苏科版八年级上册数学期中复习练习：勾股定理
专题06 勾股定理八年级数学上学期期中考试好题汇编(苏科版)(原卷版)
专题06 勾股定理1．（2019·江苏滨海县·八年级期中）两个边长分别为,,a b c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）A ．22()a b c +=B ．22()a b c -=C ．222+=a b cD ．222a c b -=1．（2019·江苏东台市·八年级期中）下列各组数是勾股数的是（ ）A ．13，14，15 B ．1C ．0.3，0.4，0.5 D ．5，12，132．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1.53．（2021·江苏锡山区·八年级期中）如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ）A ．S 1=S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＞S 2D ．无法确定4．（2019·江苏鼓楼区·南京市第二十九中学）在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．5．（2019·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）如图，△ABC中，△ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2．若S1＝2，S2＝5，则BC＝____________．6．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为_____．7．（2020·江苏宿迁市·南师附中宿迁分校八年级期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的额，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是____8．（2019·泰兴市洋思中学八年级期中）如图，以△ABC的三边向三角形外作等边三角形，其中S1=S2=6,S3=12，则图中三角形ABC为________三角形.考点三、勾股定理的运用1．（2019·涟水县郑梁梅中学八年级期中）如图，正方形网格中 ，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条2．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，在数轴上以-1表示的点为圆心，以直角三角形的斜边为半径作出一条圆弧（虚线），该圆弧与数轴交于点A ，点A 所表示的数为m ，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．D ．1-3．（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，9,6AB BC ==，90B ∠=︒.将ABC ∆折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长是( )A．4B．3C．6D．5A B C都在4．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点,,格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A B．0.8C．3D5．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，如图，在等边△ABC中，AB=6，AD△BC，E是AC上的一点，M是AD上的点，若AE=2，求ME+MC的最小值（）A．B．2C．4D6．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB长度为_____．7．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）若等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其腰上的高为_________．8．（2020·江苏宿迁市·八年级期中）在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝_____．9．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）已知ABC 是等边三角形，若其高等于 __________ ．10．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了9 km ，乙往南走了12 km ，这时两人相距_______km ．11．（2020·江苏南京市·八年级期中）一个直角三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的平方为_______． 12．（2020·南通市新桥中学八年级期中）如图，△ABC 中AB =AC ，△C =30°，现将△ABC 折叠，使得点B 与点A 重合，若折痕DE =1，则BC 的长为_____ ．考点四、证明等综合解答1．（2020·江苏南京市·八年级期中）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC 的长．2．（2019·涟水县郑梁梅中学八年级期中）如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．3．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，△DAB＝30°，点E为AB的中点，DE△AB交AB于点E，DE BC＝2，CD＝4．（1）求△ABC的度数．（2）求CE的长．4．（2020·江苏滨海县·八年级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA 22212=+=，1S =；OA 322213=+=，22S =OA 422214=+=，3S =（1）（直接写出答案）OA 10＝ ，并用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变规律：OA n 2＝ ；S n ＝ ．（25．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB△BD ，ED△BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x ．（1）请求出AC+CE 的最小值．（26．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，E F 、分别是AB 、AC 边上的点，且DE DF ⊥.（1）证明：DE DF =；（2）证明：222BE CF EF +=.7．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形．(1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；(2) 在Rt△ABC 中，△C=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，若Rt△ABC 是双勾股三角形，求a ：b ：c ；(3) 如图，△ABC 、△ABD 都是以AB 为斜边的直角三角形，DA=DB ，若在△ABD 内存在点E ，使AE=AD ，CB=CE ．试说明△ACE 是双勾股三角形．1．（2020·江苏江都区·八年级期中）如图，在ABC 中，90C ︒∠=，2AC =，点D 在BC 上，ADC 2B ∠=∠，AD =BC 的长为（ ）A 1B 1C 1D 12．（2019·江苏铜山区·八年级期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12321S S S ++=，则2S 的值是（ ）A．9.5B．9C．7.5D．73．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连结AD，把△ACD沿AD 翻折，得到△AD C'，D C'与AB交于点E，连结B C'，若BD＝B C'＝2，AD＝3，则点D到A C'的距离( )AB C D4（2019·江苏徐州市·八年级期中）如图，已知△ABC 中，△ABC=90°，AB=BC= ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l2、l3之间的距离为2，则l1、l2 之间的距离为______.5．（2020·连云港外国语学校八年级期中）如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长．6．