函数符号的故事
1.2.1函数的概念(1)
系 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 17.9 数
(请学生回顾近十年来自己家庭生活的变化): 问题1:在你的记忆中,你家现在的物质生活和以前有 什么不同?主要反映在哪些方面?其中哪些方面的消费 变化大?哪些方面的消费变化小? 问题2:你认为该用什么数据来衡量家庭生活质量的高低? 问题3(P17):阅读图表后仿照[引例1]、[引例2]描述表 中恩格尔系数和时间(年份)的关系。
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
（图片来自网络）
费曼学习法--实操步
1 骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法-实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
“函数”的发展历史(高一)
高一 历史使人聪明，诗歌使人智慧，数学使人精细。------培根
函数的应用非常广泛
姚明的技术统计需要应用函数
美丽的倒影体现了函数的特点
宏伟的建筑设计应用了函数知识
01 十七世纪函数概念—— 几何观念下的函数
02 十八世纪函数概念—— 代数观念下的函数
函数的 发展历程
03 十九世纪函数概念—— 对应关系下的函数
03十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关 系无关紧要,他拓广了函数概念,指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值,y都有一个或多个确定的值,那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义,出 色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰 的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本 质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式, 但这并不意味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,物理学研究的需要发 现了一种叫做Dirac－δ函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于 1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的,但由于广义函数概念的引入,把 函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来.因此,随 着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展。
04现代函数概念——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。 其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了 不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义 “序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对 应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,元素y称为因变 元。
函数符号的故事论文1000字
函数符号的故事论文1000字一、省略号过去。
未来。
永恒。
它们被人生省略了。
记忆的录像带回放着,我的头脑却始终混乱。
过去的一切一切,我忘却了许多,零零碎碎的记忆,使我的人生变得残缺不全。
我只能用省略号来代替它们,代替我无法想起的美好。
未来!我们都在懂憬。
想像着自己在什么什么时候会变成什么,会拥有什么,会遇见什么。
可是,那只能是想,并不能确定那就是我们的未来。
因此,当别人问我未来会怎样,我只会给他一串省略号。
我不敢去奢想。
永恒!永远到底有多远?谁能给谁永远?永。
远。
很长很长的一段时间罢?直至生命的结束?那是一个怎样的概念?我不清楚,因为我从来没得到过永恒。
一种模模糊糊的理解:一次无休止的进行。
因此,当别人再对我提起永恒时,我只能用省略号代表我的心情:我不相信永恒!不可能有永恒!那只是个天真的幻想!庞二、感叹号它修饰着烦闷,气愤,还有快乐。
最近的心情好烦好顽,导致我每天在本子上画着N个感叹!又大,又密,很似我的心。
这个时候,什么事都进不去。
倘若某人突然想死了,闯进我的思维,我会马上给他个大大的感叹号,把他压得喘不过气来!接着继续整理我的神经系统。
愤怒时,说什么话所带的语气都很强烈,因此不得不用上一个大感叹,向惹怒你的人示威!哼!小样的!你不想活了啊?!敢和老娘撒野!对方或许有骨气,撒野撒到底,那感叹号就奉陪到底,或者会夹着尾巴临阵脱逃。
这里呢,只是余怒未消。
感到快乐的时候心情当然好了,可是我似乎很久没触碰到过它了。
先笑笑吧!哈哈!呵呵!嘿嘿!嘻嘻!但这样的话,应该很容易被人误认为是疯子。
算了,笑自己的!让别人说去吧!我们好人不会去和他们计较的!瑞士数学家、物理学家和机械师。
他在数学的许多领域都有重大发现。
此外，他还在力学、光学和天文学方面做出了突出贡献。
数学中有十几个术语以他的名字命名；他有“数学英雄”的美誉。
XXX的名字几乎可以在每一个数学领域看到——初等几何的XXX线、多面体的XXX定理、三维解析几何的XXX变换公式、数论的XXX函数、变分法的XXX方程、复变函数的XXX公式...XXX也是数学史上最多产的数学家。
笛卡尔爱心函数的故事
笛卡尔爱心函数的故事在数学史上，笛卡尔爱心函数是一种独特且美丽的数学函数，它以其特殊的形状和心灵之美而闻名。
这个函数的名字源自法国数学家笛卡尔，他在17世纪提出了这个函数，为我们展示了数学领域的无限魅力。
笛卡尔爱心函数的数学表达式为：(x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2 *y^3 = 0。
当我们将这个函数的图形绘制在坐标系中时，它呈现出一个迷人的心形图案。
这个函数之所以被称为"爱心函数"，是因为它的图形形状与人们普遍认可的爱心符号非常相似。
这个函数的图案由两个对称的圆锥曲线组成，它们在一点处相交，并展现出一种优雅而连续的曲线。
这个曲线不仅美丽，而且具有一定的数学特征，因此吸引了无数数学爱好者的研究。
除了其美丽的形状，笛卡尔爱心函数还具有一些有趣的性质。
例如，它是一个奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。
这意味着对于任意给定的点(x, y)在曲线上，点(-x, -y)也将在曲线上。
这种对称性使得爱心函数在数学探索和表达爱的主题时具有重要意义。
数学家们对笛卡尔爱心函数进行了广泛的研究，探索了它在数学和几何领域中的应用。
这个函数不仅是理论研究的对象，还被应用到生物学、物理学和工程学等领域中。
例如，在图像处理中，可以利用爱心函数生成漂亮而富有艺术感的图案。
在心理学中，爱心形状也被用作表达爱和情感的符号。
总之，笛卡尔爱心函数是数学界的一颗璀璨明珠，以其独特的形状和数学特性吸引了许多人的研究和探索。
它不仅展示了数学的美丽，还启发人们去发现并表达爱的本质。
无论是数学爱好者还是普通人，都可以通过欣赏和理解这个函数来领略数学的魅力和情感的力量。
函数符号的故事
∆ 常用函数
∆ 反比例函数y=k/x(x<>0) 正比例函数y=kx 一次函 数 y=kx+b 二次函数y=ax2+bx+c(a<>0)等等
发展
sin cos tan
∆ 三角函数中有许多符号，其中sin，cos， tag，ctg，sec，csc是最重要的符号，但是 在这些符号使用以前，人们都是用文字来进 行叙述的，这样使用起来非常麻烦。在实际 应用中，人们渐渐地用符号来代替它们。 正弦的符号开始记为sine，这一词是由阿拉 伯人创造的，但是最早把它应用于三角函数 上面的是雷基身蒙坦，他是15世纪西欧数 学界的领导人物，在他1464年著的《论各 种三角形》一书中，首先使用了“sine".这 本书是专门讲三角学脱离了天文学，成为一 门独立的数学分支。 余弦和余切开妈记为 cossine和cotangent,它们是由英国人根目 尔在1620年出版的《炮兵测量学》一书中 首先创造并使用的。
∆ 早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比 如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已 经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼 一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家 还没有明确函数的一般意义．
∆
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点
的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最
初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，
使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰•贝努
写一写三角函数一家的几个小故事
写⼀写三⾓函数⼀家的⼏个⼩故事
1.sin和cos不得不说的故事~有⼀天，sin⽅了⼀下，cos也⽅了⼀下，他们于是相爱了。
成了完美的1
2.三⾓函数家有许许多多招式。
但是始终遵循着“奇都变了偶还不变。
符号他妈还要看象限。
”
3.sin和cos有⼀天除了⼀下，于是tan诞⽣了
4.tan很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot陪陪他
5.tan找不到妈妈cos时，就会⽅⼀下然后去找1，于是在根号叔叔的帮助下，找回了cos
6.cos⼀直不喜欢别⼈叫她原名：y/r。
y太丑，r弯弯的也不好看
7.sin倒是觉得x蛮酷的
8.cos有的时候蛮⽆聊的，把⼈家好好的阿尔发和贝塔硬是弄得分居，结果上去调停的还是她。
9.sin也会做差不多的事。
但他⽐较懒。
不变号
10.tan也想学爹妈做差不多的事，结果他遇到y轴⽼⼤哥罩着的⼀帮⾓就肯定没辙了，pai公公有时也会四分之⼀下耍耍他。
11.但分类讨论哥永远不会抛弃tan,事实上他从未抛弃过任何⼈
12.任你⾓度⼤到天涯海⾓，让我⽤诱导公式将你瞬间秒杀。
