《导数在研究函数中的应用(第2课时)》教学设计
导数在研究函数中应用(教学设计)
3.3导数在研究函数中的应用（教学设计）（1）§3.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：知识与技能目标：在观察、探索的基础上，归纳出函数的单调性与导数的关系，并用其判断函数的单调性，会求函数的单调区。
过程与方法目标：利用图象为结论提供直观支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维。
情感、态度与价值观目标：通过学习本节内容，增强对数学的好奇心与求知欲；在教学过程中，培养学生勇于探索、善于发现的创新思想。
教学重点：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
教学难点：利用导数的几何意义来探究函数的单调性，理解用导数研究函数单调性的实质。
教学过程：一．创设情景、新课引入：函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．师生互动，新课讲解： 1．问题1：如图，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系问题2：分别作出下列函数的图象：（1）y=x (2)y=x 2 (3)y=x 3 (4)y=1x观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 例1（课本P91例1）．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图所示．例2（课本P91例2）．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练例3（课本P92例3）．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”， 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号； （3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数．例5．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=-令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 课堂练习：（课本P93练习NO ：1；2；3；4）三．课堂小结，巩固反思：（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性四．布置作业 A 组： 1、（课本P98习题3.3 A 组：NO ：1（1）（2）（3）（4）） 2、（课本P98习题3.3 A 组：NO ：2（1）（2）（3）（4））3、(tb11505002)求函数y=x 3-x 2-x 的单调区间。
人教版高中数学全套教案导学案第二课时 导数在函数中的应用
第二课时 导数在函数中的应用【学习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。
3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。
【高考要求】B 级【自主学习】1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤：① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(xf'＝0的根左右的符，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，f'在方程)(x那么函数y＝)(xf在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝)(xf在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值：⑴ 设y＝)f是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝)(x(xf在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(xf在[a ,b ]上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值．(2) 求最值可分两步进行：① 求y＝)(xf在(a ,b )内的值；② 将y＝)(xf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一f的各值与)(af、)(b个为最小值.(3) 若函数y＝)(xf为函数f为函数的，)(bf在[a ,b ]上单调递增，则)(a的；若函数y＝)(bf为函数的，)f为f在[a ,b ]上单调递减，则)(a(x函数的 .[典型例析]2例1已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.例2已知f(x)=e x-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.例3某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？[当堂检测]1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=)f'的图象是如图所示的一条直线，则(xy=f(x)图象的顶点在第象限.2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x＞0时，)f'＞0,)(xg'＞0，则(xx＜0时,)f'0，)(xg' 0（用“＞”,“＝”或“＜”填空).(x3.（2008·广东理）设∈a R ，若函数y=e ax +3x ，∈x R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为 .4. 函数y=3x 2-2lnx 的单调增区间为 ，单调减区间为 .5.（2008·江苏，14）f(x)=ax 3-3x+1对于x ∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a= .6函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=xx f )(在区间（1，+∞）上一定是 函数.(用“增”、“减”填空)7函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内极小值点有 个.8已知函数f (x )=21x 4-2x 3+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 .9已知函数f (x )的导数f ′(x )=a (x +1)·(x -a ),若f (x )在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是 .。
1.3导数在研究函数中的应用教学设计教案
1.3导数在研究函数中的应用教学设计教案第一篇：1.3导数在研究函数中的应用教学设计教案教学准备1.教学目标（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤2.教学重点/难点【教学重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤3.教学用具多媒体4.标签1．3．3函数的最大（小）值与导数教学过程第二篇：3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案教学准备1.教学目标知识与技能1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。
过程与方法通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程．情感、态度与价值观通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯．2.教学重点/难点教学重点探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；教学难点探索函数的单调性与导数的关系。
3.教学用具多媒体4.标签教学过程教学过程设计复习引入请同学们思考函数单调性的概念？函数 y = f(x)在给定区间 D上，D=(a , b)当 x1、x 2 ∈D且 x 1＜ x 2 时①都有 f(x 1)＜ f(x 2)，则 f(x)在D上是增函数；②都有 f(x 1)＞f(x 2)，则 f(x)在D上是减函数；若f(x)在D上是增函数或减函数，D称为单调区间，则f(x)在D 上具有严格的单调性。
【师】判断函数单调性有哪些方法？①定义法;②图象法;③已知函数以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性.在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计 (2)
人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计一、教学目标1.了解导数的定义及其应用；2.了解利用导数研究函数的方法；3.能够应用导数分析函数的单调性、增减性、极值、拐点等特征；4.能够应用导数研究曲线的凹凸性及拐点。
二、教学内容1.导数的定义及其意义；2.导数的性质；3.利用导数研究函数的方法；4.应用导数分析函数的单调性、增减性、极值、拐点等特征；5.应用导数研究曲线的凹凸性及拐点。
三、教学重点1.学生对导数的定义及其应用有较为深刻的理解；2.能够应用导数分析函数的单调性、增减性、极值、拐点等特征；3.能够应用导数研究曲线的凹凸性及拐点。
四、教学难点1.导数的应用；2.函数的极值和拐点的判断。
五、教学方法1.讲授导数的定义及其应用，并配合实例进行解析；2.配合讲解示意图，仿真实验，在操作中理解概念；3.学生自主探究、归纳总结。
六、教学过程第一步导入新课教师可以通过展示一道应用导数的问题，引入本节课的主题。
如：一个点在直线的下方某个位置，如何确定直线的斜率从而求出点到直线的距离？第二步热身教师可以通过出示一个基础的导数问题，让学生巩固导数基础，为后续教学做好准备。
如：求函数y=x2在x=2处的导数。
第三步导入正文1.通过图形展示课本中提供的经典案例，让学生了解导数的意义和性质；2.通过例题的方式，向学生介绍如何利用导数研究函数的方法；3.通过实例的方式，向学生展示如何应用导数分析函数的单调性、增减性、极值、拐点等特征；4.通过图形展示的方式，向学生展示如何应用导数研究曲线的凹凸性及拐点。
第四步练习通过练习巩固本节课所学知识点，教师可以在练习中逐步深入地让学生理解导数的应用。
第五步总结通过总结的方式，教师可以让学生对本节课所学知识点进行梳理，强化记忆和理解。
七、作业1.完成教师布置的单元测试；2.自主完成导数分析的实例题。
