(二)古希腊数学特点
古希腊数学(雅典时期)
抽象化的数学精神——古希腊数学分析与讨论岭南学院经济学类 2012级4班苏博学号：12327203在古希腊人的科学成就中，数学可谓是最抽象也是最迷人的科学体系。
古希腊数学可大致分为两个阶段，第一阶段是公元前600-公元前300的雅典时期，第二阶段是公元前300-641的亚历山大时期。
本次讨论稿中将着重讨论雅典时期的古希腊数学。
这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。
伊奥尼亚学派否认神是世界的创造者，认为水是万物之基，崇尚自然规律，并对数学的一些基本定理做了科学论证。
“数学之父”泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想。
命题的证明，就是借助一些公理或真实性业经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程。
它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。
这在数学史上是一次不寻常的飞跃。
在数学中引入逻辑证明，它的重要意义可以从下面这几个方面看出来：一、保证命题的正确性，使理论立于不败之地；二、揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；三、使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。
证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。
《普罗克洛斯概要》写道：“泰勒斯是到埃及去将这种学问(几何学)带回希腊的第一人．他自己发现了许多命题，又将好些别的重要原理透露给他的追随者。
他的方法有些是具有普遍意义的，也有一些只是经验之谈。
”普罗克洛斯指出他发现的命题有：(1)圆的直径将圆平分(2)等腰三角形两底角相等(3)两直线相交，对顶角相等(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等(5)对半圆的圆周角是直角历史学家强调他证明了(至少是企图证明)这些命题．在数学中引入证明的思想，这是难能可贵的．从此数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的科学。
稍后有毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以万物皆数作为信条，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。
古希腊数字
古希腊数字概述：古希腊数字是古希腊人使用的一种特殊数字系统。
与我们现代常用的十进制数字系统不同，古希腊数字系统是一种底数为10的混合进制数字系统。
古希腊数字在古希腊社会中广泛使用，特别是在商业、数学和科学领域。
本文将介绍古希腊数字的起源、符号和计数规则。
起源：古希腊数字的起源可追溯到公元前2千年左右的迈锡尼文明，但当时的数字系统并不像后来的古希腊数字那样复杂。
古希腊数字的真正发展发生在古希腊城邦时期（公元前8世纪到6世纪）。
古希腊人通过与东方国家的贸易往来，接触到了方便计数的商业数字系统。
他们将这些系统进行改造和改进，并最终形成了古希腊数字系统。
符号：古希腊数字用特殊的符号来表示各个数字。
古希腊数字一共有七个基本符号，分别代表1、2、3、4、5、10和100。
这些基本符号组合形成任何整数。
以下是古希腊数字的基本符号及其对应的阿拉伯数字：- 1：α（代表one）- 2：β（代表two）- 3：γ（代表three）- 4：δ（代表four）- 5：ε（代表five）- 10：ι（代表ten）- 100：ρ（代表hundred）计数规则：古希腊数字的计数规则与我们常用的十进制系统有相似之处，但也存在一些不同之处。
在古希腊数字中，每个基本符号表示的数字可以通过重复该符号来表示更大的数字。
例如，重复α七次代表数字七，重复β四次代表数字八。
除了重复符号外，古希腊数字还使用了一些组合符号来表示更大的数字。
例如，数字十可以用重复的ι（即ν）来表示，数字十八可以用ι和β的组合（即νιιβ）来表示。
类似地，一百可以用重复的ρ（即π）来表示，一千可以用重复的ρ和重复的ρ的组合来表示。
这种混合进制的特点使得古希腊数字的表达方式相对复杂。
应用：古希腊数字在古希腊社会中扮演了重要的角色。
在商业领域，古希腊数字被广泛用于交易和计算。
商人使用古希腊数字进行价格标记和货币计算。
在数学领域，古希腊数字被用于数学运算、方程式的表达和几何图形的构造。
数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
第八讲 古希腊数学
• 一般形式之一： x 2 + y 2 = z 2 , x, y, z两两互素） (
x = 2ab, y = a2 −b2, z = a2 +b2, a >b >o,(a,b) =1, a,b一 一 奇 偶
无理数的发现
• 毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里 的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉 斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前 470年左右）发现了“不可公度比”的现象， 并在一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌 的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。 • 项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发 现的是正五边形边长与对角线长不可公度。
亚历山大时期的数学
• 从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊 数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。 亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希 腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中 心。 • 托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执 政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个大博 物馆，收藏的图书和手稿据说有50—70万卷。 当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚， 用国家经费供养着。
