BEC（双方夹一角） ∴∠DEC=∠BEC25．已知AB∥DE,BC∥EF,D,C 在AF 上,且AD ＝CF,求证：△ABC≌△DEF． ∵AD=DF ∴AC =DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF∴∠F=∠BCA∴△ABC≌△DEF（ASA ）26．已知：如图,AB=AC,BD AC,CE AB,垂足分离为D.E,BD.CE 订交于点F,求证：BE=CD ．证实：ACDEF∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS) ∴BE=CD27.如图,在△AB C中,AD为∠BAC的等分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证：DE=DF．证实：∵AD是∠BAC的等分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中∠EAD=∠FAD AD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS ） ∴AE=AF在△AEO 与△AFO 中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF∴△AEO≌△AFO （SAS ）∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF28.已知：如图, AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC=AE ．若AB=5 ,求AD 的长？∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC⊥BC 于C,DE⊥AC 于 E 依据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAED CBAE∵BC=AE,△ABC≌△DAE（ASA）∴AD=AB=529．如图：AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分离为 E.F,ME=MF.求证：MB=MC证实：∵AB=AC∴∠B=∠C∵ME⊥AB,MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．30．在△ABC中,,,直线经由点,且于,于.(1)当直线绕点扭转到图1的地位时,求证：①≌;②;(2)当直线绕点扭转到图2的地位时,（1）中的结论还成立吗？若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB, ∴CE=AD,CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD,CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD ﹣BE31．如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证：（1）EC=BF;（2）EC⊥BF（1）∵AE⊥AB,AF⊥AC, ∴∠BAE=∠CAF=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC, 即∠EAC=∠BAF,AE BM CF在△ABF和△AEC中,∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,∴△ABF≌△AEC（SAS）,∴EC=BF;（2）如图,依据（1）,△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF,∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°,∴∠AEC+∠ADE=90°,∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）,∴∠ABF+∠BDM=90°,在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,∴EC⊥BF．32．如图：BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证：（1）AM=AN;（2）AM⊥AN.证实：（1）∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN33．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE（边角边）∴FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF∴四边形BCEF是平行四边形∴BC‖EF34．如图,已知AC∥BD,EA.EB分离等分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请解释来由在AB上取点N ,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN∴AE为公共, ∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE为公共边∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD35.如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．证实：∵AD是△ABC的中线BD=CD ∵DF=DE（已知）∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF（内错角相等,两直线平行）.36.已知：如图,AB＝CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,．求证：．证实：∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠CED=∠AFB=90º又∵AB=CD,BF=DE∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL ）∴AF=CE∠BAF=∠DCE∴AB//CD37.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AB=CD ∵,∠3=∠4∴OB=OC在△AOB 和△DOC 中∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC△AOB≌△DOC∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB在△ACB 和△DBC 中AC=DB A D ECBF,∠3=∠4BC=CB△ACB≌△DBC∴AB=CD38.如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC ＝BE,AE ＝BD,试猜测线段CE 与DE 的大小与地位关系,并证实你的结论.CE>DE.当∠AEB 越小,则DE 越小.证实：过D 作AE 平行线与AC 交于F,衔接FB由已知前提知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形.RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45°∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE 39.(10分)如图,已知AB ＝DC,AC ＝DB,BE ＝CE,求证：AE ＝DE. ∵AB=DC,AC=DB,BC=BC∴△ABC≌△DCB,A CE D B A B E CD∴∠ABC=∠DCB又∵BE=CE,AB=DC∴△ABE≌△DCE∴AE=DE40．如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC＝∠BDE．作CG ⊥AB,交AD 于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE AB CD E F图9。
全等三角形证明中考题精选[有答案解析]
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全等三角形证明中考题精选［有答案解析］七年级数学下---全等三角形证明题1如图，已知人。
是厶ABC勺中线，分别过点B、C作BEL AD于点E,CF丄AD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF2•如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/(1)操作发现：如图2,固定△ ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空:①线段DE与AC的位置关系是_____________②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S，则(2)猜想论证S与S2的数量关系是 _____________当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC ffiA AEC中BC CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=, DE// AB交BC于点E (如图4).若在射线BA 上存在点F,使S A DC=S BDE,请直接写出相应的BF的长.3.如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90 )绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB 边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD BE上的点，BF=BG延长CF与DG交于点H. (1)求证：CF=DG (2)求出/ FHG勺度数.全等三角形证明中考题精选［有答案解析］4•如图所示，在△ ABC 中，D E 分别是AB AC 上的点，DE// BQ 如图①，然后将厶ADE 绕A 点顺 时针旋转一定角度，得到图②，然后将 BD CE 分别延长至M N,使DM=BD EN=CE 得到图③， 请解答下列问题：(1)若AB=AC 请探究下列数量关系：① 在图②中，BD 与CE的数量关系是_ _ ;② 在图③中，猜想AM 与 AN 的数量关系、/ MAN 与/BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=I?AC( k > 1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究： AM 与 AN 的数量关系、/ MAN 与/BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.4. (1)如图，在△ ABC ffiA ADE 中, AB 二AC AD=AE Z BAC K DAE=90 .① 当点D 在AC 上时，如图1,线段BD CE 有怎样的数量关系和位置关系？ 直接写出你猜想的结论；② 将图1中的△ ADE 绕点A 顺时针旋转口角(O °VaV 90°)，如图2，线段BD CE 有怎样的数量 关系和位置关系？请说明理由.(2)当厶ABC^P ^ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD CE 在(1)中的位置关系 仍然成立？不必说明理由.甲： AB AC=AD AE=1, / BAC K DA 字90°;乙：AB AC=AD AE M 1，K BAC K DAE=90 ;丙: 6. CD 经过/ BCA 顶点C 的一条直线，CA=CB E, F 分别是直线CD 上两点，且/ BEC K CFA Ka.(1)若直线CD 经过/ BCA 的内部，且E, F 在射线CD 上，请解决下面两个问题:①如图 1,若/ BCA=90 , Ka =90°,则 BE ______________ CF; EF ___________ |BE - AF| (填“〉”, “v”或“=”)；②如图2,若0°<Z BCA ： 180°,请添加一个关于Ka 与/ BCA 关系的条件—AB: AC=AD AE M 1，/ BAC K DAE^ 90E__________ ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.7. 如图，已知 AB=AC （1）若 CE=BD 求证：GE=G ；⑵若CE=mBD （m 为正数），试猜想GE 与 GD 有何关系.（只写结论，不证明）8. (1)已知：如图①，在△ AOBf^A COD 中, OA=OJ 3OC=OD / AOB M COD=60，求证：① AC=BD ②/ APB=6（度；（2）如图②，在△ AOBf^A COD 中，若 OA=OBOC=O , / AOB M COD a ，贝U AC 与 BD 间的等量关系式为 _____________ ; Z APB 的大小为 _____________ ;(3)如图③，在△ AOBf^ACOD 中，若 OA=?OBOC=?OD(k > 1)，Z AOB ZCOD a ，贝U AC 与 BD间的等量关系式为 10.已知：EG// AF, AB=AC DE=DF 求证：BE=CF参考答案与试题解析（2）如图3,若直线CD 经过/ BCA 的外部，/ a =Z BCA 请提出EF, BE AF 三条线段数量关系的 合理猜想（不要求证明）•Z APB 的大小为 _____2. 解：（1）①DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，••• AC=CD：/ BAC=90 -Z B=90°- 30° =60°,二厶ACD是等边三角形，•••/ ACD=60，又TZ CDE Z BAC=60 ,：Z ACD Z CDE 二DE// AC;②T Z B=30°,Z C=90，二CD=AC=AB /• BD=AD=AC2根据等边三角形的性质，△ ACD的边AC AD上的高相等，•••△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S=S2;故答案为：DE// AC S=S;（2）如图，•「△ DEC是由厶ABC绕点C旋转得到，••• BC=CE AC=CD T Z ACN Z BCN=90，Z DCM Z BCN=180 - 90° =90°,•••Z ACN Z DCM T在厶ACNm DCM中,fZACM=ZDCHI ZCND=ZH=90°,［AC=CD•△ACN^A DCM（ AAS, • AN=DM•△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S i=S2;3、解(1)证明：•••在厶CBF ft^ DBG K答.fBC=BD答《二,:BF=BG•△CBF^A DBG( SAS , • CF=DQ(2)解：•••△ CBF^A DBG •Z BCF Z BDG又T Z CFB Z DFH •Z DHF Z CBF=60 ,•Z FHG=180 -Z DHF=180 - 60°=120°.4、解答：解：(1)①结论：BD=CE BDL CE②结论：BD=CE BDL CE;理由如下：T Z BAC Z DAE=90• Z BAC-Z DAC Z DAE-Z DAC 即Z BAD Z CAE ft^ ABD与△ ACE中, AB=ACT*4皿ZCAE •△ABD^A ACE(SAS • BD=CEb AD=AE延长BD交AC于F,交CE于H.在厶ABF 与厶HCF 中，T Z ABF=/ HCF Z AFB=/ HFC •Z CHF Z BAF=90••• BDL CE(2)结论：乙.AB AC=AD AE / BAC K DAE=905.6.解答：解：(1)①IK BCA=90，/a =90°,.・.K BCE K CBE=90，/ BCE K ACF=90 , • K CBE K ACF v CA=CB K BEC K CFA •△ BCE^A CAF •- BE=CF EF=|BE- AF|. ②所填的条件是：Ka +K BCA=180 . I AE=AD 卩. 7 •••△ CAE^A BAD( SAS , AC 二 AB • / ACE K ABD v DM=BD EN=CE • BM=CN 在厶 ABM ffiA ACN 中, r 瓏二 CN ••• ZAC14=ZAbr 〔AB 二AC • △ ABMm ACN( SAS , • AM=AN •/ BAM K CAN 即K MAN K BAC (2)AM=?AN 在厶BADfy CAE 中 解答: / CAE=/ BAD K MAN K BAC全等三角形证明中考题精选［有答案解析］证明：在厶 BCE 中，/ CBE# BCE=180 -Z BEC=180 — /a. v/ BCA=180 —/a,•••/ CBE Z BCE Z BCA 又v/ ACF Z BCE Z BCA CBE Z ACF又v BC=CA / BEC Z CFA •△BCE^A CAF( AAS •- BE=CF CE=AF又v EF=C- CE, • EF=|BE- AF|.(2) EF=BE+AF7.解证明：(1)过D作DF// CE交BC于F,答: 贝UZ E=Z GDF v AB=AC •/ ACB Z ABC/ DF/ CE •/ DFB Z ACB•Z DFB Z ACB Z ABC • DF=DB v CE=BD •- DF=CE 在厶GDF^ GEC中, (ZE 二ZGDFI ZDGF=ZEGC ,［DF=EC•△GDF^A GEC(AAS. • GE=GD• / AOB Z BOC Z COD Z BOC 即：/ AOC Z BOD 答：又v OA=OB OC=OD •△ AOC^A BOD • AC=BD②由①得：/ OAC Z OBDv/ AEO Z PEB / APB=180 — (/ BEP+Z OBD, / AOB=180 —(/ OAC Z AEO , • Z APB Z AOB=60 .(2) AC=BD a(3) AC=?BD 180°—a.。
初中数学三角形证明题经典题型训练
三角形证明中经典题11．如图，在△ABC中，∠ C=90°， AB的垂直平分线交AB与 D，交 BC于 E，连接 AE，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（）A． 13B． 10C． 12D． 52 ．如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=36°， BD、CE分别是∠ ABC、∠ BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A． 5 个B． 4 个C． 3 个D． 2 个3．如图，在△ABC中， AD是它的角平分线，AB=8cm， AC=6cm，则 S △ABD： S△ACD=（）A． 4： 3B． 3： 4C． 16： 9D． 9： 164．如图，在△ABC中， AB=AC，∠ A=40°， AB的垂直平分线交A B于点 D，交 AC于点 E，连接 BE，则∠ CBE的度数为（）A． 70°B． 80°C． 40°D． 30°5．如图，在△ ABC中， AB=AC，且 D为 BC上一点， CD=AD， AB=BD，则∠ B 的度数为（）A． 30°B． 36°C． 40°D． 45°6．如图，点O在直线 AB上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=35°，则∠ BOD等于（）A． 145°B． 110°C． 70°D． 35°7 ．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， BA的垂直平分线交BC边于 D，若 AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A． 2B． 3C． 4D． 58．如图，已知BD是△ ABC的中线， AB=5， BC=3，△ ABD和△ BCD的周长的差是（）A． 2B． 3C． 6D．不能确定9．在 Rt△ ABC中，如图所示，∠C=90°，∠ CAB=60°，AD平分∠ CAB，点 D 到 AB的距离 DE=3.8cm，则 BC等于（）A． 3.8cm B． 7.6cm C． 11.4cm D． 11.2cm10 ．△ ABC中，点 O是△ ABC内一点，且点 O到△ ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠ BOC=（）A． 110°B． 120°C． 130°D． 140°11 ．如图，已知点P 在∠ AOB的平分线OC上， PF⊥ OA，PE⊥ OB，若PE=6，则PF 的长为（）A． 2B． 4C． 6D． 812 ．如图，△ ABC中， DE是 AB的垂直平分线，交则△ ABC的周长是（）BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ ACD的周长为12cm，A． 13cm B． 14cm C． 15cm D． 16cm13．如图，∠ BAC=130°，若 MP和 QN分别垂直平分AB 和 AC，则∠ PAQ等于（）A． 50°B． 75°C． 80°D． 105°14．如图，要用“ HL”判定 Rt △ ABC和 Rt△ A′ B′ C′全等的条件是（）A．AC=A′ C′， BC=B′ C′ B．∠A=∠ A′， AB=A′ B′C．AC=A′ C′， AB=A′ B′ D．∠B=∠ B′， BC=B′ C′15．如图， MN是线段 AB 的垂直平分线， C 在 MN外，且与 A 点在 MN的同一侧， BC交 MN于 P 点，则（）A． BC＞PC+AP B． BC＜ PC+AP C． BC=PC+AP D． BC≥ PC+AP16．如图，已知在△ABC中， AB=AC， D为 BC上一点， BF=CD， CE=BD，那么∠ EDF等于（）A． 90°﹣∠ A B．90°﹣∠ A C． 180°﹣∠ A D．45°﹣∠ A17．如图，在△ ABC中， AB=AC， AD平分∠ BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．C．△ ABD≌△ ACDAD是△ ABC的角平分线B．D．AD是△ ABC的高线△ABC是等边三角形三角形证明中经典题21. 如图，已知： E 是∠ AOB的平分线上一点，EC⊥ OB， ED⊥OA， C、D 是垂足，连接CD，且交 OE于点 F．