矩阵典型习题解析

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矩阵理论习题与答案

矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。

为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。

一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。

答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。

所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。

2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。

答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。

由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。

3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。

答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。

计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。

然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。

对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。

所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。

二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。

答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。

然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。

接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。

将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。

最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。

矩阵与行列式练习题及解析

矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。

本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。

练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。

解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。

根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。

因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。

练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。

解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。

对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。

根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。

练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。

解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。

带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。

练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。

解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。

首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。

通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。

然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。

求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。

矩阵典型习题解析

2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。

其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数a ij （i 1,2, ,m;j 1,2, , n）组成的m行n列的矩形数表a11 a12 a1nA a21 a22 a2nAa m1 a m2 a mn称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。

3．矩阵的相等设 A （a ij ）mn; B （b ij ）mn若a ij b ij(i 1,2, ,m;j 1,2, ,n)，则称A与B相等，记为A=B。

2.1.2 矩阵的运算1．加法(1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij )mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律① A+B=B+A ；②( A+B ) +C=A+( B+C )③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,k 为常数，则 kA (ka ij )mn(2) 运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② ( K+L) A=KA+LA,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 nAB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kjk1(2) 运算规律① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC③ (B C)ABA CA3)方阵的幂①定义：A(a ij )n，则 A k A KA ②运算规律：A m A n A mn(A m )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

矩阵练习题及答案

矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。

7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。

对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。

8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。

对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。

9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。

对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。

矩阵的运算与线性方程组练习题及解析

矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。

本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。

1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。

解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。

根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。

解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。

根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。

解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。

根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。

将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。

则方程组可以表示为AX = B的形式。

根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。

矩阵习题带答案

矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。

掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。

在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。

1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。

解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。

因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。

解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。

计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。

解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。

对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。

4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。

解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。

首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。

计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。

矩阵分析所有习题及标准答案

习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.

高中矩阵练习题及讲解详细解析

高中矩阵练习题及讲解详细解析### 高中矩阵练习题及详细解析#### 练习题一：矩阵的基本运算题目：给定两个2x2矩阵 A 和 B：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵 A 和 B 的加法和乘法结果。

解析：首先进行矩阵加法，即对应元素相加：\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]接下来进行矩阵乘法，根据矩阵乘法的定义：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \]#### 练习题二：矩阵的行列式和逆矩阵题目：已知矩阵 C：\[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 C 的行列式和逆矩阵。

解析：首先计算矩阵 C 的行列式，使用公式：\[ \text{det}(C) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2 \]接着计算逆矩阵，使用公式：\[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]#### 练习题三：矩阵的特征值和特征向量题目：给定矩阵 D：\[ D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 D 的特征值和对应的特征向量。

矩阵运算练习题及

矩阵运算练习题及解答矩阵运算练习题及解答矩阵运算是线性代数中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。

通过对矩阵的加法、乘法等基本运算进行练习，可以帮助我们更好地理解和掌握矩阵运算的相关概念和性质。

本文将为大家提供一些矩阵运算的练习题及其详细解答，以便读者巩固相关知识。

1. 矩阵加法设矩阵A、B分别为：A = [2 3 -1]，B = [1 4 2]求矩阵A和B的和。

解答：两个矩阵的和等于对应元素相加。

根据题目给出的矩阵A和B，可以直接进行相加。

A +B = [2+1 3+4 -1+2] = [3 7 1]因此，矩阵A和B的和为[3 7 1]。

2. 矩阵乘法设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4 5 6]求矩阵A和B的乘积。

解答：两个矩阵相乘的结果可通过将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行对应元素相乘并相加得到。

A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的乘积为[32]。

3. 转置矩阵设矩阵A为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]求矩阵A的转置。

解答：转置矩阵是将原矩阵的行变为列，并将列变为行得到的新矩阵。

根据题目给出的矩阵A，可以进行转置操作。

A的转置记为AT，且AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i 列元素。

A的转置为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]因此，矩阵A的转置为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]4. 矩阵的数量积设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4; 5; 6]求矩阵A和B的数量积。