13.当遇到所有招式的对付不了的⾓度时，三⾓函数⼀家也绝不会⽓馁，他们还有⼤杀器：辅助⾓
14.他们⼀家的⼩⼉⼦sec和⼩⼥⼉csc，还没长⼤，还得靠tan哥哥和cot姐姐来解决困难
15.有的时候⾓度会阴险的穿上绝对值防护罩，这时候请信分类讨论哥
16.信分类讨论哥!不挂科！
That's all~。
小学数学故事五篇
【导语】以下是整理的《⼩学数学故事五篇》，⼀起来看看吧！ ⼩学数学故事（1） 由于圆周率是⼀个⽆限不循环⼩数，⼈们为了记住它，编撰了很多与圆周率谐⾳的⼩故事。
下⾯的⼩故事就是想利⽤谐⾳记住圆周率的⼩数点后100位数字。
下⾯的⼩故事同样是利⽤谐⾳记住圆周率的⼩数点后100位数字。
先设想⼀个酒徒在⼭上寺中狂饮，醉死⼭沟的情景： ⼭巅⼀寺⼀壶酒(3.14159)， ⼉乐(26)， 我三壶不够吃(535897)， 酒杀尔(932)! 杀不死(384)， 乐⽽乐(626)， 死了算罢了(43383)， ⼉弃沟(279)。
[前30位] 接着设想“死”者⽗亲得知⼉“死”后的⼼情： 吾疼⼉(502)， ⽩⽩死已够凄矣(8841971)， 留给⼭沟沟(69399)。
[15位] 再设想“死”者⽗亲到⼭沟寻找⼉⼦的情景： ⼭拐我腰痛(37510) 我怕你冻久(58209)， 凄事久思思(74944)。
[15位] 然后是⽗亲在⼭沟⾥把⼉⼦找到，并把他救活。
⼉⼦迷途知返的情景： 吾救⼉(592)， ⼭洞拐(307)， 不宜留(816)。
四邻乐(406)， ⼉不乐(286)， ⼉疼爸久久(20899)。
爸乐⼉不懂(86280)。
三思吧(348)! ⼉悟(25)。
三思⽽依依(34211)， 妻等乐其久(70679)[最后40位] 还有⼀⾸诗是这样编的： ⼭颠⼀寺⼀壶酒，(3.14159) 尔乐苦煞吾。
(26535) 把酒吃，酒杀尔，(897932) 杀不死，乐尔乐。
(384626) 思再三，不杀尔，吃酒!(43383279) 吾同尔爸爸是要酒吃，(502884197) 邀六舅三舅舅再吃。
(16939937) 吾邀同吾爸、尔同舅吃。
(510582097) 赐酒寺，赐吾酒。
(494459) 尔再同七爸⼀乐，是同乐：(2307816406) 尔爸乐，尔同⼋舅舅、爸乐。
(2862089986) 尔爸同三四爸(280348) ⽽吾三四⼉(25342) 要⼀起同乐吃酒!(1170679) ⼩学数学故事（2） 魏、晋时期出现的⽞学，不为汉儒经学束缚，思想⽐较活跃;它诘辩求胜，⼜能运⽤逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提⾼。
函数符号的故事
karlweierstrass提出将微积提出将微积通过扩展函数的定义数学家能够对一些通过扩展函数的定义数学家能够对一些奇怪这些函数曾经被认为只具有理论价值迟至这些函数曾经被认为只具有理论价值迟至20些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用
函数符号的学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者 曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函 数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变 化的关系，是微积分学的基础。 1718年，约翰· 贝努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常 量以任何一种方式组成的一种量。”1748年，约翰· 贝努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在《无穷 分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或[常量]]以任何一种方式构成的解析 表达式”。例如f(x) = sin(x) + x3。1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义： “如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量 是后一些量的函数。” 19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理。维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积 分学建立在算术，而不是几何的基础上，因而更趋向于欧拉的定义。 通过扩展函数的定义，数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如不可导的连续函数。 这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这 些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。 到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来规范数学。他们试图将每一类数学对象定义为一个集合。 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出了现代正式的函数定义。狄利克雷的定义将 函数视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。
数学家小故事
数学家小故事数学家小故事数学是一门令人神往的学科，它涵盖了我们整个宇宙中所有可能的数学形状和关系。
迷人的是，这些数字和形状的整个世界与我们的直觉和经验有着平行的宇宙。
正是在这些数学中，一些伟大的数学家闷头研究数学的规律和性质，他们在黑板上画出的图形和公式展示了人类智慧的辉煌成果。
那么，下面让我们一起了解一些数学家的故事，探究数学家是如何发掘数学规律和性质的。
一. 神奇的文字生成器许多人可能没有听说过斐波那契之名，但是大多数人都听说过斐波那契数列。
这个数列的前几项分别是0，1，1，2，3，5，8，13，21……每一项的值都是它前面两个数项的和，它是一个具有无限个项的数列，其中每一项都是前两项的和。
斐波那契数列在自然界中随处可见，比如菜花、梅花、松果、太阳花和贝壳等都呈现出斐波那契数列的规律。
斐波那契数列得名于来自意大利的数学家斐波那契，他对这个数列深入研究，并提出了这个数列的公式。
当斐波那契研究这个数列的时候，他考虑到将它表示为符号表示，于是创造了斐波那契的恩经书，它不仅仅是斐波那契数列，还包含许多有关比率和几何图案的内容。
这个恩经书不仅利用了斐波那契数列，还包括离黄金比例的内容，黄金比例是一个神秘的数字，它的值约等于1.618，黄金比例的发现与斐波那契数列密切相关。
据说，斐波那契的恩经书包含了一些预测下一个斐波那契数的文本，这似乎是一个更准确的方法而不是计算。
斐波那契的恩经书是数学史上一个非凡的成就，它在欧洲也很流行，人们们一致认为它是一本神奇的文字生成器，因为它可以生成几乎所有的元素、几何形式和拓扑形状。
今天，人们依然喜欢使用斐波那契数列和黄金比例来设计建筑、绘画和其他艺术品，这种使用斐波那契像神奇的数列和黄金比例的不仅仅是为了要追求美学上的完美，还有一些更深刻的数学含义。
二. 救命的计算器计算器可以说是现代工程师和数学家的最爱。
如果现在的计算器失灵了，工程师和科学家们肯定会感到非常的焦虑。
但是，在二十世纪的初期，计算器的使用是相对困难且昂贵的。
莱布尼茨还是欧拉——谈函数概念的历史发展
3-10故事敉学2021年第3期莱布尼茨还是欧拉？—谈函数概念的历史发展姚少魅1张浩2(1.北京市第八十中学，北京100102; 2.北京市朝阳区教育研究中心，北京100021)1引言：源自两本教科书的疑问函数是中学数学最基本的概念之一，是贯 穿高中数学课程的一条主线，同时也是现代数 学最重要的概念之一，它是描述客观世界中变 量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.哥廷根数学学派的创始人、德国数学家F •克莱因（Felix Klein, 1849-1925)称函数是 数学的灵魂，他强调用近代数学观点改造中学 数学内容,并提出用“函数观念和几何直观作 为数学教学的核心”，以函数为核心概念的教 材结构体系是学生理解数学、应用数学解决问 题的典型载体[1]，他在19世纪末领导的德国 数学教育改革的口号就是“用函数来思考”(func-tional thinking)⑵.同样来自德国的语言学家洪堡特认为“语 言决定人的世界观”，数学语言作为一种特殊 的语言也影响了人的世界观.数学符号作为数 学语言的重要组成部分，其含义明确、表达简 明、使用方便，并且还体现了数学的特征:形式 化、抽象化、符号化.没有数学符号，数学就难 以快速发展，科学的发展也会步履维艰.关于函数符号的创立,2019年人教A版普 通高中教科书数学必修第一册（简称人教A版 新教材）在3. 1.1节（第62页）给出函数概念 时介绍道:“函数符号y=/(幻是由德国数学家 莱布尼茨在18世纪引人的.”在之前的人教A 版教材1.2. 1节也有同样的介绍.2019年人教 B版普通高中教科书数学必修第一册（简称人 教B版新教材）在拓展阅读《函数定义的演变 过程简介》中称：“欧拉于1734年首先使用字 母/表示函数.”人教社的这两本教科书中出现了不一致 的说法，哪个说法准确呢？函数符号/到底是谁最先使用的？莱布尼茨还是欧拉？莱布尼 茨和欧拉在函数概念发展中起到了怎样的作 用？还有哪些数学家对函数概念的形成起到 了关键作用？2函数的概念发展简史二十世纪六十年代，我国数学史学家杜石 然先生在《函数概念的历史发展》一文中介绍 了函数概念经历了六次扩张，其中提到17世纪 末莱布尼茨（G_W.Leibniz,1646- 1716)引入 了函数的概念，但他把函数理解为幂的同义词，而函数符号/(幻是欧拉（L.Euler，1707 - 1783)于1734年首先引人的[3].杜石然先生的 说法参考的是苏联大百科全书“数学符号”这 一词条.关于函数符号的引人，M •克莱因（M. Kline, 1908 - 1992)在《古今数学思想》中写 道:“在函数的符号表示方面，约翰•伯努利 1718年用％表示;c的函数，Leibniz同意这样 做.记号/(幻是欧拉于1734年首先引进的.”[4]徐品方、张红的《数学符号史》在介绍函 数符号史时将函数的概念发展分成七次扩张，称欧拉在1734年的著作中就用/(子+ c)表示f + C的任意函数，并称“这是数学史上首次用/(幻表示％的函数，一直沿用至今”，此外拉 丁语函数“function” 一词最早作为专门数学术 语使用的是莱布尼茨[5].