数学学案16-1-1 (6)
数学学案16-2-1
备课教师 田建军、王洁 备课组长 王文忠 教导主任 王巧娥 班级 组别 姓名 2012 年 3 月 8 日学习内容：16-2-1 分式的乘除学习目标：1.理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行简单的分式乘除运算；2.经历探索分式的乘除法运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性； 3培养学生的观察、类比、归纳能力和与同伴合作交流的情感。
学习重点、难点：正确运用分式的基本性质约分 学习过程：一、 自主学习1、填空=⨯2155321553÷=2、阅读课本P 13—14，并与同伴交流完成下列问题。
（1）一个长方体容器的容积为V ，底面的长为a ,宽为b ，当容器内的水占容积的m n时，求高为多少？（2）大拖拉机m 天耕地a 公顷，小拖拉机n 天耕地b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？修改、补充 二、 合作探究与同伴交流，猜一猜 ab ×cd ＝ ab ÷cd ＝ a 、c 不为观察上面运算，你能用类比的方法的出分式的乘除法法则吗？ 分式的乘法法则：_________________________________________________________ 分式的除法法则：_________________________________________________________用式子表示为：即a b×cd ＝ab ÷cd ＝ab ×dc ＝这里字母a ，b ，c ，d 都是整数，但a ，c ，d 不为尝试练习（一）分子、分母是单项式的分式乘除（1）3432x yy x ⋅ （2）.3222524ab a b ccd-÷任何改革必须具备坚持、坚持再坚持，落实、落实再落实的精神才能成功！——王永恒磴 口 一 中 “十 六 字 ”高 效 教 学 法 学 案 （电子版）尝试练习（二）分子、分母是多项式的分式乘除（1）.222441214a a a a a a -+-⋅-+-（2）. 2211497mm m÷--三、 课堂检测1、计算 （1）22442bc a a b -⋅ （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x y y x 346342（3）yx12-÷21yx + （4）ba ·2ab（5）（a 2－a ）÷1-a a （6）yx12-÷21yx +2．代数式3234x x x x ++÷--有意义的x 的值是（ ）A ．3x ≠且2x -≠B ．3x ≠且4x ≠C ．3x ≠且3x -≠D ．2x -≠且3x ≠且4x ≠ 3．若将分式xx x+22化简得1+x x ，则x 应满足的条件是（ ）A. x 〉0B. x<0C.x 0≠D. x 1-≠4．若m 等于它的倒数，则分式22444222-+÷-++m m m m m m 的值为四、课时小结分式的乘除法则。
2024年人教版一年级数学上册教案学案及教学反思全册第4单元 11~20的认识整理和复习教案
第四单元11～20的认识4.9整理和复习【课题名称】第9课时整理和复习【课型、课时】复习课1课时【教学内容】人教版一年级上册85页。
【教学目标】1.会熟练地读出和数出11~20各数，掌握20以内数的顺序及大小。
2.使学生进一步认识“个位”和“十位”。
认识计数器，并能正确地书写11～20各数。
3.熟练地计算简单的10加几、十几加几和相应的减法。
4.经历将分散获得的知识综合起来的过程，初步感知整理的方法，感受复习的乐趣。
【重点难点】教学重点：培养审题意识、倾听习惯和交流能力。
教学难点：应用已有知识和经验解决简单的实际问题。
【课前准备】1.教师：教学课件：《七彩课堂》课件2.学生：课前预习：标注完成《七彩课堂素养提升手册预习卡》【教学过程】一、整体回顾教师：同学们，我们已经学完第四单元了。
这一单元我们学习了哪些知识，掌握了哪些学习方法呢？和10以内数的认识有什么不同？请大家回忆一下，也可以翻开课本看一看。
预设：学生会说到“10的再认识”“11~20的认识”“十几加几和相应的减法”等。
教师：今天我们就来对这些知识进行整理和复习。
（出示本单元知识结构图）【设计意图】引导学生回忆本单元的知识，帮助学生明确本单元的复习重点。
二、知识梳理（一）10的再认识（1）知识点回顾：教师：通过10的再认识，说一说你对10有哪些新的认识？预设1：数数时，10个一就是十。
预设2：“一”和“十”都是计数单位。
预设3：10是最小的两位数，数数时，10个为一组的数比较方便。
（二）11～20的认识教师：对11~20这些数，你都学会了哪些知识？预设1：十几是由1个十和几个一组成的；20是由2个十组成的。
预设2：写数时，从高位写起，有1个十在十位上写1，有2个十在十位上写2；有几个一在个位上写几，个位上一个计数单位也没有，就写0占位。
预设3：11～20各数的顺序从小到大依次是：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20。
六年级数学下册教案《6.1.1 数的认识》16-人教版
六年级数学下册教案《6.1.1 数的认识》16-人教版一、教学目标1.知识目标：能够认识整数，掌握整数的概念及表示方法。
2.能力目标：能够灵活运用整数进行简单的数学计算。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，积极参与课堂互动。
二、教学重点和难点1.教学重点：整数的概念及表示方法。
2.教学难点：整数的正负概念的理解及应用。
三、教学准备1.教材：人教版六年级下册教材。
2.板书：整数的定义、整数的表示方法。
3.教学工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。
四、教学过程1. 导入（5分钟）引导学生回顾上节课所学的内容，复习正数、负数的概念。
2. 学习整数（15分钟）1.教师讲解整数的定义，正数和负数的概念。
2.通过实例让学生体会整数在实际生活中的应用，让学生树立整数的概念。
3. 整数的表示方法（20分钟）1.教师示范使用数轴等方式表示整数。
2.让学生通过练习掌握整数的表示方法。
4. 认识整数运算（20分钟）1.教师讲解整数的加法和减法规则。
2.带领学生进行整数运算的练习，巩固所学内容。
5. 拓展练习（15分钟）提供多样化的整数计算练习题，让学生灵活运用所学知识解决问题。
6. 总结（5分钟）回顾本节课所学内容，强调整数的重要性，并对下节课内容进行展望。
五、作业布置完成教材配套练习册上的相关习题，巩固整数的概念和运算方法。
六、教学反思本节课主要围绕整数的概念展开，通过实例和练习引导学生深入理解整数的正负概念及运算规则。
在教学中，应该注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生探索整数世界的奥秘。
以上是本节课的教案内容，希望对您有所帮助。
2021届浙江省数学学案第六章补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题含解析
2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值（范围）问题含解析平面向量中的极化恒等式及有关最值（范围)问题知识拓展1。
极化恒等式：a·b＝错误向量表达式中字母参数的最值（或范围）.题型突破题型一极化恒等式的应用【例1】（1）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则错误!·错误!＝________。
(2）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则错误!·错误!的取值范围是________。
解析（1）因为M是BC的中点，由极化恒等式得错误!·错误!＝AM2－错误!BC2＝9－错误!×100＝－16.(2）取AB的中点D，连接CD,因为三角形ABC为正三角形,所以O 为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2,所以CD＝3，AB＝23。
又由极化恒等式得错误!·错误!＝PD2－错误!AB2＝PD2－3,因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PD max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PD min＝1，所以错误!·错误!∈［－2，6]。
