勾股定理的证明和应用

知识结构：

2. 勾股定理

的逆定理

（2）勾股数

（1）勾股定理的简单应用

3. 应用

（2）勾股定理逆定理的应用 a,b,c 满足a 2+b 2=c 2

,那么这个三角形是直角

三

1. 满

足

a 2+

b 2=c

2

的三个正整数

a,b,c

称为勾 股数

（1）3,4,5

2. 常见的勾股数 （2）5,12,13

（3）8,15,17

求几何体表面上两点间的最短距离

解决实际应用问题

----- 判定某个三角形是否为直角三角形

3.1 勾股定理

一、 求网格中图形的面积 求网格中图形的面积，通常用两种方法： “割 ”或“补”。 二、 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

拓展延伸 ：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系， 所以必须注意 “在直角三角形中 这一前提。

（2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把 所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。

三、 勾股定理的验证 运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。

第 3 章 勾股定理

勾股定理

（1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 （2）勾股定理的验证

1.勾股定理

1.在直角三角形中已知两边求第三边

（3）应用

2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高

（1）如果三角形的三边长

角形

用拼图法 ,借助面积不变的关系来证明

3.2勾股定理的逆定理

一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2 3+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说斜边”直角边”。

（2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所

对的角是直角。

下表所示：

二、勾股数

满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数。

勾股数必须是正整数。

一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。

记住常用的勾股数可以提高做题速度。

3.3勾股定理的简单应用

一、勾股定理的应用

运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际问题时，应先

构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。

注意:应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边，

以便进行计算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。

详解：（1）如:32+42=52，所以3,4,5是一组勾股数，常见的勾股数有3,4,5 ；5,12,13 ；6,8,10 等。

（2

）

、勾股定理的逆定理的应用

在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。解决这样的问题常常需要借

助辅助线将其转化成三角形的相关问题。有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其

中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。

【勾股定理的证明】

例1 如图，是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角

形直角边长分别为a和b，斜边为c,大直角三角形直角边都为c,请你动动脑筋，将它们

拼成一个能证明勾股定理的图形。

⑴画出所拼图形的示意图，说出图形的名称。

(2)用这个图形证明勾股定理。

例2 数学实验室: 实验材料：硬纸板、剪刀、三角板

实验方法：剪裁、拼图、探索

实验目的：验证勾股定理，拼图填空。

操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。

(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和____________________________________________________ 图③中小正方形的面积(填大

于”小于”等于”)用关系式可表示为 _________________________________ ；

⑵拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个

正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S 小,其关系是______________________________ :

用a、b、c可表示为______________________________________ ；

(3)拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序

分别记为S大、S中、S小，其关系是 ________________________________ ，用a、b、c可表示

为________________________________ .

(思考题)如图，在厶ABC中AB2=AC2=3，D是BC上一点，且AD=1，则BD?DC= ____________________

【勾股定理的应用】

例1 (基础题)利用勾股定理求三角形的边长

已知△ ABC中，/ C=90 , AB=c , AC=b (c为斜边、a、b为直角边)

(1)如果a=7, b=24,求c；

(2)如果a=15, c=17，求b.

例2 已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长

填空：