2013年四川高考文科数学试卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)文
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2013四川,文1)设集合A={1,2,3},集合B={-2,2}.则A∩B=().A.⌀B.{2}C.{-2,2}D.{-2,1,2,3}答案:B解析:{1,2,3}∩{-2,2}={2}.2.(2013四川,文2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是().A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台答案:D解析:从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆,正视图与侧视图为等腰梯形,故此几何体为圆台.3.(2013四川,文3)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是().A.AB.BC.CD.D答案:B解析:设z=a+b i,则共轭复数为z =a-b i,∴表示z 与z 的两点关于x 轴对称. 故选B .4.(2013四川,文4)设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题p :∀x ∈A ,2x ∈B ,则( ). A. p:∃x ∈A,2x ∈B B. p:∃x ∉A,2x ∈B C. p:∃x ∈A,2x ∉B D. p:∀x ∉A,2x ∉B 答案:C解析:原命题的否定是∃x ∈A,2x ∉B.5.(2013四川,文5)抛物线y 2=8x 的焦点到直线x-√3y=0的距离是( ). A.2√3 B.2 C.√3 D.1答案:D解析:y 2=8x 的焦点为F(2,0),它到直线x-√3y=0的距离d=1+3=1.故选D .6.(2013四川,文6)函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ).A.2,-π3B.2,-π6C.4,-π6D.4,π3答案:A解析:由图象知函数周期T=2(11π12-5π12)=π,∴ω=2ππ=2,把(5π12,2)代入解析式,得2=2sin (2×5π12+φ),即sin (5π6+φ)=1.∴5π6+φ=π2+2k π(k ∈Z ),φ=-π3+2k π(k ∈Z ). 又-π2<φ<π2,∴φ=-π3. 故选A .7.(2013四川,文7)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( ).答案:A解析:由分组可知C ,D 一定不对;由茎叶图可知[0,5)有1人,[5,10)有1人,∴第一、二小组频率相同,频率分布直方图中矩形的高应相同,可排除B .故选A .8.(2013四川,文8)若变量x,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z=5y-x 的最大值为a,最小值为b,则a-b 的值是( ). A.48 B.30C.24D.16答案:C解析:画出可行域,如图.联立{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4.即A 点坐标为(4,4),由线性规划可知,z max =5×4-4=16,z min =0-8=-8,即a=16,b=-8, ∴a-b=24.故选C.9.(2013四川,文9)从椭圆x 22+y 2b 2=1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ). A.√24 B.12C.√22D.√32答案:C 解析:由题意知A(a,0),B(0,b),P (-c ,b 2),∵AB ∥OP,∴-b 2ac =-ba.∴b=c. ∵a 2=b 2+c 2,∴e 2=c 2a 2=12. ∴e=√22.故选C .10.(2013四川,文10)设函数f(x)=√e x +x -a (a ∈R ,e 为自然对数的底数),若存在b ∈[0,1]使f(f(b))=b 成立,则a 的取值范围是( ). A.[1,e ] B.[1,1+e ] C.[e ,1+e ] D.[0,1]答案:A解析:当a=0时,f(x)=√e x +x 为增函数,∴b ∈[0,1]时,f(b)∈[1,√e +1]. ∴f(f(b))≥√e +1>1.∴不存在b ∈[0,1]使f(f(b))=b 成立,故D 错;当a=e +1时,f(x)=√e x +x -e -1,当b ∈[0,1]时,只有b=1时,f (x )才有意义,而f (1)=0, ∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故B ,C 错.故选A .第二部分(非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2013四川,文11)lg √5+lg √20的值是 . 答案:1解析:lg √5+lg √20=lg (√5×√20)=lg √100=1.12.(2013四川,文12)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ .则λ= . 答案:2解析:由平行四边形法则知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴λ=2.13.(2013四川,文13)已知函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 答案:36解析:由基本不等式可得4x+a x ≥2√4x ·a x =4√a ,当且仅当4x=a x 即x=√a2时等号成立,∴√a2=3,a=36.14.(2013四川,文14)设sin 2α=-sin α,α∈(π2,π),则tan 2α的值是 . 答案:√3解析:∵sin 2α=-sin α,α∈(π2,π),∴2sin αcos α=-sin α,cos α=-12. ∵α∈(π2,π), ∴α=2π3,2α=4π3. ∴tan 2α=tan4π3=√3.15.(2013四川,文15)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 . 答案:(2,4)解析:由题意可知,若P 为平面直角坐标系内任意一点,则|PA|+|PC|≥|AC|,等号成立的条件是点P 在线段AC 上; |PB|+|PD|≥|BD|,等号成立的条件是点P 在线段BD 上, 所以到A,B,C,D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点. 直线AC 方程为2x-y=0,直线BD 方程为x+y-6=0, ∴{2x -y =0,x +y -6=0,解得{x =2,y =4.即所求点的坐标为(2,4).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013四川,文16)(本小题满分12分)在等比数列{a n }中,a 2-a 1=2,且2a 2为3a 1和a 3的等差中项,求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.解:设该数列的公比为q,由已知,可得a 1q-a 1=2,4a 1q=3a 1+a 1q 2,所以,a 1(q-1)=2,q 2-4q+3=0,解得q=3或q=1. 由于a 1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去. 故公比q=3,首项a 1=1. 所以,数列的前n 项和S n =3n -12.17.(2013四川,文17)(本小题满分12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin (A+C)=-35. (1)求sin A 的值;(2)若a=4√2,b=5,求向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影. 解:(1)由cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin (A+C)=-35,得cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin B=-35. 则cos (A-B+B)=-35,即cos A=-35. 又0<A<π,则sin A=45. (2)由正弦定理,有a sinA=b sinB, 所以,sin B=bsinAa=√22.由题知a>b,则A>B,故B=π4. 根据余弦定理,有 (4√2)2=52+c 2-2×5c×(-35), 解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=√2.18.(2013四川,文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i=1,2,3).(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大. 解:(1)变量x 是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y 的值为1,故P 1=12; 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y 的值为2,故P 2=13; 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y 的值为3,故P 3=16.所以,输出y 的值为1的概率为12,输出y 的值为2的概率为13,输出y 的值为3的概率为16. (2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率如下:比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.19.(2013四川,文19)(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC,AB=AC=2AA 1=2,∠BAC=120°,D,D 1分别是线段BC,B 1C 1的中点,P 是线段AD 上异于端点的点. (1)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l,说明理由,并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1; (2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q,求三棱锥A 1-QC 1D 的体积.(锥体体积公式:V=13Sh,其中S 为底面面积,h 为高)解:(1)如图,在平面ABC 内,过点P 作直线l ∥BC,因为l 在平面A 1BC 外,BC 在平面A 1BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知,l ∥平面A 1BC. 由已知,AB=AC,D 是BC 的中点, 所以,BC ⊥AD,则直线l ⊥AD.因为AA 1⊥平面ABC,所以AA 1⊥直线l.又因为AD,AA 1在平面ADD 1A 1内,且AD 与AA 1相交, 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E,因为AA 1⊥平面ABC,所以DE ⊥AA 1.又因为AC,AA 1在平面AA 1C 1C 内,且AC 与AA 1相交, 所以DE ⊥平面AA 1C 1C.由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ACD 中,DE=√32AD=√32.又S △A 1QC 1=12A 1C 1·AA 1=1,所以V A 1-QC 1D =V D -A 1QC 1=13DE ·S △A 1QC 1=13×√32×1=√36.因此三棱锥A 1-QC 1D 的体积是√36.20.(2013四川,文20)(本小题满分13分)已知圆C 的方程为x 2+(y-4)2=4,点O 是坐标原点,直线l:y=kx 与圆C 交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)设Q(m,n)是线段MN 上的点,且2|OQ |2=1|OM |2+1|ON |2,请将n 表示为m 的函数.解:(1)将y=kx 代入x 2+(y-4)2=4中,得(1+k 2)x 2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k 2)×12>0,得k 2>3. 所以,k 的取值范围是(-∞,-√3)∪(√3,+∞).(2)因为M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1),(x 2,kx 2),则|OM|2=(1+k 2)x 12,|ON|2=(1+k 2)x 22,又|OQ|2=m 2+n 2=(1+k 2)m 2. 由2|OQ |2=1|OM |2+1|ON |2,得2(1+k 2)m 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22,即2m2=1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 12x 22. 由(*)式可知,x 1+x 2=8k1+k2,x 1x 2=121+k 2,所以m 2=365k 2-3.因为点Q 在直线y=kx 上, 所以k=nm ,代入m 2=365k 2-3中并化简,得5n 2-3m 2=36.由m 2=365k 2-3及k 2>3,可知0<m 2<3,即m ∈(-√3,0)∪(0,√3).根据题意,点Q 在圆C 内,则n>0, 所以n=√36+3m 25=√15m 2+1805.于是,n 与m 的函数关系为n=√15m 2+1805(m ∈(-√3,0)∪(0,√3)).21.(2013四川,文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)={x 2+2x +a ,x <0,lnx ,x >0,其中a 是实数,设A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2))为该函数图象上的两点,且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,且x 2<0,证明:x 2-x 1≥1; (3)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合,求a 的取值范围. 解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).(2)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为f'(x 1),点B 处的切线斜率为f'(x 2), 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时,有f'(x 1)f'(x 2)=-1.当x<0时,对函数f(x)求导,得f'(x)=2x+2. 因为x 1<x 2<0,所以,(2x 1+2)(2x 2+2)=-1. 所以2x 1+2<0,2x 2+2>0. 因此x 2-x 1=12[-(2x 1+2)+2x 2+2] ≥√1+2)](2x 2+2)=1.(当且仅当-(2x 1+2)=2x 2+2=1,即x 1=-32且x 2=-12时等号成立) 所以,函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时,有x 2-x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时,f'(x 1)≠f'(x 2),故x 1<0<x 2.当x 1<0时,函数f(x)的图象在点(x 1,f(x 1))处的切线方程为y-(x 12+2x 1+a)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12+a.当x 2>0时,函数f(x)的图象在点(x 2,f(x 2))处的切线方程为y-ln x 2=1x 2(x-x 2),即y=1x 2·x+ln x 2-1.两切线重合的充要条件是{1x 2=2x 1+2,lnx 2-1=-x 12+a .① ②由①及x 1<0<x 2知,0<1x 2<2.由①②得,a=ln x 2+(12x 2-1)2-1=-ln1x 2+14(1x 2-2)2-1. 令t=1x 2,则0<t<2,且a=14t 2-t-ln t,设h(t)=14t 2-t-ln t(0<t<2), 则h'(t)=12t-1-1t=(t -1)2-32t<0. 所以h(t)(0<t<2)为减函数, 则h(t)>h(2)=-ln 2-1, 所以a>-ln 2-1.而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时,h(t)无限增大. 所以a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).故当函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).。
2013年高考文科数学四川卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，文1)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}．则A∩B＝( )．A．∅B．{2}C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}【答案】B【考点】本题主要考查集合的运算。
【解析】{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D【考点】本题主要考查简单几何体的三视图，意在考查考生数形结合的能力。
【解析】从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )．A．A B．BC．C D．D【答案】B【考点】本题主要考查复数的集合表示、共轭复数的概念，意在考查考生对基本概念的理解。
【解析】设z＝a＋b i，则共轭复数为z＝a－b i，∴表示z与z的两点关于x轴对称．故选B．4．(2013四川，文4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )．A．⌝p：∃x∈A,2x∈BB．⌝p：∃x∉A,2x∈BC．⌝p：∃x∈A,2x∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B 【答案】C【考点】本题主要考查含有一个量词的命题否定。
【解析】原命题的否定是∃x ∈A,2x ∉B ．5．(2013四川，文5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x ＝0的距离是( )．A ．．2 C ．1 【答案】D【考点】本题主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质，意在考查考生数形结合的思想。
【解析】6．(2013四川，文6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，−π3B ．2，−πC ．4，−πD ．4，π3【答案】A【考点】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查考生基本方法的掌握和数形结合【解析】由图象知函数周期T ＝211π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2ππ＝2，把5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3-＋2k π(k ∈Z )．又ππ22ϕ-<<，∴φ＝π3-.故选A ．7．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )．【答案】A【考点】本题主要考查茎叶图和频率分布直方图，意在考查考生整理、收集数据的能力。
四川省高考数学试卷文科.doc