世界著名数学史学家 卡尔•博耶（Carl B.Boyer, 1906-1976)在《数 学史》中称“莱布尼茨不是现代函数记号的发 明者，但‘函数’这个词要归功于他，这个词跟今天所使用的在很大程度上是一样的意义，，[6]由此可见，针对前面在两本教科书中发现 的问题已经有了一个确定的回答，函数符号/2021年第3期3-11故爹軋学最先是欧拉使用的，而莱布尼茨最早使用了 “function”一词表示函数的含义•亨利•庞加莱曾说：“如果我们想要预测 数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科 的历史和现状.”在《普通高中数学课程标准 (2017年版）》中对于“函数的形成与发展”这 部分内容提出了以下要求：“收集、阅读函数的 形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函 数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件 及其对人类文明的贡献.”因此,尽管前面的问 题已经得到回答，但是我们仍想对教材中出现 的有关函数概念的数学文化和数学史做一些 深人的探讨.2- 1教科书中的函数发展史首先给出各版本的教材对函数概念发展 的简介，按照原文出现的历史人物及贡献将部 分节选内容列举如下.人民教育出版社A版高中数学必修第一 册(2019年出版>《函数概念的发展历程》：莱布尼茨：“function”一词最初由德国数学 家莱布尼茨在1692年使用.李善兰：在中国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积 拾级》中首次将“function”译做“函数”•约翰•伯努利：瑞士数学家约翰.伯努利 强调函数要用公式表示.欧拉：瑞士数学家欧拉将函数定义为“如 果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数狄利克雷:德国数学家狄利克雷在1837年 时提出：“如果对于x的每一个值总有一个完全确定的值与之对应，那么;K是;c的函数.”说明：与人教A版旧教材的内容完全相同.人民教育出版社B版普通高中教科书数 学必修第一册（2019年出版）《函数定义的演 变过程简介》：莱布尼茨：“函数”一词是莱布尼茨创造 的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段 长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系.欧拉：欧拉于1734年首先使用字母/表示 函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另 一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也 随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数.黎曼：1851年，德国数学家黎曼给出的函 数定义是:假定z是一个变量，它可以逐次取所 有可能的实数值.如果对它的每一个值，都有 未知量W的唯一的一个值与之对应，则M；称为 Z的函数.布尔巴基学派：1939年，法国布尔巴基学 派在集合论的基础上给出了函数的定义……人民教育出版社B版高中数学必修第一 册（旧教材）《函数概念的形成与发展》：笛卡儿：当时人们把函数理解为变化的数 量关系，把曲线理解为几何形象.法国哲学家、数学家笛卡儿引入了坐标系，创立了解析几何.他把几何问题转化为代数问题.牛顿：英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿，以流数来定义描述连续量----流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系.因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那 个时代函数的概念.莱布尼茨：函数（function)—词首先是由德 国哲学家莱布尼茨引入的，他用函数一词来表 示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并 引入了常量、交量、参变量等概念.欧拉：瑞士数学家欧拉于1734年引入了函 数符号/(*)，并称变量的函数是一个解析表达 式，认为函数是由一个公式确定的数量关系.狄利克雷：直到1837年，德国数学家狄利克 雷放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和 运算组成的表达式的观点,提出了 y=/U)是;c 与y之间的一种对应的现代数学观点.李善兰：1859年我国清代数学家、天文学 家、翻译家和教育家李善兰第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今•江苏凤凰教育出版社高中数学必修第一 册《函数概念的形成与发展》：笛卡儿：1637年，法国数学家笛卡儿在《几 何学》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及 了变量，同时也引入了函数的思想.莱布尼茨=1692年，德国数学家莱布尼茨 最早使用“函数”这个词，他用“函数”表示随着3-12故f敉学2021年第3期曲线的变化而改变的几何量，如切线和点的纵 坐标等•约翰•伯努利：1718年，瑞士数学家约翰•伯努利给出函数新的解释：“由变量x和 常量用任何方式构成的量都可以叫作尤的函数•，，欧拉：1755年，瑞士数学家欧拉给出了函 数的如下定义……狄利克雷：1837年，德国数学家狄利克雷 认为：“如果对于x的每一个值总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”李善兰：1859年，我国清朝数学家李善兰 将function —词译成“函数”，并给出定义：“凡 此变数中函彼变数者，则此为彼之函数• ”这里 的“函”，是包含的意思.在国外的数学书上，习惯将函数（即对应关系）记为/,而在国内的数 学书上，通常将函数写为/(*).北京师范大学出版社高中数学必修第一 册《函数概念的起源>:伽利略：意大利科学家伽利略第一个提出 了函数或称为变量关系的这一概念.莱布尼茨：“function(函数）”这个词作为 数学术语，最初是由微积分奠基人之一、德国 哲学家、数学家莱布尼茨在1673年的手稿中首 次使用的.李善兰：1859年，我国清代数学家李善兰 在翻译《代数学》时，把“function”译为“函数以上不同版本教材中，莱布尼茨和欧拉都 经常出现，那么在函数概念发展的历程中，教 材中提到的这些人物做出了哪些贡献,还有哪 些关键人物呢？为了对函数概念有更全面的 理解，也方便师生在撰写函数发展过程的小论 文时参考，我们以人物为线索，简要回顾函数 概念发展的几种学说，不同历史阶段更多数学 家对函数的理解还可参考文[7].2.2变量说对运动与变化的研究是函数概念产生的 直接原因.16世纪以来，由于人们对地球运动、天体运动以及如何测量时间等实际问题的需 要，使得自然科学转向对运动的研究以及对各 种变化过程和各个变化着的量之间关系的研 究,因此数学中出现了“变量”的概念.从此，数 学从漫长的常量数学时期进展到变量数学时期，也就是从研究“数”变为了研究“函数尽管初中教材已经出现函数的概念，但直到高中 教材函数一章的全面介绍，中学数学才真正从 对数的研究转变为对函数的研究.函数概念的 发展离不开微积分观念的发展,要研究运动变 化过程自然离不开“微分”，因此学生在高中接 触导数与微积分之后，也正式跨入了近代数学 的大门.笛卡儿、费马、牛顿众所周知，笛卡儿与费马是解析几何的奠 基者，他们引入了坐标系，使代数表达式和平 面上的几何图形相对应，从而可以将几何问题 转化为代数问题来研究.但事实上，他们也是 函数概念的奠基人，他们提出了坐标U,y)中X和y具有某种关系，如费马所说“每当我们找 到两个未知量的等式，我们就有一条轨迹，它 描写的不外乎是一条直线或曲线”，这里出现 的轨迹和曲线就是早期函数的类似物.牛顿首次用专门术语genita(拉丁文）描述 了从一个量中得到的另一个量.牛顿称他的变 量为流数.牛顿为函数概念的发展作出的最大 贡献在于他使用了幂级数，幂级数对函数概念 的后续发展非常重要.莱布尼茨北师大版新教材中称“function(函数）”这 个词作为数学术语最初是由德国数学家莱布 尼茨在1673年的手稿中首次使用的，而人教A 版新教材、苏教版新教材均称莱布尼茨于1692 年最早使用“函数”这个词.事实上，这两个事 实是不矛盾的.莱布尼茨在1673年的一篇手稿《反切线或 函数方法》(M ethodus tangentium inversa,seu de fuctionibus)中首先使用了 “function”的拉丁文，但这个词并不表示函数的含义.术语“function”首次出现在印刷品上是莱布尼茨在1692年发 表的论文《De linea ex lineis num ero infinitis ordinatim ductis》，这篇文章中也包含了许多现 在常用的其他数学术语在1694年莱布尼 茨的另一篇论文中也出现了函数，他用函数表 示任何一个随着曲线上的点变动而变动的几 何量，如曲线上点的坐标、弦、切线、法线等.莱布尼茨的函数定义过分限制在几何领 域.事实上，作为微积分的奠基人，牛顿和莱布2021年第3期故学敉学3-13尼茨当时所研究的微积分并不是现代意义下 基于函数的微积分，而是基于几何学的微积分.约翰•伯努利之后，莱布尼茨的学生约翰•伯努利（J. Bernoulli，1667- 1748)使用了函数这个术语•1698年7月，莱布尼茨在给约翰•伯努利的信 中写道:“我很高兴你在我的意义下使用函数 这个术语.”伯努利在1698年8月的回信中说: “为了表示某个不定量x的函数，我喜欢使用 相应的大写字母Z或希腊字母f这样我们就 可以同时看到这个函数所依赖的不定量.”在 同一封信中，他使用了符号A： = a:和X= 之 后，函数的概念逐渐脱离几何.1718年，伯努利首次明确给出函数的正式 定义:“一个变量的函数是指由这个变量和常 数以任意一种方式构成的量.”他试验过几种 表示z的函数的符号，其中用数学符号_表示 函数是最接近现代记法的一种.“变量”一词也 是这时引人的.伯努利的这个定义脱离了几何 语言,但他没有解释“以任意一种方式构成”的含义.欧拉下一位关键人物是欧拉，他是约翰•伯努 利的学生.在约翰•伯努利的基础上，欧拉在 18世纪30年代发表的一篇论文中用j i— + c)表7K— + c的任意函数，之后在1748 \a)a年出版的《无穷分析引论》中使用了伯努利的 定义，并且首次用“解析式”[9]来定义函数，把 一个变量z的函数看作由该变量2和一些常数 以任何方式构成的解析表达式，如a + 3z，az -欧拉在这本书的前言中说数学分析就是研 究变量及其函数的一门学科，并且他认为微积 分是关于函数的，而不是关于曲线的.