（2019·江苏徐州市·八年级期中）如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得到的，首先将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C 落在斜边上的点 C′处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC′的延长线上的点 A′处．若图中△C=90°，DE=3cm ，BD=4cm ，则 DC′的长为_____.7．（2019·江苏常熟市·八年级期中）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2BC AC =，点A 与数轴上表示1的点重合，点C 与数轴上表示2的点重合，以A 为圆心，AB 长为半径画圆弧，与数轴交于点D ，则点D 所表示的数是______．8．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC 中，△BAC=90°，D ，E 是斜边BC 上两点，△DAE=45°，3,BD CE ==4，则ABC 的面积为__________.9．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）如图，长方形ABCD 中，△DAB ＝△B ＝△C ＝△D ＝90°，AD ＝BC＝18，AB ＝CD ＝24．点E 为DC 上的一个动点， △ADE 与△A D'E 关于直线AE 对称，当△CD'E 为直角三角形时，DE 的长为_____．C10．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为△△△△△…，若第1个等腰直角三角形的直角边为1，则第2020个等腰直角三角形的面积为_____．11．（2020·扬州市梅岭中学）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n 次后，变成的图中所有正方形的面积用n S 表示，则n S =______．12．（2021·江苏鼓楼区·八年级期中）如图，矩形ABCD 中，3AD =，2AB =．点E 是AB 的中点，点F 是BC 边上的任意一点（不与B 、C 重合），EBF △沿EF 翻折，点B 落在B '处，当DB '的长度最小时，BF 的长度为______．13．（2021·江苏江阴市·八年级期中）如图所示，直线12l l ⊥，垂足为点O ，A 、 B 是直线1l 上的两点，且OBAB ＝ 1，直线1l 绕点O 按逆时针方向旋转，旋转角度为()0180αα︒<<︒．当 α＝ ________ 时，直线2l 上仅存在一点P ，使得△BP A 是以B 为顶角的等腰三角形，此时 OP ＝ _________ ．14．（2019·江苏淮安区·八年级期中）在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ．点D 从点B 出发沿射线BC 移动，以AD 为边在AB 的右侧作△ADE ，且△DAE ＝90°，AD ＝AE ．连接CE ．（1）如图1，若点D 在BC 边上，则△BCE ＝ °；（2）如图2，若点D 在BC 的延长线上运动．△△BCE的度数是否发生变化？请说明理由；△若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．15．（2021·江苏锡山区·八年级期中）如图，方格纸中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上．（1）在图中画出ACE，使ACE与ABC关于直线AC对称（点E与点B是对称点）；（2）直接填出结果：△AB＝；△ACE与四边形ABCD重叠部分的面积为．16．（2019·江苏兴化市·八年级期中）（知识背景）我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+； 当勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+； 当勾为7时，股124(491)2=-，弦125(491)2=+． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用(3n n ，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股= ，弦= ． （问题解决）（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果2a m =，21b m =-，21(c m m =+为大于1的整数），则a 、b 、c 为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2221(a a a ++为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少．17．（2020·江苏南京市·南京一中八年级期中）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：△△AEB的度数为°；△线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且△ACB＝△DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝30，DE＝14，求AB的长度．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索△AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．18．（2021·南京外国语学校八年级期中）阅读理解：（问题情境）教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？（探索新知）从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12（初步运用）（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．（迁移运用）如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．19．（2020·江苏海安市·八年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形” 是命题．(填写“真命题、假命题”)（2）在RtΔABC中，△ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC是“奇异三角形”，则a：b：c＝．（3）如图，在四边形ACBD中，△ACB=△ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．△求证：ΔACE是“奇异三角形”；△当ΔACE是直角三角形时，且AC AB 的长．20．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图1，在长方形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1t s个单位的速度，沿射线BC方向移动，作PAB∆关于直线PA的对称'PAB∆，设点P的运动时间为()（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且△PAM=45°，试求：AB的长（2）若AB=4△如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值△是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由21。
八年级数学上册第3章勾股定理专题训练6勾股定理验证中的几个图形的变式与应用习题课件新版苏科版
证法的一小片段，如图，分别以Rt△ ABC 的三边为边向
外作正方形 ABDE ，正方形 BCFG ，正方形 ACHI .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(1)连接 BI ， CE ，则 BI ＝ CE ；(填“＞”“＜”或
“＝”)
(2)过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M ，交 HI 于点 N ，
(1)如图①，将左图进行一定的剪拼，让它变成一个和它
等面积的正方形，请在右图中画出你的剪拼图案.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：(1)剪拼图案如图①所示，正方形 ABCD 即为
78所求.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(2)现有一张长为6.5 cm，宽为2 cm的纸片(如图②)，请
你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.