八、教学资源1.《人教版高中数学选修2》；2.数学软件Geogebra。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教案章节一：导数的概念及计算1. 教学目标(1) 理解导数的定义及其几何意义。
(2) 学会计算常见函数的导数。
(3) 能够运用导数研究函数的单调性。
2. 教学重点与难点(1) 重点：导数的定义，导数的计算。
(2) 难点：导数在研究函数单调性中的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾函数的图像，引导学生思考如何判断函数的单调性。
(2) 讲解：介绍导数的定义，通过几何意义解释导数表示函数在某点的瞬时变化率。
(3) 练习：计算基本函数的导数，引导学生发现导数的计算规律。
(4) 应用：利用导数判断函数的单调性，举例说明。
4. 课后作业(1) 复习导数的定义及计算方法。
(2) 练习判断给定函数的单调性。
教案章节二：导数在研究函数极值中的应用1. 教学目标(1) 理解极值的概念。
(2) 学会利用导数研究函数的极值。
(3) 能够运用极值解决实际问题。
2. 教学重点与难点(1) 重点：极值的概念，利用导数研究函数的极值。
(2) 难点：实际问题中极值的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数研究函数的极值。
(2) 讲解：介绍极值的概念，讲解如何利用导数求函数的极值。
(3) 练习：举例求解函数的极值，引导学生发现求极值的规律。
(4) 应用：运用极值解决实际问题，如最优化问题。
4. 课后作业(1) 复习极值的概念及求解方法。
(2) 练习求解给定函数的极值。
教案章节三：导数在研究函数凹凸性中的应用1. 教学目标(1) 理解凹凸性的概念。
(2) 学会利用导数研究函数的凹凸性。
(3) 能够运用凹凸性解决实际问题。
2. 教学重点与难点(1) 重点：凹凸性的概念，利用导数研究函数的凹凸性。
(2) 难点：实际问题中凹凸性的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数研究函数的凹凸性。
(2) 讲解：介绍凹凸性的概念，讲解如何利用导数判断函数的凹凸性。
人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计
人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计一、教学目标•了解导数的意义，能够熟练求解函数的导数；•掌握导数在研究函数中的应用，能够运用导数求解函数的最值、拐点；•培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。
二、教学重难点重点：•导数的概念及其计算方法；•导数在研究函数中的应用。
难点：•高中生对导数概念的理解和运用能力较弱；•对于复杂函数求导和应用需要较高的数学思维。
三、教学过程设计1. 导入（5分钟）通过引出一个实际问题，如小车行驶路线是直线还是曲线，为什么能够判断出来？引导学生思考导数的作用。
2. 讲解（30分钟）（1）导数的概念及计算方法•讲解导数的定义及图像解释；•用图像解释导数与函数单调性的关系；•通过例题教授导数的计算方法。
（2）导数在研究函数中的应用•拐点的概念及其求解方法；•函数最值的概念及其求解方法。
3. 实践操作（50分钟）（1）小组讨论将学生分成小组，提供一组函数，让学生探究这个函数的变化规律，寻找其最值、拐点等特殊点，引导学生使用导数计算。
（2）导数图形练习提供一些导数的图像，让学生寻找对应函数的特点。
（3）课堂演示选出优秀的代表进行课堂演示，分享各自组的成果。
4. 总结反馈（15分钟）根据学生对导数的认识程度和掌握情况，进行统一的总结和反馈。
四、教学评估1. 作业布置：•提供一些函数，让学生自主选取进行计算；•给出一些应用题，让学生通过导数求解。
2. 综合评价：•课堂表现（包括课堂发言、讨论贡献等）；•作业完成情况；•实验操作结果。
五、教学建议•更好地组织小组讨论，提高学生思维的创新性；•根据学生实际情况调整授课难度，使其更容易理解和掌握知识点；•强调导数在实际问题中的应用，激发学生的兴趣和动力。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教学目标：1. 理解导数的定义及其几何意义；2. 学会利用导数求函数的单调区间、极值和最大值；3. 掌握导数在研究函数图像中的应用；4. 能够运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义及其几何意义；2. 利用导数求函数的单调区间、极值和最大值；3. 导数在研究函数图像中的应用。
教学难点：1. 导数的定义及其几何意义；2. 利用导数求函数的单调区间、极值和最大值；3. 导数在研究函数图像中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及习题；2. 学生准备笔记本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习导数的定义及其几何意义；2. 引出导数在研究函数中的应用。
二、利用导数求函数的单调区间（10分钟）1. 讲解导数正负与函数单调性的关系；2. 示例讲解如何利用导数求函数的单调区间；3. 学生练习求函数的单调区间。
三、利用导数求函数的极值（10分钟）1. 讲解导数等于0与函数极值的关系；2. 示例讲解如何利用导数求函数的极值；3. 学生练习求函数的极值。
四、利用导数求函数的最大值（10分钟）1. 讲解导数正负与函数最大值的关系；2. 示例讲解如何利用导数求函数的最大值；3. 学生练习求函数的最大值。
五、导数在研究函数图像中的应用（10分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系；2. 示例讲解如何利用导数研究函数图像的凹凸性和拐点；3. 学生练习利用导数研究函数图像。
教学总结：1. 总结本节课所学内容，强调导数在研究函数中的应用；2. 鼓励学生课后复习和练习，巩固所学知识。
课后作业：1. 完成PPT上的练习题；2. 选取两个函数，利用导数研究其单调区间、极值和最大值；3. 选取一个函数，利用导数研究其图像的凹凸性和拐点。
六、利用导数研究函数的单调性（10分钟）1. 讲解导数与函数单调性的关系；2. 示例讲解如何利用导数研究函数的单调性；3. 学生练习利用导数研究函数的单调性。
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿一、教材分析1教材的地位和作用“函数的单调性和导数”这节新知在教材是选修2—1，本节计划两个课时完成。
作为高三总复习课首先明确考纲的要求了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。
其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。
激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。
2教学内容本节课的主要教学内容是导数在研究函数中的应用（1）—函数的单调性与导数。
在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。
例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。
培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
3教学目标（一）知识与技能目标：1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
（二）过程与方法目标：1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
（三）情感、态度与价值观目标：1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
4教学重点，难点教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
探求含参数函数的单调性的问题。
二、教法分析1“ 以”, 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教学目标：1. 理解导数的基本概念及其几何意义；2. 学会利用导数研究函数的单调性、极值和最值；3. 掌握导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的基本概念及其几何意义；2. 利用导数研究函数的单调性、极值和最值；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的计算；2. 利用导数解决实际问题。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1. 引入导数的定义；2. 讲解导数的几何意义；3. 举例说明导数的计算方法。
1.2 导数的计算1. 讲解导数的计算规则；2. 举例练习导数的计算；3. 引导学生发现导数的计算规律。
第二章：利用导数研究函数的单调性2.1 单调性的定义1. 引入单调性的概念；2. 讲解单调性的判断方法；3. 举例说明单调性的应用。
2.2 利用导数判断函数的单调性1. 引入导数与单调性的关系；2. 讲解利用导数判断函数单调性的方法；3. 举例练习利用导数判断函数单调性。
第三章：利用导数研究函数的极值3.1 极值的概念1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例说明极值的求解方法。
3.2 利用导数求函数的极值1. 引入导数与极值的关系；2. 讲解利用导数求函数极值的方法；3. 举例练习利用导数求函数极值。
第四章：利用导数研究函数的最值4.1 最值的概念1. 引入最值的概念；2. 讲解最值的求解方法；3. 举例说明最值的应用。
4.2 利用导数求函数的最值1. 引入导数与最值的关系；2. 讲解利用导数求函数最值的方法；3. 举例练习利用导数求函数最值。
第五章：导数在实际问题中的应用5.1 应用导数解决实际问题1. 引入导数在实际问题中的应用；2. 讲解导数在实际问题中的解题思路；3. 举例说明导数在实际问题中的应用。
5.2 利用导数解决优化问题1. 引入优化问题的概念；2. 讲解利用导数解决优化问题的方法；3. 举例练习利用导数解决优化问题。
导数在研究函数中的应用(课时2 函数的极值)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为 或 在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
已知 ， 的图象如图所示．
1.函数 在 ， 上的单调性与导数的符号有何特点？
[答案] 在 上单调递增，其导数值大于零，在 上单调递减，其导数值小于零．
预学忆思
自主预习·悟新知
2.观察 的图象，在区间 内，函数值 有何特点？它是极大值吗？
巩固训练
（2） ．
[解析] 函数 的定义域为 ， 且 ， 令 ，解得 ． 当 变化时， 与 的变化情况如表所示：
+
0
-
↗
↘
故当 时，函数 取得极大值，且极大值为 ．
探究2 求含参函数的极值
例2 已知函数 ，求函数 的极值.