解答：矩阵的数量积等于矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的数量积，即矩阵A与矩阵B的乘积。

A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的数量积为[32]。

5. 矩阵的逆设矩阵A为：A = [1 2; 3 4]求矩阵A的逆。

线性代数解题技巧及典型题解析06-矩阵总习题_4

0 ⎭0 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎝ 0 0 矩阵一. 单项选择题1. 设 A 和 B 均为n ⨯ n 矩阵,则必有()A. | A + B |=| A | + | B |B. AB = BAC. | AB |=| BA |D. ( A + B )-1 = A -1 + B -12.设 A , B , A + B , A -1+ B -1均为可逆矩阵,则( A -1+ B -1 )-1为()A. A -1 + B-1B. A + BC. A ( A + B )-1 BD. ( A + B )-13. 设 A 为 n 阶非奇异方阵(n>1), A *为 A 的伴随矩阵,则( A* )*为()A. | A |n -1 AB. | A |n +1 AC. | A |n -2 AD. | A |n +2 A4.若α1 ,α2 ,α3 , β1 , β2 均为四维列向量, 则| α3α2α1 (β1 + β2 ) |=()| α1α2α3 β1 |= m ,| α1α2 β2α3 |= n , A. m + nB. - (m + n )C. n - mD. m - n5. 设 A 为 4 阶方阵,且| A | =2,将 A 按列分块为 A = (A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ),其中 A i ( i =1,2,3,4)为 A 的第i 列,则| -A 2 ,-A 1 ,-A 4 ,-A 3 |=⎛ A T6.设 A , B 为 n 阶可逆矩阵,则 - 20 ⎫ ⎪ = ( )B -1 ⎪A. (-2)2n| A || B |-1B. (-2)n | A || B |-1C. (-2) | A T|| B |D. (-2) | A || B |-17.设 A = a a a a + aa + aa + a ⎪ ⎝ 3132⎛ 0 1 0⎫ ⎪ 33⎭ ⎛1 0 ⎝ 31110 ⎫⎪321233 13 ⎭P 1 = 1 0 0⎪, P 2 = 0 1 0⎪ ,则必有()⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭A. AP 1 P 2 = BB. AP 2 P 1 = BC. P 1 P 2 A = BD. P 2 P 1 A = B⎛ a 11 a 12 A = a 21 a 22 a 13 a 14⎫ ⎛ a 14a 13 a 12 a 23 a 24 ⎪ a 24a 23a 22 a 11 ⎫ a 21 ⎪ 8.设 aaaa ⎪, B = a aaa ⎪, 31 323334 ⎪ 34 333231 ⎪ ⎝ a 41a 42 a 43a 44 ⎭ ⎝ a 44a 43 a 42a 41 ⎭⎛ a 11a12 a 13 ⎫ ⎪ ⎛ a 21a 22a 23⎫ ⎪a 21 a 22a 23 ⎪, B = a 11 a 12 a 13 ⎪,0 00 0 = 0 1 1 0 ⎛ 0 0 0 P =0 1 0 1⎫ ⎛1 0 0 ⎪ 0⎪ 0 0 1 , P 0⎫⎪ 0⎪, 其中 A 可逆,则 B -1 = ( ).1 ⎪2 ⎪ ⎝1 0 0 0⎭ ⎪ ⎪ ⎝ 0 0 0 1⎭A. A -1 P PB. P A -1 PC. P P A-1D. P A -1 P1 2121 2219. 设 n 阶方阵满足 ABC = E ,则必有()A. ACB = E ;B. CAB = E ;C. BAC = E ;D. BCA = E .10. 设 A 为m ⨯ n 矩阵, B 为 n ⨯ m 矩阵,则( ) A. 当 m > n 时,必有| AB |≠ 0;B. 