2013年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，1，2，3}2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．A B．B C．C D．D4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B5．（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．B．2 C．D．16．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A．B．C．D．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．169．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（）A．[1，e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[0，1]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）lg+lg的值是．12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．13．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=．14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i （i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）20．（13分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx 与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，1，2，3}【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选：D．【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．A B．B C．C D．D【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．故选：B．【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：C．【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．5．（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．B．2 C．D．1【分析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F （2，0）到直线的距离．【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），∴点F（2，0）到直线的距离d==1．故选：D．【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k ∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．【解答】解：根据题意，频率分布表可得：分组频数频率[0，5）10.05[5，10）10.05[10，15）40.20………[30，35）30.15[35，40）20.10合计100 1.00进而可以作频率直方图可得：故选：A．【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．16【分析】先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选：C．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【分析】依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒k AB=k OP⇒b=c，从而可得答案．【解答】解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），则+=1，∴y0=，∴P（﹣c，），又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，∴k AB=k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离心率为e，则e2====，∴椭圆的离心率e=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（）A．[1，e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[0，1]【分析】根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f （x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得e x=x2﹣x+a，记F（x）=e x，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]，∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，根据，化简整理得e x=x2﹣x+a记F（x）=e x，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即，解之得1≤a≤e即实数a的取值范围为[1，e]故选：A．【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f （b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）lg+lg的值是1．【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：==1．故答案为：1．【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a= 36．【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值，∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函数的极值点，∴f′（3）=0，f′（x）=4﹣，即4﹣=0，解得a=36．故答案为：36．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是（2，4）．【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），∴AC，BD的方程分别为：，，即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．解方程组得Q（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．【分析】等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：设等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4联立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0∴或q=1（舍去）∴=【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量在方向上的投影．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，即，即，因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i （i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）【分析】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行．等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ．（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD 的值，可得DE 的值，从而求得=的值，再根据三棱锥A 1﹣QC1D的体积==••DE，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，故直线l与平面A1BC平行．三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．而AA1∩AD=A，∴直线l⊥平面ADD1A1 ．（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱，故DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．∵===1，∴三棱锥A 1﹣QC1D的体积==••DE=×1×=．【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．20．（13分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx 与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．【分析】（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，代入=+得：=+，即=+=，由（*）得到x1+x2=，x1x2=，代入得：=，即m2=，∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），根据题意得点Q在圆内，即n＞0，∴n==，则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【分析】（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1；（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．【解答】解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1，当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴x 2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1；（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）；两直线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1，令t=，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．。
2013年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},则A∩B＝( )A.∅B.{2}C.{－2,2}D.{－2,1,2,3}2.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台3.(5分)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是( )A.AB.BC.CD.D4.(5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B,则( )A.￢p：∃x∈A,2x∈BB.￢p：∃x∉A,2x∈BC.￢p：∃x∈A,2x∉BD.￢p：∀x∉A,2x∉B5.(5分)抛物线y2＝8x的焦点到直线的距离是( )A. B.2 C. D.16.(5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,－＜φ＜)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A. B. C. D.7.(5分)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )A. B.C. D.8.(5分)若变量x,y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是( )A.48B.30C.24D.16,A是椭圆与x 9.(5分)从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.10.(5分)设函数f(x)＝(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1＋e]C.[e,1＋e]D.[0,1]二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)lg＋lg的值是.12.(5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,＋＝λ,则λ＝.13.(5分)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0,a＞0)在x＝3时取得最小值,则a＝.14.(5分)设sin2α＝－sinα,α∈(,π),则tan2α的值是.15.(5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和最小的点的坐标是.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)在等比数列{an }中,a2－a1＝2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若a＝4,b＝5,求向量在方向上的投影.18.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.19.(12分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB＝AC＝2AA1＝2,∠BAC＝120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1－QC1D的体积.(锥体体积公式：,其中S为底面面积,h为高)20.(13分)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4,点O是坐标原点.直线l：y＝kx与圆C交于M,N 两点.(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数.21.(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1＜x2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,证明：x2－x1≥1；(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.2013年四川省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},则A∩B＝( )A.∅B.{2}C.{－2,2}D.{－2,1,2,3}【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集.【解答】解：∵集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},∴A∩B＝{2}.故选：B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解：由三视图知,从正面和侧面看都是梯形,从上面看为圆形,下面看是圆形,并且可以想象到该几何体是圆台,则该几何体可以是圆台.故选：D.【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.3.(5分)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是( )A.AB.BC.CD.D【分析】直接利用共轭复数的定义,找出点A表示复数z的共轭复数的点即可.【解答】解：两个复数是共轭复数,两个复数的实部相同,虚部相反,对应的点关于x轴对称. 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B.故选：B.【点评】本题考查复数与共轭复数的关系,复数的几何意义,基本知识的考查.4.(5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B,则( )A.￢p：∃x∈A,2x∈BB.￢p：∃x∉A,2x∈BC.￢p：∃x∈A,2x∉BD.￢p：∀x∉A,2x∉B【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题.【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,∴命题p：∀x∈A,2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A,2x∉B.故选：C.【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识.属于基础题.命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.5.(5分)抛物线y2＝8x的焦点到直线的距离是( )A. B.2 C. D.1【分析】由抛物线y2＝8x得焦点F(2,0),再利用点到直线的距离公式可得点F(2,0)到直线的距离.【解答】解：由抛物线y2＝8x得焦点F(2,0),∴点F(2,0)到直线的距离d＝＝1.故选：D.【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键.6.(5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,－＜φ＜)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A. B. C. D.【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T＝＝π,解得ω＝2.由函数当x＝时取得最大值2,得到＋φ＝＋kπ(k∈Z),取k＝0得到φ＝－.由此即可得到本题的答案.【解答】解：∵在同一周期内,函数在x＝时取得最大值,x＝时取得最小值,∴函数的周期T满足＝－＝,由此可得T＝＝π,解得ω＝2,得函数表达式为f(x)＝2sin(2x＋φ)又∵当x＝时取得最大值2,∴2sin(2•＋φ)＝2,可得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)∵,∴取k＝0,得φ＝－故选：A.【点评】本题给出y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象,求函数的表达式.着重考查了三角函数的图象与性质、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换等知识,属于基础题.7.(5分)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )A. B.C. D.【分析】根据题意,由频率与频数的关系,计算可得各组的频率,进而可以做出频率分布表,结合分布表,进而可以做出频率分布直方图.故选：A.【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用,关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用.8.(5分)若变量x,y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是( )A.48B.30C.24D.16【分析】先根据条件画出可行域,设z＝5y－x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线,过可行域内的点B(8,0)时的最小值,过点A(4,4)时,5y－x最大,从而得到a－b的值.【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域,平移直线5y－x＝0,经过点B(8,0)时,5y－x最小,最小值为：－8,则目标函数z＝5y－x的最小值为－8.经过点A(4,4)时,5y－x最大,最大值为：16,则目标函数z＝5y－x的最大值为16.z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是：24.故选：C.【点评】借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.9.(5分)从椭圆上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A.B.C.D.【分析】依题意,可求得点P 的坐标P(－c,),由AB ∥OP ⇒k AB ＝k OP ⇒b ＝c,从而可得答案.【解答】解：依题意,设P(－c,y 0)(y 0＞0),则＋＝1,∴y 0＝,∴P(－c,),又A(a,0),B(0,b),AB ∥OP,∴k AB ＝k OP ,即＝＝,∴b ＝c.设该椭圆的离心率为e,则e 2＝＝＝＝,∴椭圆的离心率e ＝.故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得点P的坐标(－c,)是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.10.(5分)设函数f(x)＝(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1＋e]C.[e,1＋e]D.[0,1]【分析】根据题意,问题转化为“存在b∈[0,1],使f(b)＝f－1(b)”,即y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1].由y＝f(x)的图象与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称,得到函数y＝f(x)的图象与y＝x有交点,且交点横坐标b∈[0,1].因此,将方程化简整理得e x＝x2－x＋a,记F(x)＝e x,G(x)＝x2－x＋a,由零点存在性定理建立关于a的不等式组,解之即可得到实数a的取值范围.【解答】解：由f(f(b))＝b,可得f(b)＝f－1(b)其中f－1(x)是函数f(x)的反函数因此命题“存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立”,转化为“存在b∈[0,1],使f(b)＝f－1(b)”,即y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1],∵y＝f(x)的图象与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称,∴y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象的交点必定在直线y＝x上,由此可得,y＝f(x)的图象与直线y＝x有交点,且交点横坐标b∈[0,1],根据,化简整理得e x＝x2－x＋a记F(x)＝e x,G(x)＝x2－x＋a,在同一坐标系内作出它们的图象,可得,即,解之得1≤a≤e即实数a的取值范围为[1,e]故选：A.【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数,在存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立的情况下,求参数a的取值范围.着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识,属于中档题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)lg＋lg的值是 1 .【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.【解答】解：＝＝1.故答案为：1.【点评】本题考查对数的运算性质,基本知识的考查.12.(5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,＋＝λ,则λ＝. 【分析】依题意,＋＝,而＝2,从而可得答案.