（1）求证： OE是 CD的垂直平分线．（2）若∠ AOB=60°，请你探究 OE， EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．2. 如图，点 D 是△ ABC中 BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠ BAC的度数．3.如图，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，点 D 是 BC的中点， DE⊥ AB 于点 E， DF⊥AC于点F．求证：（ 1）∠ B=∠ C．（ 2）△ ABC是等腰三角形．4 如图， AB=AC，∠ C=67°， AB 的垂直平分线EF交 AC于点 D，求∠ DBC的度数．5. 如图，△ ABC中， AB=AD=AE， DE=EC，∠ DAB=30°，求∠ C 的度数．6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边” ，如图，在△ ABCAB、 AC于点 D、 E，请你用“等角对等中，已知∠ ABC和∠ ACB的平分线上交于点 F，过点 F 作 BC的平行线分别交边”的知识说明 DE=BD+CE．7. 如图， AD是△ ABC的平分线， DE， DF分别垂直AB、 AC于 E、 F，连接 EF，求证：△ AEF是等腰三角形．2015 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20 小题）1．（ 2015?涉县模拟）如图，在△AC=12，则 BE的长是（）ABC中，∠ C=90°， AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，A13 B 10 C 12 D 5．．．．考线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有点：分先根据勾股定理求出AE=13，再由 DE是线段 AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．析：解解：∵∠ C=90°，答：∴AE=，∵DE是线段 AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选： A．点本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关评：键．2．（2015?淄博模拟）如图，在△ABC中， AB=AC，∠ A=36°， BD、CE分别是∠ ABC、∠ BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A 5 个B 4 个C 3 个D 2 个考等腰三角形的判定；三角形内角和定理．菁优网版权所有点：专证明题．题：分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．析：解解：共有 5 个．答：（ 1）∵ AB=AC∴△ ABC是等腰三角形；（2）∵ BD、 CE分别是∠ ABC、∠ BCD的角平分线∴∠ EBC= ∠ ABC，∠ ECB= ∠BCD，∵△ ABC是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ ECB，∴△ BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°， AB=AC，∴∠ ABC=∠ ACB= （ 180°﹣ 36°） =72°，又BD是∠ ABC的角平分线，∴∠ ABD= ∠ ABC=36° =∠ A，∴△ ABD是等腰三角形；同理可证△ CDE和△ BCD是等腰三角形．故选： A．点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档评：题．3．（ 2014 秋?西城区校级期中）如图，在△ABC中， AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S △ABD：S△ACD=（）A 4： 3B 3： 4C 16： 9D 9： 16．．．．考角平分线的性质；三角形的面积．菁优网版权所有点：专计算题．题：分首先过点 D 作 DE⊥ AB， DF⊥ AC，由 AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，析：即可求得 DE=DF，由△ ABD的面积为 12，可求得 DE与 DF的长，又由 AC=6，则可求得△ ACD的面积．解解：过点 D 作 DE⊥ AB， DF⊥ AC，垂足分别为E、 F, （ 1 分）答：∵ AD是∠ BAC的平分线， DE⊥ AB，DF⊥AC，∴ DE=DF，, （ 3 分）∴ S△ ABD= ?DE?AB=12，∴ DE=DF=3, （ 5 分）∴ S△ ADC= ?DF?AC= × 3× 6=9, （6分）∴S△ABD： S△ACD=12： 9=4：3．故选 A．点此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性评：质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（ 2014?丹东）如图，在△ABC中， AB=AC，∠ A=40°， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ CBE的度数为（）A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：由等腰△ ABC中， AB=AC，∠ A=40°，即可求得∠ ABC的度数，又由线段 AB的垂直平分线交 AB于 D，交 AC于 E，可得 AE=BE，继而求得∠ ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ ABC中， AB=AC，∠ A=40°，∴∠ ABC=∠C==70°，∵线段 AB的垂直平分线交AB于 D，交 AC于 E，∴A E=BE，∴∠ ABE=∠A=40°，∴∠ CBE=∠ABC﹣∠ ABE=30°．故选： D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（ 2014?南充）如图，在△ ABC中， AB=AC，且 D 为 BC上一点， CD=AD， AB=BD，则∠ B 的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．考等腰三角形的性质．菁优网版权所有点：分求出∠ BAD=2∠CAD=2∠B=2∠ C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠ C，∵ AB=BD，∴∠ BAD=∠ BDA，∵ CD=AD，∴∠ C=∠ CAD，∵∠ BAD+∠ CAD+∠ B+∠C=180°，∴ 5∠ B=180°，∴∠ B=36°故选： B．点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2评：∠ CAD=2∠ B=2∠ C 关系．6．（ 2014?山西模拟）如图，点O在直线 AB上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=35°，则∠ BOD等于（）A145°B110° C 70° D 35°．．．．考角平分线的定义．菁优网版权所有点：分首先根据角平分线定义可得∠ AOD=2∠ AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD析：的度数．解解：∵射线 OC平分∠ DOA．答：∴∠ AOD=2∠ AOC，∵∠ COA=35°，∴∠ DOA=70°，∴∠ BOD=180°﹣ 70° =110°，故选： B．点此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．评：7．（ 2014?雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， BA的垂直平分线交BC边于 D，若 AB=10， AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A 2B 3C 4D5．．．．考点：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠ BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠ B=30°．∴∠ BAC=90°﹣ 30° =60°∵ DE垂直平分BC，∴∠ BAC=∠ ADE=∠BDE=∠ CDA=90°﹣ 30° =60°．∴∠ BDE对顶角 =60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选 C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（ 2014 秋?腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ ABC的中线， AB=5，BC=3，△ ABD和△ BCD的周长的差是（）A 2B 3C 6D 不能确定．．．．考点：三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵ BD是△ ABC的中线，∴AD=CD，∴△ ABD和△ BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（ BC+BD+CD）=AB﹣ BC=5﹣ 3=2．故选 A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（ 2014 春?栖霞市期末）在 Rt △ ABC中，如图所示，∠ C=90°，∠ CAB=60°，AD平分∠ CAB，点 D到 AB的距离 DE=3.8cm，则 BC等于（）A 3.8cmB 7.6cm C11.4cm D11.2cm．．．．考点：角平分线的性质．菁优网版权所有分析：由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠ B 的度数，故 BD=2DE=7.6，又 AD平分∠ CAB，故DC=DE=3.8，由 BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，∴∠ B=30°，在 Rt △BDE中， BD=2DE=7.6，又∵ AD平分∠ CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选 C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到 AB 的距离 DE即为 CD长，是解题的关键．10．（ 2014 秋?博野县期末）△ ABC中，点 O是△ ABC内一点，且点 O到△ ABC三边的距离相等；∠ A=40°，则∠BOC=（）A110° B 120°C130°D140°．．．．考角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有点：专计算题．题：分由已知， O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求析：出∠ BOC的度数．解解：由已知， O到三角形三边距离相等，所以O是内心，答：即三条角平分线交点， AO， BO， CO都是角平分线，所以有∠ CBO=∠ABO= ∠ ABC，∠ BCO=∠ ACO= ∠ ACB，∠ABC+∠ ACB=180﹣ 40=140∠OBC+∠ OCB=70∠BOC=180﹣ 70=110°故选 A．点此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识评：点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（ 2013 秋?潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB的平分线OC上，PF⊥ OA，PE⊥ OB，若 PE=6，则 PF 的长为（）A 2B 4C6D8．．．．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠ POE，然后利用AAS定理求证△ POE≌△ POF，即可求出 PF 的长．解答：解：∵ OC平分∠ AOB，∴∠ POF=∠ POE，∵PF⊥ OA，PE⊥ OB，∴∠ PFO=∠ PEO，PO为公共边，∴△POE≌△ POF，∴PF=PE=6．故选 C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△ POE≌△ POF．12．（2013 秋?马尾区校级期末）如图，△ ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ ACD的周长为 12cm，则△ ABC的周长是（）A13cm B 14cm C 15cm D 16cm．．．．考线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有点：分要求△ ABC的周长，先有AE 可求出 AB，只要求出 AC+BC即可，根据线段垂直平分线析：的性质可知， AD=BD，于是 AC+BC=AC+CD+AD等于△ ACD的周长，答案可得．解解：∵ DE是 AB的垂直平分线，答：∴ AD=BD， AB=2AE=2又∵△ ACD的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴△ ABC的周长是 12+2=14cm．故选 B点此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端评：点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（ 2013 秋?西城区期末）如图，∠ BAC=130°，若 MP和 QN分别垂直平分 AB 和 AC，则∠ PAQ等于（）A50° B 75° C 80° D 105°．．．．考线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有点：分根据线段垂直平分线性质得出BP=AP， CQ=AQ，推出∠ B=∠ BAP，∠ C=∠QAC，求出析：∠ B+∠C，即可求出∠ BAP+∠ QAC，即可求出答案．解解：∵ MP和 QN分别垂直平分AB和 AC，答：∴ BP=AP， CQ=AQ，∴∠ B=∠ PAB，∠ C=∠ QAC，∵∠ BAC=130°，∴∠ B+∠ C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠ CAQ=50°，∴∠ PAQ=∠ BAC﹣（∠ PAB+∠ QAC） =130°﹣ 50° =80°，故选： C．点本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注评：意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（ 2014 秋?东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定 Rt△ ABC和 Rt △ A′B′ C′全等的条件是（）A AC=A′C′，B∠ A=∠ A′，．BC=B′C′．AB=A′ B′C AC=A′C′，D∠ B=∠ B′，．AB=A′B′．BC=B′ C′考直角三角形全等的判定．菁优网版权所有点：分根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．析：解解：∵在 Rt △ABC和 Rt△ A′ B′C′中，答：如果 AC=A′ C′， AB=A′ B′，那么 BC一定等于 B′ C′，Rt △ABC和 Rt△ A′ B′C′一定全等，故选 C．点此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基评：础题．15．（ 2014 秋?淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A 点在MN的同一侧，BC交MN于 P 点，则（）A BC＞ PC+APB BC＜PC+APC BC=PC+APD BC≥ PC+AP．．．．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P 在线段 AB的垂直平分线上，PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，∴PA=PB．∵ BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选 C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（ 2014 秋?万州区校级期中）如图，已知在△ABC中， AB=AC， D为 BC上一点， BF=CD， CE=BD，那么∠ EDF等于（）A 90°﹣∠ A B90°﹣∠ A C 180°﹣∠ A D45°﹣∠ A．．．．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：由 AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD， BD=CE，利用 SAS得到三角形FBD与三角形 DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠ EDF．解答：解：∵ AB=AC，∴∠ B=∠ C°，在△ BDF和△ CED中，，∴△ BDF≌△ CED（ SAS），∴∠ BFD=∠CDE，∴∠ FDB+∠EDC=∠ FDB+∠ BFD=180°﹣∠ B=180°﹣=90° + ∠ A，则∠ EDF=180°﹣（∠ FDB+∠EDC） =90°﹣∠ A．故选 B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（ 2014 秋?泰山区校级期中）如图，在△ABC中， AB=AC， AD平分∠ BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A△ ABD≌△B AD是△ ABC 的．ACD．高线C AD是△ ABC的D△ ABC是等边．角平分线．三角形考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ ABD和△ ACD中，，所以△ ABD≌△ ACD，所以A正确；B、因为 AB=AC， AD平分∠ BAC，所以 AD是 BC边上的高，所以 B 正确；C、由条件可知 AD为△ ABC的角平分线；D、由条件无法得出 AB=AC=BC，所以△ ABC不一定是等边三角形，所以 D不正确；故选 D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（ 2014 秋?晋江市校级月考）如图，点P 是△ ABC内的一点，若PB=PC，则（）A 点 P 在∠ABC ．的平分线上C点 P 在边 AB ．的垂直平分线上B 点 P 在∠ ACB ．的平分线上D点 P 在边 BC ．的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P 在线段 BC的垂直平分线上．解答：解：∵ PB=PC，∴P 在线段 BC的垂直平分线上，故选 D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（ 2013?河西区二模）如图，在∠ ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ ADF=75°，则∠ ECF的度数为（）A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．考等腰三角形的性质．菁优网版权所有点：分根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．析：解解：∵ BC=BD=DA，答：∴∠ C=∠BDC，∠ ABD=∠ BAD，∵∠ ABD=∠ C+∠ BDC，∠ ADF=75°，∴3∠ ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C．点考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运评：用．20．（ 2013 秋?盱眙县校级期中）如图，P 为∠ AOB的平分线OC上任意一点， PM⊥ OA于 M， PN⊥OB于 N，连接 MN交OP于点 D．则① PM=PN，② MO=NO，③ OP⊥ MN，④ MD=ND．其中正确的有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个．．．．考角平分线的性质．菁优网版权所有点：分由已知很易得到△OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ ONP，△析：PMD≌△ PND，可得 MD=ND，∠ ODN=∠ ODM=9O°，答案可得．解解： P 为∠ AOB的平分线 OC上任意一点， PM⊥ OA于 M， PN⊥OB于 N答：连接 MN交 OP于点 D，∴∠ MOP=∠ NOP，∠ OMP=∠ ONP， OP=OP，∴△ OPM≌△ OPN，∴MP=NP，OM=ON，又 OD=OD点评：∴△ OMD≌△ OND，∴ MD=ND，∠ ODN=∠ ODM=9O°，∴ OP⊥MN∴① PM=PN，② MO=NO，③ OP⊥ MN，④ MD=ND都正确．故选 D．本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△ OMD≌△ OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（ 2014 秋?黄浦区期末）如图，已知ON是∠ AOB的平分线， OM、OC是∠ AOB外的射线．（1）如果∠ AOC=α，∠ BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC．（2）如果∠ BOC=90°， OM平分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．菁优网版权所有分析：（ 1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（ 2）先利用角平分线求出∠AOM= ∠ AOC，∠ AON= ∠ AOB，即可得出∠ MON= ∠BOC．