当 m > n 时,必有| AB |= 0;C. 当 n > m 时,必有| AB |≠ 0;D. 当 n > m 时,必有| AB |= 0.1.设 A , B 为同阶可逆矩阵,则()A. AB = BAB. 存在可逆矩阵 P ,使得 P -1 AP = BC. 存在可逆矩阵C ,使得C T AC = BD. 存在可逆矩阵 P 和Q ,使得 PAQ = B12.设 A 为m ⨯ n 矩阵, C 是 n 阶可逆矩阵,矩阵 A 的秩为r ,矩阵 B = AC 的秩为r 1 ,则( )A. r > r 1 ;B. r < r 1 ;C. r = r 1 ;D. r 与r 1 的关系视C 而定.13.设α = (1 ,0, 2 ,0, 1), A 2= E - α T α, B = E + 2α Tα, 则AB =( )A.0B. - EC. ED. E + α Tα⎛1 a a a 1 a 14.设矩阵 A= a ⎫ ⎪ a ⎪(n ≥ 3), r ( A ) = n -1, 则a =( )................. ⎪⎪ ⎝ a a a 1 ⎭A.1B.1/(1-n)C.-1D.1/(n-1)= 1 1 = 0 3 1 ⎪ ⎪ 二.填空题1.设 A 为 4 阶方阵,若r ( A ) =4,则r ( A *) =, 若r ( A ) =3,则r ( A *) =,若r ( A ) <3,则r ( A *) =.⎛ k1 2.设矩阵 A ⎝11 1 1⎫ ⎪ k 1 1⎪1 k ⎪, 且r ( A ) 3, 则 k= .11k ⎭ ⎛1 -13.设r ( A 4⨯3 ) = 2, B = 20 ⎝20⎫ ⎪1⎪,则r ( A B ) = . ⎪ ⎭4.设 A = (a i b j )n ⨯n , a i ≠ 0,b j ≠ 0,(i , j = 1,2,..., n ) ,则r ( A ) =.5.设四阶方阵 A 的秩为 2,则其伴随矩阵 A *的秩为6.设 A 为三阶方阵,| A |=2,则|2 A -1|=, | A *|=,| ( A * )*|=,| A -1 - A *|=.⎛1 0 7.设 A = 2 2 ⎝ 3 0 ⎫ ⎪ 0⎪, 则 ⎪ ⎭( A * )-1=8.n 阶方阵 A 满足 A 2 + 2A + 3E = 0 ,则 A -1=9.设 A , B 为 n 阶方阵,| A |=2,| B |=-3,则| 2A * B-1|=10.设 4 阶方阵 A = (α r 2 r 3 r 4 ) , B = (β r 2 r 3 r 4 ) ,α,β , r 2 , r 3 , r 4 是四维列向量,若| A |=4,| B |=1,则 | A + B |=⎛ 0 11.设 A , B 分别为m , n 阶方阵, | A | = a ,| B | = b , C =⎝ B A ⎫⎪ ,则| C |=0⎭⎛112.设 A = 0⎝1 ⎫⎪2 0⎪, n ≥ 2, n 为正整数,则 A n - 2A n -1 =0 ⎭13.设α = (1,0,-1)T, A = ααT, n 为正整数,则| aE - A n|=⎛1 ⎫ 14.设α = ⎪ β = (1 1 1), A = αβ, 则 A n =.2⎪,3 2 3 ⎝ ⎭3 3 10 ⎝ 1 30 7 a= 1 5 ⎪ ⎪ 0 0 01⎭ ⎛1 - 215. 已知 AB - B = A , 其中 B = 21 ⎝0⎫ ⎪ 0 ⎪, 则 A = .⎪ ⎭⎛1 0 16. 设 A , B 为 3 阶方阵, AB + E = A 2+ B , A = 0 2 -1 0 1 ⎫ ⎪0⎪,则B = .⎪ ⎭⎛1 17. 设方阵 A , B 满足 A *BA = 2BA - 8E , A = 0 ⎝ 0 0 ⎫ ⎪- 2 0⎪ ,其中 A * 为 A 的伴随矩阵,0 ⎭则 B =.-1⎛ 1 ⎫⎪ ⎪ 1 ⎪ 18. 设 A BA = 6A + BA ,其中 A = 04 0 ⎪, 则 B = .⎪⎛5 2 0 0 ⎫⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎝⎭2 1 0 0 ⎪ -1 19.设 A = ,则 A = . 