这是欧 拉的“解析式”定义.1755年，欧拉在他的《微分学原理》中给出 了新的函数定义：“如果某些量以如下方式依 赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也 发生变化，则称前一些量是后一些量的函数.”这是欧拉的“依赖关系”定义.总之,欧拉是第一位突出函数概念的数学家，欧拉还对函数进行了分类，使用了“代数函 数”“超越函数”“单值函数”“多值函数”等术 语，他定义的函数关系可以用诸如多项式、正 弦、对数表达的解析式或解析式的积分来表示.欧拉的定义涉及到刻画两个变量之间的变 化关系，人们通常称欧拉的定义为函数的“变 量说欧拉对函数发展的更多贡献可参考文[10].欧拉及同时代的其他数学家都认为函数 是通过一个解析式表达出来的，根据他们的 观点，不能被称为一个函数.在这一时期，使用解析 式来定义函数的观点的著名数学家还有很多，以下简述其中几位.丹尼尔•伯努利在研究弦振动方程时，获 得了一个称为三角级数（即后来的Fourier级 数）形式的解，伯努利从物理的眼光相信所有 的函数都可以表示为三角级数的形式.拉格朗日在《解析函数论》（1797年）中称 一个或几个量的函数是指任意一个适于计算 的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中……一般地，我们用字母/或F放在一个变 量的前面以表示该变量的任意一个函数，即表 示依赖于这个变量的任何一个量，它按照一种 给定的规律随着那个变量一起变化.拉格朗曰 在这本书中以幂级数为出发点，将函数概念限 制为解析函数.德摩根在1837年的《代数学》中将函数定 义为以任意方式包含x的表达式.1851年，罗密士在《解析几何与微积分基础》中称：“若一 个变量等于含有另一个变量的代数式，则称第 一个变量为第二个变量的函数.”英国传教士 伟烈亚力（A.Wylie,1815 - 1887)和清代数学 家李善兰（1810 - 1882)翻译的《代数学》和《代 微积拾级》（即《解析几何与微积分基础》）这 两本书采用的都是函数的“解析式”定义，因此 他们将变量翻译为变数，包含变数的表达式翻 译为“函数”，意为“一个式子中含有数字符号”，其中“函”与“含”意义相同.李善兰将函 数符号“/”用“函”表示，从而函数y =/U)用3-14故学敉学2021年第3期汉字化符号表示成“地=函（天）”•《代数学》中函数定义为:“凡式中含天，为天之函数”（中国古代以天地人物表示未知数），《代微积拾 级》中称“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函 数”，这就是中文数学名词“函数”的由来.当代 数学大家丘成桐认为《代数学》和《代微积拾 级》是清末西方代数学译著中最重要的两本译 著,因为它们给中国传统数学带来了西方符号 表示的理论体系和系统化的微积分理论人教A版教材称“在中国，清代数学家李 善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的 《代微积拾级》中首次将‘function’译做‘函数’”，而北师大版新教材称“1859年，我国清 代数学家李善兰在翻译《代数学》时，把 ‘function’译为‘函数那么李善兰究竟是在《代数学》还是《代微积拾级》中最早把function 翻译成函数的呢？事实上，这两本书可能是同 时进行翻译的，并且都是在1859年于墨海书馆 出版的.因此，更确切的说法是：1859年，我国 清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力在 合译《代数学》与《代微积拾级》时首次将“function”译为“函数”■徐品方、张红在《数学 符号史》中使用了这种说法[5].用函数的解析式定义有很大的局限性，比如某些变量之间的对应关系无法用解析式表 达.更多关于解析式定义的内容，我们推荐读 者阅读文[9].2.3对应说1755年，欧拉就给出了函数的“依赖关系”定义，这种定义也逐渐演变为“对应说之后，傅里叶摆脱了欧拉单一解析式定义的束缚，柯 西、狄利克雷和黎曼等给出了函数的现代定义.傅里叶法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768 _ 1830)在研究热传导方程的解时，得到结论:在 不同的区间一个三角级数的和可用不同的算 式表达.他认为函数是否由单一解析式给出并 不重要，他在1822年《热的解析理论》中给出 函数的如下定义：“函数/(幻代表一系列的值 或纵坐标，它们中的每一个都是任意的.对于 无限多个给定的横坐标a：的值，有同样多个纵 坐标/U).……我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律.”柯西法国数学家柯西（A.Cauchy, 1789-1857) 指出了拉格朗日用幂级数定义函数的局限，他 研究了函数丄f(x) = j e，2>以 〇，[0，A t = 0,并证明/U)在X= 0处的各阶导数均为0，但按 照泰勒级数给出的函数/(；«) = 0 + 0% + Ox2 + 0不是原来的函数.1823年，柯西用关系给出了 函数的定义：“在某些变量之间存在着一定的 关系，只要其中某一变量的值给定了，其他变 量的值可随之而确定时,则将最初的变量叫自 变量，其他各变量就叫做函数.”狄利克雷1837年，德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet, 1805- 1859)改进了傅里叶的定义，给出了函数的以下定义：“如果对于给定区间 上的每一个x的值,有唯一有限的y的值同它 对应，那么y就是X的一个函数.至于在整个区 间上y是否按照一种规律依赖于^或者y依 赖于x是否可用数学运算来表达，那都是无关 紧要的.”由此，函数可以理解为一个规则，变量x的值固定了,按照这个规则确定了（或对应着）唯 一的一个y值.函数的这个定义打破了十八世 纪占统治地位的函数只能由一个解析式来表 达的想法，狄利克雷在研究傅里叶级数的收敛 性问题时出现了狄利克雷函数1，x是有理数，〇,^是无理数，这样定义的对应关系在狄利克雷的意义下成 为函数.狄利克雷的函数定义已经接近中学教 科书中的函数概念[121.自狄利克雷的工作之后，出现了大量的 “病态”函数，分析学的特征也出现了变化.17 世纪以来，分析学被认为可以应用于“所有”函数，从狄利克雷开始，分析学转向研究特定的2021年第3期故錄学3-15函数类，如连续函数、可微函数、可积函数、单 调函数等.而一些数学家也开始研究一些不规 则的函数，如魏尔斯特拉斯（Weierstrass, 1815 - 1897)在1872年给出的著名的处处不可 微的连续函数.黎曼1851 年，黎曼（B.Riemann，1826- 1866) 给出的函数定义是:“假定z是一个变量，它可 以逐次取所有可能的实数值，若对它的每一个 值，都有不定量w的唯一的值与之对应，则称w 为z的函数.”狄利克雷和黎曼的定义中采用了“唯一的 一个值与之对应”，通常这样的定义称为函数 的“对应说”，这样函数的概念从“变量说”转变 为“对应说”，我国现行高中教科书大多采用这 样的定义[13].因此，用“对应说”定义函数，主要关心的 是对应的结果，而不是过程，对应法则是手段，对应结果才是目的[14].相同的对应关系可以有 不同的式子来表达，在这一点上，柯西给出了—个很简单的例子，/(幻：广’也可[-X, X< {)以用y u) = #或y u) = 来表示.我们还可以举出其他初等例子，比如y = (a; - I)2 -x2 +2尤与y= sin2x +cos2尤是同一*个函数；y = 和〇0) = {丨’，x是同一个函数，等等.此外，对于函数{〇, 11)与;r= e|〇,i|),由于对应法则不同，它们貌似是两个不同的函数,但仔细分析，它们的定义域相同，并且一旦变量*的值固定，按照这两个解析式给出的规则都确定了相同 的y值，因此这“两”个函数是同一个函数.2.4关系说1874年，康托尔开创了集合论，到20世纪 初,集合论的思想与方法渗透到数学的各个领 域.在建立集合论之后，函数定义又以集合对 应的方式进行了改写.1888年，戴德金把函数定义为集合间的映 射，而映射指一种规则:在这种规则少下，系统 S(即集合S)中的任意元素s对应于确定的对象少⑴.1904年,J.Tannery给出了基于集合论的 函数定义：考虑不同的数组成的一个集合，这 些数可作为赋予字母x的值，则x称为一个变 量，设x的每一个值对应于一个数，后者可作为 赋予字母y的值，则我们称y是由集合所确定 的*的函数.1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基 础上，给出的函数定义如下:设£和F是两个 集合，它们可以不同，也可以相同.£中的变元 和/^中的变元;K之间的一个关系称为一个函 数关系，如果对于每一个* e都存在唯一的y e F,它满足于；c给定的关系，称这样的运算 为函数.它以上述方式将与x有给定关系的元 素y e F与每一个元素;c E £相联系，称y是函 数在元素;c处的值，函数值由给定的关系所确定•布尔巴基学派还给出了函数用笛卡尔积 子集（有序对）来定义的方法，这个定义也可以 在《普通高中数学课程标准（2017年版）》案例 2中找到:设F是定义在集合X和y上的一个 二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一 个x e Z，都存在唯一的y e I使得(*，y) e F.但课程标准在此处未明确二元关系的定义，实际上集合X和F上的一个二元关系f指集合 尤和r的笛卡尔积尤x丨（X，y)丨* e Z，y e W的一个子集这个定义可以用形式化的语言描述如下:设X和F为两个集合，任意a;e尤,存在y使得U,y)e若(*，y)e F且e F蕴含y=z，则称F是集合Z到 集合y的函数.以“关系”为桥梁，通过集合来定义函数称 为函数的“关系说“关系说”通过附加条件避 免了交代“对应关系”，国外的一些中学教材[15]也有采用.另外，布尔巴基学派是研究数 学结构的先驱，最早用集合论语言刻画了数学 结构.在20世纪，将任意集合之间的映射作为 函数的概念逐渐占据主导地位.现代范畴论的 奠基人麦克莱恩（S.MacLane，1909 - 2005) 1986 年在《Mathematics:Form and Function》一-书中详细探讨了函数的各种“直观”看法，使用 有序数对给出了一个形式化定义，并用—。
数学符号的来历
数学符号的来历例如加号曾经有好几种，现在通用“＋”号。
“＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。
十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“＋”号。
“－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“－”了。
也有人说，卖酒的商人用“－”表示酒桶里的酒卖了多少。