解答：解：（ 1）∵∠ AOC=α，∠ BOC=β，∴∠ AOB=α﹣β，∵ON是∠ AOB的平分线，∴∠ AON= （α﹣β），∠ NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠ AOM= ∠ AOC，∠ AON= ∠AOB，∴∠ MON=∠ AOM﹣∠ AON= （∠ AOC﹣∠ AOB） =∠BOC=× 90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014 秋?阿坝州期末）如图，已知： E 是∠ AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥ OA， C、D是垂足，连接CD，且交OE于点 F．（1）求证： OE是 CD的垂直平分线．（2）若∠ AOB=60°，请你探究 OE， EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有专题：探究型．分析：（ 1）先根据 E 是∠ AOB的平分线上一点， EC⊥ OB， ED⊥ OA得出△ ODE≌△OCE，可得出 OD=OC，DE=CE， OE=OE，可得出△ DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出 OE是 CD的垂直平分线；（2）先根据 E 是∠ AOB的平分线，∠ AOB=60°可得出∠ AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出 OE=2DE，同理可得出 DE=2EF即可得出结论．解答：解：（ 1）∵ E 是∠ AOB的平分线上一点，EC⊥OB， ED⊥OA，∴DE=CE， OE=OE，∴Rt △ODE≌ Rt △OCE，∴OD=OC，∴△ DOC是等腰三角形，∵OE是∠ AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠ AOE=∠ BOE=30°，∵ EC⊥OB， ED⊥ OA，∴ OE=2DE，∠ ODF=∠OED=60°，∴∠ EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（ 2014 秋?花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ ABC=2∠ C， BD平分∠ ABC， DE⊥ AB（ E 在 AB之间），DF⊥ BC，已知BD=5， DE=3， CF=4，试求△ DFC的周长．考点：角平分线的性质．菁优网版权所有分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠ CBD=∠ C，即 BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ ABC=2∠ C， BD平分∠ ABC，∴∠ CBD=∠ C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴ DE=DF，∴△ DFC的周长 =DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（ 2014 秋?大石桥市期末）如图，点 D 是△ ABC中 BC边上的一点，且AB=AC=CD， AD=BD，求∠ BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：由AD=BD得∠ BAD=∠ DBA，由AB=AC=CD得∠ CAD=∠ CDA=2∠ DBA，∠ DBA=∠ C，从而可推出∠ BAC=3∠ DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠ BAC的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD=∠ DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠ CAD=∠ CDA=∠BAD+∠ DBA=2x°，∠ DBA=∠C=x°，∴∠ BAC=3∠ DBA=3x°，∵∠ ABC+∠ BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠ DBA=36°∴∠ BAC=3∠ DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（ 2014 秋?安溪县期末）如图，在△ABC中， AB=AC，∠ A=α．（ 1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（ 2）以点 B 为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、 AB于D、 E 两点，并连接BD、 DE．若=30°，求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（ 2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠ BDC，再求出∠ CBD，然后根据∠ABD=∠ ABC﹣∠ CBD，求得∠ ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（ 1）∠ ABC的大小为×（ 180°﹣α） =90°﹣α；（2）∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ C=90°﹣α=90°﹣× 30°=75°，由题意得： BC=BD=BE，由BC=BD得∠ BDC=∠ C=75°，∴∠ CBD=180°﹣ 75°﹣ 75° =30°，∴∠ ABD=∠ ABC﹣∠ CBD=75°﹣ 30° =45°，由 BD=BE得．点评：故∠ BDE的度数是67.5 °．本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（ 2014 秋?静宁县校级期中）如图，在△ABC中， AD平分∠ BAC，点 D 是 BC的中点， DE⊥ AB于点 E，DF⊥ AC 于点F．求证：（ 1）∠ B=∠ C．（ 2）△ ABC是等腰三角形．考等腰三角形的判定．菁优网版权所有点：分由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的析：判定可得出结论．解证明：（ 1）∵ AD平分∠ BAC， DE⊥ AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，答：∴ DE=DF，在Rt△ BDE和 Rt △ CDF中，，∴Rt△ BDE≌ Rt△ CDF（HF），∴∠ B=∠ C；（ 2）由（ 1）可得∠ B=∠ C，∴△ ABC为等腰三角形．点本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质评：得出 DE=DF是解题的关键．27．（ 2012 秋?天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°， AB 的垂直平分线EF 交 AC于点 D，求∠ DBC的度数．考点：分析：解答：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．求出∠ ABC，根据三角形内角和定理求出∠求出∠ ABD，即可求出答案．解：∵ AB=AC，∠ C=67°，∴∠ ABC=∠ C=67°，∴∠ A=180°﹣ 67°﹣ 67°=46°，菁优网版权所有A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，∵EF 是AB的垂直平分线，∴ AD=BD，∴∠ A=∠ABD=46°，∴∠ DBC=67°﹣ 46° =21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ ABC和∠ ABD的度数，题目比较好．28．（ 2013 秋?高坪区校级期中）如图，△ABC中， AB=AD=AE， DE=EC，∠ DAB=30°，求∠ C的度数．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：首先根据 AB=AD=AE，DE=EC，得到∠ B=∠ ADB，∠ ADE=∠ AED，∠ C=∠EDC，从而得到∠ ADE=∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C，根据∠ DAB=30°，求得∠ B=∠ ADB=75°，利用∠ADC=∠ ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠ C 即可．解答：解：∵ AB=AD=AE， DE=EC，∴∠ B=∠ ADB，∠ ADE=∠AED，∠ C=∠ EDC，∴∠ ADE=∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C，∵∠ DAB=30°，∴∠ B=∠ ADB=75°，∴∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC=3∠ C=105°，∴∠ C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（ 2012 春?扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．角对等边”，如图，在△ ABC中，已知∠ ABC和∠ ACB的平分线上交于点F，过点 F 作 BC的平行线分别交点 D、 E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．”简称“等AB、AC于考等腰三角形的性质．菁优网版权所有点：专证明题．题：分由 DE∥ BC， BF平分∠ ABC， CF 平分∠ ACB可知， DB=DF， CE=EF．便可得出结论．析：解证明：∵ BF 平分∠ ABC（已知）， CF平分∠ ACB（已知），答：∴∠ ABF=∠ CBF，∠ ACF=∠ FCB；又∵ DE平行 BC（已知）∴∠ DFB=∠ FBC（两直线平行，内错角相等），∠ EFC=∠ FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠ DBF=∠ DFB，∠ EFC=∠ ECF（等量代换）∴DF=DB， EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利评：用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（ 2011?龙岩质检）如图， AD是△ ABC的平分线， DE，DF分别垂直 AB、 AC于 E、 F，连接 EF，求证：△ AEF是等腰三角形．考等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有点：专证明题．题：分根据角平分线的性质知∠ BAD=∠ CAD；然后根据已知条件“ DE，DF 分别垂直 AB、析：AC于 E、 F”得到∠ DEA=∠ DFA=90°；再加上公共边 AD=AD，从而证明，△ ADE≌△ ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△ AEF 是等腰三角形．解证明：∵ AD是△ ABC的平分线，答：∴∠ BAD=∠ CAD，（ 3 分）又∵ DE， DF分别垂直 AB、 AC于 E， F∴∠ DEA=∠ DFA=90°（ 6 分）又∵ AD=AD，∴△ ADE≌△ ADF．（ 8 分）∴ AE=AF，即△ AEF是等腰三角形（10 分）点本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判定定理 ASA判定△ ADE≌△ ADF．。
八年级上册——《全等三角形》证明题题型归类训练
八年级上册——《全等三角形》证明题题型归类训练本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF=CFF DCB A2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分O C E BDA A O F3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等（余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．AFC B DEG3、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F求证：EF＝CF－AE4、在△ABC中，︒=∠90ACB，BCAC=，直线MN经过点C，且MNAD⊥于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC∆≌CEB∆；②BEADDE+=；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.5、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
八年级三角形的证明题
八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC。
- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。
- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。
- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。
- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。
2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。
- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。
- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。
- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。
3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。
求∠A的度数。
- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。
- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。
- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。
- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。
- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。
- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。
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2015年05月03日初中数学三角形证明组卷一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC 于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．52．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：164．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A ．2 B．3 C．4 D．58．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．812．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A 点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACD B．AD是△ABC的高线C．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB （E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC 于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考等腰三角形的判定；三角形内角和定理．点：专题：证明题．分析：根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A ．2 B．3 C．4 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm考点：角平分线的性质．分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．8考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直平分线的性质．分根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，析：求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考点：直角三角形全等的判定．分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A 点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A ．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高线C ．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ABD和△ACD 中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正确；B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确；C、由条件可知AD为△ABC的角平分线；D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确；故选D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A ．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C ．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P 在线段BC的垂直平分线上．解答：解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．解答：解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质．分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB （E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度数是67.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．分析：由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论．解答：证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，（3分）又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．。
全等三角形证明经典50题(含答案),推荐文档
全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，/ ACB=90 °，求证：CD - AB2 3. 已知：BC=DE，/ B= / E,/ C= / D, F 是CD 中点，求证:4.5.已知：/ 1 = / 2, CD=DE ,已知:EF//AB，求证:EF=AC，求证：/ B=2 / C AD 平分/ BAC , AC=AB+BD6. 已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BE12. 如图，四边形ABCD中，AB上。
求证：BC=AB+DC。
13. 已知：AB//ED，/ EAB= / BDE , AF=CD ,14. P是/ BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证:15. 已知/ ABC=3 / C,Z 1 = / 2, BE 丄AE，求证:D// DC , BE、CE 分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在ADEF=BC，求证：/ F=Z CPC-PB<AC-ABAC-AB=2BE16. 已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DC21. 如图，△ ABC 中，AD 是/ CAB 的平分线，且 AB=AC+CD ，求证：/ C=2/ B22. (6分)如图①，E 、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DE 丄AC 于E , BF 丄AC 于F , 若AB=CD , AF=CE , BD 交 AC 于点 M .(1) 求证：MB = MD , ME=MF(2) 当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由.18. 如图，在△ ABC 中，BD=DC ，/ 1 = / 2,求证：AD 丄BC .19. 如图，0M 平分/ POQ , MA 丄 OP,MB 丄 OQ ,求证：/ OAB= / OBA / PAB 的平分线与/ CBA 的平分线相交于 E , CE 的连线交 AP 于 D .求证：AD+BC=AB . N .23. 已知：如图，DC// AB，且DC=AE, E为AB的中点，(1)求证：△ AED◎△ EBC .(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除△E BC夕卜，请再写出两个与△ AED的面积相等的三角形.(直接写出结果，不要求证明)：24. (7分)如图，△ ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.25、如图：DF=CE AD=BC / D=Z G 求证：△ AED^A BFG26、（10 分）如图：AE、BC交于点M F 点在AM±, BE// CF, BE=CF求证：AM>^ ABC的中线。