【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,∴＋＝,又O为AC的中点,∴＝2,∴＋＝2,∵＋＝λ,∴λ＝2.故答案为：2.【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.13.(5分)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0,a＞0)在x＝3时取得最小值,则a＝36 .【分析】由题设函数在x＝3时取得最小值,可得f′(3)＝0,解此方程即可得出a的值.【解答】解：由题设函数在x＝3时取得最小值,∵x∈(0,＋∞),∴得x＝3必定是函数的极值点,∴f′(3)＝0,f′(x)＝4－,即4－＝0,解得a＝36.故答案为：36.【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值,解题的关键是理解“函数在x＝3时取得最小值”,将其转化为x＝3处的导数为0等量关系.14.(5分)设sin2α＝－sinα,α∈(,π),则tan2α的值是.【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinα不为0求出cosα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将tanα的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα,α∈(,π),∴cosα＝－,sinα＝＝,∴tanα＝－,则tan2α＝＝＝.故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.15.(5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和最小的点的坐标是(2,4) .【分析】如图,设平面直角坐标系中任一点P,利用三角形中两边之和大于第三边得PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD,从而得到四边形ABCD对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点.再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程,联立方程组求交点坐标即可.【解答】解：如图,设平面直角坐标系中任一点P,P到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和为：PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC ≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD,故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.∵A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1),∴AC,BD的方程分别为：,,即2x－y＝0,x＋y－6＝0.解方程组得Q(2,4).故答案为：(2,4).【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)在等比数列{an }中,a2－a1＝2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.【分析】等比数列的公比为q,由已知可得,a1q－a1＝2,4,解方程可求q,a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：设等比数列的公比为q,由已知可得,a1q－a1＝2,4联立可得,a1(q－1)＝2,q2－4q＋3＝0∴或q＝1(舍去)∴＝【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识,考查运算求解的能力17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若a＝4,b＝5,求向量在方向上的投影.【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出A的余弦值,然后求sinA的值；(Ⅱ)利用,b＝5,结合正弦定理,求出B的正弦函数,求出B的值,利用余弦定理求出c的大小,然后求解向量在方向上的投影.【解答】解：(Ⅰ)由,可得,即,即,因为0＜A＜π,所以.(Ⅱ)由正弦定理,,所以＝,由题意可知a＞b,即A＞B,所以B＝,由余弦定理可知.解得c＝1,c＝－7(舍去).向量在方向上的投影：＝ccosB＝.【点评】本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能力转化思想.18.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(i＝1,2,3)；(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.【分析】(I)由题意可知,当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；(II)当n＝2100时,列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率的表格,再比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大.【解答】解：(I)当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1＝；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2＝；当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3＝；∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.19.(12分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB＝AC＝2AA1＝2,∠BAC＝120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l,说明理由,并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q,求三棱锥A 1－QC 1D 的体积.(锥体体积公式：,其中S 为底面面积,h 为高)【分析】(Ⅰ)在平面ABC 内,过点P 作直线l 和BC 平行,根据直线和平面平行的判定定理可得直线l 与平面A 1BC 平行.等腰三角形ABC 中,根据等腰三角形中线的性质可得AD ⊥BC,故l ⊥AD.再由AA 1⊥底面ABC,可得 AA 1⊥l.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l ⊥平面ADD 1A 1 .(Ⅱ)过点D 作DE ⊥AC,证明DE ⊥平面AA 1C 1C.直角三角形ACD 中,求出AD 的值,可得 DE 的值,从而求得 ＝的值,再根据三棱锥A 1－QC 1D 的体积＝＝••DE,运算求得结果.【解答】解：(Ⅰ)在平面ABC 内,过点P 作直线l 和BC 平行,由于直线l 不在平面A 1BC 内,而BC 在平面A 1BC 内,故直线l 与平面A 1BC 平行.三角形ABC 中,∵AB ＝AC ＝2AA 1＝2,∠BAC ＝120°,D,D 1分别是线段BC,B 1C 1的中点,∴AD ⊥BC,∴l ⊥AD.再由AA 1⊥底面ABC,可得 AA 1⊥l. 而AA 1∩AD ＝A,∴直线l ⊥平面ADD 1A 1 .(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q,过点D 作DE ⊥AC, ∵侧棱AA 1⊥底面ABC,故三棱柱ABC －A 1B 1C 为直三棱柱, 故DE ⊥平面AA 1C 1C.直角三角形ACD 中,∵AC ＝2,∠CAD ＝60°,∴AD ＝AC •cos60°＝1,∴DE ＝AD •sin60°＝.∵＝＝＝1,∴三棱锥A 1－QC 1D 的体积＝＝••DE ＝×1×＝.【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题.20.(13分)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点.直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数.【分析】(Ⅰ)将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,根据两函数图象有两个交点,得到根的判别式的值大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的取值范围；(Ⅱ)由M、N在直线l上,设点M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2,以及|OQ|2,代入已知等式中变形,再利用根与系数的关系求出x1＋x2与x1x2,用k表示出m,由Q在直线y＝kx上,将Q坐标代入直线y＝kx中表示出k,代入得出的关系式中,用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式,并求出m的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中,得：(1＋k2)x2－8kx＋12＝0(*),根据题意得：△＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0,即k2＞3,则k的取值范围为(－∞,－)∪(,＋∞)；(Ⅱ)由M、N、Q在直线l上,可设M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),∴|OM|2＝(1＋k2)x12,|ON|2＝(1＋k2)x22,|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2,代入＝＋得：＝＋,即＝＋＝,由(*)得到x1＋x2＝,x1x2＝,代入得：＝,即m2＝,∵点Q在直线y＝kx上,∴n＝km,即k＝,代入m2＝,化简得5n2－3m2＝36,由m2＝及k2＞3,得到0＜m2＜3,即m∈(－,0)∪(0,),根据题意得点Q在圆内,即n＞0,∴n＝＝,则n与m的函数关系式为n＝(m∈(－,0)∪(0,)).【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：根的判别式,根与系数的关系,两点间的距离公式,以及函数与方程的综合运用,本题计算量较大,是一道综合性较强的中档题.21.(14分)已知函数,其中a 是实数.设A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2))为该函数图象上的两点,且x 1＜x 2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,且x 2＜0,证明：x 2－x 1≥1； (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合,求a 的取值范围. 【分析】(I)根据分段函数中两段解析式,结合二次函数及对数函数的性质,即可得出函数f(x)的单调区间；(II)由导数的几何意义知,点A 处的切线的斜率为f′(x 1),点B 处的切线的斜率为f′(x 2),再利用f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时,斜率之积等于－1,得出(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1,最后利用基本不等式即可证得x 2－x 1≥1；(III)先根据导数的几何意义写出函数f(x)在点A 、B 处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件列出关系式,从而得出a ＝lnx 2＋()2－1,最后利用导数研究它的单调性和最值,即可得出a 的取值范围.【解答】解：(I)函数f(x)的单调减区间(－∞,－1),函数f(x)的单调增区间[－1,0),(0,＋∞)；(II)由导数的几何意义知,点A 处的切线的斜率为f′(x 1),点B 处的切线的斜率为f′(x 2), 函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时,有f′(x 1)f′(x 2)＝－1, 当x ＜0时,(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1,∵x 1＜x 2＜0,∴2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0, ∴x 2－x 1＝[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥＝1, ∴若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,有x 2－x 1≥1； (III)当x 1＜x 2＜0,或0＜x 1＜x 2时,f′(x 1)≠f′(x 2),故x 1＜0＜x 2, 当x 1＜0时,函数f(x)在点A(x 1,f(x 1))处的切线方程为y －(x ＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)；当x 2＞0时,函数f(x)在点B(x 2,f(x 2))处的切线方程为y －lnx 2＝(x －x 2)；两直线重合的充要条件是,由①及x 1＜0＜x 2得0＜＜2,由①②得a ＝lnx 2＋()2－1＝－ln＋()2－1,令t ＝,则0＜t ＜2,且a ＝t 2－t －lnt,设h(t)＝t 2－t －lnt,(0＜t ＜2)则h′(t)＝t －1－＝,∴h(t)在(0,2)为减函数,则h(t)＞h(2)＝－ln2－1,∴a ＞－ln2－1,∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围(－ln2－1,＋∞).【点评】本题以函数为载体,考查分段函数的解析式,考查函数的单调性,考查直线的位置关系的处理,注意利用导数求函数的最值.。
2013年四川高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B = （ ） A ．∅ B.{2} C.{2,2}- D.{2,1,2,3}- 【测量目标】集合的交集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求两集合交集. 【参考答案】B【试题解析】直接根据交集的概念求解,故选B.2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是 （ ） A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台第2题图【测量目标】平面图形的直观图与三视图. 【考查方式】利用三视图判断几何体. 【参考答案】D【试题解析】先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.由俯视图是圆环可排除A,B,由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C ，故选D.3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 （ ）A.AB.BC.CD.D 【测量目标】复数的基本概念及复平面.【考查方式】直接给出复数象限，判断共轭复数的象限. 【参考答案】B【试题解析】根据复数的几何表示可求得.表示复数z 的点A 在第二象限，由共轭复数的定义，设i(,),z a b a b =+∈R 且0,0,a b <>则z 的共轭复数为i,a b -其中0,0,a b <-<故应为B 点.4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则 （ ） A.:,2p x A x B ⌝∃∈∈ B.:,2p x A x B ⌝∃∉∈ C.:,2p x A x B ⌝∃∈∉ D.:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 【测量目标】含有一个量词的命题的否定. 【考查方式】直接给出全称命题，求其否命题. 【参考答案】C【试题解析】由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得.命题p 是全称命题：(),,x M p x ∀∈则p ⌝是特称命题：(),,x M p x ∃∈⌝故选C. 5．抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 （ ） A.23 B.2 C.3 D.1 【测量目标】点到直线的距离公式、抛物线的标准方程及其简单几何性质. 【考查方式】已知抛物线的标准方程与直线方程，运用点到直线距离公式求距离. 【参考答案】D【试题解析】由抛物线方程得焦点坐标，再由点到直线的距离公式求解. 抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0,F 则()22230 1.13d -⨯==+-故选D.6．函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.π2,3-B.π2,6-C.π4,6-D.π4,3【测量目标】正弦三角函数的图象与性质.【考查方式】给出正弦函数的部分图象，运用正弦函数性质、数形结合思想求正弦函数中的未知量. 【参考答案】A【试题解析】借助三角形的图象和性质求解. 115ππ,π.21212T T =-∴=（步骤1） 又()2π2π0,π, 2.T ωωωω=>∴=∴=（步骤2）由五点作图法可知当5π12x =时，π,2x ωϕ+=即5ππ2π,.1223ϕϕ⨯+=∴=-故选A.（步骤3）7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是 （ ）A B C D 【测量目标】茎叶图、频率分布直方图的有关知识及应用. 【考查方式】由茎叶图列表（据茎叶图性质）求直方图. 【参考答案】A【试题解析】借助已知茎叶图得出各小组的频数，再有频率=频数样本容量求出各小组的频率，进一步求出频率组距并得出答案. 方法一：由题意知样本容量为20，组距为5.（步骤1） 列表如下：分组 频数 频率频率组距[)0,51 120 0.01 [)5,101 120 0.01 [)1015， 4 15 0.04 [)15,20 2 1100.02 [)20,254 15 0.04 [)25,303 320 0.03 [)30,353 320 0.03 []35,402 1100.02合计201观察各选项的频数分布直方图知选A.（步骤2）方法二：由茎叶图知落在区间[)0,5与[)5,10上的频数相等，故频率、频率组距也分别相等.比较四个选项知A 正确，故选A.8．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩…………且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b-的值是 （ ） A ．48 B.30 C.24 D.16 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出变量约束条件，画图求目标函数的最优解. 【参考答案】C【试题解析】先将不等式24y x -…转化为24,x y --…画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数55x zy =+的最优解，进而求得,a b 的值.8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩ …………8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪--⎪∴⎨⎪⎪⎩…………由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由5,z y x =-得.55x zy =+（步骤1）由图知目标函数55x zy =+，过点()8,0A 时，m i n5=508=8z y x =-⨯--，即8.b =-（步骤2） 目标函数55x zy =+过点B (4，4)时，m a x 554416,z y x =-=⨯-=即16.a =()16824,a b ∴-=--=故选C.（步骤3）9．从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是 （ ） A ．24 B.12 C.22 D.32【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质，椭圆与直线的位置关系.【考查方式】已知椭圆的标准方程形式，椭圆中特殊线段间的关系，根据椭圆的性质、离心率公式求解. 【参考答案】C【试题解析】设()0,,P c y -代入椭圆方程求得0,y 从而求得,op k 由OP AB k k =及ce a=可得离心率e .由题意设()0,,P c y -将()0,P c y -代入22221,x y a b+=得220221,y c a b +=则222422202221.c a c b y b b a a a ⎛⎫-=-=⋅= ⎪⎝⎭（步骤1） 20b y a ∴=或()2b y a =-舍去，222,,.OP b b P c k a ac ⎛⎫∴-∴=- ⎪⎝⎭（步骤2） ()()0,0,0,,.0AB b bA aB b k a a-∴==-- （步骤3）又2//,,.b b AB OP b c a ac∴-=-∴= 2222.22c c c e a b c c∴====+故选C.（步骤4）10．设函数()e x f x x a =+-（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是 （ ） A.[1,e] B.[1,1e]+ C.[e,1e]+ D.[0,1] 【测量目标】函数的概念及其性质、导数的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x ，结合导数的相关性质求未知数的取值范围. 【参考答案】A 【试题解析】由()()f f b b =得()()()(),,,A b f b A f b b '都在()y f x =的图象上为突破口解决.