情境设置
合作探究·提素养
问题1：观察下列图形，函数 在 ， ， ， ， ， 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
[答案] 以 ， 两点为例，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大.
D
[解析] 对 求导得 ，令 ，解得 ，易知 是函数 的极小值点．
4.已知函数 的极大值为10，则 的值为_____．
8
[解析] ，令 ，解得 ， ，经判断知 是极大值点，故 ，解得 ．
《导数在研究函数中的应用》教学设计
《导数在研究函数中的应用》教学设计一、学情分析我校高二学生在经历了一年多的高中学习，抽象思维能力有所提高，但对于形象的事物则更容易理解并掌握。
在前一个月，不断地通过数形结合的方式，引导学生认识、掌握、运用导数。
目前，学生对于导数的基础知识较好的掌握。
然而，学习若只停留在“被动接受”的阶段，而没有“主动出击”的经历，那么，学习便无乐趣，学生便无能力。
如何激发学生的自主探究的激情，明确探究的内容，制定探究的方案，越过探究的难点，享受成功的喜乐。
这对于教师来说，是一个大挑战。
在较好掌握一阶导数在函数单调性中的应用后，学生自然而然会产生一种纵向挖掘导数新知的欲望，那就是探究二阶导数的相关知识。
（也可能是横向挖掘：探究导数在奇偶性、周期性等方面的应用）这为本节课的学习提供了情感基础。
二、教学思路【教材地位和作用】本节课是属于导数知识的拓展课。
凹凸性是一个重要的函数性质，虽不在高中学习的范畴内，但在高等数学中有着重要的地位（与拉格朗里定理，柯西不等式都有着重要的联系）。
并且也常有以二阶导数为背景的高考题目。
因此，本节课既着眼于提高学生的探究能力，也在一定程度上拓宽了学生的数学知识、素养。
【教学重、难点以及突破】重难点：（1）如何引出猜想（即[f'(x)]'决定f(x)的凹凸性）（2）面队大量的素材，如何有效的分析（3）解释结论突破：（1）如何引出猜想？突破方法：通过对汽车启动和刹车时的s(t)图形特点的思考，从而引导学生从“加速度对s(t) 图形的影响”联想到“[f'(x)]'对f(x)图形的影响。
（2）通过计算具体函数的[f'(x)]',并画出f(x),[f'(x)]'的图形。
在面对纷繁杂乱的素材时，如何才能高效地处理素材，提取出有效的信息，用于验证猜想？突破方法：将图形按照[f'(x)]'的符号来分类，通过分析同一类的f(x)图形共性，不断地验证猜想，并加强对“凹凸”的直观感知。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教案目录：一、教材分析二、教学目标三、教学重难点四、教学方法五、教学过程一、教材分析本节课的内容是高中数学选修模块中导数在研究函数中的应用部分。
这部分内容是在学生已经掌握了导数的基本概念、求导法则和导数的应用基础上进行讲解的。
教材通过引入实际问题，引导学生利用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题，培养学生的数学应用能力。
二、教学目标1. 理解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
2. 学会利用导数解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学重难点1. 重点：导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
2. 难点：如何利用导数解决实际问题，找到合适的切线方程。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究导数在研究函数中的应用。
2. 通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的作用。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示函数图像和切线方程。
4. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾导数的基本概念、求导法则，引导学生关注导数在研究函数中的应用。
2. 知识讲解：讲解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用，引导学生理解并掌握相关概念。
3. 实例分析：选取实际问题，让学生利用导数解决，体会导数在实际问题中的作用。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养团队协作能力。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
六、教学评价1. 学生对导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的理解程度。
2. 学生能否灵活运用导数解决实际问题。
3. 学生的小组协作能力和团队意识。
七、教学反思在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习情况，发现问题时应及时调整教学策略。
教师还应注重培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力，提高学生的实际问题解决能力。
人教课标版高中数学选修2-2：《导数在研究函数中的应用(第2课时)》教案-新版
第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用第二课时一、教学目标 1.核心素养通过学习导数在研究函数中的应用， 提升运算求解、推理论证能力、体会丰富的数学思想. 2.学习目标结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，以及函数在给定区间上的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）. （1）探索函数极值的定义和求法 （2）运用极值，逆向思考求参数 （3）极值和最值的关系，求函数的最值 3.学习重点利用导数求函数的极大值、极小值，以及函数在给定区间上的最大值与最小值. 4.学习难点函数在某点取得极值的必要条件与充分条件以及利用导数研究函数的综合应用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P26－P31，思考：极值的概念是什么？极值在图象上有什么特征？极值与最值是什么关系？ 任务2整理求函数极值的一般步骤任务3思考：导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的什么条件？2.预习自测1.设函数()x f x xe =，则（ ） A.1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C.1x =-为()f x 的极大值点D.1x =-为()f x 的极小值点解：D2.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数为（ ）A.2B.1C.0D.由a 确定 解：C3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是（ ）A.－π2B.2C.π6＋ 3D.π3＋1 解：A（二）课堂设计 1.知识回顾（1）函数f (x )在点x 0处的导数0'()f x 的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点00(,)P x y 处的切线的斜率.相应的，切线方程为000'()()y y f x x x -=-. （2）利用导数求函数的单调区间的步骤是什么？ 1.确定函数)(x f 的定义域；2.求)(x f '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实根.3.把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来然后用这些点把函数)(x f 的定义域分成若干个小区间.4.确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的正负判定函数)(x f 在各个相应小区间的增减性. 2.问题探究问题探究一 ●活动一 数形结合，探寻定义请运用导数研究3()3f x x x =-的单调性，并作出其图象.观察图象上1x =-和1x =这两个特殊的位置，思考它们具有什么特征？()y f x =在x a =处的函数值()f a 比它在x a =附近其他点的函数值都小，我们就把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；函数()y f x =在x b =处的函数值()f b 比它在x b =附近其他点的函数值都大，我们就把b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.需要注意的是：极值点是函数取得极值时自变量的值，是一个实数，不是一个点.从导数的角度看，如果x a =是极小值点，则()0f a '=，而且在x a =附近的左侧导数小于0，右侧导数大于0；类似地，如果x b =是极大值点，则()0f b '=，而且在点x b =附近的左侧导数大于0，右侧导数小于0，极值点在导数上有明显的特征，我们可以借助这一点来寻找函数的极值点.例1.函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A.12x =为()f x 的极大值点 B.2x =-为()f x 的极大值点 C.2x =为()f x 的极大值点 D.0x =为()f x 的极小值点 【知识点：极值的定义】 详解：A 通过观察，12x =左侧导数为正，右侧为负，1'()02f =，所以12x =为()f x 的极大值点.点拨：极值点在导数图象上具体表现为“变号零点”，判断极值点时一定要高度关注左右两边的符号.●活动二 归纳总结，探寻方法例2.设2e ()1xf x ax=+，其中a 为正实数.（1）当43a =时，求()f x 的极值点；（2）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.【知识点：极值的定义和求法，二次不等式恒成立问题】 详解：22'2222e (1)2e 12()e (1)(1)x x x ax ax ax ax f x ax ax +-+-==++（1）当a 43=时，22248133()e 4(1)3x x xf x x +-'=+，由()0f x '=得24830x x -+=解得1213,22x x == 由()0f x '>得13x x <>或，由()0f x '<得13x <<，当x 变化时()f x '与()f x 相应变化如下表：所以，12x =是函数()f x 的极大值点，22x =是函数()f x 的极小值点. （2）因为()f x 为R 上的单调函数，而a 为正实数，故()f x 为R 上的单调递增函数，()0f x '∴≥恒成立，即2210ax ax -+≥在R 上恒成立，因此2440a a ∆=-≤，结合0a >解得01a <≤.点拨：依据极值的概念可知：可导函数()y f x =在点a 处取得极值的充要条件是()0f a '=，且在a 的左侧与右侧，()f x '的符号不同，所以需要对两边的符号加以说明，而列表是最清晰的表达方式.●活动三 总结提升求函数极值的一般步骤是什么？ （1）求函数的定义域；（2）求导函数()f x '，并求出()0f x '=在定义域内的全部实根； （3）判断()0f x '=的每一个实根左、右两侧的导函数符号：①如果在一个实根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =这个实根处取得极大值； ②如果在一个实根的左侧为负，右侧为正，那么函数)(x f y =在这个实根处取得极小值. 问题探究二 已知极值求参数. ●活动一 抓住特征，逆向思考例3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________________.【知识点：函数在某点取得极值的条件】详解：3 22222(1)()2'()(1)(1)x x x a x x af x x x +-++-==++，'(1)03f a =⇒=，回代检验，x ＝1处导数两端异号，所以在x ＝1处取得极值，3a =点拨：函数在极值点处的导数为0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点. 