答案(1)－16（2)［－2,6］【训练1】（1)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点,则错误!·错误!的值为________.(2）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为(）A。
人教版数学八年级下册：16 复习题 学案(含答案)八年级下数学复习
复习题16班级：_____________姓名：__________________组号：_________ 一、巩固训练 1．直接写出使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- _____________ _____________ _____________ _____________ 2．化简： （1）)169()144(-⨯- （2）2531- （3）512821⨯- （4）n m 218 3．计算： （1）2232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12212713 （3）2484554+-+二、错题再现 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b >3 B ．b <3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 完成情况3．522132⨯+⨯的值在（ ） A ．6至7之间 B ．7至8之间 C ．8至9之间 D ．9至10之间4．比较大小：32 13。
5．已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则a b += 。
6．当=x 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 。
7．三角形的三边长分别为20cm ，40cm ，45cm ，则这个三角形的周长为__________________________。
8．已知23,23x y =-=+，求下列代数式的值：（1）y x xy 22+ （2）22y x +三、精练反馈1．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）A ．0=mB ．1=mC ．2=mD ．3=m2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A ．14B ．48C ．ba D ．44+a 3．若1ab -+与24a b ++互为相反数，则()2005a b －=______________。
一年级上数学教案-16、17、18减几-西师大版秋
一年级上数学教案-16、17、18减几-西师大版秋一、教学目标1.能够理解并完成16、17、18减几的运算；2.能够应用所学算法解决实际问题；3.能够准确地列式计算出16、17、18减几的结果。
二、教学重点1.掌握减法的基本概念；2.掌握16、17、18减几的方法；3.能够灵活运用所学算法解决实际问题。
三、教学难点1.让学生理解减法与加法的关系；2.教会学生正确串联列式计算16、17、18减几的结果；3.培养学生观察、分析和解决问题的能力。
四、教学方法本节课采用“讲解+练习”的教学方法，即先讲解16、17、18减几的相关概念和方法，然后结合实例进行练习。
五、教学过程1. 热身启动向学生出示几组物品，比如十个苹果和三个桔子，让学生用加法算法计算出一共有多少个水果。
2. 新知讲解1.减法的定义讲解减法的概念，例如：“减法是指在两个数的基础上，将其中一个数按照另一个数的大小减去，得到差值”的定义，并结合数轴演示减法的运算方法。
2.16、17、18减几的方法讲解16、17、18减几的具体方法，例如：“拿出与要减去的数相同的小球或图片，再减去几个”等方法，并在黑板上列出相关的例题和计算方式。
3. 练习演练1.课堂练习在黑板上出示多组16、17、18减几的例题，让学生一起计算并回答问题。
2.个人练习让学生在课后完成相关的习题，并在下节课前提交，以检查学生掌握情况。
4. 总结归纳对学生本节课所学内容进行总结和归纳，重点强调16、17、18减几的方法和应用。
六、教学评价通过本节课的教学，能够评价学生是否掌握16、17、18减几的运算方法，能够灵活运用所学算法解决实际问题，以及是否能够准确地列式计算出16、17、18减几的结果。
七、教学反思为了让学生更好地掌握减法的概念和运算方法，需要引导学生多举实例、多讲述自己的思路和方法。
同时，在实际应用中也应当充分考虑到学生的实际能力和问题，从而更好地促进学生的学习效果。
四年级数学上册导学案：第1单元1数一数(北师大版)
四年级数学上册导学案：第1单元1数一数
1. 学习目标
通过学习本节课的内容，学生应该能够：
•在1至100以内，掌握数的规律；
•能够正确地说出数的序数词；
•能够正确地读出3位数的整数。
2. 学习重点与难点
2.1 学习重点
•数的规律；
•数的序数词。
2.2 学习难点
•3位数的整数读法。
3. 学习内容
3.1 数的规律
活动1
1.唱歌：《数一数》
2.活动：完成数的规律表
数规律
11
22
33
44
5
6
…
1010
3.讨论：数的规律是什么？
活动2
1.背诵：1至100的数表
2.讨论：数的规律是否有变化？
3.2 数的序数词
活动1
1.完成数的序数词表
数序数词
1first
2second
3third
4fourth
5fifth
…
2.讨论：数的序数词有哪些规律？
活动2
1.用数的序数词说出1至10的数
3.3 3位数的整数读法
活动1
1.完成3位数表格
数中文读法
100一百
200两百
300三百
400四百
…
900九百
2.讨论：3位数的整数读法和2位数的整数读法有什么不同？
活动2
1.阅读数的读法并回答问题
–316的读法是什么？
–405的读法是什么？
–700的读法是什么？
4. 拓展练习
1.完成练习册P1-P2的练习；
2.完成在线习题。
七年级数学(上册)导学案参考答案.doc
七年级数学(上册)导学案参考答案第一章有理数P2.课堂练习2.-2力'元；支取4力'元1 33.正数有3. 14, +3065；负数有,- 2—, -239；5 44. D5. B拓展训练1.-15°C； -4°C2.甲；丙3.甲比乙小3岁4.潜水艇高度：-40米；鲨鱼的高度-30米；P4拓展训练1 ＞ - 17 °C 2、9.05 (mm)； 8.95 (mm )；P6拓展训练1. CP8拓展训练1. 42. AP10拓展训练2. 1.6 ； -2x； b-a3. 0；负数4. 13；5.4 ； 6 ；・9 5・5；P12拓展训练1. c2. ±7；± 7 ；3・a-3；a-3 ；4・c 5. BP14拓展训练1.对；错；错；错2.10 ；-10； 6；・6P16拓展训练1. 5 ； - ；21； 062.＞；＜；＞；＜;3.3250P30 拓展训练 A ； B17；P32拓展训2. -16；- 273.-25； - 3. 08X 10P18 拓展训练 1. 10； -69； -297； 3.9； -1.25 2. 5； 1；P20 拓展训练 1. -30；P22 拓展训练 1. a 、b 都为正； 2. ・6； P24 拓展训练 ―、1. c 2. B 3. B 55 —、1. — 2. —38P26 拓展训练 10 1. —；173；11；P28 拓展训练P34拓展训练 1. -11；拓展训练(6) 7. 805X 101. ( 1) 4. 65X 10(2) 1. 2X 10 (3) 1. 000001 X 10(4) -7. 89P38 拓展训练 1. ( 1) 0. 036; (2) (3) 3. 9; ( 4) 0. 057; (5) 0. 29; ( 6) 0. 290;6, 4, 9；(2)百位；3； 2,3, 6；(3) 力'位；2；5, 7； P40拓展训练1. C2. c3. ±7；P42 拓展训练1.3.4X 105 2. 3.40 X 104 3. 5或1；4. C ；10 15.4—13 84；3, ±7；P43,P443.40 X 1052. (1)万位; 4. c ； 5.第一章有理数检测试卷 1. B 2.A 3.B 4. B 5.B 6. D 7. D8. B 2. a 2 < 丄；3. 10 月 1 a日2：00, 4.65.4； 5;1. 四 1.2.3. 6. -1 -2 2. (1) 第二章 711 — 16守门员回到了原来的位置；(2) 12 米；(3) 54米;(1)-- 7 a=2,b 二1； 整式加减 P46 拓展训练 1. B 2. c8 9 20082009 (2 ) --------- ； 0 ；20101. D2.c3.