(word完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总,文档
2021 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷一．选择题〔共20 小题〕1．〔 2021?涉县模拟〕如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB的垂直均分线交AB 与 D，交 BC 于 E，连接 AE ，假设 CE=5， AC=12 ，那么 BE 的长是〔〕A 13B 10C 12D5．．．．2．〔 2021?淄博模拟〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=36°，BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角均分线，那么图中的等腰三角形有〔〕A 5个B 4个C 3个D 2个．．．．3．〔 2021 秋 ?西城区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AD 是它的角均分线， AB=8cm ，AC=6cm ，那么 S△ABD： S△ACD =〔〕A 4：3B 3：4C 16： 9D 9：16．．．．4．〔 2021?丹东〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=40°，AB的垂直均分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE ，那么∠ CBE 的度数为〔〕A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．5．〔 2021?南充〕如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点， CD=AD ， AB=BD ，那么∠B 的度数为〔〕A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．6．〔 2021?山西模拟〕如图，点O 在直线 AB 上，射线OC 均分∠ AOD ，假设∠AOC=35 °，那么∠BOD 等于〔〕A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．7．〔2021?雁塔区校级模拟〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直均分线交BC 边于 D ，假设 AB=10 ，AC=5 ，那么图中等于60°的角的个数是〔〕A 2B 3C 4D5．．．．8．〔 2021 秋 ?腾冲县校级期末〕如图，BD 是△ABC 的中线， AB=5 ， BC=3 ，△ABD和△ BCD 的周长的差是〔〕A 2B 3C 6D 不能够确定．．．．9．〔 2021 春 ?栖霞市期末〕在 Rt△ ABC 中，以以下图，∠C=90 °，∠ CAB=60 °，AD 均分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，那么 BC 等于〔〕D．．．．10．〔 2021 秋 ?博野县期末〕△ABC中，点O是△ ABC内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠ A=40 °，那么∠ BOC= 〔〕A 110°B 120°C 130°D 140°．．．．11．〔 2021 秋 ?潮阳区期末〕如图，点 P 在∠AOB 的均分线 OC 上，PF⊥ OA ，PE⊥ OB ，假设 PE=6，那么 PF 的长为〔〕A 2B 4C 6D8．．．．12．〔 2021 秋 ?马尾区校级期末〕如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直均分线，交 BC 于点D，交 AB 于点 E， AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm，那么△ ABC 的周长是〔〕A 13cmB 14cmC 15cmD 16cm．．．．13．〔 2021 秋 ?西城区期末〕如图，∠ BAC=130°，假设MP和QN分别垂直均分AB 和 AC ，那么∠ PAQ 等于〔〕A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．14．〔 2021 秋 ?东莞市校级期中〕如图，要用“HL〞判断Rt△ ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是〔〕A．AC=A ′C′，BC=B ′C′B．∠ A=∠ A′，AB=A′B′C．AC=A ′C′，AB=A ′B′D．∠ B=∠ B′，BC=B′C′15．〔 2021 秋 ?淄川区校级期中〕如图， MN 是线段 AB 的垂直均分线， C 在 MN 外，且与 A点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，那么〔〕A BC＞ PC+APB BC＜ PC+APC BC=PC+APD BC≥PC+AP．．．．16．〔 2021 秋 ?万州区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，D 为 BC 上一点， BF=CD ，CE=BD ，那么∠ EDF 等于〔〕A90°﹣∠A B90°﹣∠ A C 180°﹣∠ A D45°﹣∠A．．．．17．〔 2021 秋 ?泰山区校级期中〕如图，在△ ABC中，AB=AC，AD均分∠ BAC，那么以下结论不用然成立的是〔〕A ．△ ABD≌ △ACD B．AD 是△ ABC 的高线C．AD 是△ ABC 的角均分线D．△ ABC是等边三角形18．〔 2021 秋 ?晋江市校级月考〕如图，点P 是△ ABC 内的一点，假设PB=PC，那么〔〕A．点P在∠ ABC的均分线上B．点P在∠ ACB的均分线上C．点P在边AB的垂直均分线上D．点P在边BC的垂直均分线上19．〔 2021?河西区二模〕如图，在∠ ECF 的两边上有点B，A ，D ，BC=BD=DA ，且∠ ADF=75 °，那么∠ ECF 的度数为〔〕A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．20．〔2021 秋 ?盱眙县校级期中〕如图， P 为∠ AOB 的均分线 OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N，连接 MN 交 OP 于点 D．那么① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND ．其中正确的有〔〕A 1个B 2个C 3个D 4个．．．．二．解答题〔共10 小题〕21．〔 2021 秋 ?黄浦区期末〕如图， ON 是∠AOB 的均分线， OM 、 OC 是∠ AOB 外的射线．（1〕若是∠ AOC= α，∠ BOC= β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC ．（2〕若是∠ BOC=90 °，OM 均分∠ AOC ，那么∠ MON 的度数是多少？22．〔 2021 秋 ?阿坝州期末〕如图，： E 是∠ AOB 的均分线上一点， EC⊥ OB ，ED ⊥OA ，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于点 F．（1〕求证： OE 是 CD 的垂直均分线．（2〕假设∠AOB=60 °，请你研究 OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．23．〔 2021 秋 ?花垣县期末〕如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，DE ⊥AB 〔E 在 AB 之间〕，DF ⊥BC ， BD=5 ， DE=3 ， CF=4，试求△ DFC 的周长．24．〔 2021 秋 ?大石桥市期末〕如图，点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点，且 AB=AC=CD ，AD=BD ，求∠BAC 的度数．25．〔 2021 秋 ?安溪县期末〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠ A=α．（1〕直接写出∠ ABC 的大小〔用含α的式子表示〕；（2〕以点 B 为圆心、 BC 长为半径画弧，分别交 AC 、AB 于 D 、E 两点，并连接 BD、DE ．假设=30 °，求∠BDE 的度数．26．〔 2021 秋?静宁县校级期中〕如图，在△ ABC中，AD均分∠ BAC，点D是BC的中点，DE ⊥AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F．求证：〔 1〕∠ B= ∠ C．〔2〕△ ABC 是等腰三角形．27．〔 2021 秋 ?天津期末〕如图， AB=AC ，∠ C=67°，AB 的垂直均分线 EF 交 AC 于点 D，求∠ DBC 的度数．28．〔 2021 秋 ?高坪区校级期中〕如图，△ ABC 中， AB=AD=AE ， DE=EC ，∠ DAB=30 °，求∠ C 的度数．29．〔 2021 春 ?扶沟县校级期中〕阅读理解：“在一个三角形中，若是角相等，那么它们所对的边也相等．〞简称“等角同等边〞，如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的均分线上交于点 F，过点 F 作 BC 的平行线分别交 AB 、 AC 于点 D 、E，请你用“等角同等边〞的知识说明DE=BD+CE ．30．〔 2021?龙岩质检〕如图， AD 是△ ABC 的均分线， DE ，DF 分别垂直 AB 、AC 于 E、F，连接 EF，求证：△AEF 是等腰三角形．2021 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参照答案与试题解析一．选择题〔共20 小题〕1．〔 2021?涉县模拟〕如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB的垂直均分线交AB 与 D，交 BC 于 E，连接 AE ，假设 CE=5， AC=12 ，那么 BE 的长是〔〕A13 B 10 C 12 D 5．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分先依照勾股定理求出AE=13 ，再由 DE 是线段 AB 的垂直均分线，得出 BE=AE=13 ．析：解解：∵ ∠ C=90 °，答：∴AE=，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴BE=AE=13 ；应选： A．点此题观察了勾股定理和线段垂直均分线的性质；利用勾股定理求出AE 是解题的关评：键．2．〔 2021?淄博模拟〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠ A=36 °，BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角均分线，那么图中的等腰三角形有〔〕A 5个B 4个C 3个D 2个．．．．考等腰三角形的判断；三角形内角和定理．点：专证明题．题：分依照条件和等腰三角形的判判定理，对图中的三角形进行解析，即可得出答案．析：解解：共有 5 个．答：〔 1〕∵ AB=AC∴ △ABC 是等腰三角形；〔 2〕∵ BD 、 CE 分别是∠ ABC 、∠ BCD 的角均分线∴ ∠EBC= ∠ ABC ，∠ ECB= ∠BCD ，∵ △ABC 是等腰三角形，∴ ∠EBC= ∠ ECB，∴ △BCE 是等腰三角形；〔 3〕∵∠ A=36 °， AB=AC ，∴ ∠ABC= ∠ACB= 〔 180°﹣36°〕=72 °，又 BD 是∠ ABC 的角均分线，∴ ∠ABD= ∠ ABC=36 °=∠ A，∴ △ABD 是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD 是等腰三角形．应选： A．点此题主要观察学生同等腰三角形判断和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档评：题．3．〔 2021 秋 ?西城区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AD 是它的角均分线， AB=8cm ，AC=6cm ，那么 S△ABD： S△ACD =〔〕A 4：3B 3：4C 16： 9D 9：16．．．．考角均分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：分第一过点 D 作 DE ⊥ AB ，DF⊥ AC ，由 AD是它的角均分线，依照角均分线的性析：质，即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为12，可求得 DE 与 DF 的长，又由AC=6 ，那么可求得△ ACD 的面积．解解：过点 D 作 DE ⊥ AB ，DF⊥ AC ，垂足分别为 E、 F〔1 分〕答：∵ AD 是∠ BAC 的均分线， DE⊥ AB ， DF ⊥AC ，∴ DE=DF ，〔3 分〕∴ S△ABD=?DE ?AB=12 ，∴ DE=DF=3 〔 5 分〕∴ S△ADC= ?DF ?AC=×3×6=9〔6分〕∴ S△ABD： S△ACD =12 ：9=4 ： 3．应选 A．点此题观察了角均分线的性质．此题难度不大，解题的要点是熟记角均分线的性评：质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．〔 2021?丹东〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=40°，AB的垂直均分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE ，那么∠ CBE 的度数为〔〕A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．考点：线段垂直均分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．解析：由等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40 °，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段AB 的垂直均分线交AB 于 D，交 AC 于 E，可得 AE=BE ，既而求得∠ ABE 的度数，那么可求得答案．解答：解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40 °，∴∠ ABC= ∠ C==70°，∵线段 AB 的垂直均分线交AB 于 D ，交 AC 于 E，∴A E=BE ，∴∠ ABE= ∠A=40 °，∴∠ CBE= ∠ABC ﹣∠ABE=30 °．应选： D．议论：此题观察了线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．〔 2021?南充〕如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点， CD=AD ， AB=BD ，那么∠B 的度数为〔〕A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2 ∠ CAD=2 ∠ B=2 ∠ C 的关系，利用三角形的内角和是 180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC ，答：∴∠B=∠ C，∵AB=BD ，∴ ∠BAD= ∠BDA ，∵CD=AD ，∴ ∠C=∠ CAD ，∵ ∠BAD+ ∠CAD+ ∠ B+ ∠ C=180°，∴5∠B=180 °，∴∠B=36 °应选： B．点此题主要观察等腰三角形的性质，解题的要点是运用等腰三角形的性质得出评：∠ BAD=2 ∠ CAD=2 ∠ B=2 ∠ C 关系．6．〔 2021?山西模拟〕如图，点O 在直线 AB 上，射线OC 均分∠ AOD ，假设∠AOC=35 °，那么∠BOD 等于〔〕A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．考角均分线的定义．点：分第一依照角均分线定义可得∠ AOD=2∠AOC=70°，再依照邻补角的性质可得析：∠ BOD 的度数．解解：∵射线 OC 均分∠DOA ．答：∴ ∠AOD=2 ∠ AOC ，∵ ∠COA=35 °，∴ ∠DOA=70 °，∴ ∠BOD=180 °﹣70°=110°，应选： B．点此题主要观察了角均分线定义，要点是掌握角均分线把角分成相等的两局部．评：7．〔 2021?雁塔区校级模拟〕如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，BA的垂直均分线交BC 边于 D ，假设 AB=10 ，AC=5 ，那么图中等于60°的角的个数是〔〕A 2B 3C 4D5．．．．考点：线段垂直均分线的性质．解析：依照条件易得∠ B=30°，∠ BAC=60°．依照线段垂直均分线的性质进一步求解．解答：解：∵ ∠ ACB=90°，AB=10，AC=5，∴ ∠ B=30 °．∴ ∠ BAC=90 °﹣ 30°=60 °∵ DE 垂直均分BC，∴ ∠ BAC= ∠ ADE= ∠ BDE= ∠ CDA=90 °﹣ 30°=60 °．∴ ∠ BDE 对顶角 =60°，∴图中等于60°的角的个数是4．应选 C．议论：此题主要观察线段的垂直均分线的性质等几何知识．线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个搜寻，做到不重不漏．8．〔 2021 秋 ?腾冲县校级期末〕如图，BD 是△ABC 的中线， AB=5 ， BC=3 ，△ABD和△ BCD 的周长的差是〔〕A 2B 3C 6D 不能够确定．．．．考点：三角形的角均分线、中线和高．专题：计算题．解析：依照三角形的中线得出AD=CD ，依照三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ ABC的中线，∴AD=CD ，∴△ ABD 和△BCD 的周长的差是：〔 AB+BD+AD 〕﹣〔 BC+BD+CD 〕 =AB ﹣BC=5 ﹣ 3=2．应选 A．议论：此题主要观察对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的要点．9．〔 2021 春 ?栖霞市期末〕在 Rt△ ABC 中，以以下图，∠C=90 °，∠ CAB=60 °，AD 均分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，那么 BC 等于〔〕．．．．考点：角均分线的性质．解析：由∠ C=90°，∠ CAB=60 °，可得∠ B 的度数，故 BD=2DE=7.6 ，又 AD 均分∠CAB ，故 DC=DE=3.8 ，由 BC=BD+DC求解．解答：解：∵ ∠ C=90 °，∠ CAB=60 °，∴ ∠ B=30 °，在 Rt△ BDE 中， BD=2DE=7.6 ，又∵AD 均分∠CAB ，∴ DC=DE=3.8 ，∴ BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4 ．应选 C．议论：此题主要观察均分线的性质，由能够注意到D到AB的距离 DE即为CD长，是解题的要点．10．〔 2021 秋 ?博野县期末〕△ ABC 中，点 O 是△ ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40 °，那么∠ BOC= 〔〕A110° B 120°C130° D 140°．．．．考角均分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．点：专计算题．题：分由， O 到三角形三边距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求析：出∠BOC 的度数．解解：由， O 到三角形三边距离相等，所以O 是内心，答：即三条角均分线交点， AO ， BO ， CO 都是角均分线，所以有∠ CBO= ∠ ABO=∠ ABC ，∠ BCO= ∠ ACO=∠ACB ，∠ABC+ ∠ ACB=180 ﹣40=140∠OBC+ ∠ OCB=70∠BOC=180 ﹣70=110°应选 A．点此题主要观察学生对角均分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识评：点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．〔 2021 秋 ?潮阳区期末〕如图，点P在∠ AOB的均分线OC 上，PF⊥ OA ，PE⊥ OB ，假设 PE=6，那么 PF 的长为〔〕A 2B 4C 6D8．．．．考点：角均分线的性质；全等三角形的判断与性质．专题：计算题．解析：利用角均分线性质得出∠ POF=∠ POE，尔后利用 AAS 定理求证△ POE≌ △POF，即可求出 PF 的长．解答：解：∵ OC均分∠ AOB，∴ ∠ POF=∠ POE，∵PF⊥OA ， PE⊥ OB，∴∠ PFO=∠ PEO，PO 为公共边，∴ △ POE≌△ POF，∴PF=PE=6 ．应选 C．议论：此题观察学生对角均分线性质和全等三角形的判断与性质的理解和掌握，解答此题的要点是求证△POE≌ △ POF．12．〔 2021 秋 ?马尾区校级期末〕如图，△ ABC中，DE是AB的垂直均分线，交BC于点D，交 AB 于点 E， AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm，那么△ ABC 的周长是〔〕A13cm B 14cm C 15cm D 16cm．