以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“－”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“＋”号。
到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“＋”用作加号，“－”用作减号。
乘号曾经用过十几种，现在通用两种。
一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。
德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“·”号。
他自己还提出用“п”表示相乘。
可是这个符号现在应用到集合论中去了。
到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。
他认为“×”是“＋”斜起来写，是另一种表示增加的符号。
“÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。
直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。
后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。
平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号。
“√”是由拉丁字线“r”变，“——”是括线。
十六世纪法国数学家维叶特用“＝”表示两个量的差别。
可是英国牛津大学数学、修辞任意号如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），∵因为，（一个脚站着的，站不住）∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n 个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。
高中数学教学案例设计大赛获奖作品汇编27篇
高中数学教学设计大赛获奖作品汇编目 录1、集合与函数概念实习作业……………………………………2、指数函数的图象及其性质……………………………………3、对数的概念…………………………………………………4、对数函数及其性质（1）……………………………………5、对数函数及其性质（2）……………………………………6、函数图象及其应用……………………………………7、方程的根与函数的零点……………………………………8、用二分法求方程的近似解……………………………………9、用二分法求方程的近似解……………………………………10、直线与平面平行的判定……………………………………11、循环结构 …………………………………………………12、任意角的三角函数（1）…………………………………13、任意角的三角函数（2）……………………………………14、函数sin()y A x ωϕ=+的图象…………………………15、向量的加法及其几何意义………………………………………16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）………………17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）……………………18、正弦定理（1）……………………………………………………19、正弦定理（2）……………………………………………………20、正弦定理（3）……………………………………………………21、余弦定理………………………………………………22、等差数列………………………………………………23、等差数列的前n项和………………………………………24、等比数列的前n项和………………………………………25、简单的线性规划问题………………………………………26、拋物线及其标准方程………………………………………27、圆锥曲线定义的运用………………………………………前言为了更好地贯彻落实和科课程标准有关要求，促进广大教师学习现代教学理论，进一步激发广大教师课堂教学的创新意识，切实转变教学观念，积极探索新课程理念下的教与学，有效解决教学实践中存在的问题，促进课堂教学质量的全面提高，在2007年由福建省普通教育教学研究室组织，举办了一次教学设计大赛活动。
高一数学必修1-函数的概念及基本性质
§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ，x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b]. 这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 【例题解析】例1 判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？(1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)1x x 1y --= (4)y=x -1x +-例2 求下列函数的定义域： （1）()f x = (2)xx x x f -+=0)1()(例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).例4 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，求)1(f ，)1(-f ，)0(f ，)]}1([{-f f f讨论：函数y=x 、y=(x )2、y=23xx 、y=44x 、y=2x 有何关系？例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.② ()f x = x ； ()g x ③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ；()g x 例6 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.例8 ※ 动手试试1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.函数的概念习题：1．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )（D ）2.对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
函数符号的故事
函数符号的故事函数符号，作为数学中的重要概念之一，承载着丰富的内涵和深刻的数学思想。
它不仅是数学家们智慧的结晶，更是数学发展历程中的重要标志。
那么，函数符号的故事究竟是怎样的呢？要探寻函数符号的故事，首先我们需要回到17世纪。
当时，数学家们对于变化的研究日益深入，他们开始关注自变量和因变量之间的关系。
在这个背景下，数学家们开始使用符号来表示这种关系，这就是函数符号的雏形。
最初，函数符号并不像今天这样简洁明了，而是经过数学家们的不断探索和完善，逐渐演变成了我们现在所熟知的形式。
随着时间的推移，函数符号逐渐被纳入到数学体系之中，成为了数学研究的重要工具。
它不仅在微积分、代数、几何等多个数学领域中发挥着重要作用，更是在物理学、工程学等应用科学中扮演着重要角色。
可以说，函数符号的发展与数学的发展息息相关，它的故事也是数学发展史的重要组成部分。
在函数符号的故事中，我们还可以看到数学家们对于函数概念的深刻理解和丰富内涵的挖掘。
通过对函数符号的研究，数学家们逐渐揭示了函数的性质和规律，为函数论的发展奠定了坚实的基础。
同时，函数符号的故事也反映了数学家们在实际问题中运用函数的智慧和创造力，为人类社会的发展做出了重要贡献。
除此之外，函数符号的故事还包含着数学思想的传承和创新。
在数学发展的历程中，数学家们不断地对函数符号进行探索和发展，推动了函数论的不断完善和深化。
他们不断提出新的概念、新的方法，丰富了函数符号的内涵，拓展了函数理论的应用领域，为数学的发展注入了新的活力。
综上所述，函数符号的故事是数学发展史上的重要篇章，它承载着数学家们的智慧和创造力，反映了数学思想的传承和创新。
通过对函数符号的故事的探究，我们不仅可以更深入地理解函数的本质和作用，更可以感受到数学发展的历程和数学家们的辛勤付出。
函数符号的故事，不仅是数学的故事，更是人类智慧的结晶，它将继续激励着数学家们不断前行，为数学的发展作出新的贡献。
高一各科学生研究性课题汇总
高一各科学生研究性课题汇总高一语文学科研究性学习课题名称：1、李白诗歌的月亮情结2、古典诗歌中的爱国情怀3、古典诗歌中的题材研究高一数学组参考选题：1、函数产生的社会背景2、函数概念发展的历史过程3、函数符号的故事4、数学家与函数（众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒，伽利略，笛卡尔，牛顿，莱布尼兹，欧拉等，可以选取一位或者多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神）目的：了解函数形成和发展的历史，体验合作学习的方式高一英语研究性课题：1、英语词汇的奥秘2、西方国家节日谈趣3、英语中的动物习语高一物理学科研究性学习课题名称：1、牛顿第一定律物理学史的探究2、伽利略对自由落体运动的研究3、力学单位制的发展过程4、生活中的超重失重现象的分析高一化学研究性课题：1.食品中的添加剂2.燃料电池发展前景及利用3.酸雨与人体健康.高一生物研究性课题：1. 病毒与生命科学，了解病毒相关知识以及病毒在生命科学中的重要作用。
2.关于健康饮水方法的研究，水是生命之源，怎样饮水才有利于身体健康？3.广告中的生物学知识，你知道的商品广告中有哪些生物学知识？有兴趣的话我们一起来研究吧！高一政治研究性课题：1.人民币知识探究，了解我国法币的发展，学会分析人民币发行的规律。
2.猪肉价格上升的短期影响，通过调查问卷，了解猪肉价格上升对生活、生产的影响，提升学生关注国计民生。
3.高一学生消费的心理调查，通过问卷案例了解学生消费心理，对学生消费心理进行分析和引导。
高一历史研究性学习课题名称1.微视角－－历史拐弯处的幽灵2.追索谱系乡谣，探寻宗族的前世3.穿梭古庙宗祠，感悟历史的沧桑。
欧拉生平及他对数学科学的卓越贡献
欧拉生平及他对数学科学的卓越贡献欧拉是瑞士数学家、物理学家，自幼聪明，在约翰i伯努利教授的保荐下，13岁(1720年)进入巴塞尔大学，17岁就成为巴塞尔大学有史以来第一个年轻的硕士，18岁开始发表论文，19岁发表的论文获得巴黎科学院奖。
欧拉在伯努利“家族”座右铭“努力向前”的鼓舞和鞭策下，奋力拼搏、展翅高飞。
欧拉一生四海为家，生于瑞士，在俄国工作31年（担任圣彼得堡科学院院士，数学部负责人），在德国工作四分之一世纪（1741—1766）（曾担任柏林科学院物理数学所所长），骨灰长眠在俄国。