—；1；——a2b ；3 4b；4.1.2；3.-32x6 y；(-2)叫(-2)叫n+11.17；2.-0.001.2.B；3.5xy21. c 2.3.-271.三；四; 2. (m+2 )3. -X2+5X~3；4.4；5.6.他的说法有道理,原式为7 . a=-2；b二1；8.这个数是11 (a +6.11;-2.75(2) 2. 5 17. 原式为-2b+b+3;P48拓展训练P50拓展训练P52拓展训练P54拓展训练P56拓展训练P60拓展训练9. 6.5m-4.5n；29；10. 6bc~9ac；P61; P62第二章整式加减检测试卷2 12一、1. x-2; 2. —一;2; 3•二；三；2； 4. 2；2； 5. 1；57.-4 a2+ab+10b2;8.4(a+20); 3(a-20);二、9. B 10. c 11. D 12. c 13. c 14. D三、15. ( 1) 6m2-3m；(2) 2x2-2y2-7xy;16.(2. 60千米/时1.(1)错；3x 二-(2)错；2x-x=-(3)对;2. 15, 16, 22,23；第三章一元一次方程 P64 拓展训练 1. 500; P66 拓展训练2.设小华要x 分钟才能完成；列方程700+50x=2000; x=26P68 拓展训练3. x=・5 ； x=9 ； P70 拓展训练 1. x ；3x ；5x ；3x+5x=32；8x=32；x=4； 12； 20； 2. x ； — x+2； 丄 x ・l ； (— x+2)+ (丄 x ・ l)+23=x ；3 2 3 2 P72 拓展训练P74 拓展训练 1.8, 10, 12；P76 拓展训练 1.当学生16人时，两家公司一样； 当学生数大于16人时，甲公司省钱; 当学生数小于16人时，乙公司省钱; P78 拓展训练 (1) x 二0；( 2 ) x= —； (3) y=10；7P80拓展训练1.安排16天生产甲种零件；安排14天生产乙种零件；P82拓展训练9(1) x=- ；(2) x=-20；5P84拓展训练1. 28 人P86拓展训练1.该股民在这次交易中是亏损，亏损150元；2.书费大于91元时，办卡划算；书费小于91元时，不办卡划算;3.这件商品的成本价是200元；P88拓展训练1.此工厂原计划生产零件700个，预定期限是30天；P90拓展训练1.该队胜了4场；2.(1)小华答对了50题；(2)小胡这个说法正确，因为小胡只要答对54题；P94拓展训练1.(1) y=3；(2) x=—；82.这种鞋的标价是105元，优惠价是84元；3.原来甲水池有30吨水,原来乙水池有200吨水；4.他选对23题;现有500名学生参加考试，没有得83分的同学；P95 ；P96第三章一元一次方程检测试题一、1.B 2. D 3. B 4. A 5. B 6. A二、7. 3x-7=2x+5 : 8. 2；9.2 ；10. 4；11. -1；12. 4；三、(1) x=8； (2) y=0； (3) x=55； (4) y=3；四、1. m=2,x=-4,代数式(X +3)2010=1；2.这种商品的进价为5000元；3.共有多320宿舍，有2565住宿生；第四章图形认识初步P98拓展训练1. D；P100拓展训练1. CP102拓展训练1. D；2. D；P104拓展训练1.线，点动成线；2.面；线；点；3.线；面；体；4. B；P106拓展训练1. 6 条2. 10 种;20 种;P108拓展训练1•两点之间，线段最短；2.线段DE=8cm；P110 拓展训练1. (37. 145) 0 度生分 42 秒;98°30' 18' ' = 98. 50 5 度;2. B ；3. CD 与CE 垂直； P112 拓展训练1. ZDOE=90°； P114 拓展训练1. 这个角的度数是75°；2. Za=70°； ,0=2"； P116 拓展训练1. Z1=Z3;理由：等角的余角相等; P120 拓展训练1. (1) AAOD 的补角 ZBOZ), ZBOE 的补角 ZAOE ； (2) Z COZ)=34°； ZEOC=56°； (3) ZCOD+ZEOC=90°；2. (1) 10； 15； (2)；2P121； P122第四章图形认识初步检测试卷一、1.长方形； 2.49°45 <3.60°； 4.10； 5. 1; 6.两；两点确定一条直线；7. 22； 30；8. 12. 4；9. 15 ；二、 10. B 11. C12. A13. D14. A三、15.(略)；16.(略)；17.ZB0F=56°；ZE0F=90°；18. (1) MN=5 (cm) ；(2)+ ")；(3) MN=1 (cm)；。
中班数学数字排队16教案
数字排序
引导幼儿观察数字间的顺 序关系，学习将数字按照 从小到大的顺序进行排列 。
理解数量关系
通过比较数字的大小、多 少，帮助幼儿理解数字之 间的数量关系，如相等、 大于、小于等。
练习巩固：多样化练习题加强记忆
书面练习
提供数字排序的练习题，让幼儿 在书写过程中加深对数字顺序的
记忆。
游戏化练习
设计数字排队的游戏，如“数字接 龙”、“数字找朋友”等，让幼儿 在游戏中巩固所学知识。
生活中的数学
鼓励家长引导幼儿关注生活中的数学现象，如时间、数量、形状等， 将数学知识与实际生活相结合，提升幼儿的数学应用能力。
谢谢您的聆听
THANKS
目的
通过本课程的学习，使幼儿能够 掌握数字1-16的排序方法，理解 数字大小关系，提高幼儿的数学 素养和解决问题的能力。
数学知识点梳理
数字1-16的认读
幼儿应能够准确认读数字1-16，了解每 个数字的书写方式和发音。
数字大小关系
幼儿应能够理解数字之间的大小关系，知 道哪个数字比哪个数字大或小。
数字排序
与度和兴趣。
游戏法：寓教于乐，提高兴趣
设计游戏
教师结合数字排队的主题，设计有趣的游戏活动，例如“数字接龙”、“数字捉迷藏”等 。
游戏规则
在游戏开始前，教师向幼儿们介绍游戏规则和玩法，确保幼儿们能够理解和遵守游戏规则 。
游戏实施
幼儿们在教师的指导下进行游戏，通过游戏的方式巩固和加深对数字排队的理解和掌握。 同时，游戏过程中的竞争和合作也有助于提高幼儿们的团队协作能力和竞争意识。
调整教学策略以满足不同需求
针对幼儿的不同需求调整教学内容
01
根据幼儿的实际情况，灵活调整数学数字排队活动的教学内容
精品学案：6_1_2 算术平方根的估算
人教版七年级数学下册《第六章 实数》导学案课题：6.1.2 算术平方根的估算◆【学习目标】1．会比较两个数的算术平方根的大小．2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识．3．会用计算器求一个数的算术平方根．◆【学习重、难点】学习重点: 夹值法及估计一个(无理)数的大小．学习难点：掌握算术平方根的估算及比较两个带根号的数大小的方法.◆【学习过程】第一环节 自主学习旧知链接： (1)8表示的意义是 ；(2)16和0的算术平方根分别是 、 . (3)=36 ； =--)4( .新知自研：1.自研课本P41—P44页的内容. 2.完成导学案自研自探的内容.自学指导：导入新课：我们生活中的数有整数、有限小数、无限循环小数都是能够直接表示出来的数，有没有这样的数，它无限且不循环而又能准确的表达出来？【学法指导1】自研课本第41-42页探究上面的内容,思考：1. 自制两个面积为1dm 2的正方形，并按课本中的方法沿着对角线裁开，拼成一个面积为2dm 2的大正方形， 你能求出这个大正方形的边长吗?依据是什么?3. 由1.42=1.96，1.52=2.25从而得到：1.4＜2＜1.5是因为 ；那么我们比较一个带根号的数和一个有限数的大小就是比较 如：；4.归纳估计一个有理数的算术平方根的近似值的方法.5.无限不循环小数指 .6.是否所有的带根号的数都是无限不循环小数？请举例说明..【自研自探】1.例2用计算器求算术平方根有条件的课后求.2.猜想：≈1.414 ， ≈1.732 ； ≈2.236.3.4＝ ，400＝ ，40000＝ ，4000000＝ ，04.0＝ ，0004.0＝ .由上面的结果可以发现被开方数与它的算术平方根的规律是：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位；被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位. 由上面的规律填空：5≈2.236则05.0≈ ； 500≈ .4.由b a 可以得到 .5. 25表示 ；25≈ .（保留两位小数）【例题导析】自研课本43页例3，思考：1.如果能够裁出小长方形，长和宽必须满足什么条件： .2.长宽比为3：2如何设未知数？ .3.本题的等量关系为： .4.50的整数部分为 ,为什么？因为 ；那么长方形纸片长503整数部分大于 ,所以5.