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分要求△ ABC 的周长，先有AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，依照线段垂直平析：分线的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+AD等于△ ACD 的周长，答案可得．解解：∵ DE 是 AB 的垂直均分线，答：∴ AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴ △ABC 的周长是 12+2=14cm ．应选 B点此题主要观察线段的垂直均分线的性质：线段的垂直均分线上的点到线段的两个端评：点的距离相等；进行线段的等效转移，把与未知联系起来是正确解答此题的关键．13．〔 2021 秋 ?西城区期末〕如图，∠ BAC=130°，假设MP和QN分别垂直均分AB 和 AC ，那么∠ PAQ 等于〔〕A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分依照线段垂直均分线性质得出BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B= ∠BAP ，∠ C=∠ QAC ，析：求出∠B+ ∠C，即可求出∠ BAP+ ∠ QAC ，即可求出答案．解解：∵MP 和 QN 分别垂直均分AB 和 AC ，答：∴ BP=AP ， CQ=AQ ，∴ ∠B= ∠ PAB，∠C=∠ QAC ，∵ ∠BAC=130 °，∴ ∠B+ ∠ C=180°﹣∠BAC=50 °，∴ ∠BAP+ ∠ CAQ=50 °，∴ ∠PAQ= ∠ BAC ﹣〔∠ PAB+∠ QAC 〕 =130°﹣50°=80°，应选： C．点此题观察了等腰三角形的性质，线段垂直均分线性质，三角形的内角和定理，注评：意：线段垂直均分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边同等角．14．〔 2021 秋 ?东莞市校级期中〕如图，要用“HL〞判断Rt△ ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是〔〕A AC=A ′C′，B∠A=∠A′，．BC=B ′C′．AB=A ′B′C AC=A ′C′，D∠ B=∠ B′，．AB=A ′B′．BC=B ′C′考直角三角形全等的判断．点：分依照直角三角形全等的判断方法〔HL 〕即可直接得出答案．析：解解：∵在 Rt△ ABC 和 Rt△ A ′B′C′中，答：若是 AC=A ′C′， AB=A ′B′，那么 BC 必然等于 B ′C′，Rt △ABC 和 Rt△A ′B′C′必然全等，应选 C．点此题主要观察学生对直角三角形全等的判断的理解和掌握，难度不大，是一道基评：础题．15．〔 2021 秋 ?淄川区校级期中〕如图， MN 是线段 AB 的垂直均分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，那么〔〕A BC＞ PC+APB BC＜ PC+APC BC=PC+APD BC≥PC+AP．．．．考点：线段垂直均分线的性质．解析：从条件进行思虑，依照垂直均分线的性质可得 PA=PB，结合图形知 BC=PB+PC ，经过等量代换获取答案．解答：解：∵点 P 在线段 AB 的垂直均分线上，∴PA=PB ．∵BC=PC+BP ，∴BC=PC+AP ．应选 C．议论：此题观察了垂直均分线的性质：线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答此题的要点．16．〔 2021 秋 ?万州区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，D 为 BC 上一点， BF=CD ，CE=BD ，那么∠ EDF 等于〔〕A90°﹣∠A B90°﹣∠ A C 180°﹣∠ A D45°﹣∠A．．．．考点：等腰三角形的性质．解析：由 AB=AC ，利用等边同等角获取一对角相等，再由 BF=CD ，BD=CE ，利用 SAS 获取三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等获取一对角相等，即可表示出∠ EDF ．解答：解：∵ AB=AC ，∴∠B=∠C°，在△BDF 和△CED 中，，∴ △ BDF ≌△ CED 〔SAS〕，∴ ∠ BFD= ∠CDE ，∴ ∠ FDB+ ∠EDC= ∠ FDB+ ∠ BFD=180 °﹣∠ B=180 °﹣=90°+ ∠A ，那么∠ EDF=180 °﹣〔∠ FDB+ ∠ EDC 〕=90 °﹣∠ A．应选 B．议论：此题观察了全等三角形的判断与性质，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解此题的要点．17．〔 2021 秋 ?泰山区校级期中〕如图，在△ ABC中，AB=AC，AD均分∠ BAC，那么以下结论不用然成立的是〔〕A△ABD ≌△ B AD 是△ ABC． ACD．的高线C AD 是△ ABC D △ABC 是等．的角均分线．边三角形考点：等腰三角形的性质．解析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A 、在△ABD 和△ ACD 中，，所以△ABD ≌△ ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 均分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确；C、由条件可知 AD 为△ ABC 的角均分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=BC ，所以△ABC 不用然是等边三角形，所以 D 不正确；应选 D．议论：此题主要观察等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一〞的性质是解题的关键．18．〔 2021 秋 ?晋江市校级月考〕如图，点P 是△ ABC 内的一点，假设PB=PC，那么〔〕A点 P 在．∠ABC的平分线上C点 P在边 AB ．的垂直均分线上B点 P 在．∠ACB的平分线上D点P在边 BC ．的垂直均分线上解析：依照到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上由PC=PB 即可得出P 在线段 BC 的垂直均分线上．解答：解：∵ PB=PC，∴ P 在线段 BC 的垂直均分线上，应选 D．议论：此题观察了角均分线的性质和线段垂直均分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上，角均分线上的点到角的两边的距离相等．19．〔 2021?河西区二模〕如图，在∠ ECF 的两边上有点B，A ，D ，BC=BD=DA ，且∠ ADF=75 °，那么∠ ECF 的度数为〔〕A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．考等腰三角形的性质．点：分依照等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，渐渐推出∠ECF的度数．析：解解：∵ BC=BD=DA ，答：∴ ∠C=∠BDC ，∠ABD= ∠BAD ，∵ ∠ ABD= ∠ C+∠ BDC ，∠ ADF=75 °，∴3∠ ECF=75 °，∴∠ECF=25 °．应选： C．点观察了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运评：用．20．〔 2021 秋 ?盱眙县校级期中〕如图， P 为∠AOB 的均分线 OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N，连接 MN 交 OP 于点 D．那么① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND ．其中正确的有〔〕A 1个B 2个C 3个D 4个考角均分线的性质．点：分由很易获取△ OPM≌ △ OPN，进而得角相等，边相等，进而得△ OMP≌ △ ONP，析：△ PMD ≌ △PND ，可得 MD=ND ，∠ODN= ∠ ODM=9O °，答案可得．解解： P 为∠AOB 的均分线OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN⊥OB 于 N答：连接 MN 交OP于点 D，∴ ∠ MOP= ∠NOP ，∠OMP= ∠ ONP ，OP=OP，∴ △OPM ≌△ OPN，∴MP=NP ，OM=ON ，又 OD=OD∴△OMD ≌ △ OND ，∴MD=ND ，∠ ODN= ∠ ODM=9O °，∴OP⊥ MN∴① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND 都正确．应选 D．点此题主要观察了角均分线的性质，即角均分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△OMD ≌ △OND 是解决此题的要点，证明两线垂直时常常经过证两角相等且互补来解决．二．解答题〔共10 小题〕21．〔 2021 秋 ?黄浦区期末〕如图，ON 是∠ AOB 的均分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．（1〕若是∠ AOC= α，∠ BOC= β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC ．（2〕若是∠ BOC=90 °，OM 均分∠ AOC ，那么∠ MON 的度数是多少？考点：角均分线的定义．解析：〔 1〕先求出∠ AOB= α﹣β，再利用角均分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；〔 2〕先利用角均分线求出∠ AOM=∠ AOC，∠ AON=∠ AOB，即可得出∠MON= ∠ BOC．解答：解：〔 1〕∵ ∠ AOC= α，∠BOC= β，∴ ∠ AOB= α﹣β，∵ON 是∠ AOB 的均分线，∴ ∠ AON= 〔α﹣β〕，∠ NOC= α﹣〔α﹣β〕=〔α+β〕；（2〕∵OM 均分∠AOC，ON 均分∠ AOB ，∴ ∠ AOM=∠AOC，∠ AON=∠ AOB，∴ ∠ MON= ∠ AOM ﹣∠AON=〔∠AOC﹣∠ AOB〕=∠ BOC=×90°=45°．议论：此题观察了角均分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的要点．22．〔 2021 秋 ?阿坝州期末〕如图，： E 是∠ AOB 的均分线上一点， EC⊥ OB ，ED ⊥OA ，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于点 F．（1〕求证： OE 是 CD 的垂直均分线．（2〕假设∠AOB=60 °，请你研究 OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直均分线的性质．专题：研究型．解析：〔 1〕先依照 E 是∠ AOB 的均分线上一点，EC⊥ OB， ED⊥OA 得出△ODE≌ △ OCE，可得出 OD=OC ，DE=CE ，OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE 是 CD 的垂直均分线；（2〕先依照 E 是∠ AOB 的均分线，∠AOB=60 °可得出∠ AOE= ∠ BOE=30 °，由直角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答：解：〔 1〕∵ E 是∠ AOB 的均分线上一点，EC⊥ OB ， ED⊥OA ，∴DE=CE ， OE=OE ，∴Rt△ ODE≌ Rt△ OCE，∴OD=OC ，∴△ DOC 是等腰三角形，∵ OE 是∠AOB 的均分线，∴OE 是 CD 的垂直均分线；〔 2〕∵OE 是∠ AOB 的均分线，∠AOB=60 °，∴ ∠ AOE= ∠ BOE=30 °，∵EC⊥ OB ，ED⊥ OA ，∴OE=2DE ，∠ ODF= ∠ OED=60 °，∴∠ EDF=30 °，∴DE=2EF ，∴OE=4EF ．议论：此题观察的是角均分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判断与性质，熟知以上知识是解答此题的要点．23．〔 2021 秋 ?花垣县期末〕如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，DE ⊥AB 〔E 在 AB 之间〕，DF ⊥BC ， BD=5 ， DE=3 ， CF=4，试求△ DFC 的周长．考点：角均分线的性质．解析：依照角均分线的性质可证∠ ABD=∠ CBD，即可求得∠ CBD=∠ C，即BD=CD，再依照角均分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF ，即可解题．解答：解：∵ ∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，∴ ∠CBD= ∠C，∴ BD=CD ，∵ BD 均分∠ABC ，∴ DE=DF ，∴ △DFC 的周长 =DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．议论：此题观察了角均分线上点到角两边距离相等的性质，观察了角均分线均分角的性质，观察了三角形周长的计算，此题中求证DE=DF 是解题的要点．24．〔 2021 秋 ?大石桥市期末〕如图，点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点，且 AB=AC=CD ，AD=BD ，求∠BAC 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：由AD=BD得∠ BAD=∠ DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠ DBA，∠DBA= ∠ C，进而可推出∠ BAC=3 ∠ DBA ，依照三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，进而不难求得∠ BAC 的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD= ∠ DBA=x °，∵AB=AC=CD∴ ∠ CAD= ∠ CDA= ∠ BAD+ ∠DBA=2x °，∠DBA= ∠C=x °，∴ ∠ BAC=3 ∠ DBA=3x °，∵ ∠ ABC+ ∠ BAC+ ∠ C=180°∴5x=180 °，∴∠ DBA=36 °∴∠ BAC=3 ∠ DBA=108 °．议论：此题主要观察学生同等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答此题的要点．25．〔 2021 秋 ?安溪县期末〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠ A=α．（1〕直接写出∠ ABC 的大小〔用含α的式子表示〕；（2〕以点 B 为圆心、 BC 长为半径画弧，分别交 AC 、AB 于 D 、E 两点，并连接 BD、DE ．假设=30 °，求∠BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：〔1〕依照三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；〔 2〕依照等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠ BDC，再求出∠ CBD，尔后依照∠ ABD= ∠ ABC ﹣∠ CBD ，求得∠ABD ，再依照三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：〔 1〕∠ ABC 的大小为×〔 180°﹣α〕 =90°﹣α；〔 2〕∵ AB=AC ，∴ ∠ABC= ∠ C=90 °﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得： BC=BD=BE ，由 BC=BD 得∠ BDC= ∠ C=75°，∴∠CBD=180 °﹣ 75°﹣75°=30°，∴ ∠ABD= ∠ABC ﹣∠CBD=75 °﹣30°=45°，由 BD=BE 得．故∠BDE 的度数是°．议论：此题观察了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的要点．26．〔 2021 秋?静宁县校级期中〕如图，在△ ABC中，AD均分∠ BAC，点D是BC的中点，DE ⊥AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F．求证：〔 1〕∠ B= ∠ C．〔2〕△ ABC 是等腰三角形．考等腰三角形的判断．点：分由条件可得出 DE=DF ，可证明△ BDE ≌△ CDF ，可得出∠ B=∠ C，再由等腰三角析：形的判断可得出结论．解证明：〔 1〕∵AD 均分∠BAC ，DE ⊥ AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F，答：∴ DE=DF ，在 Rt△BDE 和 Rt△ CDF 中，，∴ Rt△BDE ≌ Rt△ CDF 〔HF〕，∴ ∠B=∠C；〔 2〕由〔 1〕可得∠ B=∠ C，∴ △ABC 为等腰三角形．点此题主要观察等腰三角形的判断及全等三角形的判断和性质，利用角均分线的性质评：得出 DE=DF 是解题的要点．27．〔 2021 秋 ?天津期末〕如图， AB=AC ，∠ C=67°，AB 的垂直均分线 EF 交 AC 于点 D，求∠ DBC 的度数．考点：线段垂直均分线的性质；等腰三角形的性质．解析：求出∠ ABC ，依照三角形内角和定理求出∠A，依照线段垂直均分线得出AD=BD ，求出∠ ABD ，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC ，∠ C=67 °，∴ ∠ ABC= ∠ C=67 °，∴ ∠ A=180 °﹣ 67°﹣ 67°=46°，∵ EF 是 AB 的垂直均分线，∴ AD=BD ，∴ ∠ A= ∠ ABD=46 °，∴ ∠ DBC=67 °﹣ 46°=21 °．议论：此题观察了线段垂直均分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判断等知识点，要点是求出∠ ABC和∠ ABD的度数，题目比较好．28．〔 2021 秋 ?高坪区校级期中〕如图，△ ABC 中， AB=AD=AE ，DE=EC ，∠ DAB=30 °，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：第一依照 AB=AD=AE ，DE=EC ，获取∠ B= ∠ADB ，∠ ADE= ∠ AED ，∠C=∠EDC ，进而获取∠ ADE= ∠ AED= ∠ C+∠ EDC=2 ∠ C，依照∠ DAB=30 °，求得∠B= ∠ ADB=75 °，利用∠ ADC= ∠ ADE+ ∠ EDC=3 ∠ C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE ，DE=EC ，∴ ∠B= ∠ADB ，∠ADE= ∠AED ，∠ C=∠EDC ，∴ ∠ADE= ∠AED= ∠ C+∠ EDC=2 ∠ C，∵ ∠DAB=30 °，∴ ∠B= ∠ADB=75 °，∴ ∠ADC= ∠ADE+ ∠EDC=3 ∠C=105 °，∴ ∠C=35 °．议论：此题观察了等腰三角形的性质，解题的要点是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．〔 2021 春 ?扶沟县校级期中〕阅读理解：“在一个三角形中，若是角相等，那么它们所对的边也相等．〞简称“等角同等边〞，如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的均分线上交于点 F，过点 F 作 BC 的平行线分别交 AB 、 AC 于点 D 、E，请你用“等角同等边〞的知识说明DE=BD+CE ．考等腰三角形的性质．点：专证明题．题：分由 DE ∥BC， BF 均分∠ABC ，CF 均分∠ ACB 可知， DB=DF ，CE=EF ．即可得出析：结论．解证明：∵ BF 均分∠ABC 〔〕， CF 均分∠ACB 〔〕，答：∴ ∠ABF= ∠ CBF，∠ ACF= ∠FCB ；又∵DE 平行 BC 〔〕∴ ∠DFB= ∠ FBC 〔两直线平行，内错角相等〕，∠ EFC=∠ FCB〔两直线平行，内错角相等〕，∴ ∠DBF= ∠ DFB ，∠ EFC= ∠ECF〔等量代换〕∴DF=DB ， EF=EC 〔等角同等边〕∴DE=BD+CE ．点此题观察学生同等腰三角形的判断与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利评：用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．〔 2021?龙岩质检〕如图， AD 是△ ABC 的均分线， DE ，DF 分别垂直 AB 、AC 于 E、F，连接 EF，求证：△AEF 是等腰三角形．考等腰三角形的判断；全等三角形的判断与性质．点：专证明题．题：分依照角均分线的性质知∠BAD=∠ CAD；尔后依照条件“DE，DF分别垂直AB 、析：AC 于 E、 F〞获取∠ DEA= ∠ DFA=90 °；再加上公共边AD=AD ，进而证明，△ ADE ≌ △ ADF ；最后依照全等三角形的对应边相等证明△ AEF的两边相等，所以△AEF 是等腰三角形．解证明：∵ AD 是△ABC 的均分线，答：∴ ∠BAD= ∠CAD ，〔3 分〕又∵DE ，DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E， F∴ ∠DEA= ∠ DFA=90 °〔 6 分〕又∵AD=AD ，∴ △ ADE ≌△ ADF ．〔 8 分〕∴ AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形〔10 分〕点此题综合观察了等腰三角形的判断、全等三角形的判断与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判判定理ASA 判断△ ADE ≌ △ ADF ．。
初中数学九年级中考复习三角形部分证明练习题精选
1．已知：如图点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD=BE.求证：∠D=∠E.2．已知：E 、F 是AB 上的两点，AE=BF ，又AC ∥DB ，且AC=DB.求证：CF=DE 。