若存在[0,1]b ∈使()()f f b b =成立，则()()()(),,,A b f b A f b b '都在()y f x =的图象上.又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，()()0,A AAAx x y y ''∴--…即()()()()0,f b b b f b --…()()()20,.f b b f b b ∴-∴=…（步骤1）()[]0,1f x x x ∴=∈在上有解， 即e [0,1]x x a x +-=在上有解，2e ,[0,1].x a x x x ∴=+-∈（步骤2）令()x ϕ2e ,[0,1]x x x x =+-∈，则()e 120,xx x ϕ'=+-…[0,1]x ∈，()x ϕ∴在[]0,1上单调递增，又()0ϕ=1, ()1e ϕ=, ()[]1,e ,x ϕ∴∈即[]1,e ,a ∈故选A.（步骤3）第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分． 11．lg 5lg 20+的值是____ _． 【测量目标】对数的化简与求值.【考查方式】直接给出两对数，借助对数运算性质求解. 【参考答案】1【试题解析】借助对数运算法则：()lg lg lg ,0M N MN M N +=>及()log 101a a a a =>≠且求解.12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=___ __ _．第12题图【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】直接根据平行四边形法则和向量数乘的性质求未知数λ. 【参考答案】2【试题解析】根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.由向量加法的平行四边形法则，得.AB AD AC +=（步骤1）又O 是AC 的中点，∴2,AC AO =+2.AB AD AO ∴=又+.AB AD AO λ==2.λ∴（步骤2）13．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =___ ___． 【测量目标】基本不等式的应用.【考查方式】给出函数形式与函数取得最值的条件，运用基本不等式求解. 【参考答案】36【试题解析】借助基本不等式求最值的条件求解.()()42440,0,a a f x x x a x a x x=+=>> …当且仅当4,a x x =即2ax =时等号成立，此时()f x 取得最小值4a .（步骤1）又由已知3x =时，()min 4,f x a =3,2a∴=即36a =.(步骤2) 14．设sin 2sin αα=-，π(,π)2α∈，则tan 2α的值是________． 【测量目标】二倍角公式、诱导公式及特殊角的三角函数值.【考查方式】给出正弦函数的二倍角与单倍角关系、角的取值范围，利用三角函数计算的相关公式和性质求正切函数的二倍角. 【参考答案】3【试题解析】由sin 22sin cos ααα=及πsin 2sin ,,π2ααα⎛⎫=-∈⎪⎝⎭解出α，进而求得tan 2α的值.sin 2sin ,2sin cos sin .ααααα=-∴=- π(,π)2α∈，1sin 0,cos .2αα≠∴=-（步骤1）又 π(,π)2α∈，2π,3α∴=（步骤2） 4ππtan 2tan πtan πtan 3.333α⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭（步骤3）15．在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是【测量目标】直线方程及两相交直线的综合应用.【考查方式】已知坐标系中四点，运用等价转化思想和直线方程性质求坐标. 【参考答案】()2,4【试题解析】设平面上任意一点M ,因为,MA MC AC +…当且仅当,,A M C 共线时取等号，同理,MA MC BD +…当且仅当,,B M D 共线时取等号， 连接,AC BD 交于一点M ，若MA MC MB MD +++最小，则点M 为所求.（步骤1） 又622,31AC k -==-∴直线AC 的方程为()221,y x -=-即20.x y -=○1（步骤2） 又()511,17BDk --==--()51,BD y x ∴-=--直线的方程为即60.x y +-=○2（步骤3） 由○1○2得()20,2,2,4.60,4,x y x M x y y -==⎧⎧∴∴⎨⎨+-==⎩⎩（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分) 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和． 【测量目标】等比数列的通项公式与前n 项和公式.【考查方式】给出等比数列各项之间的关系，运用等比数列通项公式、前n 项和公式、等差中项公式求解.【试题解析】由已知列出两个含1a 和q 的方程并求解，再借助等比数列求和公式得n S 解：设{}n a 的公比为q ．由已知可得211=-a q a ，211134q a a q a +=，所以2)1(1=-q a ，0342=+-q q ，解得 3q = 或1q =， 由于2)1(1=-q a .因此1=q 不合题意，应舍去，（步骤1） 故公比3=q ，首项11=a ．（步骤2）所以，数列的前n 项和213-=n n S ．（步骤3）17．(本小题满分12分) 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA 在BC方向上的投影．【测量目标】三角恒等变换，正、余弦定理，三角函数及其诱导公式等.【考查方式】已知三角形的内角正余弦关系（1）根据三角和内角定理、两角和的余弦公式求解.（2）借助向量投影公式求解.【试题解析】(1)由三角形内角和定理得π,A C B +=-即()sin sin ,A C B +=然后利用两角和的余弦公式求得cos .A （2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解.解：（Ⅰ）由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-得 53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ，（步骤1） 则 53)cos(-=+-B B A ，即 53cos -=A （步骤2）又0πA <<，则 54sin =A （步骤3）． （Ⅱ）由正弦定理，有BbA a sin sin =，所以22sin sin ==a A b B ，（步骤4） 由题知b a >，则 B A >，故π4B =．（步骤5） 根据余弦定理，有 )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c ， 解得 1=c 或 7-=c （负值舍去），（步骤6）向量BA 在BC方向上的投影为=B BA cos 22．（步骤7） 18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分） 运行次数n输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数301461021001027376697乙的频数统计表（部分） 运行次数n输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数301211721001051696353当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【测量目标】算法与程序框图，古典概型的计算.【考查方式】（1）直接利用程序框图和古典概性求概率.（2）运用古典概型频率的运算，再比较可能性.【试题解析】(1)借助程序框图及古典概型概率公式求解.（2）利用已知条件中概率统计表得出各小组频数，利用频率的计算公式得频率，再与（1）的结论比较得出结论.解：（Ⅰ）变量x 是在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时，输出y 的值为1，故211=P ；（步骤1）当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时，输出y 的值为2，故312=P ；（步骤2） 当x 从24,18,12,6这4个数中产生时，输出y 的值为3，故613=P ．（步骤3） 所以输出y 的值为1的概率为21，输出y 的值为2的概率为31，输出y 的值为3的概率为61．（步骤4） （Ⅱ）当2100n =时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下，比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大．（步骤5） 19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，120BAC ∠= ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体积．（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）第19题图【测量目标】线面平行与垂直、棱锥的体积等.【考查方式】已知三棱柱和三棱柱中线段的关系.（1）由线面、线线平行，线面、线线垂直证明.（2）利用三棱柱的等价转化方法求体积.【试题解析】（1）只需在平面ABC 内过点P 作//,l BC 由线面平行、垂直的相关知识得证.（2）借助等面积转换法求解.（Ⅰ）如图，在平面ABC 内，过点P 作直线BC l //，因为l 在平面BC A 1外，BC 在平面BC A 1 内，由直线与平面平行的判定定理可知，//l 平面1A BC ．（步骤1） 由已知，AC AB =，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥，则直线AD l ⊥，（步骤2） 又因为1AA ⊥底面ABC ，所以l AA ⊥1，（步骤3） 又因为AD ，1AA 在平面11A ADD 内，且AD 与1AA 相交， 所以直线⊥l 平面11A ADD （步骤4）．（Ⅱ）过D 作AC DE ⊥于E ，因为1AA ⊥平面ABC ，所以DE AA ⊥1，（步骤5）输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率甲 2100102721003762100697乙2100105121006962100353因为AC ，1AA 在平面C C AA 11内，且AC 与1AA 相交，所以⊥DE 平面C C AA 11，（步骤6） 由2==AC AB ，∠BAC ︒=120，有1=AD ，∠DAC ︒=60， 所以在△ACD 中，2323==AD DE ，（步骤7） 又1111112AQC S AC AA == △，所以111111113313326A QC D D A QC A QC V V DE S --==== 因此三棱锥11A QC D -的体积为63．（步骤8） 20．(本小题满分13分)已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数．【测量目标】直线与圆的位置关系、一元二次不等式、函数的概念.【考查方式】已知圆的标准方程、含未知数的直线方程（1）运用数形结合思想，图形相交等价于0∆>求根.求k 的范围.（2）利用方程根与系数的关系、点与直线的位置关系求解. 【试题解析】（1）利用直线与圆相交等价于直线方程与圆方程联立所得一元二次方程的0∆>求解.（2）利用点,M N 在直线y kx =上，设点,M N 的已知条件，再利用一元二次方程根与系数的关系及点Q 坐标适合直线方程y kx =求解.解：（Ⅰ）将x k y =代入22(4)4x y +-=得0128)1(22=+-+x k x k ，（*）（步骤1） 由012)1(4)8(22>⨯+--=∆k k 得 32>k ．所以k 的取值范围是),3()3,(+∞--∞ .（步骤2）（Ⅱ）因为,M N 在直线l 上，可设点,M N 的坐标分别为),(11kx x ，),(22kx x ，则2122)1(x k OM +=，2222)1(x k ON +=，（步骤3）又22222)1(m k n m OQ +=+=， 由222112ONOMOQ+=得，22221222)1(1)1(1)1(2x k x k m k +++=+，所以222121221222122)(112x x x x x x x x m -+=+=（步骤4） 由（*）知 22118k k x x +=+，221112k x x +=， 所以 353622-=k m ，（步骤5）因为点Q 在直线l 上，所以mnk =，代入353622-=k m 可得363522=-m n ，（步骤6）由353622-=k m 及32>k 得 302<<m ，即 )3,0()0,3( -∈m ．（步骤7）依题意，点Q 在圆C 内，则0>n ，所以 518015533622+=+=m m n ， 于是，n 与m 的函数关系为 5180152+=m n （)3,0()0,3( -∈m ）.（步骤8）21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <． （Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -…； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．【测量目标】基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线的位置关系等相关知识. 【考查方式】（1）运用数形结合思想直接求函数的单调区间.（2）利用基本不等式和导数的几何意义求解.（3）由两直线的位置关系，导数和单调性的关系、分类讨论思想求解. 【试题解析】(1)直接由二次函数、对数函数的图象求解.（2）由导数的几何意义知()()121,f x f x ''=- 并借助基本不等式得证.(3)两直线重合的充要条件是两直线方程系数成比例，求a 时需先分离出a ，再进一步利用导数求函数值域.解：（Ⅰ）函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞，单调增区间为[)1,0-，),0(+∞．（步骤1） （Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线斜率为)(1x f '，点B 处的切线斜率为)(2x f '， 故当点,A B 处的切线互相垂直时，有)(1x f '2()1f x '=-，（步骤2） 因为2120,,x x x <<所以120.x x << 当0x <时，22)(+=x x f因为021<<x x ，所以 12(22)(22)1x x ++=-，所以0221<+x ，0222>+x ，（步骤3） 因此2112121[(22)(22)](22)(22)12x x x x x x -=-+++-++=…，（步骤4） （当且仅当122)22(21=+=+-x x ，即231-=x 且212-=x 时等号成立） 所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时有211x x -…．（步骤5） （Ⅲ）当021<<x x 或012>>x x 时，)(1x f ')(2x f '≠，故210x x <<．（步骤6） 当01<x 时，()f x 的图象在点))(,(11x f x 处的切线方程为21111(2)(22)()y x x a x x x -++=+- 即 a x x x y +-+=211)22(．（步骤7） 当02>x 时，()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=- 即 221ln 1y x x x =+- ．（步骤8） 两切线重合的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=②①a x x x x 212121ln 221，由①及210x x <<知，2102<<x ，（步骤9） 由①、②得 1)21(411ln 1)121(ln 222222--+-=--+=x x x x a ，（步骤10） 令21x t =，则20<<t ，且t t t a ln 412--= 设)20(ln 41)(2<<--=t t t t t h ，则023)1(1121)(2<--=--='t t t t t h （步骤11）所以)20()(<<t t h 为减函数，则2ln 1)2()(--=>h t h ， 所以2ln 1-->a ，（步骤12）而当)2,0(∈t 且t 趋向于0时，)(t h 无限增大， 所以a 的取值范围是),2ln 1(+∞--．故当函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合时，a 的取值范围是),2ln 1(+∞--．（步骤13）。
2013年高考文科数学四川卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共28页）数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝{1,2,3},集合B ＝{－2,2},则A ∩B ＝ ( ) A .∅ B .{2} C .{－2,2} D .{－2,1,2,3}2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( ) A .棱柱 B .棱台 C .圆柱 D .圆台3.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭 复数的点是 ( ) A .A B .B C .C D .D4.设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( ) A .:,2p x A x B ⌝∃∈∈ B .:,2p x A x B ⌝∃∉∈ C .:,2p x A x B ⌝∃∈∉ D .:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 5.抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 ( ) A .23 B .2 C .3 D .16.函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则ω,ϕ的值分别是 ( ) A .π2,3-B .π2,6-C .π4,6-D .π4,37.某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )ABCD8.若变量x ,y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值是( )A .48B .30C .24D .169.从椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A .24B .12C .22D .3210.设函数f (x )＝e x x a +-(a ∈R ,e 为自然对数的底数).若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共28页）数学试卷 第4页（共28页）成立,则a 的取值范围是( ) A .[1,e]B .[1,1e]+C .[e,1e]+D .[0,1]第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.lg5lg 20+的值是.12.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点 O ,AB ＋AD ＝AO λ.则λ＝ .13.已知函数()4+00af x x x a x=>>（，）在=3x 时取得最小值,则a ＝ .14.设sin 2sin αα=-,π(,π)2α∈,则tan 2α的值是 .15.在平面直角坐标系内,到点(1,2)A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点 的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.17.(本小题满分12分)在ABC △中,角的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C --=-－＋.（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若42a =,b 5=,求向量BA 在BC 方向上的投影.18.(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机 产生.（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输 出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了 输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙 所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表（部分） 运行 次数n输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数输出y 的值为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表（部分） 运行 次数n输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数输出y 的值为3的频数30 12 11 7 … … … … 2 1001 051 696353当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示）,并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12=2AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 上异于端点的点.（Ⅰ）在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ,求三棱锥11A QC D -的体积.(锥体体积公式：13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)20.(本小题满分13分)已知圆C 的方程为22+(4)=4x y -,点O 是坐标原点.