你还其它的方法比较503和20的大小方法吗？第二环节 合作探究·启迪智慧对子学习相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.小组群学在小组长的带领下：A.近似值的推理过程、无理数、带根号的数的大小比较方法；B. 3、5近似值及被开方数扩大（缩小）100的情况；C.能否裁剪及比较长宽与纸片边长的大小及带根号数的比较方法；D.在组长的主持下，根据本组的展示内容学科组长做好分工，完成版面设计，做好展示前的预演. 第三环节展示提升·质疑评价方案预设1：主题：2有多大？①制作2个面积1平方分米拼一个面积为2的正方形，表示出对角线的长和边长；①推算2近似值的过程；（解读一个步骤，其它类比）①无理数概念、比较大小的方法.方案预设2：主题：自研自探①、3、5的近似值；①通过实例总结被开方数扩大（缩小）的关系；表示的意义及近似值.方案预设3：主题：例题3导析①经历“猜想”→“操作”→“探究”→“总结”的过程展示例3；①分析例3的解题思路，再现例3的解题过程于展示板，分析结果的实际意义.第四环节自主测评·追求卓越1.学生总结交流本节课的学习收获，进行课堂小结.2.安排学生爬板下面习题，其他同学独立完成.【自主测评】1、与51最接近的整数是()A．8B．7C．6D．52、已知2≈1.414，20≈4.472，求2.0≈；200≈；02.0≈；2000≈；3、若两个连续整数x，y满足x＜23＜y，则x＋y的值是（）A．5B．7C．9D．114、（拓展题）通过估算比较下列各组数的大小：（1）5与1.9；(2)6＋12与1.5 .【随堂笔记】1、≈，≈，≈；2、用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法：大多数计算器都有键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．先按ON键开机，再按键、、＝，即可显示“算术平方根”．3、被开方数的小数点向右每移动位,它的算术平方根的小数点就向右移动位；被开方数的小数点向左每移动位,它的算术平方根的小数点就向左移动位.。
一年级上册数学教案-6.4 16.17.18减几 ︳西师大版
一年级上册数学教案-6.4 16.17.18减几︳西师大版一、教学目标1. 让学生掌握16、17、18的减法运算，能熟练进行计算。
2. 培养学生的观察力、思考力以及解决问题的能力。
3. 培养学生良好的学习习惯，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学内容1. 16、17、18的减法运算。
2. 通过实际操作，让学生感受数学与生活的紧密联系。
三、教学重点与难点1. 教学重点：16、17、18的减法运算。
2. 教学难点：理解减法的意义，熟练进行计算。
四、教学准备1. 教学课件或黑板、粉笔。
2. 练习题。
五、教学过程1. 导入新课通过复习加法运算，引导学生理解减法的意义，进而导入新课。
2. 讲解新课（1）讲解16、17、18的减法运算。
以16为例，可以让学生通过数数的方法，从16开始，依次减少1，直到0，让学生感受减法的运算过程。
同样的方法，可以讲解17、18的减法运算。
（2）让学生通过实际操作，进行减法运算。
可以让学生用小棒、计数器等教具，进行减法运算的实践，让学生在操作中感受减法的运算过程。
3. 巩固练习（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）教师对学生的练习进行点评，指出错误，指导学生进行改正。
4. 课堂小结通过本节课的学习，让学生掌握16、17、18的减法运算，理解减法的意义，培养学生的观察力、思考力以及解决问题的能力。
5. 布置作业（1）完成课后练习题。
（2）预习下一节课的内容。
六、教学反思1. 在教学过程中，要注意观察学生的反应，及时调整教学节奏。
2. 在讲解减法运算时，要注意让学生理解减法的意义，避免死记硬背。
3. 在巩固练习环节，要关注学生的练习情况，及时发现并解决问题。
通过本节课的教学，让学生掌握16、17、18的减法运算，理解减法的意义，培养学生的观察力、思考力以及解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
在以上的教学过程中，需要重点关注的是“讲解新课”环节中的“讲解16、17、18的减法运算”。
六年级下册数学人教版金牌学案22页
六年级下册数学人教版金牌学案22页1、计算的结果是( ) [单选题] *A. -p2?(正确答案)B. p2?C. -p1?D. p1?2、17、已知点P，且是方程的解，那么点P在（）[单选题] *A. 第一象限B. 第二象限(正确答案)C. 第三象限D. 第四象限3、已知cosα=7，则cos（7π-α）=（）[单选题] *A.3B.-3C.7D.-7(正确答案)下列函数式正弦函数y=sin x 的周期的是（）[单选题] *4、1.计算| - 5 + 3|的结果是[单选题] *A. - 2B.2(正确答案)C. - 8D.85、19．下列两个数互为相反数的是（）[单选题] * A．（﹣）和﹣（﹣）B．﹣5和(正确答案)C．π和﹣14D．+20和﹣（﹣20）6、下列各角终边在第三象限的是（）[单选题] *A. 60°B. 390°C. 210°(正确答案)D. -45°7、6．下列各图中，数轴画法正确的是（）[单选题] * A．B．C．D．(正确答案)8、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。
[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程9、12、下列说法: (1)等腰三角形的底角一定是锐角; (2)等腰三角形的内角平分线与此角所对边上的高重合; (3)顶角相等的两个等腰三角形的面积相等; (4) 等腰三角形的一边不可能是另一边的2 倍. 其中正确的个数有( ). [单选题] *A. 1 个(正确答案)B. 2 个C. 3 个D. 4 个10、18．下列说法正确的是（）[单选题] *A．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量B．如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米C．如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是下降8℃D．若将高1米设为标准0，高20米记作+20米，那么－05米所表示的高是95米(正确答案)11、函数y=cosx与y=arcsinx都是（）[单选题] *A、有界函数(正确答案)B、有界函数C、奇函数D、单调函数12、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)13、x3可以表示为（）[单选题] *A. 3xB. x+x+xC. x·x·x(正确答案)D. x+314、44、如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）[单选题] *A．1对B．2对C．3对(正确答案)D．4对15、8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，则∠BFD的度数是( ) [单选题] *A．15°(正确答案)B．25°C．30°D．10°16、12.下列方程中，是一元二次方程的为（）[单选题] *A. x2+3xy=4B. x+y=5C. x2=6(正确答案)D. 2x+3=017、40、如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）[单选题] *A．3个B．4个(正确答案)C．5个D．6个18、向量与向量共线的充分必要条件是（）[单选题] *A、两者方向相同B、两者方向相同C、其中有一个为零向量D、以上三个条件之一成立(正确答案)19、41．若m2﹣n2＝5，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（）[单选题] * A．25(正确答案)B．5C．10D．1520、下列各式中，计算过程正确的是( ) [单选题] *A. x3＋x3＝x3?3＝x6B. x3·x3＝2x3C. x·x3·x?＝x??3??＝x?D. x2·(－x)3＝－x2?3＝－x?(正确答案)21、9．如果向东走记为，则向西走可记为() [单选题] * A+3mB+2mC-3m(正确答案)D-2m22、4．﹣3的相反数是（）[单选题] *A.BC -3D 3(正确答案)23、下列说法正确的是[单选题] *A.一个数前面加上“-”号，这个数就是负数B.零既不是正数也不是负数(正确答案)C.零既是正数也是负数D.若a是正数，则-a不一定是负数24、在0°~360°范围中，与-460°终边相同的角是（）[单选题] *200°(正确答案)560°-160°-320°25、△ABC中的边BC上有一点D，AB=13，BD=7，DC=5，AC=7，则AD的长（）[单选题] *A、8(正确答案)B、9C、6D、326、掷三枚硬币可出现种不同的结果（）[单选题] *A、6B、7C、8(正确答案)D、2727、13．在数轴上，下列四个数中离原点最近的数是（）[单选题] *A．﹣4(正确答案)B．3C．﹣2D．628、22．如果|x|＝2，那么x＝（）[单选题] *A．2B．﹣2C．2或﹣2(正确答案)D．2或29、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、430、26．已知（x﹣a）（x+2）的计算结果为x2﹣3x﹣10，则a的值为（）[单选题] * A．5(正确答案)B．﹣5C．1D．﹣1。