0 0 1 - 2⎪⎝ 0 0⎪ 1 1 ⎭⎛ 0 0 A 1 ⎫20.设分块矩阵A = 0 A ⎪ -1A 2 0 ,则A = .0 0 ⎪ ⎝ 3 ⎭ ⎛ 0 a 0 0 ⎫ ⎪0 0 a 2 0 ⎪ 21.设 A = ....................... ⎪, (a , , a ≠ 0), 则 A -1 =.0 0⎪ 1n 0 a n -1 ⎪ ⎝ n ⎛340 0 ⎪0 0 ⎫ ⎪ 2 3 0 22.设 A⎝-1 11 0⎪,则A -1= . ⎪ 3 ⎭ 2 1 0 0 1 2⎪ ⎝ 0 1 1 三.计算题1. 设 A 为 n 阶方阵, AAT= E ,| A |< 0 ,求| A + E |.2. 设 A 为 n 阶(n>1)非零方阵,元素a ij 与其代数余子式 A ij 相等,求| A |.⎛ 0 10 00 0 0⎫⎪ 1 0 0 ⎪3.设 A 为 10 阶方阵, A = ............................. ⎪, 计算行列式| A - λE |,⎛1 0 1 ⎫ ⎪0 0 1010 0 0 0 1⎪ ⎪ 0 00 ⎭4.设 A = 0 1 ⎝ 0 0⎪, 求A n .⎪ ⎭5. 设 A 为 n 阶可逆矩阵,将 A 的第i 行和第 j 行对换后的矩阵为 B ,(1) 证明 B 可逆; (2)求 AB -1.⎛ 0 10 ⎫ ⎛3 ⎫ ⎛5 ⎫⎪ ⎪ ⎪6.设 AX + B = C ,其中 A = -1 1 1 ⎪, B = 1 ⎪, C = 4⎪, 求X . -1 0-1⎪ -1⎪ 5 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭7.设 B = 00 1 -1⎪，C = 0 0 2 1⎪, 矩阵 A 满足 ⎪ ⎝ 01 ⎭ ⎪ ⎝ 02⎭A (E - C -1B )TC T = E ,求A .8.设 B = 00 1 2 ⎪, C = 0 0 1 2⎪,(2E - C -1 B ) A T = C -1 , 求 A . ⎝ 0 0 ⎛1 1⎪ 01 ⎭ -1⎫ ⎪⎪ ⎝ 01 ⎭9.设 A = -11 ⎝-11 ⎪, A * X = A -1 + 2X , 求矩阵X . ⎪ ⎭⎛1 1 10. 设三阶矩阵 A 的逆矩阵为 A -1= 12 ⎝11⎫ ⎪1⎪, 试求伴随矩阵 A * 的逆矩阵. ⎪ ⎭1 1 3 ⎛1 -1 0 0 ⎫ ⎪ ⎛2 13 4 ⎫ ⎪ 01 -1 0 ⎪ 02 13 ⎪⎛1 2- 3 - 2⎫ ⎪ ⎛1 20 1 ⎫ ⎪1 2 - 3 ⎪ 0 1 2 0 ⎪0 ⎝ ⎭ ⎝b ⎭11. 设 n 阶方阵 A , B 满足 A + B = AB ,(1)证明 A - E 可逆;⎛1 - 3(2)若 B = 21 ⎝0 ⎫ ⎪0 ⎪, 求A . ⎪ ⎭12. 设 A 为n 阶非奇异矩阵,α 为 n 维列向量, b 为常数.记⎛ E 0⎫ ⎛ A α ⎫P =⎪, Q = ⎪,- α T A * | A | ⎪ α T ⎪其中 A *是矩阵 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位矩阵.(1) 计算并化简 PQ ;(2) 证明: 矩阵Q 可逆的充分必要条件为α TA-1α ≠ b .四.证明1.设 A , B ,和 A + B 均可逆,证明(A -1+ B -1 )-1= A (A + B )-1B .2. 设 A , B 均为 n 阶方阵,| B |≠0, A - E 可逆, ( A - E )-1= (B - E )T ,证明 A 可逆.证明:欲证 A 可逆,只需证明| A |≠0,3. 若 A2= A ,则 A + E 可逆,并求( A + E )-1 .4. 设 A 为 n 阶方阵,且 A2- 2A + 4E = 0 ,(1) 证明 A 可逆,并求 A -1; (2) 若| A |=2,求| 4A - 8E |.5. 已知 n 阶方阵 A 满足2A (A - E ) = A 3, 求(E - A )-1.6. 设 A 是 n 阶非零矩阵,当 A*= A T 时,证明| A |≠ 0 .7. 已知 n 阶方阵 A 满足 A k= 0(k 为正整数).证明 E - A 可逆,求(E - A )-1.2。

