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《古代希腊数学》PPT课件
一般地由公式
N 1 2 3 n n(n 1) 2
给出的数称为“三角形数”，它们可以用某种三角
点式来表示；
由序列 N 1 3 5 7 (2n 1) 形成一系列“正方形数”。
五边形数和六边形数分别由序列 N 1 4 7 (3n 2) n(3n 1)
• 泰勒斯在数学上的贡献的最可靠的证据 是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家 普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧 几里得<原本>第一卷评注》一书:
• ……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将 几何研究引进希腊。他本人发现了许多 命题，并指导学生研究那些可以推出其 他命题的基本原理”。
普罗克鲁斯在《评注》中介绍说泰勒斯曾 证明了下列四条定理：
这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献 最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（不 带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。
最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯 （Anaxagoras,约公元前500 –前428），但详情不得 而知。公元5世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底 （Hippociates of Chios）解决了与化圆为方有关的化 月牙形为方。但单个圆的化圆为方问题没有解决。
古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可 以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民 的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定 居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。 到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海 与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起 了新的数学浪潮。
• 这些海滨移民具有两大优势：
在所有的正多面体中，正十 二面体的作图是最为诱人的问题， 因为它是由正五边形围成，而其 他正多面体都是以三角形或正方 形为界面，正五边形的作图则与 著名的“黄金分割”问题有关.
数学史第二讲古代希腊数学
2010年8月 第二讲 古代希腊数学 13
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派关于“形数”的研究，强烈地反映 了他们将数作为几何思维元素的精神。
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
14
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
15
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯
第二讲 古代希腊数学
19
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯 同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而 推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明 的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何 学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命， 这也是第一次数学危机的自然产物。
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
数学哲学与数学史
第二讲 古代希腊数学
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
1
第二讲 古代希腊数学
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴 海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的 数学家们创造的数学。
2010年8月 第二讲 古代希腊数学 2
第二讲 古代希腊数学
2010年8月 第二讲 古代希腊数学 35
论证数学的发端
雅典时期的希腊数学
无限性概念的早期探索 伊利亚学派芝诺提出了四个著名的悖论 ⑴两分法：运动不存在 ⑵阿基里斯：阿基里斯永远追不上一只乌龟 ⑶飞箭：飞着的箭是静止的 ⑷运动场：时间和空间不能由不可分割的单元组成
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
10
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯
a
b
b
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派关于“形数”的研究，强烈地反映 了他们将数作为几何思维元素的精神。
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
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论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
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论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯
第二讲 古代希腊数学
19
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯 同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而 推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明 的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何 学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命， 这也是第一次数学危机的自然产物。
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
数学哲学与数学史
第二讲 古代希腊数学
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
1
第二讲 古代希腊数学
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴 海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的 数学家们创造的数学。
2010年8月 第二讲 古代希腊数学 2
第二讲 古代希腊数学
2010年8月 第二讲 古代希腊数学 35
论证数学的发端
雅典时期的希腊数学
无限性概念的早期探索 伊利亚学派芝诺提出了四个著名的悖论 ⑴两分法：运动不存在 ⑵阿基里斯：阿基里斯永远追不上一只乌龟 ⑶飞箭：飞着的箭是静止的 ⑷运动场：时间和空间不能由不可分割的单元组成
2010年8月
第二讲 古代希腊数学
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论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯
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《数学史》古希腊数学 ppt课件
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2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为 希腊数学的“亚历山大后期”。
亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。这一时期开 始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪公元1世纪间），代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面 积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公 式
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总评
▪ 《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成 就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解 析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。