古希腊数学与哲学的交织
• 古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在 一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科 学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西， 但也有不少合理的知识和包含着合理成分的 猜测．恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样 的形式中，差不多可以找到以后各种观点的 胚胎、萌芽．因此，如果理论自然科学想要 追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史， 它就不得不回到希腊人那里去．”
球的体积
• 阿基米德用“平衡法”推导了球体积 公式。刻在阿基米德墓碑上的几何图 形代表了他所证明的一条数学定理： 以球的直径为底和高的圆柱，其体积 是球体积的3/2，其表面积是球面积的 3/2。
论述古埃及、印度、希腊、阿拉伯、古巴比伦与中国的数学成就
论述古埃及、巴比伦、希腊、印度和阿拉伯及中国数学的特点及其主要成就10数教4班廖欢10302010410众所周知，世界公认的四大文明古国：中国、埃及、印度、巴比伦，其文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽。
另外希腊和阿拉伯也是在数学上有贡献的的国家。
他们是数学的故乡，是人类文明的发源地。
一、源自河谷的古老文明——数学的萌芽提到古埃及，大家就会想到作为世界七大奇迹之一的胡夫金字塔。
古埃及在数学上有非凡的成就，他们的伟大建筑艺术和天文历法科学都有高超的数学成就密不可分。
1、古埃及的纸草书：1858年英国人亨利就发现了著名的“阿赫摩斯纸草卷”，在古埃及语中的意思为阐明对象中一切黑暗秘密事物的指南。
记录了58个关于古埃及数学的问题，相继问世的其他文献逐步向世人敞开了古埃及数学成就的殿堂。
2、古埃及的记数制、算术与代数：在古埃及前王朝时期，古埃及人就创立了完整的数字符号，采用了十进位制。
他们还创建了完整的运算法则。
有加法，减法，倍乘，分数算法，以及一元一次方程和一元二次方程，但这主要以生活中实际应用题目出现。
3、古埃及的几何学：在古埃及，出于对平面几何和立体几何的深度认识，古埃及在丈量土地和建筑设计方面也有自己的高明之处。
比如古埃及吉萨金字塔就是4个等腰三角面的建筑，非常精确并与天上猎户座的3颗星星位置暗合。
古巴比伦，又称美索不达米亚，和尼罗河一样，也是人类文化的摇篮。
巴比伦人从公元前两千年起到希腊数学兴起为止的楔形文字表明，他们的贡献可与古埃及人相媲美。
所谓楔形文字是公元前四、五千年，两河流域的苏美尔人创造的，文字最初是刻在石上，以后改用泥板。
先用削尖的木笔在软泥板上刻写，然后烧或晒干，使它坚硬如石。
字的形状象楔子，所以叫楔形文字。
这文字被埋在地底下数千年之久，直到一百多年前才为现代人所知。
１、采用六十进位位值制记数法；２、制成了有关倒数、乘法、平方、立方、平方根表和立方根表；３、一些应用问题的解决，表明巴比伦人已有解一次、二次（个别甚至有三次、四次）数字方程的经验公式；４、商业发展所产生的高利贷，引出了复利问题的计算；５、已会计算简单的直边形面积和简单立体的体积，并且可能知道勾股定理的一般形式。
古希腊数学与中国数学比较
古希腊数学与中国数学比较古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300年。
前期始于公元前600年，终于公元前336年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近；后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚；公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，古希腊文明时代宣告终结。
而中国数学起源于遥远的石器时代，经历了先秦萌芽时期（从远古到公元前200年）；汉唐始创时期（公元前200年到公元1000年），元宋鼎盛时期（公元1000年到14世纪初），明清西学输入时期（十四世纪初到1919年）。
一、最早的有关数学的记载的比较最早的希腊数学记载是拜占庭的希腊文的手抄本（可能做了若干修改），是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写的。
其原因是希腊的原文手稿没有保存下来。
而成书最早的是帕普斯公元三世纪撰写的《数学汇编》和普罗克拉斯（公元5世纪）的《欧德姆斯概要》。
《欧德姆斯概要》一书是以欧德姆斯写的一部著作（一部相当完整的包括公元前335年之前的希腊几何学历史概略，但已经丢失）为基础的。
中国最早的数学专著有《杜忠算术》和《许商算术》（由《汉书·艺文志》记载可知），但这两部著作都已失传。
《算术书》是目前可以见到的中国最早的，也是一部比较完整的数学专著。
这部著作于1984年1月，在湖北江陵张家山出土大批竹简中发现的，据有关专家认定《算术书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成书时间应该更早，大约在战国时期。
《算术书》采用问题集形式，共有60多个小标题，90多个题目，包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等。
结论：中国是四大文明古国之一，所有的文化创造，均源自华夏大地。
一般来讲，中国的数学成果较古希腊为迟。
二、经典之作的比较古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。
亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作——把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，欧几里得在《几何原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化，超过他以前的所有著作。