（完整版）矩阵练习（带答案详解）

一、填空题：1.若A ，B 为同阶方阵，则22))((BAB A B A的充分必要条件是BAAB。

2. 若n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC,I 为n 阶单位矩阵，则1C ＝AB。

3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，若00AB C,则1C＝011BA 。

4. 设A ＝1112，则1A ＝2111。

5. 设111111A，432211B.则BA 2731733。

6.设30020001A ，则1A ＝31002100017．设矩阵1 -1 32 0,2 0 10 1AB，T A 为A 的转置，则B A T=160222.8. 11213021A，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设B A 、均为n 阶方阵，则kk kB A AB )(（k 为正整数）。

……………（×）2. 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I ，则111C B A 。

……………………………（×）3. 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。

……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB，其中0A，则0B。

……………………… ( × )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CAI AB,，则C B 。

……………………（√）6. 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB ，则B 也是n 阶对角矩阵。

…（×）7. 两个矩阵A 与B ，如果秩（A ）等于秩（B ），那么A 与B 等价。

…………（×）8. 矩阵A 的秩与它的转置矩阵TA 的秩相等。

……………………………………( √ )三、选择题(每小题3分,共12分) 1.设A 为3×4矩阵，若矩阵A 的秩为2，则矩阵TA 3的秩等于（ B）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42.假定A 、B 、C 为n 阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的（ C ）（A ）)(BC A ABC （B ）)(kB A kAB （C ）BAAB （D ）CBCAB AC )(3. 已知B A 、为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（A）(A) BA AB (B) )()(BC A CAB (C)BC AC C B A )( (D) CBCA B AC )(4. 设I PAQ，其中P 、Q 、A 都是n 阶方阵，则（ D）（A ）111Q P A （B ）111P Q A （C ）PQA1（D ）QPA15. 设n 阶方阵A ，如果与所有的n 阶方阵B 都可以交换，即BA AB，那么A 必定是（ B）（A ）可逆矩阵（B ）数量矩阵（C ）单位矩阵（D ）反对称矩阵6. 两个n 阶初等矩阵的乘积为（C）（A ）初等矩阵（B ）单位矩阵（C ）可逆矩阵（D ）不可逆矩阵7. 有矩阵23A ，32B ，33C ，下列哪一个运算不可行（ A）（A ）AC（B ）BC （C ）ABC（D ）CAB 8. 设A 与B 为矩阵且ACCB ，C 为m n 的矩阵，则A 与B 分别是什么矩阵( D )(A) n m m n (B) m n n m (C)n n m m (D)m m n n9.设A 为n 阶可逆矩阵，则下列不正确的是( B )(A) 1A 可逆 (B) IA 可逆(C)2A 可逆 (D)2A 可逆10.B A,均n 阶为方阵，下面等式成立的是（ B）（A ）BAAB （B ）TTTBAB A )(（C ）111)(BAB A （D ）111)(BA AB 11.设B A,都是n 阶矩阵，且0AB ，则下列一定成立的是（C ）（A ）0A 或0B （B ）B A,都不可逆（C ）B A,中至少有一个不可逆（D ）B A 12.设B A,是两个n 阶可逆方阵，则1TAB等于（ A）（A ）1TA 1TB(B)1TB1TA（C ）TB1TA )(1（D ）TB11TA13.若B A,都是n 阶方阵，且B A,都可逆，则下述错误的是（A ）（A ）B A 也可逆（B ）AB 也可逆（C ）1B 也可逆（D ）11B A 也可逆14.B A,为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是（ B ）（A ）AB （B ）B A （C ）BA（D ）BAB15．设B A ,均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ D ）（A ）B AB （B ）BA AB （C ）IAA（D ）IA116.设B A,都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（D）（A ）若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵（B ）若0A 且0B ，则0AB （C ）若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵（D ）若AB 是可逆矩阵，则A 和B 都是可逆矩阵17. 若B A 与均为n 阶非零矩阵，且0AB，则（ A）（A ）n A R )(（B ）n A R )(（C ）0)(A R （D ）0)(B R 四、解答题：1. 