3 如图，已知△ABC 和△DEC 都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B 、C 、E 在同一直线上，连结BD 和AE.求证：BD=AE.4．如图，D 、E 、F 、B 在一条直线上，AB=CD ，∠B=∠D ，BF=DE 。
求证：⑴AE=CF ；⑵AE ∥CF ；⑶∠AFE=∠CEF 。
AC B ED A BC DE F A B C D E FA B CDE5．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线。
求证：AC=2AE 。
6．已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC ，则AB=DE.请说明理由。
7．如图，AD ∥BC ，∠A=90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE=BC 。
请你说明∠DEC=90°的理由。
AB E DC8．如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 和AC 上，且AD=CE ，BE 和CD 相交于点P 。
（1）说明△AD ≌△CEB（2）求：∠BPC 的度数.1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD证明: 延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52．如图，在△ABC 中，AB=AC ，M 为BC 的中点，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD=AE ．求证：MD=ME ． 证明： （法一） ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ．∵M 为BC 的中点， ∴BM=CM ．∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE ．在△DBM 和△ECM 中，∴BD=CE ，∠B=∠C ，BM=CM ．ADBC∴△DBM ≌△ECM ． ∴MD=ME ．（法二）连接AM ，（1分）∵AB=AC ，M 为BC 的中点， ∴AM 平分∠BAC ， ∴∠BAM=∠CAM ． 在△ADM 和△AEM 中，∵AD=AE ，∠DAM=∠EAM ，AM=AM ， ∴△ADM ≌△AEM ． ∴MD=ME ．4．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
三角形全等证明题(含答案)
如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图 1 所示， A B C 中， C 9 0 ，A C B C ， A D D B ，A E C F 。
求证：DE＝DF- 1 -AEDC F B图 1分析：由 A B C 是等腰直角三角形可知， A B 4 5 ，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得 C D A D ， D C F 4 5 。
从而不难发现 D C F D A E 证明：连结CDA CB CA BA CB 9 0 ，A D D BC D B D A D D C B B A，A E C F A D CB A DC D，，A D E C D FD E D F说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
初中数学三角形证明题经典题型训练
WORD文档可编辑三角形证明中经典题11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A．13 B．10 C．12 D．52．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：164．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°5．如图，在△ABC 中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°6．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD 等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A．2B．3C．4D．58．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．6D．不能确定9．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm10．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）11．如图，已知点P 在∠AOB 的平分线OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若PE=6，则PF 的长为（ ）12．如图，△ABC中，DE 是AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点E ，已知AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm ，则△ABC 的周长是（ ）13．如图，∠BAC=130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于（ ）14．如图，要用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′全等的条件是（ ）15．如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，C 在MN 外，且与A 点在MN 的同一侧，BC 交MN 于P 点，则（ ）A． 2 B ． 4 C ． 6 D ．8 A ． 13cm B ．14cm C ． 15cmD ．16cm A． 50° B ．75° C ． 80°D ．105° A ． AC=A ′C ′，BC=B ′C ′ B ． ∠A=∠A ′，AB=A ′B ′C ． AC=A ′C ′，AB=A ′B ′D ． ∠B=∠B ′，BC=B ′C ′16．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，BF=CD ，CE=BD ，那么∠EDF 等于（ ）17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论不一定成立的是（ ）三角形证明中经典题21.如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，且交OE 于点F ．（1）求证：OE 是CD 的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．A ．BC ＞PC+AP B ． B C ＜PC+AP C ． B C=PC+APD ．B C ≥PC+AP A ． 90°﹣∠A B ． 90°﹣∠A C ． 180°﹣∠A D ． 45°﹣∠AA ． △ABD ≌△ACDB ． AD 是△ABC 的高线C ． AD 是△ABC 的角平分线D ． △ABC 是等边三角形2.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC 的度数．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．4如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．5.如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．7.如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD 的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC 的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC 于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内析：角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A 2B 3C 4D 5．．．．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm考点：角平分线的性质．分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF ⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．8考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC 即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．点本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，评：三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考点：直角三角形全等的判定．分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，答：如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）A ．BC＞PC+APB．BC＜PC+APC．BC=PC+APD．BC≥PC+AP考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC 上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠AB．90°﹣∠AC．180°﹣∠AD．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A ．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高线C AD是△D△ABC是．A BC的角平分线．等边三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ABD和△ACD中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正确；B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确；C、由条件可知AD为△ABC的角平分线；D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确；故选D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A ．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C ．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上．解答：解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．解答：解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质．分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC ⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED ⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．考等腰三角形的性质．点：分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度数是 67.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D 是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．分析：由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点评本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关：键．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC 和∠ABD的度数，题目比较好．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论．解答：证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF 的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，（3分）又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．。
全等三角形证明经典100题（精心汇编）
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADB C2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD ABC3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 B4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CCDB6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADB C8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD ABAC9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2B10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E11.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CCDB12.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEA12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠CDCBAFE14.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C15.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABP DACB16.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE17.已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DCFAED C B18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC．PEDCBA D CBA（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
初中数学三角形证明题练习及答案
三角形证实题演习【1 】1．如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直等分线交AB与D,交BC于E,衔接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是（）A．13B．10C．12D．52．如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD.CE分离是∠ABC.∠BCD的角等分线,则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图,在△ABC中,AD是它的角等分线,AB=8cm,AC=6cm,则S△ABD：S△ACD=（）A．4：3B．3：4C．16：9D．9：164．如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直等分线交AB于点D,交AC于点E,衔接BE,则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°5．如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°6．如图,点O在直线AB上,射线OC等分∠AOD,若∠AOC=35°,则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°7．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直等分线交BC边于D,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的角的个数是（）A．2B．3C．4D．58．如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是（）9．在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD等分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于（）A．B．C．D．10．△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等;∠A=40°,则∠BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°11．如图,已知点P在∠AOB的等分线OC上,PF⊥OA,PE⊥OB,若PE=6,则PF的长为（）A．2B．4C．6D．812．如图,△ABC中,DE是AB的垂直等分线,交BC于点D,交AB于点E,已知AE=1cm,△ACD的周长为12cm,则△ABC的周长是（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm13．如图,∠BAC=130°,若MP和QN分离垂直等分AB和AC,则∠PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°14．如图,要用“HL”剖断Rt△ABC和Rt△A′B′C ′全等的前提是（）A．AC=A′C′,BC=B′C′B．∠A=∠A′,AB=A′B′C．AC=A′C′,AB=A′B′D．∠B=∠B′,BC=B′C′15．如图,MN是线段AB的垂直等分线,C在MN外,且与A点在MN的统一侧,BC交MN于P点,则（）A．B C＞PC+AP B．B C＜PC+AP C．B C=PC+AP D．B C≥PC+AP16．如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于（）17．如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 等分∠BAC,那么下列结论不必定成立的是（ ）三角形证实中经典题21.如图,已知：E 是∠AOB 的等分线上一点,EC ⊥OB,ED ⊥OA,C.D 是垂足,衔接CD,且交OE 于点F ．（1）求证：OE 是CD 的垂直等分线．（2）若∠AOB=60°,请你探讨OE,EF 之间有什么数目关系？并证实你的结论．2.如图,点D 是△ABC 中BC 边上的一点,且AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC 的度数．3.如图,在△ABC 中,AD 等分∠BAC,点D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于点E,DF ⊥AC 于点F ．求证：（1）∠B=∠C ．（2）△ABC 是等腰三角形．4如图,AB=AC,∠C=67°,AB 的垂直等分线EF 交AC 于点D,求∠DBC 的度数．A ． 90°﹣∠AB ． 90°﹣∠AC ． 180°﹣∠AD ． 45°﹣∠AA ． △ABD ≌△ACDB ． AD 是△ABC 的高线C ． AD 是△ABC 的角等分线 D ． △ABC 是等边三角形5.如图,△ABC中,AB=AD=AE,DE=EC,∠DAB=30°,求∠C的度数．6.浏览懂得：“在一个三角形中,假如角相等,那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”,如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的等分线上交于点F,过点F作BC的平行线分离交AB.AC于点D.E,请你用“等角对等边”的常识解释DE=BD+CE．7.如图,AD是△ABC的等分线,DE,DF分离垂直AB.AC于E.F,衔接EF,求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证实组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模仿）如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直等分线交AB与D,交BC于E,衔接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是（）A ．13B．10C．12D．5考点：线段垂直等分线的性质．剖析：先依据勾股定理求出AE=13,再由DE是线段AB的垂直等分线,得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°,∴AE=,∵DE是线段AB的垂直等分线,∴BE=AE=13;故选：A．点评：本题考察了勾股定理和线段垂直等分线的性质;应用勾股定理求出AE是解题的症结．2．（2015•淄博模仿）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD.CE分离是∠ABC.