也就是说， 函数()y f x =在某点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要而不充分条件，通过将'(1)0f =求出的值作回代检验是必须的.例4.设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值；（2）试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由. 【知识点：函数在某点取得极值的条件】 详解：（1）f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a ＋2b ＋1＝0f ＝a2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16，回代检验，符合要求，所以a ＝－23，b ＝－16， (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－x －x －3x .函数定义域为(0，＋∞)，列表∴x ＝1是f (点拨：答题时注意区分是“极值点”还是“极值”，极值意指函数值，极值点意指x 的值.问题探究三 利用极值求最值 ●活动一 结合图象，辨清原理结合3()3f x x x =-的图象，试求其在[2,2]x ∈-上的最小值，你发现什么结论？ 1.函数()f x 在闭区间上的最值有什么结论？般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.此时，函数的最大值和最小值必在极值处或区间的端点处取得. 2.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤是什么？ （1）求函数()y f x =在区间(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例5.函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是（ ）A.－173B.－103C.－4D.－643 【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 详解：A点拨：极值是一个局部概念，是比较极值点附近的函数值得出的，因此端点绝对不是极值点，但最值是一个整体概念，是比较某个区间内的所有函数值得出的；在函数的定义域内可以有许多个极大值和极小值，但若有最大值与最小值，则最大值与最小值具有唯一性；函数的极小值不一定小于极大值，但最大值一定比最小值大.例6.已知函数21()ln 2f x x a x =+.（1）当1a =-时，求函数f (x )在21[,]e e上的最大、最小值；（2）当1a =时，求证：1x >时，32()3f x x <. 【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：（1）当1a =-时，21()ln 2f x x x =-，于是2(1)(1)1()x x x f x x x +--'==，令()0f x '=，可得：1x = 当11x e≤<时，()0f x '<；当1x e <≤时，()0f x '>所以()f x 在1[,1)e上单调递减，在(1,]e 上单调递增，于是min 1()(1)2f x f ==，又211()12f e e =+，221()22f e e =-，所以22max 1()()22f x f e e ==-. （2）当1a =时，21()ln 2f x x x =+设F (x )＝12x 2＋ln x -23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 22(1)(12)x x x x-++=. 因为x ＞1，所以F ′(x )＜0.所以函数F (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 又F (1)＝-16＜0，所以，在区间(1，＋∞)上F (x )＜0，即32()3f x x <.点拨：若连续函数()f x 在开区间内只有唯一一个极值点，则这个极值点一定就是最值点.3.课堂总结 【知识梳理】1.极值点和极值的概念：设函数()y f x =在x a =处的函数值()f a 比它在x a =附近其他点的函数值都小，我们就把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；函数()y f x =在x b =处的函数值()f b 比它在x b =附近其他点的函数值都大，我们就把b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.2.求函数极值的一般步骤： （1）求函数的定义域；（2）求导函数()f x '，并求出()0f x '=在定义域内的全部实根； （3）判断()0f x '=的每一个实根左、右两侧的导函数符号：①如果在一个实根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =这个实根处取得极大值； ②如果在一个实根的左侧为负，右侧为正，那么函数)(x f y =在这个实根处取得极小值 3.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在区间(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【重难点突破】（1）可导函数在极值点处的导数为0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点. 也就是说， 函数()y f x =在某点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要而不充分条件.（2）可导函数()y f x =在点a 处取得极值的充要条件是()0f a '=，且在a 的左侧与右侧，()f x '的符号异号.因此，若函数()f x 在某个区间内有极值，则在这个区间内()f x 一定不是单调函数.也就是说在某个区间内的单调函数没有极值.（2）在函数的定义域内可以有许多个极大值和极小值，但若有最大值与最小值，则最大值与最小值具有唯一性；函数的极小值不一定小于极大值，但最大值一定比最小值大.4.随堂检测1.函数2()e x f x x -=的极大值为__________________. 【知识点：利用导数研究函数的极值】 解：24e2.当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝（ ）A.1ln2B.－1ln2 C.－ln2 D.ln2 【知识点：利用导数研究函数的极值】解：B 由y ＝x ·2x ，得y ′＝2x ＋x ·2x ·ln22(1ln 2)x x =+⋅.3.若f (x )＝2x 3－6x 2＋m 在[－2,2]上有最大值3，则f (x )在[－2,2]上的最小值为______________. 【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 解：－374.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________. 【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值，恒成立问题】解：由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，得x ＝0，或x ＝2，又f (－2)＝－37，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (x )max ＝3，又f (x )≤a ，∴a ≥3，答案：[3，＋∞)5.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A.－13B.－15C.10D.15【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. （三）课后作业 基础型 自主突破1.函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是（ ）A.0B.1eC.4e 4D.2e 2【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 解：Bf ′(x )＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )， 令f ′(x )＝0，∴x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值.2.已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是（ ） A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值，又有最小值的奇函数【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：D f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x .当x ∈[－1,1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值.所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数.3.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为（ ） A.0≤a <1B.0<a <1C.－1<a <1D.0<a <12【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 解：B ∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.4.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ） A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜0 C.a ＜－1或a ＞2 D.a ＜－3或a ＞6 【知识点：函数在某点取得极值的条件】 解：D5.若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f (2)的大小关系为______________.【知识点：利用导数研究函数的单调性】解：(3)(2)()2f f f π<<6.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 解：－37 能力型 师生共研7.若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(－∞，1) C.(0，＋∞) D.(0，12) 【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：D f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2＝2b >0，∴⎩⎨⎧b >02b <1，∴0<b <12.8.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |取到最小时t 的值为________.【知识点：利用导数求函数的最值】解：22 当x ＝t 时，f (t )＝t 2，g (t )＝ln t ，∴y ＝|MN |＝t 2－ln t (t ＞0).所以y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t .当0＜t ＜22时，y ′＜0；当t ＞22时，y ′＞0.∴y ＝|MN |＝t 2－ln t 在t ＝22时有最小值.9.设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ）A.(3,0)(3,)-+∞B.(3,0)(0,3)-C.(,3)(3,)-∞-+∞D.(,3)(0,3)-∞- 【知识点：构造新函数，数学思想：数形结合】解：D ∵[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，∴当x <0时，[f (x )g (x )]′>0，∴f (x )g (x )在(－∞，0)上是增函数.