给定矩阵443312111A，343122321B ，求A B T 及1A解：6848126594443312111313422321AB T…………………..（5分）2121252121211041A……………………………………………………(5分)2. 求解矩阵方程X 11011101521234311解：02110011101．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分11101110111111111121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分31222012X ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分3. 求解矩阵方程B XA ，其中011220111A ，112011111B解：因为6A 所以A 可逆……………….…………………….(2分) 3131313161313261311A………………………(4分)故3465323131323431311BAX……………………………..(4分)4. 求解下面矩阵方程中的矩阵X ：021102341011000011001010X 解：令021102341,01100001,1001010CBA，则B A,均可逆，且01100001,1000101011BA所以2143111211BC A X5.设矩阵321011324A，求矩阵B ，使其满足矩阵方程B A AB2.解：B A AB 2即A B I A)2(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分而.46135134112111322)2(11I A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分所以A I AB 1)2(321011324461351341=.9122692683．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分五、证明题1. 若A 是反对称阵，证明2A 是对称阵。

高中数学矩阵练习题及讲解

高中数学矩阵练习题及讲解1. 矩阵的加法设矩阵A和矩阵B如下：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵A和B的和，并验证加法的交换律。

2. 矩阵的数乘给定矩阵C：\[ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 求矩阵C与标量2的乘积。

3. 矩阵的乘法设矩阵D和矩阵E如下：\[ D = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} \]求矩阵D和E的乘积。

4. 矩阵的转置给定矩阵F：\[ F = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]求矩阵F的转置。

5. 矩阵的行列式给定矩阵G：\[ G = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵G的行列式。

6. 矩阵的逆给定矩阵H：\[ H = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \] 求矩阵H的逆矩阵，如果H不可逆，请说明原因。

7. 线性方程组的矩阵表示考虑以下线性方程组：\[ \begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 1\end{align*} \]将此方程组转换为矩阵形式，并求解。

8. 特征值和特征向量给定矩阵I：\[ I = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \] 求矩阵I的特征值和对应的特征向量。

矩阵理论第3章习题解答

第三章习题解答1．求矩阵1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的谱分解.解：(1) 求特征值()()12310E A λλλ-=-+=，所以特征值为123,1λλ==-.(2) 求特征向量：13λ=对应的特征向量为()11,2;Tp =21λ=-对应的特征向量为()21,2Tp =-.（3）谱分解：令1211(,)22P p p ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦，则1121124.1124TT P ωω-⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦令1111124,112TA p ω⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2221124,112T A p ω⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故谱分解式为123A A A =- 2 求单纯矩阵296182051240825A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的谱分解式.3.设()1,2,i i n λ=是正规矩阵n?n A ∈C 的特征值，证明：()21,2,ii n λ=是H A A 与HAA 的特征值.证：根据题设矩阵A ，则A 酉相似与对角矩阵，即()12diag ,,,H n A U U λλλ=其中U 为酉矩阵，则()()()()1212diag ,,diag ,,HH H H n n A A U U U U λλλλλλ=()22212diag ,,,HnU Uλλλ=即HA A 的特征值为()21,2,ii n λ=，同理可证()21,2,i i n λ=也是H AA 的特征值。