∠BCD的角等分线,则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的剖断;三角形内角和定理．专题：证实题．剖析：依据已知前提和等腰三角形的剖断定理,对图中的三角形进行剖析,即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形;（2）∵BD.CE分离是∠ABC.∠BCD的角等分线∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD,∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;（3）∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°,又BD是∠ABC的角等分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题重要考察学生对等腰三角形剖断和三角形内角和定理的懂得和控制,属于中档题．3．（2014秋•西城区校级期中）如图,在△ABC中,AD是它的角等分线,AB=8cm,AC=6cm,则S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3B．3：4C．16：9D．9：16考点：角等分线的性质;三角形的面积．专题：盘算题．剖析：起首过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,由AD是它的角等分线,依据角等分线的性质,即可求得DE=DF,由△ABD的面积为12,可求得DE与DF的长,又由AC=6,则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分离为E.F…（1分）∵AD是∠BAC的等分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12,∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故选A．点评：此题考察了角等分线的性质．此题难度不大,解题的症结是熟记角等分线的性质定理的应用,留意数形联合思惟的应用,留意帮助线的作法．4．（2014•丹东）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直等分线交AB于点D,交AC于点E,衔接BE,则∠CBE 的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直等分线的性质;等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．剖析：由等腰△ABC中,AB=AC,∠A=40°,即可求得∠ABC的度数,又由线段AB的垂直等分线交AB于D,交AC于E,可得AE=BE,继而求得∠ABE的度数,则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C==70°,∵线段AB的垂直等分线交AB于D,交AC于E,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考察了线段垂直等分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大,留意控制数形联合思惟的应用．5．（2014•南充）如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．剖析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系,应用三角形的内角和是180°,求∠B,解答：解：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵CD=AD,∴∠C=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°故选：B．点评：本题重要考察等腰三角形的性质,解题的症结是应用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014•山西模仿）如图,点O在直线AB上,射线OC等分∠AOD,若∠AOC=35°,则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°考点：角等分线的界说．剖析：起首依据角等分线界说可得∠AOD=2∠AOC=70°,再依据邻补角的性质可得∠BOD的度数．解答：解：∵射线OC等分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC,∵∠COA=35°,∴∠DOA=70°,∴∠BOD=180°﹣70°=110°,故选：B．点评：此题重要考察了角等分线界说,症结是控制角等分线把角分成相等的两部分．7．（2014•雁塔区校级模仿）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直等分线交BC边于D,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的角的个数是（）A ．2B．3C．4D．5考点：线段垂直等分线的性质．剖析：依据已知前提易得∠B=30°,∠BAC=60°．依据线段垂直等分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°,AB=10,AC=5,∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直等分BC,∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°,∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题重要考察线段的垂直等分线的性质等几何常识．线段的垂直等分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个查找,做到不重不漏．8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是（）A ．2B．3C．6D．不克不及肯定考点：三角形的角等分线.中线和高．专题：盘算题．剖析：依据三角形的中线得出AD=CD,依据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD,∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题重要考察对三角形的中线的懂得和控制,能准确地进行盘算是解此题的症结．9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD等分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于（）A ．B．C．D．考点：角等分线的性质．剖析：由∠C=90°,∠CAB=60°,可得∠B的度数,故BD=2DE=7.6,又AD等分∠CAB,故DC=DE=3.8,由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°,∠CAB=60°,∴∠B=30°,在Rt△BDE中,BD=2DE=7.6,又∵AD等分∠CAB,∴DC=DE=3.8,∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题重要考察等分线的性质,由已知可以或许留意到D到AB的距离DE即为CD长,是解题的症结．10．（2014秋•博野县期末）△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等;∠A=40°,则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°考点：角等分线的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质．专题：盘算题．剖析：由已知,O到三角形三边距离相等,得O是心坎,再应用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知,O到三角形三边距离相等,所以O是心坎,即三条角等分线交点,AO,BO,CO都是角等分线,所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC,∠BCO=∠ACO=∠ACB,∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题重要考察学生对角等分线性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质等常识点的懂得和控制,难度不大,是一道基本题．11．（2013秋•潮阳区期末）如图,已知点P在∠AOB的等分线OC上,PF⊥OA,PE⊥OB,若PE=6,则PF的长为（）A ．2B．4C．6D．8考点：角等分线的性质;全等三角形的剖断与性质．专题：盘算题．剖析：应用角等分线性质得出∠POF=∠POE,然后应用AAS定理求证△POE≌△POF,即可求出PF的长．解答：解：∵OC等分∠AOB,∴∠POF=∠POE,∵PF⊥OA,PE⊥OB,∴∠PFO=∠PEO,PO为公共边,∴△POE≌△POF,∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考察学生对角等分线性质和全等三角形的剖断与性质的懂得和控制,解答此题的症结是求证△POE≌△POF．12．（2013秋•马尾区校级期末）如图,△ABC中,DE是AB的垂直等分线,交BC于点D,交AB于点E,已知AE=1cm,△ACD的周长为12cm,则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直等分线的性质．剖析：请求△ABC的周长,先有AE可求出AB,只请求出AC+BC即可,依据线段垂直等分线的性质可知,AD=BD,于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长,答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直等分线,∴AD=BD,AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题重要考察线段的垂直等分线的性质：线段的垂直等分线上的点到线段的两个端点的距离相等;进行线段的等效转移,把已知与未知接洽起来是准确解答本题的症结．13．（2013秋•西城区期末）如图,∠BAC=130°,若MP和QN分离垂直等分AB和AC,则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直等分线的性质．剖析：依据线段垂直等分线性质得出BP=AP,CQ=AQ,推出∠B=∠BAP,∠C=∠QAC,求出∠B+∠C,即可求出∠BAP+∠QAC,即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分离垂直等分AB和AC,∴BP=AP,CQ=AQ,∴∠B=∠PAB,∠C=∠QAC,∵∠BAC=130°,∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°,∴∠BAP+∠CAQ=50°,∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°,故选：C．点评：本题考察了等腰三角形的性质,线段垂直等分线性质,三角形的内角和定理,留意：线段垂直等分线上的点到线段两个端点的距离相等,等边对等角．14．（2014秋•东莞市校级期中）如图,要用“HL”剖断Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的前提是（）A ．AC=A′C′,BC=B′C′B．∠A=∠A′,AB=A′B′C ．AC=A′C′,AB=A′B′D．∠B=∠B′,BC=B′C′考点：直角三角形全等的剖断．剖析：依据直角三角形全等的剖断办法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,假如AC=A′C′,AB=A′B′,那么BC必定等于B′C′, Rt△ABC和Rt△A′B′C′必定全等,故选C．点评：此题重要考察学生对直角三角形全等的剖断的懂得和控制,难度不大,是一道基本题．15．（2014秋•淄川区校级期中）如图,MN是线段AB的垂直等分线,C在MN外,且与A点在MN的统一侧,BC交MN于P点,则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP考点：线段垂直等分线的性质．剖析：从已知前提进行思虑,依据垂直等分线的性质可得PA=PB,联合图形知BC=PB+PC,经由过程等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直等分线上,∴PA=PB．∵BC=PC+BP,∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考察了垂直等分线的性质：线段的垂直等分线上的点到线段的两个端点的距离相等;联合图形,进行线段的等量代换是准确解答本题的症结．16．（2014秋•万州区校级期中）如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．剖析：由AB=AC,应用等边对等角得到一对角相等,再由BF=CD,BD=CE,应用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等,应用全等三角形对应角相等得到一对角相等,即可暗示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC,∴∠B=∠C°,在△BDF和△CED中,,∴△BDF≌△CED（SAS）,∴∠BFD=∠CDE,∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A,则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选B．点评：此题考察了全等三角形的剖断与性质,闇练控制全等三角形的剖断与性质是解本题的症结．17．（2014秋•泰山区校级期中）如图,在△ABC中,AB=AC,AD等分∠BAC,那么下列结论不必定成立的是（）A ．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高线C ．AD是△ABC的角等分线D．△ABC是等边三角形考点：等腰三角形的性质．剖析：应用等腰三角形的性质逐项断定即可．解答：解：A.在△ABD和△ACD中,,所以△ABD≌△ACD,所以A准确;B.因为AB=AC,AD等分∠BAC,所以AD是BC边上的高,所以B准确;C.由前提可知AD为△ABC的角等分线;D.由前提无法得出AB=AC=BC,所以△ABC不必定是等边三角形,所以D不准确;故选D．点评：本题重要考察等腰三角形的性质,控制等腰三角形“三线合一”的性质是解题的症结．18．（2014秋•晋江市校级月考）如图,点P是△ABC内的一点,若PB=PC,则（）A ．点P在∠ABC的等分线上B．点P在∠ACB的等分线上C ．点P在边AB的垂直等分线上D．点P在边BC的垂直等分线上考点：线段垂直等分线的性质．剖析：依据到线段两头点的距离相等的点在这条线段的垂直等分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直等分线上．解答：解：∵PB=PC,∴P在线段BC的垂直等分线上,故选D．点评：本题考察了角等分线的性质和线段垂直等分线定理,留意：到线段两头点的距离相等的点在这条线段的垂直等分线上,角等分线上的点到角的双方的距离相等．19．（2013•河西区二模）如图,在∠ECF的双方上有点B,A,D,BC=BD=DA,且∠ADF=75°,则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°考点：等腰三角形的性质．剖析：依据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系,慢慢推出∠ECF的度数．解答：解：∵BC=BD=DA,∴∠C=∠BDC,∠ABD=∠BAD,∵∠ABD=∠C+∠BDC,∠ADF=75°,∴3∠ECF=75°,∴∠ECF=25°．故选：C．点评：考察了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等,三角形外角和内角的应用．20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图,P为∠AOB的等分线OC上随意率性一点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,衔接MN交OP于点D．则①PM=PN,②MO=NO,③OP⊥MN,④MD=ND．个中准确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：角等分线的性质．剖析：由已知很易得到△OPM≌△OPN,从而得角相等,边相等,进而得△OMP≌△ONP,△PMD≌△PND,可得MD=ND,∠ODN=∠ODM=9O°,答案可得．解答：解：P为∠AOB的等分线OC上随意率性一点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N衔接MN交OP于点D,∴∠MOP=∠NOP,∠OMP=∠ONP,OP=OP,∴△OPM≌△OPN,∴MP=NP,OM=ON,又OD=OD∴△OMD≌△OND,∴MD=ND,∠ODN=∠ODM=9O°,∴OP⊥MN∴①PM=PN,②MO=NO,③OP⊥MN,④MD=ND都准确．故选D．点评：本题重要考察了角等分线的性质,即角等分线上的一点到双方的距离相等;发明并应用△OMD≌△OND是解决本题的症结,证实两线垂直时经常经由过程证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图,已知ON是∠AOB的等分线,OM.OC是∠AOB外的射线．（1）假如∠AOC=α,∠BOC=β,请用含有α,β的式子暗示∠NOC．（2）假如∠BOC=90°,OM等分∠AOC,那么∠MON的度数是若干？考点：角等分线的界说．剖析：（1）先求出∠AOB=α﹣β,再应用角等分线求出∠AON,即可得出∠NOC;（2）先应用角等分线求出∠AOM=∠AOC,∠AON=∠AOB,即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α,∠BOC=β,∴∠AOB=α﹣β,∵ON是∠AOB的等分线,∴∠AON=（α﹣β）,∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）;（2）∵OM等分∠AOC,ON等分∠AOB,∴∠AOM=∠AOC,∠AON=∠AOB,∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考察了角等分线的界说和角的盘算;弄清各个角之间的数目关系是解决问题的症结．22．（2014秋•阿坝州期末）如图,已知：E是∠AOB的等分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C.D是垂足,衔接CD,且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直等分线．（2）若∠AOB=60°,请你探讨OE,EF之间有什么数目关系？并证实你的结论．考点：线段垂直等分线的性质．专题：探讨型．剖析：（1）先依据E是∠AOB的等分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角形,由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直等分线;（2）先依据E是∠AOB的等分线,∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°,由直角三角形的性质可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的等分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,∴DE=CE,OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OCE,∴OD=OC,∴△DOC是等腰三角形,∵OE是∠AOB的等分线,∴OE是CD的垂直等分线;（2）∵OE是∠AOB的等分线,∠AOB=60°,∴∠AOE=∠BOE=30°,∵EC⊥OB,ED⊥OA,∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°,∴∠EDF=30°,∴DE=2EF,∴OE=4EF．点评：本题考察的是角等分线的性质及直角三角形的性质.等腰三角形的剖断与性质,熟知以上常识是解答此题的症结．23．（2014秋•花垣县期末）如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD等分∠ABC,DE⊥AB（E在AB之间）,DF⊥BC,已知BD=5,DE=3,CF=4,试求△DFC的周长．考点：角等分线的性质．剖析：依据角等分线的性质可证∠ABD=∠CBD,即可求得∠CBD=∠C,即BD=CD,再依据角等分线上的点到角双方距离相等即可求得DE=DF,即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C,BD等分∠ABC,∴∠CBD=∠C,∴BD=CD,∵BD等分∠ABC,∴DE=DF,∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考察了角等分线上点到角双方距离相等的性质,考察了角等分线等分角的性质,考察了三角形周长的盘算,本题中求证DE=DF是解题的症结．24．（2014秋•大石桥市期末）如图,点D是△ABC中BC边上的一点,且AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．