直线l ：y kx =与圆C 交于M ,N 两点.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.21.(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,,,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <. （Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；,,A B C（Ⅱ）若函数()f x的图象在点,A B处的切线互相垂直,且20x ,证明：211x x－≥；（Ⅲ）若函数()f x的图象在点,A B处的切线重合,求a的取值范围.数学试卷第5页（共28页）数学试卷第6页（共28页）数学试卷 第7页（共28页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】{1,2,3}{2,2}{2}-=，故选B. 【提示】找出A 与B 的公共元素即可求出交集. 【考点】集合的交集. 2.【答案】D【解析】先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.由俯视图是圆环可排除A ，B ，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C ，故选D.【提示】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形. 【考点】三视图. 3.【答案】B【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，且0a <，0b >，则z 的共轭复数为i a b -，其中0a <，0b -<故应为B 点. 【提示】直接利用共轭复数的定义，找出点A 表示复数z 的共轭复数的点即可. 【考点】复数，复数的代数表示法. 4.【答案】C【解析】命题p 是全称命题：x M ∀∈，()p x ，则p ⌝是特称命题：x M ∃∈，()p x ⌝，故选C. 【提示】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题. 【考点】命题的否定，特称命题. 5.【答案】D【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)F ，则()22230113d -⨯==+-.故选D.【提示】已知抛物线的标准方程与直线方程，运用点到直线距离公式求距离. 【考点】点到直线的距离公式，抛物线的标准方程及其简单几何性质. 6.【答案】A 【解析】115ππ21212T =-，πT ∴=（步骤1）又2π(0)T ωω=>，∴2ππω=，2ω∴=（步骤2）由五点作图法可知当5π12x=时，π2xωϕ+=，即5π2π122ϕ⨯+=，∴π3ϕ=-.故选A.（步骤3）【提示】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期2ππTω==，解得2ω=.由函数当5π12x=时取得最大值2，得到5πππ()62k kϕ+=+∈Z，取0k=得到π3ϕ=-.由此即可得到本题的答案.【考点】正弦三角函数的图象与性质.7.【答案】A【解析】借助已知茎叶图得出各小组的频数，再有=频数频率样本容量求出各小组的频率，进一步求出频率组距并得出答案.由茎叶图知落在区间[)0,5与[)5,10上的频数相等，故频率、频率组距也分别相等.比较四个选项知A 正确，故选A.【提示】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图.【考点】茎叶图，频率分布直方图的有关知识.8.【答案】C【解析】先将不等式24y x-≤转化为24x y-≥-，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数55x zy=+的最优解，进而求得a b，的值.824x yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，824x yy xxy+≥⎧⎪-≥-⎪∴⎨≥⎪⎪≥⎩，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由5z y x=-，得55x zy=+.（步骤1）由图知目标函数55x zy=+，过点(8,0)A时，min55088z y x=-=⨯-=-，即8b=-.（步骤2）目标函数55x zy=+过点4(4)B，时，max554416z y x=-=⨯-=，即16a=.16(8)24a b∴-=--=，故选C.（步骤3）【提示】先根据条件画出可行域，设5z y x=-，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的(8,0)时的最小值，过(4,4)时，5y x-最大，从而得到a b-的值.5 / 14数学试卷 第11页（共28页）【考点】二元线性规划. 9.【答案】C【解析】设0(,)P c y -，代入椭圆方程求得0y ，从而求得op k ，由OP AB k k =及ce a=可得离心率e . 由题意设0(,)P c y -，将0(,)P c y -代入22221x y a b +=，得220221y c a b+=，则2222021c y b b a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.22422a c b a a -=（步骤1） 20b y a ∴=或()2b y a =-舍去，22,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，2OP b k ac ∴=-.（步骤2）()(),0,0,A a B b ，∴00AB b bk a a-==--（步骤3） 又AB OP ∥，2b b a ac∴-=-，b c ∴=，∴222222c c c e a b c c====+故选C.（步骤4） 【提示】依题意，可求得坐标22,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB OP AB OP k k b c ⇒=⇒=∥，从而可得答案.【考点】椭圆的简单性质. 10.【答案】A【解析】由(())f f b b =得(,())A b f b ，((),)A f b b '都在()y f x =的图象上为突破口解决. 若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则(,())A b f b ，((),)A f b b '都在()y f x =的图象上. 又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，()()0A A A A x x y y ''∴--≥，即(())(())0f b b b f b --≥，∴2(())0f b b -≤，()f b b ∴=.（步骤1）()f x x ∴=在[]0,1x ∈上有解，即e x x a x +-=在[0,1]上有解，∴2e ,[0,1]x a x x x =+-∈.（步骤2）令2()e x x x x ϕ=+-，[0,1]x ∈，则()e 120xx x ϕ'=+-≥，[0,1]x ∈，7 / 14()x ϕ∴在[]0,1上单调递增，又(0)1ϕ=，(1)e ϕ=，[]()1,e x ϕ∴∈，即[]1,e a ∈，故选A.（步骤3）【提示】根据题意，问题转化为“存在[]0,1b ∈，使1()()f b f b -=”，即()y f x =的图象与函数1()y f x -=的图象有交点，且交点的横坐标[]0,1b ∈.由()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，得到函数()y f x =的图象与y x =有交点，且交点横坐标[]0,1b ∈.因此，将方程e x x a x +-=化简整理得2e x x x a =-+，记()e x F x =，2()G x x x a =-+，由零点存在性定理建立关于a 的不等式组，解之即可得到实数a 的取值范围.【考点】函数的零点与方程根的关系.第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】1【解析】lg 5lg 20lg 1001+==. 【提示】利用对数的运算性质求解. 【考点】对数的运算性质. 12.【答案】2【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB AD AC +=.（步骤1） 又O 是AC 的中点，∴2AC AO =，+2AB AD AO ∴=. 又+AB AD AO λ=.=2.λ∴（步骤2）【提示】依题意，AB AD AC +=，而2AC AO =，从而可得答案. 【考点】平面向量. 13.【答案】36 【解析】()4244(0,0)a a f x x x a x a x x =+≥=>>，当且仅当4a x x =，即2ax =时等号成立， 此时()f x 取得最小值4a .（步骤1）又由已知3x =时，min ()4f x a =，32a∴=，即36a =.（步骤2）数学试卷 第15页（共28页）【提示】由题设函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，可得(3)0f '=，解此方程即可得出a 的值.【考点】函数在某点取得极值的条件. 14.【答案】3【解析】由sin 22sin cos ααα=及πsin 2sin ,,π2ααα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭解出α，进而求得tan 2α的值.sin 2sin αα=-，2sin cos sin ααα∴=-.π(,π)2α∈，sin 0α≠，∴1cos 2α=-.（步骤1）又π(,π)2α∈，∴2π3α=.（步骤2） 4ππtan 2tan πtan πtan 3333α⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭（步骤3）【提示】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sin α不为0求出cos α的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin α的值，进而求出tan α的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tan α的值代入计算即可求出值. 【考点】二倍角公式，同角三角函数间的基本关系. 15.【答案】(2,4)【解析】设平面上任意一点M ，因为MA MC AC +≥，当且仅当A M C ，，共线时取等号， 同理MA MC BD +≥，当且仅当B M D ，，共线时取等号， 连接AC BD ，交于一点M ，若MA MC MB MD +++最小，则点M 为所求.（步骤1） 又62231AC k -==-，∴直线AC 的方程为22(1)y x -=-，即20x y -=①.（步骤2） 又5(1)117BDk --==--，∴直线BD 的方程为5(1)y x -=--，即60x y +-=②.（步骤3） 由①②得2060x y x y -=⎧⎨+-=⎩，∴24x y =⎧⎨=⎩，(2,4)M ∴（步骤4）【提示】如图，设平面直角坐标系中任一点P ，利用三角形中两边之和大于第三边得：PA PB PC PD PB PD PA PC BD AC QA QB QC QD +++=+++≥+=+++，从而得到四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点.再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐9 / 14标即可.【考点】一般形式的柯西不等式. 三、解答题 16.【答案】11a =3q = 312n n S -= 【解析】设{}n a 的公比为q .由已知可得112a q a -=，211143a q a a q =+，所以1(1)2a q -=，2430q q -+=，解得3q =或1q =，由于1(1)2a q -=.因此1q =不合题意，应舍去，（步骤1） 故公比3q =，首项11a =.（步骤2）所以，数列的前n 项和312nn S -=.（步骤3） 【提示】等比数列的公比为q ，由已知可得，112a q a -=，211143a q a a q =+，解方程可求q ，1a ，然后代入等比数列的求和公式可求.【考点】等比数列的前n 项和，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式. 17.【答案】（Ⅰ）4sin 5A = （Ⅱ）2cos 2BA B =数学试卷 第19页（共28页）【解析】（Ⅰ）由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，（步骤1） 则3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-（步骤2）又0πA <<，则4sin 5A =（步骤3）.（Ⅱ）由正弦定理，有sin sin a b A B =，所以sin 2sin 2b A B a ==，（步骤4） 由题知a b >，则A B >，故π4B =.（步骤5）根据余弦定理，有2223(42)525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =或7c =-（负值舍去），（步骤6） 向量BA 在BC 方向上的投影为2cos 2BA B =.（步骤7） 【提示】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A 的余弦值，然后求sin A 的值； （Ⅱ）利用42a =，5b =，结合正弦定理，求出B 的正弦函数，求出B 的值，利用余弦定理求出c 的大小，然后求解向量BA 在BC 方向上的投影.【考点】两角和与差的正弦函数，平面向量数量积的含义与物理意义，正弦定理. 18.【答案】（Ⅰ）112P =213P =316P = （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）变量x 是在12324，，，…，这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能. 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故112P =；（步骤1） 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故213P =；（步骤2） 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故316P =.（步骤3） 所以输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.（步骤4） （Ⅱ）当2100n =时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下，输出y 的值为1的频率输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率甲1027210037621006972100乙1051210069621003532100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.（步骤5）【提示】（Ⅰ）当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为12；输出y的值为2的概率为13，输出y的值为3的概率为16；（Ⅱ）当2100n=时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)i i=的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大.【考点】程序框图，古典概型及其概率计算公式.19.【答案】（Ⅰ）如图，在平面ABC内，过点P作直线l BC∥，因为l在平面1A BC外，BC在平面1A BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面1A BC.（步骤1）由已知，AB AC=，D是BC中点，所以BC AD⊥，则直线l AD⊥，（步骤2）又因为1AA⊥底面ABC，所以1AA l⊥，（步骤3）又因为AD，1AA在平面11ADD A内，且AD与1AA相交，所以直线l⊥平面11ADD A（步骤4）.（Ⅱ）过D作DE AC⊥于E，因为1AA⊥平面ABC，所以1AA DE⊥，（步骤5）因为AC，1AA在平面11AA C C内，且AC与1AA相交，所以DE⊥平面11AA C C，（步骤6）由2AB AC==，∠BAC120=︒，有1AD=，∠DAC60=︒，所以在△ACD中，3322DE AD==，（步骤7）又11111112A QCS AC AA==△，所以111111113313326A QC D D A QC A QCV V DE S--====因此三棱锥11A QC D-的体积为36.（步骤8）【提示】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l BC∥，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面11 / 141A BC 平行.等腰三角形ABC 中，根据等腰三角形中线的性质可得AD BC ⊥，故l AD ⊥.再由1AA ⊥底面ABC ，可得1AA l ⊥.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l ⊥平面11ADD A .（Ⅱ）过点D 作DE AC ⊥，证明DE ⊥平面11AA C C .直角三角形ACD 中，求出AD 的值，可得DE 的值，从而求得1111112QA C S AC AA =△的值，再根据三棱锥11A QC D -的体积11111113A QC D D A QC QA C V V S DE --==，运算求得结果.【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积. 20.【答案】（Ⅰ）(,3)(3,)-∞-+∞（Ⅱ）215180((3,0)(0,3))5m n m +=∈-【解析】（Ⅰ）将y kx =代入22(4)4x y +-=得22(1)8120k x kx +-+=，（*）（步骤1）由22(8)4(1)120k k ∆=--+⨯>得23k >.所以k 的取值范围是(,3)(3,)-∞-+∞.（步骤2）（Ⅱ）因为M N ，在直线l 上，可设点M N ，的坐标分别为11(,)x kx ，22(,)x kx ，则2221(1)OM k x=+，2222(1)ON k x =+，（步骤3）又22222(1)OQ m n k m =+=+，由222211O QO MO N=+得，22222212211(1)(1)(1)k m k x k x =++++，所以21212222221212()2211x x x x m x x x x +-=+=（步骤4） 由（*）知12281k x x k +=+，122121x x k =+，所以223653m k =-，（步骤5） 因为点Q 在直线l 上，所以n k m =，代入223653m k =-可得225336n m -=，（步骤6）由223653m k =-及23k >得203m <<，即(3,0)(0,3)m ∈-.（步骤7）依题意，点Q 在圆C 内，则0n >，所以223631518055m m n ++==，于是，n 与m 的函数关系为215180((3,0)(0,3))5m n m +=∈-.（步骤8）【提示】（Ⅰ）将直线l 方程与圆C 方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据两函数图象有两个交13 / 14点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的取值范围；（Ⅱ）由M N ，在直线l 上，设点M N ，坐标分别为11(,)x kx ，22(,)x kx ，利用两点间的距离公式表示出2OM与2ON ，以及2OQ ，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出12x x +与12x x ，用k 表示出m ，由Q 在直线y kx =上，将Q 坐标代入直线y kx =中表示出k ，代入得出的关系式中，用m 表示出n 即可得出n 关于m 的函数解析式，并求出m 的范围即可. 【考点】直线与圆的位置关系，函数与方程的综合运用.21.【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为[)1,0-，(0,)+∞.（步骤1） （Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线斜率为1()f x '，点B 处的切线斜率为2()f x '，故当点A B ，处的切线互相垂直时，有1()f x '2()1f x '=-，（步骤2） 因为2120,,x x x <<所以120.x x << 当0x <时，()22f x x =+因为120x x <<，所以12(22)(22)1x x ++=-，所以1220x +<，2220x +>，（步骤3） 因此2112121[(22)(22)](22)(22)12x x x x x x -=-+++≥-++=，（步骤4） （当且仅当12(22)221x x -+=+=，即132x =-且212x =-时等号成立） 所以函数()f x 的图象在点A B ，处的切线互相垂直时有211x x -≥.（步骤5） （Ⅲ）当120x x <<或210x x >>时，1()f x '2()f x '≠，故120x x <<.（步骤6） 当10x <时，()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为21111(2)(22)()y x x a x x x -++=+-即211(22)y x x x a =+-+.（步骤7）当20x >时，()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-即221ln 1y x x x =+-.（步骤8） 两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②，由①及120x x <<知，2102x <<，（步骤9）由①、②得2222221111ln (1)1ln (2)124a x x x x =+--=-+--，（步骤10） 令21t x =，则02t <<，且21ln 4a t t t =-- 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t --'=--=<（步骤11） 所以()(02)h t t <<为减函数，则()(2)1ln 2h t h >=--，所以1ln 2a >--，（步骤12） 而当(0,2)t ∈且t 趋向于0时，()h t 无限增大，所以a 的取值范围是(1ln 2,)--+∞.故当函数()f x 的图象在点A B ，处的切线重合时，a 的取值范围是(1ln 2,)--+∞.（步骤13）【提示】（Ⅰ）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为1()f x '，点B 处的切线的斜率为2()f x '，再利用()f x 的图象在点A B ，处的切线互相垂直时，斜率之积等于1-，得出12(22)(22)1x x ++=-，最后利用基本不等式即可证得211x x -≥；（Ⅲ）先根据导数的几何意义写出函数()f x 在点A B ，处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出2221ln 112a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围. 【考点】利函数的单调性，曲线的切线方程.。