中国古代数学与古希腊数学的特点分析
中国古代数学与古希腊数学的特点分析摘要：通过对中国古代数学的发展史与古希腊数学的发展史及有关经典之作的分析比较，总结出了中国古代数学与古希腊数学的主要特点并进行了比较分析。
关键词：古希腊；《九章算术》；《几何原本》中图分类号：g623.5一、中国古代数学的发展史中国的数学既有系统的理论又有丰硕的成果，中国也是世界上最早使用十进制记数的国家之一。
春秋战国时期，我国人民就有了分数的概念、整数四则运算和九九表。
秦、汉时期成书的《周髀算经》是我国现存最早的天文数学著作。
约公元一世纪东汉时成书的《九章算术》包括246个应用问题及其解法，涉及初等代数等各个方面，为我国古代数学的发展奠定了基础。
魏晋时期，中国数学理论有了比较大的发展。
赵爽和刘徽的工作开创了中国古代数学理论体系的先河。
赵爽是证明数学定理和公式的最早的数学家之一，对《周髀算经》进行了详尽的注释。
刘徽对《九章算术》做了注释，不仅解释和推导了书中的公式、方法和定理，而且在论述过程中有所创新。
其中一项重要的工作是刘徽创立的割圆术，为进一步研究圆周率奠定了理论基础和提供了科学的算法。
隋朝时期，唐初王孝通撰《缉古算经》，主要是讨论土木工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖的计算问题。
此外，隋唐时期还创立出二次内插法，为宋元时期的高次内插法奠定了基础。
二、古希腊数学发展史泰斯勒是公认的希腊数学鼻祖。
他在数学方面的贡献是开始了命题的证明，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。
毕达哥拉斯学派企图用数学解释一切，他们以发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉斯定理）闻名于世。
公元前三世纪的希腊数学中还有以芝诺为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。
以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可分的原子所构成。
公元前四世纪以后的希腊数学，初等几何等已基本成为独立的科目。
因此叫做初等数学时期。
三、中国古代数学与古希腊数学的经典之作比较古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。
第二章 古代希腊数学
上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强 了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下几个方面。
（一）三大几何问题
古希腊三大著名几何问题是： ⊙化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 ⊙倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 ⊙三等分角，即分任意角为三等分。
三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如 倍立方体问题：说神话中的米诺斯王(King Minos)嫌儿子格劳 卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。
虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著 作的评注者主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯 学派。
一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达 哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定 理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。
尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方 法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch, 约46-120）的面积剖分法。
毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，曾游历 埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊 (Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并 在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。 这是一个宗教式的组织。
相传“哲学”（希腊原词φιλοσοφια意为“智力爱好”）和数学 （希腊原词µαθηµατιχα，意为“可学到的知识”）这两个词正是毕 达哥拉斯本人所创。
''
用 DA 和 A B 分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置， 那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。
希腊波斯战争（公元前492-前449）以后，雅典成为希腊 民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派 林立，主要有： ●伊利亚学派 以居住在意大利南部依利亚(Eles)地方的芝 诺（Zeno,约公元前490-前430）为代表。 ●诡辩学派 活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，主要代 表人 物有希比阿斯（Hippias,约生于公元前460年）、安 提丰（Antiphon,约公元前480-411）等，均以雄辩著称。 ●雅典学院（柏拉图学派） 柏拉图（Plato,公元前427-前 347）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前387年在雅典 创办学院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。 ●亚里士多德学派 亚里士多德（Aristotle,公元前384前322）是柏拉图的学生，公元前335年建立自己的学派。