这三个国家都把欧拉引为自己国度的数学家为荣，实际上欧拉属于全世界。
在数学史上，欧拉是成果最多的科学家（共有886项）。
他是复变函数论的先驱、变分学的奠基人、理论流体动力学的创始人。
他还为数学分析的发展以及数学应用做出杰出的贡献，被后人称为“分析的化身”、“应用数学大使”、“数学界的莎士比亚”。
欧拉的足迹遍布他那个时代的数学世界的每个角落，“哪里有数学哪里就有欧拉”。
欧拉的著名发现可以列成一张很长很长的表，在数学和其他科学里常常可以见到以欧拉的名字命名的公式、定理和方程。
美国数学史家克莱布（Kline）说：“没有一个人像他那样多，像他那样巧妙地把握数学；也没有一个人能收集和利用代数、几何分析的手段去产生那么多令人钦佩的成果。
他是顶呱呱的方法发明家，又是一个熟练的工匠”。
欧拉不仅仅是在数学上建树卓越，而且在物理学、力学、天文学、光学、航海学、造船学、建筑学、弹道学、哲学、音乐理论、神学等学科也做出非凡的成绩，曾经有科学史家把欧拉对科学的贡献划在伽利略、牛顿、爱因斯坦的行列中。
欧拉对微积分的发展所做的划时代贡献值得大书特书。
自从牛顿和布莱尼兹创立微积分之后，很快出现了许多毫无联系的数学成果有待整理。
欧拉通过他的著作《无穷分析引论》（1748年）、《微分学原理》（1755年）、《积分学原理》（1774年）,把前人的发现加以总结定型并注入了自己的见解。
数学家欧拉的故事
数学家欧拉的故事今天我们来聊一个非常著名的数学家。
他和阿基米德、牛顿高斯并称为数学史四大天王。
他的名字叫欧拉。
一生堪称传奇。
拍一部电视剧80集都不用剧本虚构。
每年的栽倒在数学上的人应该也无比地怨恨欧拉。
因为f(x)、sin、cos、tg这些符号都是他发明的。
今天我就来郑重其事地为大家科普一下这位非常傲娇的数学家、物理学家、自然科学家、建筑学家、经济学家——莱昂哈德·欧拉。
莱昂哈德·欧拉虽然出生在一个牧师家庭，可他父亲对数学有浓厚的兴趣。
特别喜欢给欧拉讲数学故事。
由此把欧拉带上了数学这条不归路。
而且欧拉的父亲认识当时大名鼎鼎的数学家约翰伯努利。
由此成为了伯努利的弟子。
伯努利家族大家应该都听说过吧，三代人出了8位科学家。
这个家族自称研究数学就像酒鬼碰上了烈酒。
而约翰伯努利则是伯努利家族成就、地位最高的三人之一。
这就相当于什么呢？中科院院长手把手教学带你飞。
而且约翰伯努利的两个儿子，也是著名数学家尼古拉、丹尼尔更是因此和欧拉相熟。
他们比欧拉大了十几岁，欧拉少年知识，就已经是卓有成就的数学家。
经常给欧拉讲一些数学趣事。
三个数学界大佬手把手教学，不想成为大佬都难。
但是欧拉也是非常牛的。
什么“天赋异禀”、“兰心蕙质”、“天资聪颖”、“高世之智”、“八斗之才”，都不足以形容欧拉的盖世神功。
人家9岁，就把牛顿的《自然哲学的数学原理》看完了。
欧拉也是一个特别傲娇自负的人，从小的时候就表现的淋漓尽致。
有一天，他问数学老师：“天上一共有多少颗星星呀？”不知如何回答的老师只好说：“天上有多少颗星星不重要，只要记得那些星星是上帝镶嵌进去的就好啦。
”于是欧拉傲娇地说：“上帝是个窝囊废，连星星都数不清楚！老师也是个笨蛋，竟然相信上帝！”说完这句话他立刻就被学校开除了……13岁考入巴塞尔大学一开始是主修哲学和法律。
后来觉得太容易了，太轻松了。
一口气又修了数学、神学、希伯来语以及希腊语。
课余还研究音乐、物理、建筑啥的。
sin和cos不得不说的故事
1. 有一天，sin方了一下，cos也方了一下，他们于是相爱了。
成了完美的1
2.三角函数家有许许多多招式。
但是始终遵循着“奇都变了偶还不变。
符号他妈还要看象限。
”
3.sin和cos有一天除了一下，于是tan诞生了
4.tan很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot陪陪他
5.tan找不到妈妈cos时，就会方一下然后去找1，于是在根号叔叔的帮助下，找回了cos
6.cos一直不喜欢别人叫她原名：x/r。
x太丑，r弯弯的也不好看
7.sin倒是觉得x蛮酷的
8.cos有的时候蛮无聊的，把人家好好的阿尔发和贝塔硬是弄得分居，结果上去调停的还是她。
9.sin也会做差不多的事。
但他比较懒。
不变号
10.tan也想学爹妈做差不多的事，结果他遇到y轴老大哥罩着的一帮角就肯定没辙了，pai公公有时也会四分之一下耍耍他。
11.但分类讨论哥永远不会抛弃tan,事实上他从未抛弃过任何人
12.任你角度大到天涯海角，让我用诱导公式将你瞬间秒杀。
13.当遇到所有招式的对付不了的角度时，三角函数一家也绝不会气馁，他们还有大杀器：辅助角
14.他们一家的小儿子sec和小女儿csc，还没长大，还得靠tan哥哥和cot姐姐来解决困难
15.有的时候角度会阴险的穿上绝对值防护罩，这时候请信分类讨论哥
16.信分类讨论哥!不挂科！。
函数与方程发展史
四、函数与方程同学们，学完了函数与方程，你知道含有未知数的等式为什么叫做“方程”吗？你知道函数的概念是怎么演变过来的？你知道大数学家的丢番图和不定方程之间的关系吗？你知道我们的祖先对不定方程的研究吗？你知道科学家们为了数学的发展做出的贡献吗？你知道为什么二分法能求出函数的近似零点吗？请阅读下面的文章．►数学史话方程的由来同学们，我们已经知道了方程的意义．但是，“含有未知数的等式”丝毫没有“方”的意思，为什么叫做“方程”呢？要说明“方程”的由来，先得从我国古代的“筹算”说起．我们现在都用拉丁字母表示数，用阿拉伯数字写数．可是我国古代的人们既不知道拉丁字母，也不认识阿拉伯数字．他们是用“算筹”记数的．你看这个“算”字多有意思！上面是“竹”字，下面是“具”字，所以，“算” 就是“竹制的计算工具”．从汉朝开始，人们用竹子制成许多长六寸（合现在的4．15 市寸）的小竹棒，这些小竹棒就叫“算”，或者叫“筹”，我们现在把它叫做“算筹”，用算筹来计算的方法叫做“筹算”．算筹在“方程”这个词里，“方”就是“列筹成方” 的意思，用算筹列出的方程就是把算筹摆成了一个长方形，“程” 就是“课程”，所以“方程”就是“列筹成方的课程”．十六世纪，随著各种数学符号的相继出现，特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后，“含有未知数的等式”这一专门概念出现了，当时拉丁语称它为“aequatio”，英文为“equation”．十七世纪前后，欧洲代数首次传进中国，当时译“equation”为“相等式”．由于那时我国古代文化的势力还较强，西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较的影响，因此“代数学”连同“相等式”等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究．十九世纪中叶，近代西方数学再次传入我国．1859年，李善兰和英国传教士伟烈亚力，将英国数学家德·摩尔根的《代数初步》译出．李、伟两人很注重数学名词的正确翻译，他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词，许多至今一直沿用．其中，“equation”的译名就是借用了我国古代的“方程”一词．这样，“方程”一词首次意为“含有未知数的等式”．李善兰1873年，我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳，与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的《代数学》，他们则把“equation”译为“方程式”，他们的意思是，“方程”与“方程式”应该区别开来，方程仍指《九章算术》中的意思，而方程式是指“今有未知数的等式”．华蘅芳的主张在很长时间里被广泛采纳．直到1934年，中国数学学会对名词进行一审查，确定“方程”与“方程式”两者意义相通．在广义上，它们是指一元n次方程以及由几个方程联立起来的方程组．狭义则专指一元n次方程．既然“方程”与“方程式”同义，那么“方程”就显得更为简洁明了了．华蘅芳(本文摘自九章出版社之“数学诞生的故事”)函数小史数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用．我们刚学过的函数就是这样的重要概念．在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的．最早提出函数（function ）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如23,,x x x 都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标．1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量x 和常量构成的式子都叫做x 的函数．贝努利所强调的是函数要用公式来表示．莱布尼茨后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上．只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准．1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”欧拉当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数．”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词．柯西1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值．罗巴契夫斯基1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x 的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被比较长期的使用着．狄里克雷自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在中学课本里用的了．中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的．中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思．李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．李善兰在可预见的未来，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展．►思维导航科学家和方程的故事有一次德国著名物理学家爱因斯坦病了，他的一位朋友给他出了一道题消遣：爱因斯坦“如果时钟上的针指向12点钟，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6点钟，时针和分针就不能对调．