又g (－3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0.又∵f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )g (x )在R 上是奇函数，其图象关于原点对称.∴x ∈(－∞，－3)时，f (x )g (x )<0，当x >0且x ∈(0,3)时，f (x )g (x )<0.10.设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=.（1）求,a b 的值；（2）若函数e ()()xg x f x =，讨论()g x 的单调性.【知识点：利用导数研究曲线上某点切线方程，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性】解：（1）因2()(0),()2f x a x b x k k f x a x b '=++>=+故，又()f x 在x=0处取得极限值，故()0,f x '=从而0b =.由曲线y=()f x 在（1，f （1））处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2,1f a ='=从而.（2）由（1）知，2()(0)xe g x k x k =>+，则222(2)()(0)()x e x x k g x k x k -+'=>+，令2()0,20g x x x k '=-+=有①当440,k '∆=-<即当k>1时，g (x)>0在R 上恒成立，故函数g(x)在R 上为增函数； ②当440,k ∆=-=即当k=1时，222(1)()0(0)()x e x g x x x k -'=≥≠+，故K=1时，g （x ）在R 上为增函数；③440,k ∆=->即当0<k<1时，方程220x x k -+=有两个不相等实根1211x x ==当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞是故在（上为增函数当1x ∈（时，()0,g x '<故()1g x 在（上为减函数1x ∈∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数.探究型 多维突破11.设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .（1）若k ＝0，求f (x )的最小值；（2）若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性.【知识点：利用导数求函数的最值，利用导数研究函数的单调性】 解：（1）k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. 故f (x )的最小值为f (0)＝1.（2）若k ＝1，则f (x )＝e x－12x 2－x ，定义域为R .∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减. ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增. 12.设函数()2ln xf x x x=+(1)x >.（1）求()f x 的单调性；（2）若函数()()g x f x m =-在(1,]e 上有两个零点，求m 的取值范围 (其中e 为自然对数的底数) . 【知识点：零点个数的判定，利用导数研究函数的单调性】解：（1） 由题知：()f x 的定义域为(1,)+∞，且222ln 12(ln )ln 1()2(ln )(ln )x x x f x x x -+-'=+=令()0f x '=，得22(ln )ln 10x x +-=，解得：1ln 2x =或ln 1x =-（舍），于是x =当1x <()0f x '<；x >()0f x '>.所以()f x 的单调递减区间为，()f x 的单调递增区间为)+∞.（2）由于函数()()g x f x m =-在(1,]e 上有两个零点，故()f x m =在(1,]e 上有两个不同的根，由（1）知：()f x 在上单调递减，]e 上单调递增，于是(1,]x e ∈时，min ()f x f ==又()3f e e = ，当(1,]x e ∈，且1x →时，()f x →+∞，故3m e ≤.即实数m 的取值范围为]e . 自助餐1.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点：函数在某点取得极值的条件】 解：A2.函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是（ ） A.－2B.0C.2D.4【知识点：利用导数求函数的最值】 解：C3.已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)，则()f x 极小值为（ ） A.0 B.－427 C.－527 D.1 【知识点：利用导数研究函数的极值】解：A f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0.又f (1)＝1－p －q ＝0，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1或x ＝13.经检验知x ＝1是函数的极小值点.∴f (x )极小值＝f (1)＝0.4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A.a >－3 B.a <－3 C.a >－13 D.a <－13 【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：B y ′＝a e ax ＋3，由条件知，方程a e ax ＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3a <1，∴a <－3. 5.已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为（ ）A.0B.1C.2D.3 【知识点：利用导数求函数的最值】 解：A6.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x Kf x K f x K≤⎧=⎨>⎩，若函数ln 1()xx f x e+=，恒有()()K f x f x =，则（ ） A.K 的最大值为1e B.K 的最小值为1e C.K 的最大值为2 D.K 的最小值为2 【知识点：利用导数求函数的最值】解：B 由f (x )＝ln x ＋1e x ，令f ′(x )＝1(ln 1)0xx x e-+=，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )＝ln x ＋1e x 在x ＝1时取得最大值1e， 而f (x )≤K 恒成立，所以1e ≤K ，故K 的最小值为1e ，选B.7.设函数f (x )＝x ·(x －c )2在x ＝2处有极大值，则c ＝________________. 【知识点：函数在某点取得极值的条件】 解：68.函数f (x )＝x 2＋a ln(1＋x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则a 的取值范围为____________. 【知识点：函数在某点取得极值的条件，根分布问题】解：102a << f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋a 1＋x ＝2x 2＋2x ＋a 1＋x (x ＞－1)，由题意知2x 2＋2x ＋a ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根x 1，x 2且x 1＜x 2， 令g (x )＝2x 2＋2x ＋a (x ＞－1)，利用根的分布可解得102a <<9.已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝(12)x －m .若∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是_____.【知识点：利用导数求函数的最值】解：[－52，＋∞) 要使∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )＝x 2＋2x 在[1,2]上的最小值大于等于g (x )＝(12)x－m 在[－1,1]上的最小值.10.设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0).（1）若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；（2）求函数f (x )的单调区间与极值点.【知识点：函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性】解：（1）由已知可得f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以(2)0(2)8f f '=⎧⎨=⎩，即3(4)0868a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得a ＝4，b ＝24.（2）f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0).当0a ≤时，f ′(x )≥0，故函数f (x )在R 上单调递增，此时f (x )没有极值点. 当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增.此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点.11.设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. （1）求a ，b 的值； （2）证明：f (x )≤2x －2.【知识点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值】12.已知函数f (x )＝ln(1＋x )－mx .（1）求函数f (x )的极值；（2）求证：ln 21221n n n +++>+++ (n ∈N *).【知识点：利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，不等式放缩】 解：（1）由题知：()f x 的定义域为(1,)-+∞，且f ′(x )＝11＋x－m (x >－1). 当m ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )为(－1，＋∞)上的增函数，所以f (x )没有极值. 当m >0时，由f ′(x )>0，得111x m -<<-；由f ′(x )<0，得11x m>-. 所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，1m －1上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1m －1，＋∞上单调递减. 故当x ＝1m －1时，f (x )有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＝m －1－ln m ，但无极小值.（2）证明：取m ＝1，由（1）知f (x )＝ln(1＋x )－x 在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )<f (0)＝0.即ln(1＋x )<x (x >0).令x ＝1k (k >0)，得ln(1＋1k )<1k ，即ln k ＋1k <1k ，分别取k ＝n ＋1，n ＋2，…，21n +，n ∈N *， 可得1111221n n n +++>+++ln n ＋2n ＋1＋ln n ＋3n ＋2＋…＋ln 2n ＋22n ＋1＝ln 2n ＋2n ＋1＝ln2. 即111ln 21221n n n +++>+++（n ∈N *）成立.。
导数在研究函数中的应用 精品教案
《导数在研究函数中的应用》【教材分析】导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。
在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。