②能拼成，如图④所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
③如图⑤，剪两刀把图中两个正方形剪拼成一个更大
的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
③如图⑤所示，取 BM ＝ AE ，沿 CM ， MF 分别
剪一刀，将△ EFM 拼至△ GFN ，△ CBM 拼至
△ CDN 即可.
1
∴在Rt△ BMC 中， BC2＝42＋22＝20，
专题08 勾股定理的简单应用八年级数学上学期期中考试好题汇编(苏科版)(解析版)
专题08 勾股定理的简单应用1．（2020·东海晶都双语学校八年级期中）如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．【答案】2【解析】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，∵筷子在圆柱里面的最大长度cm，∵筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，故答案为2．2．（2019·江苏惠山区·阳山中学）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行A．8米B．10米C．12米D．14米【答案】B【解析】如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE∵AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∵EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米，在Rt∵AEC中，（米）．故选B．3．（2019·江苏东台市实验中学八年级期中）如图，从电线杆离地面5 m 处向地面拉一条长13 m 的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有_____m.【答案】12【解析】解：如图示：∵电线杆、地面及缆绳正好构成直角三角形，AC=5m ，BC=13m ，∵12AB （m ）故答案为12．4．（2019·盐城市大丰区实验初级中学八年级期中）如图,台风过后某中学的旗杆在B 处断裂,旗杆顶部A 落在离旗杆底部C 点6米处,已知旗杆总长15米,则旗杆是在距底部________米处断裂.【答案】6.3【解析】设BC=x 米，由题意得AC=6米，AB=()15x -米，在Rt∵ABC 中，222BC +AC =AB ,即()222+6=15-x x 解得=6.3x故答案为6.35．（2019·江苏无锡市·八年级期中）如图，在一个高为5m ，长为13m 的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______．【答案】17米【解析】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC，在直角∵ABC中，已知AB=13米，BC=5米，且AB为斜边，则根据勾股定理=12（米），故地毯长度为AC+BC=12+5=17（米）.故答案为17米6．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）如图：5米长的滑梯AB开始时B点距墙面水平距离3米，当B向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，求A下滑的距离．【答案】1米【解析】由题意可得：AB=5m，BO=3m，故（m），∵当B向后移动1米，∵OB′=4m，（m），则AA′=1m，答：A下滑的距离为1m．7．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB ．【答案】风筝距离地面的高度AB 为12米．【解析】由题意得：ABC 是直角三角形，90ABC ∠=︒，5BC =米设AB x =，则1AC x =+在Rt ABC 中，由勾股定理得：222AB BC AC +=，即2225(1)x x +=+解得12x =（米）答：风筝距离地面的高度AB 为12米．8．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?【答案】竹子折断处离地面91 20尺【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，解得：9120 x=答：竹子折断处离地面9120尺．考点二、最短路径问题1．（2020·泰兴市洋思中学八年级期中）如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．8C．10D．12【答案】C【解析】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为12cm，则BC=112=62⨯cm．又因为AC=8cm，所以：10AB cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．故选：C．2．（2019·江苏宜兴市·八年级期中）如图，长方体的长为4cm，宽为2cm，高为5cm，若用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线的长度最短为__________cm.【答案】13【解析】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=4+2+4+2=12（cm），A′B′=5cm，根据两点之间线段最短，=13cm．∵所用细线最短需要13cm．故答案为13.考点三、航海、选址等问题1．（2019·江苏滨海县·八年级期中）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点C处用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了______米（BD的长）（假设绳子是直的）．【答案】9【解析】在Rt∵ABC 中：∵∵CAB=90°，BC=17米，AC=8米，∵15AB =（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，∵171710CD =-⨯=（米），∵6AD =（米），∵1569BD AB AD =-=-=（米），答：船向岸边移动了9米．故答案为：9．2．