否则会出现时针指12点，而分针指6点，这种情况是不可能的．问针在什么位置时，时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上可能的时刻？”爱因斯坦说：“这对于病人确实提了一个很有意思的问题，有趣味而不太容易．只是消磨不了多少时间，我已经快解出来了．”说着他在纸上就解起来了．爱因斯坦画了个草图．钟盘上共有60个刻度．分针运转的速度是时针的12倍．爱因斯坦设所求的时针的位置是x点y分，此时分针在离12点有y个刻度的位置，时针在离12点有z个刻度的地方．时针走一点时，分针要转一圈，也就是要转60个刻度．如果时针指向x点钟，分针要转x圈，要转过60x个刻度．现在时针指向x点y分，分针从12点起已转过了60x+y个刻度．由于时针运转的速度是分针的十二分之一，所以时针转过的刻度是z =1260y x +个 把时针、分针对调以后，设所指时刻为x 1点z 分，这时时针离12点有y 个刻度 y =12601z x +个 这样就得到了一组不定方程组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=126012601z x y y x z 其中x 1和x 是不大于11的正整数或0．让x 1和x 取0到11的各种数值时，可以搭配出144组解．但是当x =0,x 1=0时是时针、分针同时指向12点；而x =11,x 1=11时算出y =60,z =60是11点60分，即12点．这样x =0，x 1=0与x =11,x 1=1是同一组解．因此，这组不定方程只有143组解．比如，当x =1,x 1=1时，解出y =5115，z =5115说明1点5115分时，两针重合，可以对调； 当x =2,x 1=3时，解出y =15143135,z =1114347就是2点15143135分与3点1114347分两针可以对调．爱因斯坦的朋友十分钦佩爱因斯坦的解题能力．“逼近思想”与“二分法”用二分法求函数的零点或方程的近似解是《普通高中数学课程标准》新增的内容之一．作为算法体系中求方程近似解的一种重要的方法，二分法是解非线性方程()0f x =的一种直观而又简单的算法，它的依据是如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间[],a b 内至少有一个零点，即至少存在一点c 使得c 就是方程()0f x =的根．具体计算步骤是，不断缩小区间的长度，使区间中点逐步逼近根的精确值，周而复始，不断二分以缩小区间的长度，理论上这一过程可以无限进行下去，如同古代《墨经》所说的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．但实际上，只要满足某种精度要求的近似解，进行有限步便可终止．从算法当中，我们可以体会到二分法用到了逼近的思想，是通过不断缩小区间，使区间的中点逐渐逼近根的精确值．无限逼近的思想是高中数学的重要思想方法．1、数学中逼近思想的应用早在我国的三国时代，数学家刘徽就用“割圆术”求出了比较精确的圆周率．他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积．于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形……，一直到正三百七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位．这种“割圆术”所用的数学思想，就是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想．刘徽在定积分概念的教学当中，求曲边梯形的面积，我们正是从正多边形逼近圆的方法中得到”以直代曲”的思想，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．可以想象，随着拆分越来越细近似程度就会越来越好，也即：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．具体的实施步骤为（1）分割，（2）近似代替，（3）求和，（4）取极限．例如，求下图函数1cos y x =-，[]02,x π∈与x 轴围成图形的面积．我们可以先将x 轴上的区间[]02,π分成n 等份，从各分点作y 轴的平行线与函数图象相交，依次连结图象上相邻的交点，构成了n 个梯形（其中首尾两个为三角形），用这个梯形的面积之和来近似代替所求图形的面积．但为了计算方便，也可以通过向曲线外或曲线内作矩形来近似逼近如下图：这样，用逼近思想可求得阴影部分的面积．2、二分法是怎样体现逼近的？ 理论上二分法的过程可以无限进行下去，如同古代《墨经》所说的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．但实际上，只要满足某种精度要求的近似解，进行有限步便可终止．也就是说二分法的本质是通过“取中夹逼”的办法把所求函数的零点或方程的根“逼”到一个符合精度要求的区间内，从而得到近似答案．近些年来，由于计算机技术的发展，才使得这种方法有了很大的使用价值．在具体求解的过程当中有“精确度”与“精确到”两种：精确度与方程的精确解和近似解的差的绝对值有关，如果这个绝对值小于某个数值，那么这个数值就是精确度．由于方程的根x 和n x 均位于区间,n n a b ⎡⎤⎣⎦，由绝对值的意义，容易知道n n n x x b a -≤-．此时教科书定义了精确度的概念：若区间,n n a b ⎡⎤⎣⎦的长度n n b a ε-<．则为ε方程的近似解n x 的精确度．精确到是一个有效数字，我们说精确到0．01，则π的近似数3．14．用二分法求方程3310x x +-=的近似解0x x =时，我们经第一次计算知()0005,.x ∈，区间两个端点值0与05.精确到01.的近似值分别为0和05.，不为同一个值，不符合题义；第二次计算后()002505.,.x ∈其区间两端点值0．25 与05.精确到01.的近似值分别为03.和05.，不为同一值，不符合题意；第三次计算后知()00250375.,.x ∈，其区间两个端点值0．25 与0．375 精确到01.的近似值分别为03.和04.，不为同一个值，也不符合题意；第五次()003125034375.,.x ∈，其区间的两个端点值为同一个近似值，符合题意，所以需经过5次计算．但最后发现近似值03.不在区间内似乎体现不出“夹逼”，反而给人虚化的感觉．其实这个题目最好的解法:（1）是“精确度”为ε，那就使区间不断缩小直到第一次出现间距小于ε，这样就能更形象、直观、贴切地刻画“二分法”的“逐步逼近”的思想．（2）是“精确到” 01.，那么此题经过3 次计算后，方程的解落在区间（0．25，0．375）， 此区间的两个端点值，在给定的精确度01.的限制下，左端点值0．25 向右“逼近” 03.，右端点0．375 向左“逼近” 03.，因左右“夹逼”后为同一个数值03.，所以只需计算3 次，方程的近似解就为03.，从而大大减少“压缩”的次数．这样更能有效地体现“二分法”的“逐步逼近”思想．3、“二分法”的逐步逼近思想是怎样实现的？当前信息技术功能强大，尤其是图形计算机和数字计算机的大量使用只要输入方程的表达式，按下“求解”键，就能得到方程的精确解或近似解；同样，在“函数作图与分析功能”中，通过画出相应函数的图象，分析函数与横坐标轴的交点，也能得到方程的精确解或近似解．作为算法体系中求方程近似解的一种重要的方法，二分法是解非线性方程的一种直观而又简单的算法，它的本质就是区间迭代的数值算法．在信息技术环境下，学习二分法，一是给我们提供了快速计算的工具，提高运算的效率；二是给我们提供了验证的工具，检验结论的正确性．总之，“二分法”朴素而又寓意深刻的体现了数学逼近的过程．“二分法”包含了许多以后可以在算法以及其他方面运用和推广的朴素的思想，可以真实地让我们在学习中感受“整体→局部”，“定性→定量”，“精确→近似”，“计算→技术”，“技法→算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育价值．►数学应用故事中的数学一、有趣的故事（问题的提出）你看过“聪明的邻居”这个看似简单，其实蕴涵深刻道理的故事吗？这个故事是在阿拉伯民间开始流传的．后来，它传到了世界各国，一次又一次地被编到各种读物中．看过这个故事的人们，无不赞叹邻居的机智聪颖和解决问题的巧妙程度，他带给人们一种“魔幻”的震撼力．故事是这样的：从前有个农民，他有17只羊．临终前，他嘱咐把羊分给3个儿子．他说，大儿子分一半，二儿子分13，小儿子分19，但是不许把羊杀死或卖掉．3个儿子没有办法分，就去请教邻居．聪明的邻居带了1只羊来给他们，羊就有18只了．于是，大儿子分12，得9只；二儿子分13，得6只；小儿子分19，得2只．3个人共分去17只．剩下的1只，由邻居带了回去．听完了这个故事，你有什么想法？是不是觉得很凑巧？那么，到底有没有不这么凑巧的情况呢？我们接着研究……二、模仿原故事（分析与假设）现在，让我们来改动一下这个故事里的数字，看看结果是怎样的呢？假设农民还有17只羊，还是分给3个儿子，还是大儿子分12，二儿子分13．但是，小儿子不是分19，而是分16．要是这时邻居牵了一只羊送去，结果：大儿子得9只，二儿子得6只，小儿子得3只．18只羊都分光了，邻居则损失了1只羊．再假设农民对17只羊的分配方案是：大儿子13，二儿子16，小儿子19．要是这时邻居送1只羊去，大儿子分得6只，二儿子分得3只，小儿子分得2只．这时，18只羊还剩下7只，邻居不可能把它们都拿走吧？！想要充当故事里聪明的角色并不是那么容易的，需要弄清里面的道理，才能避免失败．要是你忘记了农民有多少只羊，也记不清分配方案，又想向别人讲这个故事，应该怎样把忘记的数字找回来呢？我们接着研究……三、列方程求解（建立模型）1、农民有n 只羊．其中，n 是一个未知的正整数．2、农民要求大儿子分1x ，二儿子分1y，小儿子分1z ．其中，x 、y 、z 也是3个未知的正整数．在这3个未知数中，1＞1x ＞1y ＞1z，所以，1x y z <<<． 3、牵来一只羊后，羊就能够分配了．这就是说，,,x y z 都能整除()1n +． 4、3个儿子分过之后，还剩下1只羊． 根据以上这些条件，我们来建立方程——大儿子分到的羊数：1n x+； 二儿子分到的羊数：1n y+； 小儿子分到的羊数：1n z+；方程：1n x + +1n y+ +1n z + n = 两边除以()1n +，得：1x +1y+1z =1n n + =111n -+移项，得：1x +1y+1z 11n ++ =1 设1n ω+=，得：1x +1y+1z 1ω+ =1方程得到了，那么这个不定方程需满足哪些条件呢？ 1、,,,x y z ω必须是正整数 2、,,x y z 能整除ω3、1x y zω<<<<这样的方程能解吗？