六年级数学下册教案-6.1.1 数的认识16-人教版
六年级数学下册教案-6.1.1 数的认识16-人教版教学目标- 知识与技能：使学生能够理解数的概念，包括自然数、整数、分数和小数的概念，以及它们之间的相互关系。
- 过程与方法：通过具体的数学活动，使学生掌握数的读、写、比较、加减乘除等基本运算方法，培养他们的数学思维能力。
- 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣和爱好，使他们形成积极的学习态度，培养他们的合作精神和创新意识。
教学内容- 自然数的概念：自然数是表示物体个数的数，如1、2、3、4、5等。
- 整数的概念：整数包括自然数和它们的相反数，如-1、-2、-3、-4、-5等。
- 分数的概念：分数是表示一个整体被分成若干等份的数，如1/2、1/3、1/4等。
- 小数的概念：小数是表示整数之间的数的数，如0.1、0.2、0.3等。
- 数的读、写、比较、加减乘除运算：使学生掌握数的读、写、比较、加减乘除等基本运算方法。
教学步骤1. 引入：通过一个有趣的故事或者情景，引出数的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解自然数、整数、分数和小数的概念，以及它们之间的相互关系。
通过具体的例子，使学生更好地理解这些概念。
3. 活动：设计一些数学活动，如数的读、写、比较、加减乘除运算等，让学生在实践中掌握数的概念和运算方法。
4. 练习：通过一些练习题，巩固学生对数的概念和运算方法的掌握。
5. 总结：总结本节课的内容，强调数的概念和运算方法的重要性，鼓励学生在日常生活中运用数学知识。
教学评价- 通过课堂提问、练习题和课后作业，评价学生对数的概念和运算方法的掌握情况。
- 观察学生在课堂上的表现，评价他们的学习态度和合作精神。
- 收集学生的反馈，了解他们对本节课的看法和建议，以便改进教学。
教学资源- 教科书：人教版六年级数学下册- 练习题：教师自编或者选用教材配套的练习题- 教学辅助材料：如图片、教具等，帮助学生更好地理解数的概念和运算方法。
教学建议- 在教学过程中，注重培养学生的数学思维能力，引导他们运用数学知识解决实际问题。
6-16网课数学A学案(8.7一8.13)
8月7号初三数学学案（A）课题：解直角三角形（1）【预习检查】1.如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。
问大树在折断之前高多少米?2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，b=10，求a，c，∠A【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的之间关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.经历解直角三角形的过程，概括出解直角三角形的方法，提高分析问题、解决问题的能力.【新知研习】研习1：已知在Rt△ABC中，∠C为直角，在a、b、c、∠A、∠B这五个元素中，知道几个元素，就能求出其它未知元素？研习2：解直角三角形的依据是哪些？【典型例题】例题1．在Rt△ABC中，∠C =900，∠A =300，a=5，求b、c的大小.例2．在Rt△ABC中，∠C =900，a=10，c=20，请解此直角三角形【归纳总结】【巩固拓展】1．在Rt△ABC中，下列情况，三角形可解的是（）A.已知AC=3，∠C=900,B.已知∠C =900，∠B=300，C.已知∠C =900，∠B =600，BC=6,D.已知AC=42.已知△ABC中，AB＝24，∠B＝450，∠C＝600，AH⊥BC于H，则CH＝．3．已知在Rt△ABC中，∠C =900，b=32，c=4，求a 、∠A、∠B4.如图，△ABC中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB的长.5.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，求△ABC的面积。
6.（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．【预习指导】解直角三角形（2）CA B8月8号初三数学学案（A ）课题：解直角三角形（2）1．如图，在Rt △ABC 中，a=6，b=63,解这个直角三角形.【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的2个锐角互余及锐角三角函数解有关多边形中的边角问题.2.经历解直角三角形的过程,概括出解多边形的方法,提高分析问题和解决问题的能力. 【新知研习】研习1：遇到在非直角三形中求边长时怎么办？研习2：什么叫做正多边形？什么叫做正多边形的半径？它的中心角怎么计算【典型例题】例1．如图，△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长.【归纳总结】【巩固拓展】1. 一个正六边形的边长为4㎝，则这个正六边形的面积为_______.2.在⊿ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则BC= .3.在⊿ABC 中，∠C=90°，若sinA+sinB=57，a+b=28，求c4.如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°∠D=∠B=90°，求这个四边形ABCD 的面积.5.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．【预习指导】锐角三角函数的简单应用（1）B DCAA BO 8月9号初三数学学案（A ）课题：锐角三角函数的简单应用（1） 【预习检查】 【预习检查】1．在Rt △ABC 中，其中∠C=90°，则sinA= ,cosA= ,tanA= . 2.小明在荡秋千,已知秋千的长度为2m, 求秋千升高1m 时,秋千与竖直方向所成的角度.【目标展示】1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.2.经历由实际问题数学化过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用，要求学生掌握不断探索解决实际问题的方法和规律. 【新知研习】研习1：一个圆绕圆心旋转1周需m （min ）,那么它旋转了n(min)后的旋转角是多少？（m>n ）.【典型例题】例1．“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m ，旋转1周需要12min .小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m ）开始1周的观光，经过2min 后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1m ）?思路点拨：设经过2min 后，小明从点B 到达点C 的位置，由题意知：弧BC 即为圆周长的1/6，作C D ⊥OB,垂足为D ，在Rt △COD 中，OC 与∠COD 已知，则OD 可求，进而可求得小明离地面的高度.例2. （1）在例1的条件下摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达30.5m？（2）小明将有多长时间连续保持在离地面30.5m以上的空中？问：（1）“如何理解首次”（2）“引导学生去思考，此时在空中什么位置”，并画出图形.例3.经过多长时间后，小明离地面的高度将首次达到5m?经过多长时间后，小明离地面的高度将再次达到10.5m?【巩固拓展】1.如图，起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，•吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度是，离机身的最远水平距离是．（精确到0.1m）2.单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到A B′的位置时，∠BAB′=11°,问这时摆球B′较最低点B升高了多少？（精确到1cm ）【预习指导】锐角三角函数的简单应用（2）B'BAsin110.191,cos110.982,tan110.194︒≈︒≈︒≈8月10号初三数学学案（A ）课题：锐角三角函数的简单应用(2) 【预习检查】__________是仰角。