4 设A 是n n ⨯阶的实对称矩阵，并且20,A =你能用几种方法证明0.A =证：（1）设λ是矩阵A 的一个特征值，x 是对应于λ的一个非零特征向量，即,Ax x λ=220,A x x λ==所以20,λ=即0,λ=所以矩阵A 的特征值全为零，又A 酉相似与对角矩阵()12diag ,,,n λλλ所以0.A =（2）设0,A ≠则20,HA A A =≠与题设矛盾，所以结论成立。

5 试证：对于每一个实对称矩阵A ，都存在一个n 阶方阵S ，使3A S =。

第三章矩阵及其运算典型例题及求解

0 0 ,
A2

0
,则
1

0n 1

E

An

n k 0
Ckn

Ak
=C0n

A0
+C1n

A
即
1 0n 1 0 0 0 1 0 1 0 1 n 0 n 1
1 1 0 0 [例 2] 设 A 0 1 1 0 , 求 A2 , A3 和 An
1 1 1
[分析]在一个列向量和一个行向量的矩阵乘法时，要注意到一个行向量和一个列向量的矩阵乘法是一个数。
[解] 令 Ta k ，则 T T k T
1 1 1 1 1 1 3 3 3
T T 1 1 1 1 1 1 3 3 3
1 1 2 2
故
R

1
2

1

2
，要使
R

1
2

1

2
,
2 1 2
2 1 2
必须 2 2 1 0 ，即 1。
a1
[例 10]
设
A

a2

b1
,
b2
,
an

,bn 0 ，证明： R A 1，且存在常数 k ，使 A2 kA 。
1 0 0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
1
1
0 0

22

1 1 =(E,A-1)
0 0 1 0 0

矩阵论典型试题解析

习题11.计算下列方阵的幂(1)n cos sin sin cos θθ⎡⎤⎢⎥-θθ⎣⎦； (2)1111n ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； (3)1111na a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解：(1)由 cos sin sin cos n n n n ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦θθθθcos sin sin cos θθ⎡⎤⎢⎥-θθ⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n n n n ++⎡⎤⎢⎥-++⎣⎦θθθθ，故由归纳法知cos sin sin cos nn n A n n ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦θθθθ。

法2：由矩阵cos sin sin cos A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦θθθθθ为正交矩阵，且二维平面中任一向量x y ⎛⎫α= ⎪⎝⎭.则向量cos sin x A sin cos y θθθ⎡⎤⎛⎫α= ⎪⎢⎥-θθ⎣⎦⎝⎭相当于将向量x y ⎛⎫α= ⎪⎝⎭顺时针针旋转θ角度，故由此几何意义，有：() cos sin sin cos n n n n A A n n ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦θθθθθθ (2)由11441144cos sin A sin cos ππ⎡⎤⎥⎡⎤==⎥⎢⎥-ππ⎣⎦⎥-⎢⎥⎣⎦，得11441144n n n n cos sin(n n sin cos ππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-ππ⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （3）记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则由于B J J J E ⋅==⋅，2010010100101001010000J ,J ,,⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0K J =其中5K ≥112244113311 () n n n n n n n n n n n n n nk k n k n n n n n a C a C a C a a C a C a A aE J C a J a C a a -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎢⎢⎣⎦40k =⎥⎥⎥∑(规定：0k n C (n k )=<)2. 求平方等于单位阵的所有二阶方阵。

矩阵练习带答案详解

一、填空题：1.假设A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。

2. 假设n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1-C＝AB。

3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，假设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C ,则1-C ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 。

4. 设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则1-A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111。

5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B .则=+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--731733。