【考纲解读】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。
3.会利用导数解决某些实际问题。
【教学目标】1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题【学 法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
【教 法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
【授课类型】复习课【教学过程】一、要点梳理温馨提醒：若函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y ＝f (x )1．函数的单调性与导数在区间(a ，b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增;如果____________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )＞0 f ′(x )＜0在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧___f ′(x )＜0_______，右侧__ f ′(x )>0_____，则点a 叫做函数y ＝f (x )的__极小值点___，f (a )叫函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____，右侧___f ′(x )＜0_______，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．3．函数的最值与导数假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条_连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b)内是可导 的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．温馨提醒：最值与极值的区别与联系：(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．二、课前热身1．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或184．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________． 5．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.－173 5.3 三、例题讲解考点一：利用导数研究函数的单调性例1、已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当t >0时，求f (x )的单调区间．【解】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2. 方法感悟：(1)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：①求f ′(x )；②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；③作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．考点二：由函数的单调性求参数的取值范围因为t >0，则－t <t 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－t ，t 2.例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ，y )，点P 关于点A(0，1)的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x. (2)g (x )＝x 2·[f (x )－a ]＝x 3－ax 2＋x ，方法感悟：函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．考点三：利用导数研究函数的极值(最值)例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 又g (x )在区间[1，2]上为增函数，∴g ′(x )＝3x 2－2ax ＋1≥0在[1，2]上恒成立，即2a ≤3x ＋1x 对任意的x ∈[1，2]恒成立． 注意到函数r (x )＝3x ＋1x 在[1，2]上单调递增， 故r (x )min ＝r (1)＝4. 于是2a ≤4，a ≤2.即实数a 的取值范围是(－∞，2]．(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.方法感悟：(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【课堂小结】1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数【布置作业】练习册60练 p19【板书设计】课题一、要点梳理三、例题讲解二、课前热身四、课堂小结【教学反思】以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。
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第一章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用第二课时（税长江）一、教学目标 1.核心素养通过学习导数在研究函数中的应用， 提升运算求解、推理论证能力、体会丰富的数学思想. 2.学习目标结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，以及函数在给定区间上的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）. （1）探索函数极值的定义和求法 （2）运用极值，逆向思考求参数 （3）极值和最值的关系，求函数的最值 3.学习重点利用导数求函数的极大值、极小值，以及函数在给定区间上的最大值与最小值. 4.学习难点函数在某点取得极值的必要条件与充分条件以及利用导数研究函数的综合应用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P26－P31，思考：极值的概念是什么？极值在图象上有什么特征？极值与最值是什么关系？ 任务2整理求函数极值的一般步骤任务3思考：导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的什么条件？2.预习自测1.设函数()x f x xe =，则（ ） A.1x =为()f x 的极大值点 B.1x =为()f x 的极小值点 C.1x =-为()f x 的极大值点D.1x =-为()f x 的极小值点解：D2.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数为（ ）A.2B.1C.0D.由a 确定 解：C3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是（ ）A.－π2B.2C.π6＋ 3D.π3＋1 解：A（二）课堂设计 1.知识回顾（1）函数f (x )在点x 0处的导数0'()f x 的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点00(,)P x y 处的切线的斜率.相应的，切线方程为000'()()y y f x x x -=-. （2）利用导数求函数的单调区间的步骤是什么？ 1.确定函数)(x f 的定义域；2.求)(x f '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实根.3.把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来然后用这些点把函数)(x f 的定义域分成若干个小区间.4.确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的正负判定函数)(x f 在各个相应小区间的增减性. 2.问题探究问题探究一 ●活动一 数形结合，探寻定义请运用导数研究3()3f x x x =-的单调性，并作出其图象.观察图象上1x =-和1x =这两个特殊的位置，思考它们具有什么特征？()y f x =在x a =处的函数值()f a 比它在x a =附近其他点的函数值都小，我们就把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；函数()y f x =在x b =处的函数值()f b 比它在x b =附近其他点的函数值都大，我们就把b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.需要注意的是：极值点是函数取得极值时自变量的值，是一个实数，不是一个点.从导数的角度看，如果x a =是极小值点，则()0f a '=，而且在x a =附近的左侧导数小于0，右侧导数大于0；类似地，如果x b =是极大值点，则()0f b '=，而且在点x b =附近的左侧导数大于0，右侧导数小于0，极值点在导数上有明显的特征，我们可以借助这一点来寻找函数的极值点.例1.函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A.12x =为()f x 的极大值点 B.2x =-为()f x 的极大值点 C.2x =为()f x 的极大值点 D.0x =为()f x 的极小值点 【知识点：极值的定义】 详解：A 通过观察，12x =左侧导数为正，右侧为负，1'()02f =，所以12x =为()f x 的极大值点.点拨：极值点在导数图象上具体表现为“变号零点”，判断极值点时一定要高度关注左右两边的符号.●活动二 归纳总结，探寻方法例2.设2e ()1x f x ax =+，其中a为正实数.（1）当43a =时，求()f x 的极值点；（2）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.【知识点：极值的定义和求法，二次不等式恒成立问题】 详解：22'2222e (1)2e 12()e (1)(1)x x x ax ax ax ax f x ax ax +-+-==++（1）当a 43=时，22248133()e 4(1)3x x xf x x +-'=+，由()0f x '=得24830x x -+=解得1213,22x x == 由()0f x '>得13x x <>或，由()0f x '<得13x <<，当x 变化时()f x '与()f x 相应变化如下表：所以，12x =是函数()f x 的极大值点，22x =是函数()f x 的极小值点. （2）因为()f x 为R 上的单调函数，而a 为正实数，故()f x 为R 上的单调递增函数，()0f x '∴≥恒成立，即2210ax ax -+≥在R 上恒成立，因此2440a a ∆=-≤，结合0a >解得01a <≤.点拨：依据极值的概念可知：可导函数()y f x =在点a 处取得极值的充要条件是()0f a '=，且在a 的左侧与右侧，()f x '的符号不同，所以需要对两边的符号加以说明，而列表是最清晰的表达方式.●活动三 总结提升求函数极值的一般步骤是什么？ （1）求函数的定义域；（2）求导函数()f x '，并求出()0f x '=在定义域内的全部实根； （3）判断()0f x '=的每一个实根左、右两侧的导函数符号：①如果在一个实根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =这个实根处取得极大值； ②如果在一个实根的左侧为负，右侧为正，那么函数)(x f y =在这个实根处取得极小值. 问题探究二 已知极值求参数. ●活动一 抓住特征，逆向思考例3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________________.【知识点：函数在某点取得极值的条件】详解：3 22222(1)()2'()(1)(1)x x x a x x af x x x +-++-==++，'(1)03f a =⇒=，回代检验，x ＝1处导数两端异号，所以在x ＝1处取得极值，3a =点拨：函数在极值点处的导数为0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点. 