七年级数学第三章学案 (6)
正 数 和 负 数课型：预导课 主备人： 时间 审核人疑：看到课题，你最想知道什么？ 探：（1）独学：阅读课本16——17页，独立解决你所提出的问题。
（2）对学：你还有哪些不能够解决的问题，请提出来。
（3）群学：小组合作，全班交流。
展与练：1.将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示.2.在中国地形图上，在珠穆朗 玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8844和-155表示的实际意义.海平面的高度用什么数表示?3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?+ 6 ；- 21 ；54 ；0 ；722；-3.14 ；0.001 ；-999 正数：负数：4.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?5、在日常生活中，常会遇到这样的一些量，找出其中的相反量。
你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?（1）汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里； （2）温度是零上10℃和零下5℃； （3）收入500元和支出237元； （4）水位升高5.5米和下降3.6米；（5）买进100辆自行车和卖出20辆自行车． 测：（1）在知识竞赛中,如果用+10 分表示加10分，那么扣20分表示____ _____.（2）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈表示__ __.（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么－0.03克表示________________________________.（4）小明在某个路口，规定方向为向东为正，向西为负. 如果他向东走了100m ，则可表示为 ;如果向西走了150m ，则可表示为 ______；如果他走了-50m ，则表示为 ，如果走了+200m ，则表示＿＿＿＿＿＿＿. 如果小明先向西走了180m ，后又向东走了200m ，则此时他在离路口 .有 理 数课型：预导课 主备人： 时间 审核人 疑：看到课题，你最想知道什么？ 探：（1）独学：阅读课本18——20页，独立解决你所提出的问题。
三年级数学下册导学案-1.1 分桃子(2)-北师大版
三年级数学下册导学案-1.1 分桃子（2）-北师大版1. 学习目标•理解分桃子问题的基本含义和解题思路；•能够运用同分原理解决分桃子问题；•能够将数学概念转化为生活中的实际问题。
2. 学习重点•同分原理的概念和应用。
3. 学习难点•同分原理的运用方法。
4. 学习内容4.1 分桃子问题（2）小学生们在课间玩游戏，发现老师留下了一个未完成的问题：“一共有7个学生，有8个苹果，要让每个学生都分到一个完整的苹果，该怎么做？” 小学生们用上次所学的“同分原理”解决了这个问题，可是如果现在有9个苹果呢？又该怎么办呢？如果是每个人都要分到一个苹果，而剩余的苹果数少于人数，那么每人就只能分到一个苹果，剩下的苹果就无法再均分。
这时，我们需要用到“捆绑原理”。
具体操作可以按照以下步骤：步骤一：找到苹果数的余数。
步骤二：用捆绑原理，把余数和苹果数捆绑起来，使其可以均分。
步骤三：将每个人分到一个苹果后，将捆绑的苹果均分，让每个人再分到一份。
我们可以通过下面的例子来理解这个过程：【例1】班级里有10个同学，有17个橙子，每个同学都要分到一个橙子。
解决方法是：步骤一：用17除以10，得商1余7，说明每个同学可以分到一个橙子，还剩余7个橙子。
步骤二：用捆绑原理，把剩余的7个橙子和10个同学捆绑起来，使其可以均分。
将10个同学按照分橙子的顺序排成一排，然后把剩余的7个橙子排成一列。
这时我们可以把每个同学和剩余的橙子一一对应，这样每个同学就多了一份橙子，还剩下3个橙子。
步骤三：将每个同学分到了一个橙子后，将捆绑的3个橙子均分，让每个同学再分到一个。
最终每个同学分到了两个橙子，剩余1个橙子无法再均分。
【思考】如果班级里有11个同学，该怎么做呢？4.2 同分原理同分原理是指：如果把一组物品分成若干份，其中一份的数目确定，其他份的数目可以任意取，则每份中物品的数目也是确定的。
同分原理的理解和应用是本节课的重点。
同学们可以按照下面的例子练习同分原理的应用：【例2】用苹果均分4个同学，一共用了10个苹果，每个人至少要分到一个完整的苹果，请问每个人最多能分到几个苹果？解决方法是：首先，我们通过10÷4=2.5得到在平均分下每个同学可以分到2个苹果，但这个结果不是整数。
专题03 因式分解(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案03 因式分解考点课标要求考查角度1因式分解①理解因式分解的概念；②会用提公因式法、公式法等方法进行因式分解．考查因式分解的两种方法．以选择题、填空题为主．1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．中考命题说明思维导图知识点1：因式分解的概念知识点梳理典型例题【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2－x－1=x(x－1)－1B．x2－1=(x－1)2C．x2－x－6=(x－3) (x＋2)D．x(x－1)= x2－x【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．【例2】（3分）（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．1. 一般方法：（1）提公因式法：知识点2：因式分解的方法与步骤知识点梳理如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．典型例题利用提公因式法分解因式【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．–3x2y2B．–2x2y2C．6x2y2D．–x2y2【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D．【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝．【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．故答案为：3a (a－7b)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案为：(x＋2)(x－2)．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（）A．x(x－4)＋4B．(x＋2) (x－2)C．(x＋2)2D．(x－2)2【考点】因式分解—运用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故选：D．【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m ＋n －3)2．故答案为：(m ＋n －3)2．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，考查整体思想，掌握2222()a ab b a b ±+=±是解题的关键．【例9】已知二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），则b +c 的值为（ ）A ．