剖析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA,由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA,∠DBA=∠C,从而可推出∠BAC=3∠DBA,依据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数,从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°,∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°,∠DBA=∠C=x°,∴∠BAC=3∠DBA=3x°,∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°,∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题重要考察学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的分解应用才能;求得角之间的关系应用内角和求解是准确解答本题的症结．25．（2014秋•安溪县期末）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子暗示）;（2）以点B为圆心.BC长为半径画弧,分离交AC.AB于D.E两点,并衔接BD.DE．若=30°,求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．剖析：（1）依据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小;（2）依据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC,再求出∠CBD,然后依据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD,求得∠ABD,再依据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质盘算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α;（2）∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°,由题意得：BC=BD=BE,由BC=BD得∠BDC=∠C=75°,∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°,由BD=BE得．故∠BDE的度数是67.5°．点评：本题考察了三角形内角和定理.等腰三角形的性质,重要应用了等腰三角形两底角相等,熟记性质是解题的症结．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图,在△ABC中,AD等分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的剖断．剖析：由前提可得出DE=DF,可证实△BDE≌△CDF,可得出∠B=∠C,再由等腰三角形的剖断可得出结论．解答：证实：（1）∵AD等分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF）,∴∠B=∠C;（2）由（1）可得∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形．点评：本题重要考察等腰三角形的剖断及全等三角形的剖断和性质,应用角等分线的性质得出DE=DF是解题的症结．27．（2012秋•天津期末）如图,AB=AC,∠C=67°,AB的垂直等分线EF交AC于点D,求∠DBC的度数．考点：线段垂直等分线的性质;等腰三角形的性质．剖析：求出∠ABC,依据三角形内角和定理求出∠A,依据线段垂直等分线得出AD=BD,求出∠ABD,即可求出答案．解答：解：∵AB=AC,∠C=67°,∴∠ABC=∠C=67°,∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°,∵EF是AB的垂直等分线,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=46°,∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考察了线段垂直等分线,三角形的能或定理,等腰三角形的性质和剖断等常识点,症结是求出∠ABC和∠ABD的度数,标题比较好．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图,△ABC中,AB=AD=AE,DE=EC,∠DAB=30°,求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．剖析：起首依据AB=AD=AE,DE=EC,得到∠B=∠ADB,∠ADE=∠AED,∠C=∠EDC,从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,依据∠DAB=30°,求得∠B=∠ADB=75°,应用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°,求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE,DE=EC,∴∠B=∠ADB,∠ADE=∠AED,∠C=∠EDC,∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,∵∠DAB=30°,∴∠B=∠ADB=75°,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°,∴∠C=35°．点评：本题考察了等腰三角形的性质,解题的症结是应用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）浏览懂得：“在一个三角形中,假如角相等,那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”,如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的等分线上交于点F,过点F作BC的平行线分离交AB.AC于点D.E,请你用“等角对等边”的常识解释DE=BD+CE．考点：等腰三角形的性质．专题：证实题．剖析：由DE∥BC,BF等分∠ABC,CF等分∠ACB可知,DB=DF,CE=EF．即可得出结论．解答：证实：∵BF等分∠ABC（已知）,CF等分∠ACB（已知）,∴∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠FCB;又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行,内错角相等）,∠EFC=∠FCB（两直线平行,内错角相等）,∴∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB,EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点此题考察学生对等腰三角形的剖断与性质和平行线的性质的懂得和控制,重要应用评：等腰三角形双方相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2011•龙岩质检）如图,AD是△ABC的等分线,DE,DF分离垂直AB.AC于E.F,衔接EF,求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的剖断;全等三角形的剖断与性质．专题：证实题．剖析：依据角等分线的性质知∠BAD=∠CAD;然后依据已知前提“DE,DF分离垂直AB.AC于E.F”得到∠DEA=∠DFA=90°;再加上公共边AD=AD,从而证实,△ADE≌△ADF;最后依据全等三角形的对应边相等证实△AEF的双方相等,所以△AEF是等腰三角形．解答：证实：∵AD是△ABC的等分线,∴∠BAD=∠CAD,（3分）又∵DE,DF分离垂直AB.AC于E,F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD,∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF,即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题分解考察了等腰三角形的剖断.全等三角形的剖断与性质．解答此题时,依据全等三角形的剖断定理ASA剖断△ADE≌△ADF．第21页，共20页。
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2019年05月03日初中数学三角形证明组卷一．选择题（共20小题）1．（2019•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC 于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A．13 B．10 C．12 D．52．（2019•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．（2019秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：164．（2019•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°5．（2019•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°6．（2019•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°7．（2019•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A．2B．3C．4D．58．（2019秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．6D．不能确定9．（2019春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm10．（2019秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°11．（2019秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A．2B．4C．6D．812．（2019秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm13．（2019秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°14．（2019秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′15．（2019秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A 点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）A．B C＞PC+AP B．B C＜PC+AP C．B C=PC+AP D．B C≥PC+AP16．（2019秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠A17．（2019秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACD B．AD是△ABC的高线C．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形18．（2019秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上19．（2019•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°20．（2019秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共10小题）21．（2019秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？22．（2019秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．23．（2019秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB （E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．24．（2019秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．25．（2019秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．26．（2019秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．27．（2019秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28．（2019秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．29．（2019春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．30．（2019•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2019年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2019•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．3．（2019秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2019•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2019•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2019•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD 的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7．（2019•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2019秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．6D．不能确定考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2019春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm考点：角平分线的性质．分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．10．（2019秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2019秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A．2B．4C．6D．8考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．12．（2019秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2019秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2019秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．A C=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．A C=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考点：直角三角形全等的判定．分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（2019秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A 点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）A．B C＞PC+AP B．B C＜PC+AP C．B C=PC+AP D．B C≥PC+AP考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2019秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．解答： 解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C °，在△BDF 和△CED 中，，∴△BDF ≌△CED （SAS ），∴∠BFD=∠CDE ，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A ，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC ）=90°﹣∠A ．故选B ．点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2019秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论不一定成立的是（ ）A ． △ABD ≌△AC DB ． A D 是△ABC 的高线C ． AD 是△ABC 的角平分线 D ． △ABC 是等边三角形考点： 等腰三角形的性质．分析： 利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答： 解：A 、在△ABD 和△ACD 中，，所以△ABD ≌△ACD ，所以A 正确；B 、因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD 是BC 边上的高，所以B 正确；C 、由条件可知AD 为△ABC 的角平分线；D 、由条件无法得出AB=AC=BC ，所以△ABC 不一定是等边三角形，所以D 不正确；故选D ．点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2019秋•晋江市校级月考）如图，点P 是△ABC 内的一点，若PB=PC ，则（ ）A ． 点P 在∠ABC 的平分线上B ． 点P 在∠ACB的平分线上C ． 点P 在边AB 的垂直平分线上D ． 点P 在边BC 的垂直平分线上考点： 线段垂直平分线的性质．分析： 根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB 即可得出P 在线段BC 的垂直平分线上．解答： 解：∵PB=PC ，∴P 在线段BC 的垂直平分线上，故选D ．点评： 本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2019•河西区二模）如图，在∠ECF 的两边上有点B ，A ，D ，BC=BD=DA ，且∠ADF=75°，则∠ECF 的度数为（ ）A ． 15°B ． 20°C ． 25°D ． 30°考点： 等腰三角形的性质．分析： 根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF 的度数． 解答： 解：∵BC=BD=DA ，∴∠C=∠BDC ，∠ABD=∠BAD ，∵∠ABD=∠C+∠BDC ，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C ．点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．20．（2019秋•盱眙县校级期中）如图，P 为∠AOB 的平分线OC 上任意一点，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，连接MN 交OP 于点D ．则①PM=PN ，②MO=NO ，③OP ⊥MN ，④MD=ND ．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质．分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2019秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2019秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2019秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB （E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2019秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2019秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度数是67.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2019秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．分析：由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．27．（2019秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．28．（2019秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2019春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论．解答：证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2019•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，（3分）又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．。