第二讲 古希腊数学
（3）雅典时期的希腊数学
（1）、古希腊数学的先行者—— 泰勒斯
爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家 “希腊七贤”之首
（1）、古希腊数学的先行者—— 泰勒斯
爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家 “希腊七贤”之首
泰勒斯最先证明了如下的定理 : 从泰勒斯开始，命题证明成为 1. 两直线相交，对顶角相等。 希腊数学的基本精神。 2.等腰三角形两底角相等。 3.圆被直径二等分。 4.半圆上的圆周角是直角。 ----泰勒斯定理 5.两个三角形全等的边角边定理。
数学的理论化倾向
1、三大几何作图问题：
化圆为方、倍立方、三等分任意角。问题的难处，是作 图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。 化圆为方: 即作一个与给定的圆面积相等的正方形
安纳萨哥拉斯(约BC.500--BC.428)
希波克拉底：解决了化月牙形为方 安提丰： 首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆 为方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直 进行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边 长极其微小的内接正多边形。1882林德曼π的超越性。
黄金分割
正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的 “黄金分割”问题有关。
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
费洛罗斯曾说: “人们所知道的任何事物都包含数。因此，如 果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物 。”
4、“万物皆数”
仅指整数，分数被看成两个整数之比； 对数进行分类； 定义了完全数（即因数之和等于该数，如6, 28等）、过剩 数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该 数）、亲和数（即 a 是 b 的因数之和， b 也是 a 的因数之 和，最小的一对亲和数为220和284）等
数学史第二讲古代希腊数学ppt课件
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
2020/7/18
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传 亚里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
• 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规 的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实 际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
2020/7/18
• 诡辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割 圆曲线”。
• 柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题发现了 圆锥曲线。
• 诡辩学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方 问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形 ，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提 丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭” 。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割 圆术思想不谋而合。
2020/7/18
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机 。 • 数字神秘主义 例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。 • 证明的思想 例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启发。
2020/7/18
2.2.2阿基米德的数学成就
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害 。
第二讲古代希腊数学(精)
5
一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯
在今意大利东南沿海的克洛托内建立毕达哥拉斯学 派。这是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数 学的研究，相传“哲学”和“数学”这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。
毕达哥拉斯学派的几何成就： 证明了勾股定理 正多面体作图
2007年9月
古代希腊数学
6
一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
思考：用几何方法，证
明第Ⅱ卷命题4，即
ab
b2
b
证明代数关系式
a b2 a2 2ab b2
a
a2
ab
a
b
2007年9月
古代希腊数学
27
二、黄金时代——亚历山大学派 2、阿基米德的数学成就
阿基米德
阿基米德（Archimedes）， 生卒年代：前287-212 。 古希腊伟大的数学家、力 学家。早年在当时的文化 中心亚历山大跟随欧几里 得的学生学习。
2007年9月
古代希腊数学
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