▪ 另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年 间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到 17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后， 才得以来临。
▪ 此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内赫莫斯 （公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证 明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、 椭圆、双曲线、正焦弦等名称。
▪ 书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的 垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解 释太阳系内5大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密 的地心说提供了工具。
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《圆锥曲线论》中包含了许多即使是按今天的 眼光看也是很深奥的结果，尤其突出的是第5卷关于 从定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，其中 实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念， 它们是近代微分几何的课题。
第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极限的调和 性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想。
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15
亚历山大里亚时期的希腊数学
第二讲 古希腊数学
（3）雅典时期的希腊数学
（1）、古希腊数学的先行者—— 泰勒斯
爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家 “希腊七贤”之首
（1）、古希腊数学的先行者—— 泰勒斯
爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家 “希腊七贤”之首
泰勒斯最先证明了如下的定理 : 从泰勒斯开始，命题证明成为 1. 两直线相交，对顶角相等。 希腊数学的基本精神。 2.等腰三角形两底角相等。 3.圆被直径二等分。 4.半圆上的圆周角是直角。 ----泰勒斯定理 5.两个三角形全等的边角边定理。
数学的理论化倾向
1、三大几何作图问题：
化圆为方、倍立方、三等分任意角。问题的难处，是作 图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。 化圆为方: 即作一个与给定的圆面积相等的正方形
安纳萨哥拉斯(约BC.500--BC.428)
希波克拉底：解决了化月牙形为方 安提丰： 首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆 为方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直 进行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边 长极其微小的内接正多边形。1882林德曼π的超越性。
黄金分割
正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的 “黄金分割”问题有关。
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
费洛罗斯曾说: “人们所知道的任何事物都包含数。因此，如 果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物 。”
4、“万物皆数”
仅指整数，分数被看成两个整数之比； 对数进行分类； 定义了完全数（即因数之和等于该数，如6, 28等）、过剩 数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该 数）、亲和数（即 a 是 b 的因数之和， b 也是 a 的因数之 和，最小的一对亲和数为220和284）等
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
• 崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪 完全征服希腊各国夺得了地中海地区的霸权，建立了 强大的罗马帝国。唯理的希腊文明被务实的罗马文明 所取代。同影响深远的罗马法典和气势恢弘的罗马建 筑相比，罗马人在数学领域却谈不上有什么显赫的功 绩。
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
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想的来源
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
古 希 腊 数 学2
数学之神----阿基米德 四 数学之神 阿基米德 公元前287年，阿基米德诞生于西西里岛的 年 阿基米德诞生于西西里岛的 公元前 西西里岛 叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族， 今意大利锡拉库萨 叙拉古 今意大利锡拉库萨 。他出生于贵族，与 叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。 叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。 阿基米德的父亲是天文学家兼数学家， 天文学家兼数学家 阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊 为人谦逊。他十一岁时， 博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关 被送到古希腊文化中心亚历山大 亚历山大里亚城去 系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城去 学习。 学习。
公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 原本》 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的
三 欧几里得与《原本》 欧几里得与《原本》 欧几里德(约公元前300 古希腊数学家) 古代希腊最负盛名 欧几里德(约公元前300年，古希腊数学家)是古代希腊最负盛名、 300年 最负盛名、 最有影响的数学家之一， 数学家之一 最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的 成员。 ----《几何原本》 成员。编撰旷世巨著 ----《几何原本》(Elements) 共有13 共有13卷。 13卷 这一著作对于几何学、 这一著作对于几何学、数学和科学的 未来发展， 未来发展，对于西方人的整个思维 方法都有极大的影响。 几何原本》 方法都有极大的影响。《几何原本》 的主要对象是几何 几何学 的主要对象是几何学， 建立了第一个数学理论体系—— 建立了第一个数学理论体系—— 几何学。 几何学。 标志着人类科学研究的公理化方法 的初步形成. 的初步形成.
(完整版)数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
高中数学《第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者》62PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
1第二讲古代希腊数学恩格斯（德，1820－1895年）指出：“没有希腊的文化和罗马帝国奠定的基础，就没有现代的欧洲。
”背景：古希腊的变迁。
1、古典时期的希腊数学公元前600－前300年。
1.1爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯（公元前625－前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。
哲学：水生万物，万物复归于水。
数学：创数学命题逻辑证明之先河，希腊几何学的鼻祖，最早留名于世的数学家，测量过金字塔的高度，预报了公元前585年的一次日食。
1.2毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（约公元前560－前480年），在萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。
哲学：万物皆为数。
数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。
1.3伊利亚学派芝诺（约公元前490－前430年）悖论：运动不存在、阿基里斯、飞矢不动。
芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。
1.4诡辩学派（智人学派）活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，代表人物均以雄辩著称，故亦称智人学派。
安蒂丰（约公元前480－前411年）的“穷竭法”。
古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。
1.5柏拉图学派柏拉图（约公元前427－前347年）对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响。
柏拉图说：“不懂几何者免进”，认为打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形，发展了用演绎逻辑方法系统整理零散数学知识的思想。
2柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387－公元529），讲授哲学与数学。
1.6亚里士多德学派（吕园学派）亚里士多德（公元前384－前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。
集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。
第二讲 古代希腊数学(上、下)
【 泰勒斯在数学方面的贡献 】
泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引 入了命题证明的思想。它标志着人们对客观 事物的认识从经验上升到理论，这在数学史 上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑 证明，它的重要意义在于：保证了命题的正 确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学 构成一个严密的体系，为进一步发展打下基 础；使数学命题具有充分的说服力，令人深 信不疑。
第二讲 地中海的灿烂文明——古代希腊 数学（上）
公元前600年——600年
古希腊文明的象征之一
帕提农神庙
(前447－前432年）
古希腊的变迁
波希战争（前499－前449）
希 腊 时 期
爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪 公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区 公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成 雅典时期：公元前6－前3世纪 亚历山大时期：公元前323年－前30年 亚历山大后期：公元前30年－公元640年
3. 通过预言日食制止的战争 当时，米底王国与两河流域下游的迦勒底人联 合攻占了亚述的首都尼尼微，亚述的领土被两国瓜分 了。米底占有了今伊朗的大部分，准备继续向西扩张， 但受到吕底亚王国的顽强抵抗。两国在哈吕斯河一带 展开激烈的战斗，接连五年也没有决出胜负。 战争给平民百姓带来了灾难，平民百姓们流离失 所。泰勒斯预先推测出某天有日食，便扬言上天反对 人世的战争，某日必以日食作警告。当时，没有人相 信他。后来果然不出所料，在公元前585年5月28日， 当两国的将士们短兵相接时，天突然黑了下来，白昼 顿时变成黑夜，交战的双方惊恐万分，于是马上停战 和好，后来两国还互通婚姻。这件事记载在希罗多德 的《希波战争史》第一卷。 这次战争的结束，当然还有政治、经济等方面 的原因，日食只是起到一个“药引”的作用。
数学史概论 ppt课件
(正8边形面积–正4边形面积)
>1/2(圆面积–正4边形面积)
数学史概论
31
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟 大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典 范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可 以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织 起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在 一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》 体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。
穷竭法(卷 XII)
数学史概论
37
比例的定义：设 A, B, C, D是任意四个量, 其中A 和B同类(即均为线段、角或面积等), C和D同类. 如果对于任何两个正整数 m 和n ,关系m A n B 是否成立, 相应地取决于关系m C n D是否成立, 则称A与B 之比等于C与D 之比,即四量 A, B, C, D 成比例.
希波克拉底：解决了化月牙形为方
安提芬：
首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为
方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直进
行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边长
极其微小的内接正多边形。1882林德曼π的超越性。
数学史概论
18
倍立方: 即求一个立方体,使其体积等于已知立方体的两倍
第一次数学危机
2 是一个不可公度的数
数学史希概论帕苏斯 Hippasus(公元前470年左14右）
1
2
b
c
a
1
c2a2b2
勾股定理导致了无理量的发现. 假设直角三角形是等腰的,直
角边是1，那么弦是 2 ，它不可能用任何的“数”(有理数)
表示出来，即直角边与弦是不数学可史概通论 约的．
《数学史》古希腊数学(2)
几何《原本》第四卷
第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形
命题12 作已给圆的外切正五边形。
命题15 作已给圆的内接正六边形。
几何《原本》第五卷
第五卷，讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础。
命题1 如果某些量依次是另一些量的倍量，则前者之和是后者之和
的同倍量。
即如果ma,mb,……，mc是a,b,……,c的倍量，则
直角三角形斜边上的多边形， 其面积为两条直角 边上与之相似的多边形面积之和。
学园便是全部的生活
欧几里得(Euclid)是古希腊著名数学家、欧氏几 何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就 是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感 染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就 迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。
欧几里得与几何《原本》
《原本》的内容
“原本”原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。这本著作 用公理法对当时的数学知识作系统化、理论化的总结。 共分13卷，包括5条公理、5条公设，119个定义和465条命题，构成了 历史上第一个数学公理体系。
那么，何谓公理？何谓公设呢？
公理与公设
命题47 直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上两个正方形之和。 命题48 若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则 其他两边的夹角是直角。
G H
F
A
K
B
C
L D
E
几何《原本》第二卷
第二卷的突出内容是对代数几何化的贡献。
①两数相加看成把一线段加上另一线段的长。 ②两数的乘积看成两边长等于两数的矩形的面积。
《原本》各卷内容一览表
几何《原本》第一卷
第一卷给出了一些最基本的定义（119个），5个公设和5个公理。 定义 1.点是没有部分的那种东西。
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阿基米德
(公元前287-前 212年)
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
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29
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
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30
希腊化时期的数学
阿基米德之死
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31
希腊化时期的数学
《圆锥曲线》
8卷，487个命题
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线.
2. 一条有限直线可不断延长.
3. 以任意中心和直径可以画圆.
4. 凡直角都彼此相等.
5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小
于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内
角和小于两直角的一侧相交.