2013年四川高考数学试题及答案(文科)
2013年四川高考数学试题及答案(文科)一、选择题1． 设集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{－2，2}，则A ∩B ＝( ) A ． B ．{2}C ．{－2，2}D ．{－2，1，2，3}1．B [解析] 集合A 与B 中公共元素只有2.2． 一个几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体可以是( )图1－1A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台2．D [解析] 结合三视图原理，可知几何体为圆台．3． 如图1－2，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图1－2A ．AB ．BC ．CD ．D3．B [解析] 复数与其共轭复数的几何关系是两者表示的点关于x 轴对称． 4． 设x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：x ∈A ，2x ∈B ，则( )A ．⌝p ：x ∈A ，2x ∈B B ．⌝p ：xA ，2x ∈BC ．⌝p ：x ∈A ，2x BD ．⌝p ：x A ，2x B 4．C [解析] 注意“全称命题”的否定为“特称命题”． 5．， 抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．15．D [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2，0)，该点到直线x －3y ＝0的距离为d ＝|2|12＋（－3）2＝1.图1－3 6． 函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π36．A [解析] 由半周期T 2＝11π12－5π12＝π2，可知周期T ＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x ＋φ)．当x ＝5π12时，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈)，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3.7．， 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图1－4所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )图1－4图1－57．A [解析] 首先注意，组距为5，排除C ，D ，然后注意到在[0，5)组和[5，10)组中分别只有3和7各一个值，可知排除B.选A.8． 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．168．C [解析] 画出约束条件表示的可行域，如图，由于目标函数z ＝5y －x 的斜率为15，可知在点A(8，0)处，z 取得最小值b ＝－8，在点B(4，4)处，z 取得最大值a ＝16.故a －b ＝24.9． 从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.329．C [解析] 由已知，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，A(a ，0)，B(0，b)，于是由k AB ＝k OP 得－b a ＝b 2a －c ，整理得b ＝c ，从而a ＝b 2＋c 2＝2c.于是，离心率e ＝c a ＝22. 10．， 设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1，1＋e]C ．[e ，1＋e]D ．[0，1] 10．A [解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b ∈[0，1]，如果f(b)＝c ＞b ，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c ＞b ，不可能有f(f(b))＝b ；同理，当f(b)＝d ＜b 时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d ＜b ，也不可能有f(f(b))＝b ；因此必有f(b)＝b ，即方程f(x)＝x 在[0，1]上有解，即e x ＋x －a ＝x.因为x ≥0，两边平方得e x ＋x －a ＝x 2，所以a ＝e x －x 2＋x.记g(x)＝e x －x 2＋x ，则g′(x)＝e x －2x ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，e x ＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0. 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，e x＞e ＞1，－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g ′(x)在x ∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a 的取值范围是[1，e]．11． lg 5＋lg 20的值是________．11．1 [解析] lg 5＋lg 20＝lg (5·20)＝lg 100＝lg 10＝1.12． 如图1－6，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.图1－6 12．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.13． 已知函数f(x)＝4x ＋ax(x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.3．36 [解析] 由基本不等式性质，f(x)＝4x ＋a x (x>0，a>0)在4x ＝a x ，即x 2＝a4时取得最小值，由于x ＞0，a ＞0，再根据已知可得a4＝32，故a ＝36.14．，， 设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α的值是________．14.3 [解析] 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝3.15．，， 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．16．， 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得 a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝3n －12.17．，， 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A－B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.图1－718．， 某算法的程序框图如图1－7所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i(i ＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分) 运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697乙的频数统计表(部分)运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i ＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．18．解：(1)变量x 是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i ＝1，2，3)的频率如下：输出y 的值 为1的频率 输出y 的值 为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲 1 0272 100 3762 100 6972 100乙1 0512 100 6962 100 3532 100比较频率趋势与(1)中所求的概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． 19．，，，图1－8如图1－8，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC.由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD.因此AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l.又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E.因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C.由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32.又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以V A 1－QC 1D ＝VD －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.20．，， 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n 表示为m 的函数． 20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得 (1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2>3.所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 22. 又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2， 所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805.于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．21．，， 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．21．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)证明：由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)．故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)·f ′(x 2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2. 因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0，因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1.(当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立)所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为 y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1. 两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1.令t ＝1x 2，则0<t<2，且a ＝14t 2－t －ln t.设h(t)＝14t 2－t －ln t(0<t<2)．则h′(t)＝12t －1－1t ＝（t －1）2－32t<0.所以h(t)(0<t<2)为减函数． 则h(t)>h(2)＝－ln 2－1， 所以a>－ln2－1，而当t ∈(0，2)且t 趋近于0时，h(t)无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。
2013年四川省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．5．（5分）（2013•四川）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）到直线）到直线d=6．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，T=时取得最大值，得到+=．由此即可得到本题的答案．x=时取得最小值，=﹣==时取得最大值∴2sin（2•+，可得=﹣9．（5分）（2013•四川）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆），由+=1，），=====．，10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））．因此，将方程化简整理得根据可得，即解：12．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ= 2 ．依题意，+=，而=2+=，=2，+=2，+=，13．（5分）（2013•四川）已知函数在x=3时取得最小值，则a= 36 ．由题设函数解：由题设函数﹣﹣14．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．（，=，，=．故答案为：的方程分别为：解方程组得16．（12分）（2013•四川）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公4=sin（A+C）=﹣．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．（Ⅱ）利用小，然后求解向量在方向上的投影．解：（Ⅰ）由可得，，所以（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由余弦定理可知向量方向上的投影：=ccosB=等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表的概率为概率为的概率为；；==的概率为；输出的概率为的概率为；1111D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面的值，再根据三棱锥=•．==1••DE=×1×=20．（13分）（2013•四川）已知圆C的方程为x+（y﹣4）=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N 两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；代入+得：=，=+，代入得：=，代入=（﹣，），∴n==（，）21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（[≥x=两直线重合的充要条件是＜ln+（t=a=t==，∴h（。
2013高考数学(文科)-四川卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B = （ ） （A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉5、抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ） （A ） （B ）2（C（D ）1 6、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。
以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）8、若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）169、从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A（B ）12（C（D10、设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。
四川高考文科数学试卷及答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，文1)设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－2,2}．则A ∩B ＝( )．A ．∅B ．{2}C ．{－2,2}D ．{－2,1,2,3}2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D4．(2013四川，文4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B5．(2013四川，文5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x y ＝0的距离是( )．A ．．2 C ．16．(2013四川，文6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π37．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，8．(2013四川，文8)若变量x ，y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )．A ．48B ．30C ．24D ．169．(2013四川，文9)从椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )．A．4 B ．12 C．2 D．210．(2013四川，文10)设函数f (x )a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )．A ．[1，e]B ．[1,1＋e]C ．[e,1＋e]D ．[0,1] 1．答案：B解析：{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}． 2．答案：D解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台． 3．答案：B解析：设z ＝a ＋b i ，则共轭复数为z ＝a －b i ， ∴表示z 与z 的两点关于x 轴对称．4．答案：C解析：原命题的否定是∃x ∈A,2x ∉B ． 5．答案：D解析：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，它到直线x y ＝0的距离d＝1.故选D ． 6． 答案：A解析：由图象知函数周期T ＝211π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2ππ＝2，把5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3-＋2k π(k ∈Z )． 又ππ22ϕ-<<，∴φ＝π3-.故选A ．7．答案：A解析：由分组可知C ，D 一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人， ∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B ．故选A ． 8．答案：C解析：画出可行域，如图．联立8,24,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得4,4.x y =⎧⎨=⎩即A 点坐标为(4,4)，由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16，z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8， ∴a －b ＝24.故选C ． 9． 答案：C解析：由题意知A (a,0)，B (0，b )，P 2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵AB ∥OP ，∴2b bac a-=-.∴b ＝c .∵a 2＝b 2＋c 2，∴22212c e a ==.∴2e =.故选C ．10．解析：当a ＝0时，f (x )为增函数，∴b ∈[0,1]时，f (b )∈[1，．∴f (f (b ))≥ 1.∴不存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，故D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )当b ∈[0,1]时，只有b ＝1时，f (x )才有意义，而f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故B ，C 错．