2007年9月
古代希腊数学
18
一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
三大几何问题 古希腊的三大著名几何问题： ⑴化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方
形； ⑵倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知
立方体的两倍； ⑶三等分角，即分任意角为三等分。
后人对阿基米德给以极高的 评价，常把他和I.牛顿、 C.F.高斯并列为有史以来 三个贡献最大的数学家。
2007年9月
古代希腊数学
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二、黄金时代——亚历山大学派 2、阿基米德的数学成就
“平衡法”简介
数学史复习资料
《数学史》复习资料名词解释：1、可公度量：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。
这样的两条线段为“可公度量”，即有可公度量的度量单位。
这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反应。
2、出入相补原理：一个几何图形（平面或立方体的）被分割成若干部分后，面积或体积总保持不变。
3、费马大定理：关于X、Y、Z的不定方程X n+Y n =Z n ，对于任意大于2的自然数n无非零整数解。
4、大数定律：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
P128 帕斯卡曾提出的n为正数时的二项式定理，得到所谓伯努利定理：若p是某一事件单独出现一次的概率，q是不出现该事件的概论，则在n次试验中，该事件至少出现m次的概率等于二项式（p+q）n 的展式中的从p n 项到p m q n-m 项的各项之和。
容易看出，这实际上就是概率论中最重要的定律之一——“大数定律”的最早表现形式。
5、倍立方体：就是已知一立方体，求作另一立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。
也即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。
6、祖氏原理：P65“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体积相等。
它被称为“祖暅原理”。
1、简述古希腊数学的特点。
答案二：（1）追求理性和唯理的论证数学特点；（2）欧氏几何开创了公理化理论体系；（3）欧式几何形成了演绎思维的特征；总之，希腊数学是追求理性，主要以演绎几何为特征的数学。
2、简述欧几里得《原本》中所确立的公理化思想。
答：公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。
这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理——公理或公设。
简述古希腊数学的特征
简述古希腊数学的特征
古希腊数学是西方数学的重要组成部分，它的特征主要体现在以下几个方面。
一、几何学的发展。
古希腊数学的重要成就是几何学的发展。
古希腊的数学家们通过对几何学的研究，建立了一套完整的几何学理论，并发展出了一系列几何学的定理和公式，如毕达哥拉斯定理、欧几里得算法等。
二、严谨的证明方法。
古希腊数学家们非常注重证明，他们提出了一套严谨的证明方法，即公理、定义、命题和证明。
这种证明方法被后来的数学家们所继承和发展。
三、数学分析的萌芽。
古希腊数学家们在几何学的基础上，开始研究数学分析，如求极限、求导等。
虽然他们没有像后来的数学家们那样提出完整的数学分析理论，但是他们的研究为后来的数学分析奠定了基础。
四、数学的实用性。
古希腊数学家们非常注重数学的实用性，许多研究都是为了解决实际问题而进行的。
例如，他们研究了光学、力学、天文学等领域的问题，其研究成果对当时的科学和技术发展起到了重要的作用。
综上所述，古希腊数学以其严谨的证明方法、几何学的发展、数学分析的萌芽和数学的实用性等特征，为后来的数学家们提供了宝贵的理论和实践经验。
简述古希腊数学的特点
简述古希腊数学的特点古希腊数学是数学史上的一个重要时期，被认为是数学发展的黄金时代。
古希腊数学的特点主要表现在以下几个方面：1. 几何学的发展：古希腊数学主要以几何学为基础，其研究重点是图形的性质和证明。
古希腊几何学的代表人物有毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等。
他们通过对几何图形的研究，建立了一套严密的几何推理体系，提出了许多重要的几何定理和概念，如毕达哥拉斯定理、欧几里得几何公理等，为后世的几何学做出了重要贡献。
2. 数学的公理化：古希腊数学倡导使用公理化的方法进行数学研究。
欧几里得的《几何原本》是古希腊数学的代表作品之一，其中详细介绍了几何学的基本概念和定理，并采用了公理化的证明方法。
古希腊数学家们认为数学应该建立在严密的逻辑基础上，通过公理和推理来证明数学结论，这种思想对数学的发展产生了深远影响。
3. 数学的抽象思维：古希腊数学家们注重数学的抽象思维能力，他们通过对具体问题的研究，发展了一套抽象的数学思维方法。
例如，毕达哥拉斯定理的发现就是基于对直角三角形的研究，但毕达哥拉斯并没有局限于具体的三角形，而是从中抽象出了一个普遍的几何定理。
这种抽象的思维方式为后来的数学发展奠定了基础。
4. 数学的形式化：古希腊数学家们注重数学的形式化表达，他们通过符号和推理规则来表示数学概念和定理，使数学思想更加清晰和精确。
例如，欧几里得几何学中使用了一系列的符号和推理规则，使得几何定理的表达更加简洁和明确。
这种形式化的表达方式为后来的数学发展提供了范例。
5. 数学的证明：古希腊数学强调证明的重要性，他们追求严密的证明过程，注重推理的逻辑性和准确性。
古希腊数学家们提出了一些著名的证明方法，如归谬法、反证法和数学归纳法等，这些方法在后来的数学研究中被广泛应用。
古希腊数学的特点可以总结为几何学的发展、数学的公理化、数学的抽象思维、数学的形式化和数学的证明。
这些特点在古希腊数学的发展过程中相辅相成，为数学的进一步发展奠定了坚实的基础。
人教版高中数学选修3-1第二讲古希腊数学第二节毕达哥拉斯学派
知识回顾
• 泰勒斯把几何学作 为一门演绎科学确 立起来，是几何学 的开端. • 从泰勒斯开始，命 题证明成为希腊数 学的基本精神.
