线性代数试题3

一、判断题。在每小题后面的小括号内打“√”号或“×”号

1．任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积。 （ ） 2．方阵A 与其转置阵 T A 有相同的特征值，因此有相同的特征向量。（ ） 3.设ij A 为n 阶行列式||ij a D =中元素ij a 的代数余子式，若ij ij A a -=),,2,1,(n j i =，

则0≠D 。 （ ）

4．若r ηηη,,,21 为线性方程组0=AX 的基础解系，则与r ηηη,,,21 等价的向量组

也为此方程组的基础解系。 （ ） 5． 设c b a ,,是互不相等的数，则向量组

),,,1(32a a a ，),,,1(32b b b ，),,,1(32c c c

是线性无关的。 （ ）

二、单项选择题

1. 设n 阶方阵C B A ,, 满足关系式E ABC =，则 成立。 A. E ACB =； B. E CBA =； C. E BAC =； D. E BCA =.

2. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性无关的

充要条件为 。

A. 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表示；

B. 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示；

C. 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价；

D. 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价。

3．设非齐次线性方程组b AX =的两个不同解为21,ββ，它的导出组的一个基础解

系为21,αα，则线性方程组b AX =的通解X = (其中21,k k 为任意常数)。

A. )(2

1)(2121211ββααα-+

++k k ；

B. )(21)(2121211ββααα++-+k k ；

C. )(21)(2121211ββββα-+++k k ；

D. )(2

1)(2121211ββββα++

-+k k .

4. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有 。 A. ||||||B A B A +=+； B. BA AB =；

C. ||||BA AB =；

D. 111)(---+=+A B B A 5. n 阶实对称矩阵A 与B 合同的充分必要条件是 。

A. )()(B R A R =；

B. A 与B 的正惯性指数相等；

C. A ，B 为正定矩阵；

D. A,B 同时成立。

三、填空题

1．γβα,,为三维列向量，已知三阶行列式40|2,2,4|=--αγβαγ，则行列式

=|,,|γβα 。

2．五阶方阵A 的特征值为1，1，2，2，3，E 为五阶单位阵，则=-|4|E A 。

3．设B A ,为同阶可逆矩阵，则1

2-⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛O B

A O = 。

4．设向量组T )4,3,2,1(1=α，T )5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则

),,,(4321ααααR = 。

5．若方阵A 相似于⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-22

1

，则3

1||-A = 。 6．已知B A ,均为)2(≥n n 阶矩阵，**,B A 分别为它们的伴随矩阵，如果

n B R n A R =-=)(,1)(，则*)

*(B A R = 。

7．若齐次线性方程组 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=-=++.03,0,02z x z ax

z y x 存在非零解，则系数a = 。 8． 设A 为三阶实对称矩阵，其特征值分别为1，0，-3。已知与特征值

1，-3对应的特征向量分别为T )1,0,1(和T )1,1,1(-，则与特征 值0对应的一个特征向量为 。

9．已知二次型2

3322

221213219622),,(x x x x x x x x x x f ++++=，它的标准形

为 。

10．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，2，3，n , 。则当t 时，矩

阵A tE -为正定矩阵。 四、计算题 1.

试讨论b a ,为何值时

（1）β不能用321,,ααα线性表示；

（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；

（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，并求出表示式.

T

T

T

T

b a b a a )

2,2,1(,)3,2,1(,)0,2,1(,)3,3,1(321+---=-+==-=αααβ

2． 设)1,1,2(-=α，求

（1）ααT 的特征值与特征向量；

（2）一正交阵Q ，使得Q Q T T αα为对角阵。

3. 已知3R 中的二组基

T )1,2,1(1=α，T )3,3,2(2=α，T )1,7,3(3=α； T )4,1,3(1=β，T )1,2,5(2=β，T )6,1,1(3-=β.

(1) 求由基321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵及坐标变换公式； (2) 求向量3212ββββ--=在基321,,ααα下的坐标。 (3) 求向量32142αααα+-=在基321,,βββ下的坐标.