也就是说， 函数()y f x =在某点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要而不充分条件，通过将'(1)0f =求出的值作回代检验是必须的.例4.设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值；（2）试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由. 【知识点：函数在某点取得极值的条件】 详解：（1）f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a ＋2b ＋1＝0f ′2＝a 2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16，回代检验，符合要求，所以a ＝－23，b ＝－16， (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－x －1x －23x .函数定义域为(0，＋∞)，列表x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) －＋－ f (x )单调递减 极小值 单调递增 极大值单调递减∴x ＝1是f (点拨：答题时注意区分是“极值点”还是“极值”，极值意指函数值，极值点意指x 的值. 问题探究三 利用极值求最值 重点、难点知识★▲ ●活动一 结合图象，辨清原理结合3()3f x x x =-的图象，试求其在[2,2]x ∈-上的最小值，你发现什么结论？ 1.函数()f x 在闭区间上的最值有什么结论？般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.此时，函数的最大值和最小值必在极值处或区间的端点处取得. 2.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤是什么？ （1）求函数()y f x =在区间(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例5.函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是（ ）A.－173B.－103C.－4D.－643 【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 详解：A点拨：极值是一个局部概念，是比较极值点附近的函数值得出的，因此端点绝对不是极值点，但最值是一个整体概念，是比较某个区间内的所有函数值得出的；在函数的定义域内可以有许多个极大值和极小值，但若有最大值与最小值，则最大值与最小值具有唯一性；函数的极小值不一定小于极大值，但最大值一定比最小值大.例6.已知函数21()ln 2f x x a x =+.（1）当1a =-时，求函数f (x )在21[,]e e上的最大、最小值；（2）当1a =时，求证：1x >时，32()3f x x <. 【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：（1）当1a =-时，21()ln 2f x x x =-，于是2(1)(1)1()x x x f x x x +--'==，令()0f x '=，可得：1x = 当11x e≤<时，()0f x '<；当1x e <≤时，()0f x '>所以()f x 在1[,1)e上单调递减，在(1,]e 上单调递增，于是min 1()(1)2f x f ==，又211()12f e e =+，221()22f e e =-， 所以22max 1()()22f x f e e ==-. （2）当1a =时，21()ln 2f x x x =+设F (x )＝12x 2＋ln x -23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 22(1)(12)x x x x-++=. 因为x ＞1，所以F ′(x )＜0.所以函数F (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 又F (1)＝-16＜0，所以，在区间(1，＋∞)上F (x )＜0，即32()3f x x <.点拨：若连续函数()f x 在开区间内只有唯一一个极值点，则这个极值点一定就是最值点.3.课堂总结 【知识梳理】1.极值点和极值的概念：设函数()y f x =在x a =处的函数值()f a 比它在x a =附近其他点的函数值都小，我们就把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；函数()y f x =在x b =处的函数值()f b 比它在x b =附近其他点的函数值都大，我们就把b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.2.求函数极值的一般步骤： （1）求函数的定义域；（2）求导函数()f x '，并求出()0f x '=在定义域内的全部实根； （3）判断()0f x '=的每一个实根左、右两侧的导函数符号：①如果在一个实根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =这个实根处取得极大值； ②如果在一个实根的左侧为负，右侧为正，那么函数)(x f y =在这个实根处取得极小值 3.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在区间(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【重难点突破】（1）可导函数在极值点处的导数为0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点. 也就是说， 函数()y f x =在某点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要而不充分条件.（2）可导函数()y f x =在点a 处取得极值的充要条件是()0f a '=，且在a 的左侧与右侧，()f x '的符号异号.因此，若函数()f x 在某个区间内有极值，则在这个区间内()f x 一定不是单调函数.也就是说在某个区间内的单调函数没有极值.（2）在函数的定义域内可以有许多个极大值和极小值，但若有最大值与最小值，则最大值与最小值具有唯一性；函数的极小值不一定小于极大值，但最大值一定比最小值大.4.随堂检测1.函数2()e x f x x -=的极大值为__________________. 【知识点：利用导数研究函数的极值】 解：24e2.当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝（ ）A.1ln2B.－1ln2 C.－ln2 D.ln2 【知识点：利用导数研究函数的极值】解：B 由y ＝x ·2x ，得y ′＝2x ＋x ·2x ·ln22(1ln 2)x x =+⋅.3.若f (x )＝2x 3－6x 2＋m 在[－2,2]上有最大值3，则f (x )在[－2,2]上的最小值为______________. 【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 解：－374.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________. 【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值，恒成立问题】解：由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，得x ＝0，或x ＝2，又f (－2)＝－37，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (x )max ＝3，又f (x )≤a ，∴a ≥3，答案：[3，＋∞)5.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A.－13B.－15C.10D.15【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. （三）课后作业 基础型 自主突破1.函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是（ ）A.0B.1eC.4e 4D.2e 2【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 解：Bf ′(x )＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )， 令f ′(x )＝0，∴x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值.2.已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是（ ） A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值，又有最小值的奇函数【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：D f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x .当x ∈[－1,1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值.所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数.3.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为（ ） A.0≤a <1B.0<a <1C.－1<a <1D.0<a <12【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 解：B ∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.4.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ） A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜0 C.a ＜－1或a ＞2 D.a ＜－3或a ＞6 【知识点：函数在某点取得极值的条件】 解：D5.若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f (2)的大小关系为______________.【知识点：利用导数研究函数的单调性】解：(3)(2)()2f f f π<<6.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】 解：－37 能力型 师生共研7.若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(－∞，1) C.(0，＋∞) D .(0，12) 【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：D f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2＝2b >0，∴⎩⎨⎧b >02b <1，∴0<b <12.8.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |取到最小时t 的值为________.【知识点：利用导数求函数的最值】解：22 当x ＝t 时，f (t )＝t 2，g (t )＝ln t ，∴y ＝|MN |＝t 2－ln t (t ＞0).所以y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t .当0＜t ＜22时，y ′＜0；当t ＞22时，y ′＞0.∴y ＝|MN |＝t 2－ln t 在t ＝22时有最小值.9.设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ）A.(3,0)(3,)-+∞B.(3,0)(0,3)-C.(,3)(3,)-∞-+∞D.