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28
希腊化时期的数学
数学之神
(约公元前262-前190年)
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32
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希腊化时期的数学
古罗马斗兽场 (建于公元70-82年)
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34
希腊化时期的数学
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35
希腊化时期的数学
3 亚历山大后期 (公元前30-公元600年)
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36
希腊化时期的数学
《天文学大成》
公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷
罗马帝国：公元前27年－公元395年
西罗马帝国：公元395年－公元476年 东罗马帝国：公元395年－公元1453年
.精品课件. （610年改称拜占廷帝国）
3
1 古典时期的希腊数学 (公元前600-前300年)
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4
古典时期的希腊数学
(
爱
哲学：万物源于水
奥
拉 图
数与几何图形
学
派
柏拉图
(约公元前427-前347年)
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18
古典时期的希腊数学
柏 拉 图 学 派
雅典学院(公元前387－公元529年)
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19
古典时期的希腊数学
古希腊最著名的哲学家、科学家
亚里士多德(公元前384－前322年)（乌拉圭, 1996）
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20
古典时期的希腊数学
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5
)
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
毕达哥拉斯
μαθηματια
(约公元前560-前480年)
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古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
毕达哥拉斯定理 （希腊，1955）
完全数 亲和数 不可公度量
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7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
15
古典时期的希腊数学
(
诡 辩 学 派 智 人 学 派
三等 分任 意角
古典几何三大作图问题
化圆为方
倍立方
)
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古典时期的希腊数学
诡 辩 学 派 智 人 学 派
(
)
安蒂丰(约公元前480－前411年)的穷竭法
林德曼（德，1852－1939年）
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古典时期的希腊数学
柏
打开宇宙之迷的钥匙是
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古典时期的希腊数学
雅典时期：开创演绎数学
帕提农神庙(前447－前432年）
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古典时期的希腊数学
帕提农神庙(前447－前432年）
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古典时期的希腊数学
( , 450 )
掷 铁 饼 者 米 隆
约 前
年
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古典时期的希腊数学
伊 利 亚 学 派
芝诺 (约公元前490-前430
年)
芝诺悖论：运动不存在
位移事物在达到目的地 之前必须先抵达一半处， 即不可能在有限的时间内 通过无限多个点。
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13
古典时期的希腊数学
伊 利 亚 学 派
芝诺悖论: 阿基里斯
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14
古典时期的希腊数学
伊 利 亚 学 派
芝诺悖论: 飞矢不动
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(
亚
里 士
“吾爱吾师，
多 德
吾尤爱真理”
学
派
形式逻辑方法
吕
园 学
用于数学推理
派
矛盾律、排中律
亚里士多德
(公元前384-前322年)
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21
)
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22
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23
希腊化时期的数学
2 亚历山大时期 (公元前300-前30年)
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24
希腊化时期的数学
亚历山大时期：希腊数学黄金时代
亚历山大（匈牙利, 1980）
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25
希腊化时期的数学
欧几里 得
(公元前325-前 265年)
•《原本》（Στοιχετα） • 13卷 • 5条公理、5条公设 • 119条定义和 465条命题
• “几何无王者之道”
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26
希腊化时期的数学
《原本》
❖ 第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等作 图法等
伯罗奔尼撒战争（前431－前404）
希
亚历山大时期：公元前323年－前30年 马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊 各城邦承认马其顿的霸主地位，前334－前323亚历山大东征）
腊
化
亚历山大后期：公元前30年－公元640年 前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及
时
期
公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书
第二讲
古代希腊数学
论证数学的发端 亚历山大学派 希腊数学的衰落
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1
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2
古希腊的变迁
爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪
波希战争（前499－前449）
希 腊
公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区
时
期
公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成
雅典时期：公元前6－前3世纪
克莱因（美，1908－1992）：它是这样一座 巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上 几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实 可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。
阿波罗尼奥斯
贝尔纳（英，1901－1971）：他的工作如此 的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可
以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。
❖ 第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积 ❖ 第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切 ❖ 第五、六卷：比例论与相似形 ❖ 第七、八、九、十卷：数论 ❖ 第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思
想的来源
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希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
尼 亚
创数学命题逻辑证明之先河
学
派
泰勒斯定理
米 利
▪ 圆的直径将圆分为两个相等的部分.
都
▪ 等腰三角形两底角相等.
学
派
▪ 两相交直线形成的对顶角相等.
泰勒斯
▪ 如果一个三角形有两角、一边分别
与另一个三角形的对应角、边相等, 那 么这两个三角形全等.
(约公元前625-前547年)
▪ 半圆上的圆周角是直角.