1B ．–1C ．–5D ．5【分析】∵二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），∴x 2+bx +c ＝（x –3）（x +1）＝x 2–2x –3，∴b ＝–2，c ＝–3，故b +c ＝–5．故选C ．【答案】C ．【例10】（2022•内江）分解因式：a 4－3a 2－4＝ ．【考点】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a 4－3a 2－4＝(a 2＋1)(a 2－4)＝(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)，故答案为：(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)．【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．【例11】因式分解：x 2 – y 2 –2x +2y ．【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x –y 即可.【答案】x 2 – y 2–2x +2y = (x 2 – y 2 )–( 2x –2y )= ( x +y ) ( x –y ) –2 ( x –y )= ( x –y ) ( x +y –2 ) ．【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a －3ab －4＋6b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a (2－3b)－2(2－3b)＝(2－3b)(a－2)解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2) (2－3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．【考点】因式分解的应用【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a)＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a)＝(x＋a) (x－a＋1)；（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2)＝x (a－b)＋(a－b) 2＝(a－b)( x＋a－b)；（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b)＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2)＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab)＝(a2＋b2) (a－b) 2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．几种方法的综合运用【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1)＝2022(x－1) 2．故答案为：2022(x－1) 2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．知识点3：因式分解的应用知识点梳理因式分解的应用：利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.典型例题【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是．【考点】因式分解的应用【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵∵ab＝2，a＋b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为．【考点】因式分解的应用【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9又∵a＋b＝1，∴原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝a2－(b－1)2＋10＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．又∵a＋b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+ 2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．巩固训练15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝ ．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 47．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会(14)ICME -会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示14ICME -的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A 选项，()ax ay a x y +=+，故该选项不符合题意； B 选项，333()a b a b +=+，故该选项符合题意；C 选项，2244(2)a a a ++=+，故该选项不符合题意；D 选项，2a 与b 没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握2222()a ab b a b ++=+是解题的关键．2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+【考点】多项式乘多项式；因式分解-提公因式法；合并同类项；完全平方公式【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．23x 与34x 不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．22222()2x y x xy y x y +=++≠+，故选项B 计算不正确；C ．22(23)(23)4994x x x x +-=-≠-，故选项C 计算不正确；D ．2242(12)xy xy xy y +=+，故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )巩固训练解析A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故选：A ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-【考点】因式分解-运用公式法【分析】把所给公式中的b 换成b -，进行计算即可解答．【解答】解：3322()()a b a b a ab b +=+-+，33a b ∴- 33()a b =+-33()a b =+-22[()][(()()]a b a a b b =+--⋅-+-22()()a b a ab b =-++故选：A ．【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，把所给公式中的b 换成b -是解题的关键．5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式(3)m m =+．故答案为：(3)m m +．【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：23(3)m m m m +=+，故答案为：(3)m m +．【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式xy ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22()x y xy xy x y +=+．故答案为：()xy x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式即可．【解答】解：()ax ay a x y +=+．故答案为：()a x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．