导入新课
伊奥尼亚学派之后，到了公 元前6世纪末，由于波斯游牧民族 的进攻，人们向西逃难，把希腊 文化带到了西方.意大利和西西里 岛变成了学术的新中心.毕达哥拉 斯在这里创立了毕达哥拉斯学派.
1+3+6
1+3+6+10
毕达哥拉斯学派对数字的研究加强了数 概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算 术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥 拉斯学派的算术则更多体现出某种初等数论 的萌芽，这是向理论数学过渡时观念上的飞 跃.并且由于数形结合的观点，这种飞跃实质 上推动了几何学的抽象化倾向.
4.不可公度
毕达哥拉斯学派把自然数分为奇数、 偶数、质数、合数、完全数、亲和数. 至今二千多年来，一些数学家对质数 （素数）、完全数、亲和数等仍在不停 息地研究，成果丰盈，并且借助计算机 和创新数学方法.
毕达哥拉斯学派认为10是一个完美 的数.因为1，2，3，4是头四个自然数， 分别代表水、火、气、土四种元素，而 10=1+2+3+4被认为“包罗万象”了.最 有趣的是把10作为宣誓的誓词，用崇敬 的语言写道：
教学重难点
难点
勾股定理的多种证法和多边形数.
重点
勾股定理、多边形数和无理数的发 现过程.
内容介绍
1.毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉 斯是希腊论证数学的另一位祖师.毕达 哥拉斯信奉“万物皆数”.他与我国的 孔子处于同一时代.毕达哥拉斯没有著 作传世，身世也充满谜团.
毕达哥拉斯
数学史
婆什迦罗
• 印度古代和中世纪最伟大的 数学家和天文学家 • 主要著作：《莉拉沃蒂》 《算法本源》 • 著作特色：多用诗体韵文写 成，内容涉及算术、无理方 程、几何等题目。 • 主要成就：能够熟练地使用 和差与半角等三角公式，在 解二次方程中能够认识并广 泛使用无理数，把佩尔方程 的特殊解法改造成一般性的 解法。
巴克沙利手稿中的数码
瓜廖尔石碑中的数码
印度数学也很早就引进了负数。婆罗门笈多在 628年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则。 婆什迦罗在《根的计算》中又进一步讨论了负数， 他把负数叫做“负债”或“损失”，并用在数码上加 一点表示负数，在数码的右下方加一点表示减号。不 过，当一个问题得出正负两个解的时候，他会解释说： “负数解不合适，因为人们不赞成负数，故应舍弃。”
“阿耶波多号”人 造卫星（印度， 1975）
婆罗摩笈多
• 代表著作：《婆罗摩修正体系》 《肯德卡提出了正负数 的乘除法则，提出了等差级数的通项公式， 等差中项公式。给出今天所谓佩尔（pell) 方程的一种特殊解法，获得了边长为 a,b,c,d的四边形的面积公式。
印度数学
• 印度数学的繁荣时期：公元3世纪至12世纪是印度数学的 繁荣时期，其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学 家兼数学家。 • 阿耶波多：又译圣使。印度数学家，天文学家。 生于华氏城（今属比哈尔邦巴特那市）。他受教育于柯苏 布罗城，499年著《 阿耶波多文集》，全书分四部分，由 118行诗组成 ，其中有一章专讲数学，介绍了比例˴开方 ˴二次方程˴一次不定方程˴算术级数等问题，并且他得 出了圆周率为3.1416的较精确的近似值。此书长期失传 ， 至1864年印度学者勃豪· 丹吉始获抄本。阿耶波多改进了 希腊托勒密的工作，用几何方法算得正弦表 ，在三角学 史上占有重要地位。1976年，为纪念阿耶波多诞生1500周 年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。
希腊数学兴衰原因
述希腊数学兴衰的原因及其特色和局限性希腊数学发展的历史可分为三个阶段：第一阶段从公元前700年到公元前323年，又称为古典时期或雅典时期，即从泰勒斯的伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止；第二阶段是亚历山大时期，从公元前323年起到公元前30年；第三阶段从公元前30年到公元600年，又称为亚历山大后期，即罗马人统治下的时期。
下面我将从各个发展阶段述说希腊数学兴衰的原因及其数学特色和局限性。
一、兴起原因：希腊数学的兴起正是在雅典时期，该时期人们在学术上的辩论风气较浓，唯理论的学术风气很盛，另外，人们信奉多种宗教，思想自由，可以充分发挥想象力，有助于科学和数学从宗教的神学中分离出来，所以一时学派林立，百花齐放，出现了泰勒斯为代表的伊奥尼亚学派以及毕达哥拉斯学派和其他学派。
特点：从初始概念和公理出发，诞生了演绎体系的论证数学（或几何），故从研究思想方法看，希腊人重于理论，善于使用形式逻辑，后来的《几何原本》为典型代表。
1、泰勒斯学派（伊奥尼亚学派）泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。
它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。
在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。
他曾发现了不少平面几何学的定理，诸如：“直径平分圆周”、“三角形两等边对等角”、“两条直线相交、对顶角相等”、“三角形两角及其夹边已知，此三角形完全确定”、“半圆所对的圆周角是直角”等，这些定理虽然简单，而且古埃及、古巴比伦人也许早已知道，但是，泰勒斯把它们整理成一般性的命题，论证了它们的严格性，并在实践中广泛应用。
伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。
他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。
2、毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯(公元前560-前500),是论证数学的另一位创始人。
古代希腊数学
• 2.1.2、毕达哥拉斯 学派 • 希腊论证数学的 另一位祖师是毕达 哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前 580-前500)。
今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主 要也是通过普罗克鲁斯等人关于希腊数学著 作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多德的 著述也提供了一些信息。
毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨 摩斯岛，曾游历埃及和巴比伦，可能还到过 印度，回希腊后定居于当时的大希腊(Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内 (Crotone)，并在那里建立了一个秘密会社， 也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一 个宗教式的组织。
然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都 是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和 其一边就构成不可公度线段。 这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据 勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为 ︰ （ , 互 2 2 素），则有 2 。这里为 2 偶数，则 也必为偶数， 2 2 2 2 2 2 设 2 ，于是 4 2 ，即 2 , 为偶数，则 也必为偶数， 这与 , 互素的假设相矛盾，因此正方形对 角线与其一边不可公度。 毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由 于不可公度量的发现而受到了动摇。这些“怪物”深深地困 惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有 时也被称为“第一次数学危机”。大约一个世纪后，这一 “危机”才由于欧多克斯(Eudoxus)提出的新比例理论而暂时 消除。
• 芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可 分的观点，而后两个则矛头直指不可分 无穷小量的思想。要澄清这些悖论需要 极限、连续及无穷集合等抽象概念，当 时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解 答。但芝诺悖论与不可公度的困难一起， 成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激 素。
(二)古希腊数学特点
（二）古希腊数学特点
古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300年。
前期始于公元前600年，终于公元前336年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近；后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚；公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，古希腊文明时代宣告终结。
总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富，不论从数量还是从质量来衡量，都是世界上首屈一指的。
比希腊数学家取得具体成果更重要的是：希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。
数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。
而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要的地位。
古希腊是个充满神话的国度，古希腊数学的特点也很神化，如下：一，希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。
希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。
要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。
从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。
二，希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误；三，希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术；四，希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。
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（二）古希腊数学特点
古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300年。
前期始于公元前600年，终于公元前336年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近；后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚；公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，古希腊文明时代宣告终结。
总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富，不论从数量还是从质量来衡量，都是世界上首屈一指的。
比希腊数学家取得具体成果更重要的是：希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。
数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。
而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要的地位。
古希腊是个充满神话的国度，古希腊数学的特点也很神化，如下：一，希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。
希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。
要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。
从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。
二，希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误；三，希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术；
四，希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。