(,3)(0,3)-∞- 【知识点：构造新函数，数学思想：数形结合】解：D ∵[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，∴当x <0时，[f (x )g (x )]′>0，∴f (x )g (x )在(－∞，0)上是增函数.又g (－3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0.又∵f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )g (x )在R 上是奇函数，其图象关于原点对称.∴x ∈(－∞，－3)时，f (x )g (x )<0，当x >0且x ∈(0,3)时，f (x )g (x )<0.10.设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=.（1）求,a b 的值；（2）若函数e ()()xg x f x =，讨论()g x 的单调性.【知识点：利用导数研究曲线上某点切线方程，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性】解：（1）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故，又()f x 在x=0处取得极限值，故()0,f x '=从而0b =.由曲线y=()f x 在（1，f （1））处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2,1f a ='=从而.（2）由（1）知，2()(0)xe g x k x k =>+，则222(2)()(0)()x e x x k g x k x k -+'=>+，令2()0,20g x x x k '=-+=有 ①当440,k '∆=-<即当k>1时，g (x)>0在R 上恒成立，故函数g(x)在R 上为增函数； ②当440,k ∆=-=即当k=1时，222(1)()0(0)()x e x g x x x k -'=≥≠+，故K=1时，g （x ）在R 上为增函数；③440,k ∆=->即当0<k<1时，方程220x x k -+=有两个不相等实根1211x x ==当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞是故在（上为增函数当1x ∈-（时，()0,g x '<故()1g x -+在（上为减函数1x ∈+∞（+）时，()0,g x '>故()1g x +∞在（+）上为增函数.探究型 多维突破11.设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .（1）若k ＝0，求f (x )的最小值；（2）若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性.【知识点：利用导数求函数的最值，利用导数研究函数的单调性】 解：（1）k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. 故f (x )的最小值为f (0)＝1.（2）若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R . ∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减. ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增. 12.设函数()2ln xf x x x=+(1)x >.（1）求()f x 的单调性；（2）若函数()()g x f x m =-在(1,]e 上有两个零点，求m 的取值范围 (其中e 为自然对数的底数) . 【知识点：零点个数的判定，利用导数研究函数的单调性】解：（1） 由题知：()f x 的定义域为(1,)+∞，且222ln 12(ln )ln 1()2(ln )(ln )x x x f x x x -+-'=+=令()0f x '=，得22(ln )ln 10x x +-=，解得：1ln 2x =或ln 1x =-（舍），于是x =.当1x <<()0f x '<；x >时，()0f x '>.所以()f x 的单调递减区间为，()f x 的单调递增区间为)+∞.（2）由于函数()()g x f x m =-在(1,]e 上有两个零点，故()f x m =在(1,]e 上有两个不同的根，由（1）知：()f x 在(1,)e 上单调递减，(,]e e 上单调递增， 于是(1,]x e ∈时，min ()()4f x f e e ==，又()3f e e = ，当(1,]x e ∈，且1x →时，()f x →+∞，故43e m e <≤. 即实数m 的取值范围为(4,3]e e . 自助餐1.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点：函数在某点取得极值的条件】 解：A2.函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是（ ） A.－2B.0C.2D.4【知识点：利用导数求函数的最值】 解：C3.已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)，则()f x 极小值为（ ） A.0 B.－427 C.－527 D.1 【知识点：利用导数研究函数的极值】解：A f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0.又f (1)＝1－p －q ＝0，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1或x ＝13.经检验知x ＝1是函数的极小值点.∴f (x )极小值＝f (1)＝0.4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A.a >－3 B.a <－3 C.a >－13 D.a <－13 【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：B y ′＝a e ax ＋3，由条件知，方程a e ax ＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3a <1，∴a <－3. 5.已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为（ ）A.0B.1C.2D.3 【知识点：利用导数求函数的最值】 解：A6.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x Kf x K f x K≤⎧=⎨>⎩，若函数ln 1()xx f x e +=，恒有()()K f x f x =，则（ ） A.K 的最大值为1e B.K 的最小值为1e C.K 的最大值为2 D.K 的最小值为2 【知识点：利用导数求函数的最值】解：B 由f (x )＝ln x ＋1e x ，令f ′(x )＝1(ln 1)0xx xe -+=，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )＝ln x ＋1e x 在x ＝1时取得最大值1e ，而f (x )≤K 恒成立，所以1e ≤K ，故K 的最小值为1e ，选B.7.设函数f (x )＝x ·(x －c )2在x ＝2处有极大值，则c ＝________________. 【知识点：函数在某点取得极值的条件】 解：68.函数f (x )＝x 2＋a ln(1＋x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则a 的取值范围为____________. 【知识点：函数在某点取得极值的条件，根分布问题】解：102a << f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋a 1＋x ＝2x 2＋2x ＋a 1＋x (x ＞－1)，由题意知2x 2＋2x ＋a ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根x 1，x 2且x 1＜x 2， 令g (x )＝2x 2＋2x ＋a (x ＞－1)，利用根的分布可解得102a <<9.已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝(12)x －m .若∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是_____.【知识点：利用导数求函数的最值】解：[－52，＋∞) 要使∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )＝x 2＋2x 在[1,2]上的最小值大于等于g (x )＝(12)x －m 在[－1,1]上的最小值.10.设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0).（1）若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；（2）求函数f (x )的单调区间与极值点.【知识点：函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性】解：（1）由已知可得f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以(2)0(2)8f f '=⎧⎨=⎩，即3(4)0868a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得a ＝4，b ＝24.（2）f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0).当0a ≤时，f ′(x )≥0，故函数f (x )在R 上单调递增，此时f (x )没有极值点. 当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增.此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点.11.设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. （1）求a ，b 的值； （2）证明：f (x )≤2x －2.【知识点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值】12.已知函数f (x )＝ln(1＋x )－mx .（1）求函数f (x )的极值；（2）求证：ln 21221n n n +++>+++ (n ∈N *).【知识点：利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，不等式放缩】 解：（1）由题知：()f x 的定义域为(1,)-+∞，且f ′(x )＝11＋x－m (x >－1). 当m ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )为(－1，＋∞)上的增函数，所以f (x )没有极值. 当m >0时，由f ′(x )>0，得111x m -<<-；由f ′(x )<0，得11x m>-. 所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，1m －1上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1m －1，＋∞上单调递减.故当x ＝1m －1时，f (x )有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＝m －1－ln m ，但无极小值.（2）证明：取m ＝1，由（1）知f (x )＝ln(1＋x )－x 在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )<f (0)＝0.即ln(1＋x )<x (x >0).令x ＝1k (k >0)，得ln(1＋1k )<1k ，即ln k ＋1k <1k ，分别取k ＝n ＋1，n ＋2，…，21n +，n ∈N *， 可得1111221n n n +++>+++ln n ＋2n ＋1＋ln n ＋3n ＋2＋…＋ln 2n ＋22n ＋1＝ln 2n ＋2n ＋1＝ln2. 即111ln 21221n n n +++>+++（n ∈N *）成立.。