我们接着研究……四、想办法解方程（模型的解）解法：∵x y zω<<<又∵1x+1y+1z1ω+=1∴1x+1x+1x+1x＞1x+1y+1z1ω+=1∴4x＞1 即4x<因为x不能等于1，而且x是正整数，所以x等于2或3．在故事中，大儿子必须分到1 2或13．设x=2，代入1x+1y+1z+1ω=1得1y+1z1ω+=112-，1y+1z+1ω=12∵y zω<<又∵1y+1z+1ω=12∴1y＜12，3y＞12∴26y<<即345,,y=在故事中，当大儿子分12时，二儿子只能分13、14、15．设x=3，得1y+1z+1ω=23同理得，32＜y＜92即y=2、3、4，若y=2、3，就小于或等于x了，所以y=4．在故事中，当大儿子分13时，二儿子只能分14．按照这种方法，我们可以把各种可能的分配方案都找出来．五、故事的七种讲法（结论）►数学欣赏丢番图和不定方程埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名．在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心．亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者．他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导．英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华．”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授．在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书．丢番图这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了．在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书．这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程．他是第一个引进符号入希腊数学的人．如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数．” 第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数．”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数．”写成现代的式子，令,,a b c 是直角三角形的三边，则有： 2222312,,a b c ab c M a b c N ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎩，这里就要考虑到三次方程了．这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程．以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程（Diophantine Equations ）．这里举几个例子，像《算术》第二卷第8题：“将一个已知的平方数分为两个平方数．”例如将16分成两个平方数，设一个平方数是x 2，另外一个是16-x 2．由于要求是平方数16-x 2＝y 2，因此，我们一个方程有两个未知数x ，y ．第四卷第3题：“求两个平方，使其和是一个立方数．”写成代数式子是求x 2＋y 2=z 3 的解．丢番图不限定解是整数的问题，而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解，这是和他不同的地方．一次丢番图方程：我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程．这类方程一般是形如ax by c +=，,,a b c 都是整数．一般人认为这是印度数学家婆罗笈多（Brohmagupta ）所给出的解决，他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法，我们举几个例子来说明．例1 求1027x ＋712y ＝1的整数解．我们这里10277121,,a b c ===1＝1×13-3×4 =-3×69+16×13 ＝16×82-19×69 =-19×315＋73×82 ＝73×712-165×315 =-165×1027+238×712于是00165238,x y =-=是方程的一个特殊解． 例 2 求 33x ＋17y=13的整数解． 先求 33x ＋17y=1的整数解所以 1=17×1-16×1＝33×1-16×2 故 13=33×13-16×（2×13）即x 0=13，y 0=26是 33x ＋17y=13的特殊解． 我们有下面的定理：[定理] 丢番图方程 ax ＋by=c 有解，当且仅当 a 、 b 的最大公约数d=（a ，b ）能整除c ．而它的一般解是：x=x 0+Bt ；y=y 0-At ．这里（x 0，y 0）是方程的一个特殊解，A ，B 由a=Ad ，b=Bd 给出，t 是任意的整数． 因此方程33x ＋17y=13的一般解是： x=13+17t ；y ＝26-33t ． 三次的丢番图方程：在丢番图的《算术》第四卷第3题：“求两个平方数，使其和是一个立方数．”写成代数式子是223x y z +=．丢番图给出一个解答是这样：假设2y x =，则2222245x y x x x +=+=．如果z 是x的第一倍数，比方说它就是x ，于是235x x =，5x =，所以210y x ==．故两个平方数是25和 100，而25＋100=125=53．丢番图没有给出一般解，你能找到它的一般解吗？在《算术》书里还有第六卷第17题：“求直角三角形三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数．”写成式子是： 2222312,,a b c ab c M a b c N ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎩这里有一个故事：印度有一个靠自学成功的数学家，他的名叫拉玛奴江，他在27岁之前靠自修发现了一些美妙的数学定理，后来有机会到英国剑桥大学去和著名的数学家哈地一起工作．拉玛奴江哈地发现拉玛奴江在某方面的数学知识是很无知就像白痴一样，可是在对数学以及级数的认识以及直觉能力惊人就像天才．哈地认为他不需要去上课，而是直接和他讨论共同研究一些有趣的难题．拉玛奴江在留英期间不长，只是短短的五年，可是发表了21篇论文和17篇注记．后来由于他在青少年时因贫病，身体衰弱，肺部被结核菌侵蚀，住进医院一个时期．他后来要求回印度，过了不久就去世，死时才33岁．哈地有一次去医院探望拉玛奴江，他叫了一辆出租汽车，到了医院就对在病床上显得百无聊赖的拉玛奴江说：“我刚才乘的汽车，车牌号码是1729，看来这个数字没有什么特别的意义．”谁知拉玛奴江稍微思索就回答：“这是最小的整数能用二种方法来表示为二个整数的立方的和．”即33331729112910=+=+。
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历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．
（一）马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．
自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．
（二）早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量
间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx.
当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延．
（三）函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．”
在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该
书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由
表示出，其中
富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．
通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y
总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”
根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：
f（x）= 1（x为有理数），
0（x为无理数）．
在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数．
狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义．
（四）生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数，即ρ（x）＝0，x≠0，
∞,x=0．
且
δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是
P（0）=压力／接触面=1／0=∞．
其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即
函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元．
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系．
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．
设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为
X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）∈R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系．现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了．
从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．。