故选A ．第二部分(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，文11)__________．12．(2013四川，文12)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB u u u r ＋AD u u u r＝λAO u u u r.则λ＝__________.13．(2013四川，文13)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.14．(2013四川，文14)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．15．(2013四川，文15)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__________．11．答案：1解析：1===.12．答案：2解析：由平行四边形法则知AB u u u r ＋AD u u u r ＝AC u u ur ＝2AO u u u r ， ∴λ＝2.13．答案：36解析：由基本不等式可得4x ＋a x ≥4x ＝ax 即x =∴32=，a ＝36.14．解析：∵sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴2sin αcos α＝－sin α，cos α＝12-.∵α∈π,π⎛⎫⎪，∴2π3α=，4π23α=.∴tan 2α＝4πtan 315．答案：(2,4)解析：由题意可知，若P 为平面直角坐标系内任意一点，则 |PA |＋|PC |≥|AC |，等号成立的条件是点P 在线段AC 上； |PB |＋|PD |≥|BD |，等号成立的条件是点P 在线段BD 上，所以到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点． 直线AC 方程为2x －y ＝0，直线BD 方程为x ＋y －6＝0， ∴20,60,x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2,4.x y =⎧⎨=⎩即所求点的坐标为(2,4)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -.17．(2013四川，文17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝35-.(1)求sin A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA u u u r在BC uuu r 方向上的投影．解：(1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝35-，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-.则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有sin sin a bA B =，所以，sin B ＝sin 2b A a =.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =. 根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为|BA u u u r |cos B .18．(2013四川，文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)．(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n ＝2 100i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 10019．(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内， 由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ． 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ． 因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C ．由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝2AD ＝2. 又11A QC S ∆＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以11A QC D V -＝11D A QC V -＝13DE ·11A QC S ∆＝11326⨯=.因此三棱锥A 1－QC 1D .20．(2013四川，文20)(本小题满分13分)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+，请将n 表示为m 的函数． 解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得 (1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0，得k 2＞3. 所以，k 的取值范围是(－∞，∪(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)， 则|OM |2＝(1＋k 2)x 12，|ON |2＝(1＋k 2)x 22， 又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2.由222211||||||OQ OM ON =+，得 22222212211111k m k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x m x x x x (+)-=+=. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝281k k +，x 1x 2＝2121k +， 所以223653m k =-.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以n k m =，代入223653m k =-中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由223653m k =-及k 2＞3，可知0＜m 2＜3，即m ∈(，0)∪(0．根据题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以5n ==. 于是，n 与m的函数关系为n =(m ∈(，0)∪(0))．21．(2013四川，文21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝22,0,ln ,0,x x a x x x ⎧++<⎨>⎩其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2. (1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]＝1.(当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立)所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x ·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 12221122,ln 1.x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② 由①及x 1＜0＜x 2知，0＜21x ＜2. 由①②得，a ＝ln x 2＋22112x ⎛⎫-⎪⎝⎭－1＝222111ln 214x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭. 令21t x =，则0＜t ＜2，且a ＝14t 2－t －ln t ，设h (t )＝14t 2－t －ln t (0＜t ＜2)，则h ′(t )＝12t －1－1t＝2132t t (-)-＜0.则h(t)＞h(2)＝－ln 2－1，所以a＞－ln 2－1.而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大．所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文(四川卷,解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =（ ）（A ）∅ （B ）{2}（C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）（A ）棱柱 （B ）棱台（C ）圆柱 （D ）圆台3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B（C ）C （D ）D4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈（C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉5、抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ ） （A ）（B ）2（C （D ）16、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π- （B ）2,6π-（C ）4,6π- （D ）4,3π7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。
以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）8、若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ） （A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）169、从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）（A）4 （B ）12（C）2 （D10、设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)文
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2013四川,文1)设集合A={1,2,3},集合B={-2,2}.则A∩B=().A.⌀B.{2}C.{-2,2}D.{-2,1,2,3}答案:B解析:{1,2,3}∩{-2,2}={2}.2.(2013四川,文2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是().A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台答案:D解析:从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆,正视图与侧视图为等腰梯形,故此几何体为圆台.3.(2013四川,文3)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是().A.AB.BC.CD.D答案:B解析:设z=a+b i,则共轭复数为z=a-b i,∴表示z与z的两点关于x轴对称.故选B.4.(2013四川,文4)设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题p :∀x ∈A ,2x ∈B ,则( ). A. p:∃x ∈A,2x ∈B B. p:∃x ∉A,2x ∈B C. p:∃x ∈A,2x ∉B D. p:∀x ∉A,2x ∉B 答案:C解析:原命题的否定是∃x ∈A,2x ∉B.5.(2013四川,文5)抛物线y 2=8x 的焦点到直线x-√3y=0的距离是( ). A.2√3 B.2 C.√3 D.1答案:D解析:y 2=8x 的焦点为F(2,0),它到直线x-√3y=0的距离d=1+3=1.故选D .6.(2013四川,文6)函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ). A.2,-π3 B.2,-π6 C.4,-π6 D.4,π3 答案:A解析:由图象知函数周期T=2(11π12-5π12)=π, ∴ω=2ππ=2,把(5π12,2)代入解析式,得2=2sin (2×5π12+φ),即sin (5π6+φ)=1. ∴5π6+φ=π2+2k π(k ∈Z ),φ=-π3+2k π(k ∈Z ). 又-π2<φ<π2,∴φ=-π3. 故选A .7.(2013四川,文7)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( ).答案:A解析:由分组可知C ,D 一定不对;由茎叶图可知[0,5)有1人,[5,10)有1人,∴第一、二小组频率相同,频率分布直方图中矩形的高应相同,可排除B .故选A .8.(2013四川,文8)若变量x,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z=5y-x 的最大值为a,最小值为b,则a-b 的值是( ). A.48 B.30C.24D.16答案:C解析:画出可行域,如图.联立{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4.即A 点坐标为(4,4),由线性规划可知,z max =5×4-4=16,z min =0-8=-8,即a=16,b=-8, ∴a-b=24.故选C . 9.(2013四川,文9)从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ). A.√2B.1C.√2D.√3答案:C 解析:由题意知A(a,0),B(0,b),P (-c ,b 2a ),∵AB ∥OP,∴-b 2ac=-b a.∴b=c. ∵a 2=b 2+c 2,∴e 2=c2a 2=12.∴e=√22.故选C .10.(2013四川,文10)设函数f(x)=√e x +x -a (a ∈R ,e 为自然对数的底数),若存在b ∈[0,1]使f(f(b))=b 成立,则a 的取值范围是( ). A.[1,e ] B.[1,1+e ] C.[e ,1+e ] D.[0,1]答案:A解析:当a=0时,f(x)=√e x +x 为增函数,∴b ∈[0,1]时,f(b)∈[1,√e +1]. ∴f(f(b))≥√e +1>1.∴不存在b ∈[0,1]使f(f(b))=b 成立,故D 错;当a=e +1时,f(x)=√e x +x -e -1,当b ∈[0,1]时,只有b=1时,f (x )才有意义,而f (1)=0, ∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故B ,C 错.故选A .第二部分(非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2013四川,文11)lg √5+lg √20的值是 . 答案:1解析:lg √5+lg √20=lg (√5×√20)=lg √100=1.12.(2013四川,文12)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ .则λ= . 答案:2解析:由平行四边形法则知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴λ=2.13.(2013四川,文13)已知函数f(x)=4x+ax (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 答案:36解析:由基本不等式可得4x+a x ≥2√4x ·a x =4√a ,当且仅当4x=a x 即x=√a2时等号成立,∴√a2=3,a=36.14.(2013四川,文14)设sin 2α=-sin α,α∈(π2,π),则tan 2α的值是 . 答案:√3解析:∵sin 2α=-sin α,α∈(π2,π),∴2sin αcos α=-sin α,cos α=-12. ∵α∈(π2,π), ∴α=2π3,2α=4π3. ∴tan 2α=tan4π3=√3.15.(2013四川,文15)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 . 答案:(2,4)解析:由题意可知,若P 为平面直角坐标系内任意一点,则|PA|+|PC|≥|AC|,等号成立的条件是点P 在线段AC 上; |PB|+|PD|≥|BD|,等号成立的条件是点P 在线段BD 上, 所以到A,B,C,D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点. 直线AC 方程为2x-y=0,直线BD 方程为x+y-6=0, ∴{2x -y =0,x +y -6=0,解得{x =2,y =4.即所求点的坐标为(2,4).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013四川,文16)(本小题满分12分)在等比数列{a n }中,a 2-a 1=2,且2a 2为3a 1和a 3的等差中项,求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.解:设该数列的公比为q,由已知,可得a 1q-a 1=2,4a 1q=3a 1+a 1q 2,所以,a 1(q-1)=2,q 2-4q+3=0,解得q=3或q=1. 由于a 1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去. 故公比q=3,首项a 1=1. 所以,数列的前n 项和S n =3n -12. 17.(2013四川,文17)(本小题满分12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin (A+C)=-35. (1)求sin A 的值;(2)若a=4√2,b=5,求向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.解:(1)由cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin (A+C)=-35,得cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin B=-35. 则cos (A-B+B)=-35,即cos A=-35. 又0<A<π,则sin A=45. (2)由正弦定理,有asinA =bsinB , 所以,sin B=bsinA a=√22.由题知a>b,则A>B,故B=π4. 根据余弦定理,有 (4√2)2=52+c 2-2×5c×(-35), 解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=√22.18.(2013四川,文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i=1,2,3).(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.解:(1)变量x 是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y 的值为1,故P 1=12; 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y 的值为2,故P 2=13; 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y 的值为3,故P 3=16.所以,输出y 的值为1的概率为12,输出y 的值为2的概率为13,输出y 的值为3的概率为16. (2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率如下:比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.19.(2013四川,文19)(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC,AB=AC=2AA 1=2,∠BAC=120°,D,D 1分别是线段BC,B 1C 1的中点,P 是线段AD 上异于端点的点. (1)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l,说明理由,并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1; (2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q,求三棱锥A 1-QC 1D 的体积.(锥体体积公式:V=13Sh,其中S 为底面面积,h 为高)解:(1)如图,在平面ABC 内,过点P 作直线l ∥BC,因为l 在平面A 1BC 外,BC 在平面A 1BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知,l ∥平面A 1BC. 由已知,AB=AC,D 是BC 的中点, 所以,BC ⊥AD,则直线l ⊥AD.因为AA 1⊥平面ABC,所以AA 1⊥直线l.又因为AD,AA 1在平面ADD 1A 1内,且AD 与AA 1相交,所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E,因为AA 1⊥平面ABC,所以DE ⊥AA 1.又因为AC,AA 1在平面AA 1C 1C 内,且AC 与AA 1相交, 所以DE ⊥平面AA 1C 1C.由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ACD 中,DE=√32AD=√32. 又S △A 1QC 1=12A 1C 1·AA 1=1,所以V A 1-QC 1D =V D -A 1QC 1=13DE ·S △A 1QC 1=13×√32×1=√36. 因此三棱锥A 1-QC 1D 的体积是√36.20.(2013四川,文20)(本小题满分13分)已知圆C 的方程为x 2+(y-4)2=4,点O 是坐标原点,直线l:y=kx 与圆C 交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)设Q(m,n)是线段MN 上的点,且2|OQ |2=1|OM |2+1|ON |2,请将n 表示为m 的函数.