【解答】解：2(1)m m m m +=+．故答案为：(1)m m +．【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故答案为：(2)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式a 提出来即可．【解答】解：23(3)a a a a -=-．故答案为：(3)a a -．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．【解答】解：2(1)x x x x +=+．故答案为：(1)x x +．【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式2x ，进而得出答案．【解答】解：原式2(4)x x =-．故答案为：2(4)x x -．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而得出答案．【解答】解：23(3)a a a a +=+．故答案为：(3)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】提取公因式x ，整理即可．【解答】解：22(2)x x x x -=-．故答案为：(2)x x -．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +【考点】因式分解-提公因式法【分析】此题只要提取公因式3即可．【解答】解：363(2)x x +=+．【点评】此题考查公因式的提取，通过提取出相同的因式即可解出此题．17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】观察原式，找到公因式a ，提出即可得出答案．【解答】解：22(2)a a a a -=-．故答案为：(2)a a -．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式(3)(3)x y x y =-+．故答案为：(3)(3)x y x y -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：原式(5)(5)x x =+-．故答案为：(5)(5)x x +-．【点评】本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解决本题的关键．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：22()()m n m n m n -=+-，故答案为：()()m n m n +-．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式22()()a b a b a b -=+-是解题关键．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】根据平方差公式分解即可．【解答】解：原式225(5)(5)a a a =-=+-．故答案为：(5)(5)a a +-．【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(1)(1)x x =+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：29(3)(3)x x x -=+-．故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：216(4)(4)a a a -=-+．故答案为：(4)(4)a a -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝ ．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝(a ＋2)2，故答案为：(a ＋2)2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(3)(3)x x =+-，故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：21(1)(1)x x x -=+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)m m m -=+-．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2221(1)x x x -+=-．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)a a a -=+-．故答案为：(1)(1)a a +-．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式223(4)x x y =-3(2)(2)x x y x y =+-．故答案为：3(2)(2)x x y x y +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)a a =++22(1)a =+．故答案为：22(1)a +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：233x y y -3(1)(1)y x x =+-，故答案为：3(1)(1)y x x +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式22(69)(3)a a a a a =-+=-，故答案为：2(3)a a -．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：29xy x -2(9)x y =-(3)(3)x y y =+-，故答案为：(3)(3)x y y +-．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：269ay ay a ++2(69)a y y =++故答案为：2(3)a y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：329x xy -22(9)x x y =-(3)(3)x x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x x y x y +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式22(1)x x =-2(1)(1)x x x =+-．故答案为：2(1)(1)x x x +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式23(1)m =-3(1)(1)m m =+-．故答案为：3(1)(1)m m +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)x x x =++22(1)x x =+．故答案为：22(1)x x +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：32a ab -22()a a b =-()()a a b a b =+-．故答案为：()()a a b a b +-．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)m m m m m =-=+-，故答案为：(2)(2)m m m +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2xy x -，2(1)x y =-，(1)(1)x y y =-+．故答案为：(1)(1)x y y -+．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 【考点】因式分解的应用【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，根据“和倍数”的定义表示F （A ）和G （A ），代入()()16F A G A +中，根据()()16F AG A +为整数可解答． 【解答】解：（1）357(357)357152312÷++=÷=⋯⋯，357∴不是“和倍数”； 441(441)441949÷++=÷=，441∴是9的“和倍数”； （2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，由题意得：F （A ）ab =，G （A ）cb =，。