6.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T A 为A 的转置，则B A T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-160222.8. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题〔每题2分，共12分〕1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(〔k 为正整数〕。

……………〔 × 〕2. 设,,A B C 为n 阶方阵，假设ABC I =，则111CB A ---=。

……………………………〔 × 〕3. 设B A 、为n 阶方阵，假设AB 不可逆，则,A B 都不可逆。

……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。

……………………… ( × )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B =。

……………………〔 √ 〕6. 假设A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。

…〔 × 〕7. 两个矩阵A 与B ，如果秩〔A 〕等于秩〔B 〕，则A 与B 等价。

数学课程矩阵运算练习题及答案

数学课程矩阵运算练习题及答案矩阵运算是数学中的一个重要概念，涉及到矩阵的相加、相减、相乘等操作。

通过练习题的方式，可以巩固和提升对矩阵运算的理解与应用能力。

以下是一些常见的矩阵运算练习题以及它们的答案，供大家参考。

1. 矩阵相加已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9) 和矩阵B = (9 8 7; 6 5 4; 3 2 1)，求A + B。

解答：将同一位置上的元素相加，得到：A +B = (1+9 2+8 3+7; 4+6 5+5 6+4; 7+3 8+2 9+1) = (10 10 10; 10 10 10; 10 10 10)2. 矩阵相减已知矩阵A = (1 2; 3 4) 和矩阵B = (5 6; 7 8)，求A - B。

解答：将同一位置上的元素相减，得到：A -B = (1-5 2-6; 3-7 4-8) = (-4 -4; -4 -4)3. 矩阵相乘已知矩阵A = (2 1 -3; 0 -2 1) 和矩阵B = (4 -1; 3 2; -2 1)，求A × B。

解答：矩阵A的行数与矩阵B的列数相等，因此可以进行矩阵相乘。

按照矩阵相乘的规则，计算得到：A ×B = (2×4+1×3-3×-2 2×-1+1×2-3×1; 0×4-2×3+1×-2 0×-1-2×2+1×1) = (15 -2; -7 -1)4. 矩阵数量乘法已知矩阵A = (2 4; 6 8)，求2A。

解答：将矩阵A中的每个元素乘以2，得到：2A = (2×2 2×4; 2×6 2×8) = (4 8; 12 16)5. 矩阵的转置已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，求A的转置矩阵AT。

解答：将矩阵A的行与列互换得到其转置矩阵：AT = (1 4 7; 2 5 8; 3 6 9)6. 矩阵的逆已知矩阵A = (1 2; 3 4)，求A的逆矩阵A-1。

矩阵的运算与性质练习题及解析

矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。

矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。

表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。

例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。

例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。

例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。

规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。

例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。

逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。

矩阵分析习题附答案

一、空题（每小题5分，共30分）1、若矩阵A =0110101002103202211010352234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的满秩分解为A =BC ，则 B =⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎦，C =⎡⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎦。

解：由初等行变换A =0110101002103202211010352234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→01101011300112200011010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1310100222133001022200011010000000⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，知：B =110021221352⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C =13101002221330010222110001⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

2、矩阵A =101010403-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的最小多项式为()ϕλ= 。

解：由于[]()()()21011011000100100140300314001I A λλλλλλλλλλ⎡⎤+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 知A 的初等因子为（λ—1），（λ—1）2，故A 的最小多项式为()ϕλ=（λ—1）2。

3、设1010221202A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则N （A ）的一个标准正交基为。

解：由于1213531235452101020222212020x x x x x Ax x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦等价于 135252020x x x x x ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，而其解空间的一个基为 α1=（-1，0，1，0，0）T ，α2=（0，0，0，1，0）T ，α3=（-2，2，0，0，1）T对其作标准正交化即得其一个标准正交基为（0，0，0）T ，（0，0，0，1，0）T ，（0，T 4、设12121121,;,2013e e e e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤''====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦为2R 的两个基，T 为2R 的线性变换，且1213(),()21T e T e ⎡⎤⎡⎤''==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则T 在基12,e e 下的矩阵为A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

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