解:(1)将y=kx 代入x 2+(y-4)2=4中,得(1+k 2)x 2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k 2)×12>0,得k 2>3. 所以,k 的取值范围是(-∞,-√3)∪(√3,+∞).(2)因为M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1),(x 2,kx 2),则|OM|2=(1+k 2)x 12,|ON|2=(1+k 2)x 22,又|OQ|2=m 2+n 2=(1+k 2)m 2. 由2|OQ |2=1|OM |2+1|ON |2,得2(1+k 2)m 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22,即2m2=1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 12x 22. 由(*)式可知,x 1+x 2=8k1+k2,x 1x 2=121+k 2,所以m 2=365k 2-3.因为点Q 在直线y=kx 上, 所以k=nm ,代入m 2=365k 2-3中并化简,得5n 2-3m 2=36.由m 2=365k 2-3及k 2>3,可知0<m 2<3,即m ∈(-√3,0)∪(0,√3).根据题意,点Q 在圆C 内,则n>0,所以n=√36+3m25=√15m 2+1805.于是,n 与m 的函数关系为n=√15m 2+1805(m ∈(-√3,0)∪(0,√3)).21.(2013四川,文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)={x 2+2x +a ,x <0,lnx ,x >0,其中a 是实数,设A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2))为该函数图象上的两点,且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,且x 2<0,证明:x 2-x 1≥1; (3)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合,求a 的取值范围. 解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).(2)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为f'(x 1),点B 处的切线斜率为f'(x 2), 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时,有f'(x 1)f'(x 2)=-1. 当x<0时,对函数f(x)求导,得f'(x)=2x+2. 因为x 1<x 2<0,所以,(2x 1+2)(2x 2+2)=-1. 所以2x 1+2<0,2x 2+2>0. 因此x 2-x 1=12[-(2x 1+2)+2x 2+2] ≥√1+2)](2x 2+2)=1.(当且仅当-(2x 1+2)=2x 2+2=1,即x 1=-32且x 2=-12时等号成立) 所以,函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时,有x 2-x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时,f'(x 1)≠f'(x 2),故x 1<0<x 2.当x 1<0时,函数f(x)的图象在点(x 1,f(x 1))处的切线方程为y-(x 12+2x 1+a)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12+a.当x 2>0时,函数f(x)的图象在点(x 2,f(x 2))处的切线方程为y-ln x 2=1x 2(x-x 2),即y=1x 2·x+ln x 2-1.两切线重合的充要条件是{1x 2=2x 1+2,lnx 2-1=-x 12+a .① ②由①及x 1<0<x 2知,0<1x 2<2.由①②得,a=ln x 2+(12x 2-1)2-1=-ln 1x 2+14(1x 2-2)2-1.令t=1x 2,则0<t<2,且a=14t 2-t-ln t,设h(t)=14t 2-t-ln t(0<t<2), 则h'(t)=12t-1-1t=(t -1)2-32t<0. 所以h(t)(0<t<2)为减函数, 则h(t)>h(2)=-ln 2-1, 所以a>-ln 2-1.而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时,h(t)无限增大. 所以a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).故当函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).。
13年高考文科数学试题
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．第二部分(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：B解析：{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．2．答案：D解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．3．答案：B解析：设z ＝a ＋b i ，则共轭复数为z ＝a －b i ，∴表示z 与z 的两点关于x 轴对称．故选B ．4．答案：C解析：原命题的否定是∃x ∈A,2x ∉B ．5．答案：D解析：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，它到直线x ＝0的距离d1.故选D ． 6．答案：A解析：由图象知函数周期T ＝211π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2ππ＝2，把5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3-＋2k π(k ∈Z )． 又ππ22ϕ-<<，∴φ＝π3-. 故选A ．7．答案：A解析：由分组可知C ，D 一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人，∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B ．故选A ．8．答案：C解析：画出可行域，如图．联立8,24,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得4,4.x y =⎧⎨=⎩即A 点坐标为(4,4)，由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16，z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.故选C ．9．答案：C解析：由题意知A (a,0)，B (0，b )，P 2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵AB ∥OP ， ∴2b b ac a-=-.∴b ＝c . ∵a 2＝b 2＋c 2，∴22212c e a ==.∴2e =故选C ． 10．答案：A解析：当a ＝0时，f (x )为增函数，∴b ∈[0,1]时，f (b )∈[1．∴f (f (b 1.∴不存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，故D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )b ∈[0,1]时，只有b ＝1时，f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故B ，C 错．故选A ．第二部分(非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．答案：1解析：1===.12．答案：2解析：由平行四边形法则知AB ＋AD ＝AC ＝2AO ， ∴λ＝2.13．答案：36解析：由基本不等式可得4x ＋a x ≥4x ＝a x 即2x =时等号成立，3=，a ＝36.14．解析：∵sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2sin αcos α＝－sin α，cos α＝12-. ∵α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2π3α=，4π23α=.∴tan 2α＝4πtan 3＝15．答案：(2,4)解析：由题意可知，若P 为平面直角坐标系内任意一点，则|PA |＋|PC |≥|AC |，等号成立的条件是点P 在线段AC 上；|PB |＋|PD |≥|BD |，等号成立的条件是点P 在线段BD 上，所以到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点．直线AC 方程为2x －y ＝0，直线BD 方程为x ＋y －6＝0，∴20,60,x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2,4.x y =⎧⎨=⎩ 即所求点的坐标为(2,4)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -. 17．解：(1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝35-，得 cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-. 则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-. 又0＜A ＜π，则sin A ＝45. (2)由正弦定理，有sin sin a b A B=，所以，sin B ＝sin 2b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =. 根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B . 18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 10019．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ．由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ．因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过D 作DE ⊥AC 于E ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C ．由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝2AD ＝2. 又11A QC S ∆＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以11A QC D V -＝11D A QC V -＝13DE ·11A QC S ∆＝113=因此三棱锥A 1－QC 1D 20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0，得k 2＞3.所以，k 的取值范围是(－∞，∪(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 12，|ON |2＝(1＋k 2)x 22，又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2.由222211||||||OQ OM ON =+，得22222212211111k m k x k x =+(+)(+)(+)， 即212122222212122211x x x x m x x x x (+)-=+=. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝281k k +，x 1x 2＝2121k+， 所以223653m k =-. 因为点Q 在直线y ＝kx 上， 所以n k m =，代入223653m k =-中并化简，得5n 2－3m 2＝36. 由223653m k =-及k 2＞3，可知0＜m 2＜3，即m ∈(0)∪(0． 根据题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以5n ==. 于是，n 与m的函数关系为n =(m ∈(0)∪(0． 21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2.因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1.所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]1. (当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立) 所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x ·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 12221122,ln 1.x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② 由①及x 1＜0＜x 2知，0＜21x ＜2. 由①②得，a ＝ln x 2＋22112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝222111ln 214x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭.令21t x =，则0＜t ＜2，且a ＝14t 2－t －ln t ， 设h (t )＝14t 2－t －ln t (0＜t ＜2)， 则h ′(t )＝12t －1－1t ＝2132t t (-)-＜0. 所以h (t )(0＜t ＜2)为减函数，则h (t )＞h (2)＝－ln 2－1，所以a ＞－ln 2－1.而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时，h (t )无限增大．所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。
2013年全国高考文科数学试题及答案-四川卷
绝密 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =I （ ） （A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉5、抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ）yxDBA OC（A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）1 6、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。
以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）8、若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）169、从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A ）24 （B ）12（C ）22 （D ）3211π125π122-2O10、设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）。
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的．
1．(2013四川，文1)设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－2,2}．则A ∩B ＝( )．
A ．∅
B ．{2}
C ．{－2,2}
D ．{－2,1,2,3}
2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是 ( )．
A ．棱柱
B ．棱台
C ．圆柱
D ．圆台
3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
4．(2013四川，文4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．
A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈
B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈B
C ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B
D ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B
5．(2013四川，文5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x y ＝0的距离是( )．
A ．．2 C ．1
6．(2013四川，文6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛
⎫>-<< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，
则ω，φ的值分别是( )．
A ．2，π3-
B ．2，π6-
C ．4，π6-
D ．4，π
3
7．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )．
8．(2013四川，文8)若变量x ，y 满足约束条件8,24,0,0,
x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小
值为b ，则a －b 的值是( )．
A ．48
B ．30
C ．24
D ．16
9．(2013四川，文9)从椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点
F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )．
A
．4 B ．1
2 C
．2 D
．
10．(2013四川，文10)设函数f (x )
a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在
b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )．
A ．[1，e]
B ．[1,1＋e]
C ．[e,1＋e]
D ．[0,1]
第二部分(非选择题 共100分)
二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．(2013四川，文11)__________．
12．(2013四川，文12)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＋AD ＝λAO .则λ＝__________.
13．(2013四川，文13)已知函数f (x )＝4x ＋a
x
(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则
a ＝__________.
14．(2013四川，文14)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
，则tan 2α的值是__________．
15．(2013四川，文15)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__________．
三、 解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．
17．(2013四川，文17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝3
5
-.
(1)求sin A 的值；
(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．
18．(2013四川，文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)．
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
当n＝2 100i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
19．(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．
(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；
(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝1
3
Sh ，其
中S 为底面面积，h 为高)
20．(2013四川，文20)(本小题满分13分)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且222
211
||||||
OQ OM ON =+，请将n 表示为m 的函数．
21．(2013四川，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝
22,0,
ln,0,
x x a x
x x
⎧++<
⎨
>
⎩
其中a是实数，
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.
(1)指出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；
(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．。