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）如图，一艘轮船从小岛A 处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达B 处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达C 处继续执行任务，然后以相同的速度直接从C 处返回A 处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）【答案】1小时【解析】=20 1.5=30AB ⨯（海里），=202=40BC ⨯（海里），再Rt∵ABC 中，∵ABC=90°，由勾股定理得：50AC =（海里），∵返回所用时间为：50=2.520小时， 出去所用时间为：2+1.5=3.5小时，∵则返回时比出去时节省的时间为：3.5 2.51-=小时．答：返回时比出去时节省了1小时．3．（2019·江苏常州市·八年级期中）中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度.如图，OA OB ⊥，45OA =海里，15OB =海里，钓鱼岛位于O 点，我国海监船在点B 处发现有一不明国籍的渔船自A 点出发沿着AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O ，我国海监船立即从B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船.（1）请用直尺和圆规作出C 处的位置.（不写作法，保留作图痕迹）（2）求我国海监船行驶的航程BC 的长.【答案】(1)见解析(2)25海里【解析】解：(1)作AB 的垂直平分线与OA 交于点C ；(2)连接BC ，设BC 为x 海里，则CA 也为x 海里，OC 为()45x -海里∵∵O=90°，∵在Rt OBC ∆中,222BO OC BC +=，即：2221545x x +-=（），解得：25x =，答：我国渔政船行驶的航程BC 的长为25海里.4．（2019·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）如图所示，一艘快艇和一艘渔政船分别从B 处出发执行任务.快艇沿北偏东60°方向以每小时40海里的速度向M 岛前进，渔政船沿南偏东30°方向以每小时30海里的速度向P 岛前进，半小时后到达各自目的地，则M 岛与P 岛之间的距离是多少？【答案】25海里【解析】由题意可得：BM=12×40=20(海里)，BP=12×30=15(海里)，∵∵MPB=180°-60°-30°=90°,∵MBP为直角三角形，海里).∵M岛与P岛之间的距离是25海里.考点四、其它应用1．（2019·江苏惠山区·阳山中学）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．【答案】8【解析】解：由题意得，斜边长米，则少走(6+8-10)×2=8步路，故答案为8.2．（2019·盐城市明达初级中学）如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地面距离AB＝2.6米，当人体进入感应器的1.5m及1.5m以内感应范围内时，感应门就会自动打开．小明（CD）身高1.7米缓慢走向感应门，求他走到离感应门多远距离时，门刚好．．自动打开？【答案】1.2米【解析】假设人走到图中C 处时门刚好自动打开，根据题意得出 1.5, 1.7AD m EB DC m ===，2.6, 1.7AB m EB m ==，0.9AE AB EB m ∴=-=，DE AB ∵⊥，90AEB ∴∠=︒，1.2DE m ∴，1.2CB DE m ∴==，∵他走到离感应门1.2米时，门刚好．．自动打开． 3．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，长为24cm 的橡皮筋放置在数轴上，固定A 和B ，然后把中点C 沿与AB 垂直方向向上拉升5cm 至D 点，求橡皮筋被拉长了多少？【答案】2cm ．【解析】 C 是AB 的中点，112cm 2AC BC AB ∴===， CD AB ⊥13cm AD ∴13cm BD =26cm AD BD ∴+=∴橡皮筋被拉长了：26-24=2cm答：橡皮筋被拉长了2cm ．4．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ∵AB 于A ，CB ∵AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？【答案】E 点应建在距A 站10千米处．【解析】解：设AE ＝xkm ，∵C 、D 两村到E 站的距离相等，∵DE ＝CE ，即DE 2＝CE 2，由勾股定理，得152+x 2＝102+（25﹣x ）2，x ＝10．故：E 点应建在距A 站10千米处．5．（2019·江苏东海县·八年级期中）在甲村至乙村的公路上有一块山地正在开发，现有一C 处需要爆破．已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA CB ⊥，如图所示为了安全起见，爆破点C 周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否因为有危险而需要暂时封锁？请说明理由．【答案】公路AB 段需要暂时封锁．理由见解析.【解析】公路AB 段需要暂时封锁．理由如下：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．因为400BC =米，300AC =米，90ACB ∠=︒，所以由勾股定理知222AB BC AC =+，即500AB =米． 因为1122ABCS AB CD BC AC =⋅=⋅， 所以400300240500BC AC CD AB ⋅⨯===（米）． 由于240米＜250米，故有危险，因此公路AB 段需要暂时封锁．1．（2019·江苏惠山区·八年级期中）如图，∵ABC 中，∵ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，将∵ACD 沿CD 翻折得到∵ECD ，连接AE ，BE ，则线段BE 的长等于（ ）A ．75B ．32 C ．53D ．2 【答案】A【解析】如图延CD 交AE 与点H ，作AF AB ⊥，垂足为F ．∵在Rt ABC △中，43AC BC ==，，5AB ∴=．∵D 为AB 的中点，∵AD=BD=DC ． ∵1122AC BC AB CF ⋅=⋅，1134522CF ∴⨯⨯=⨯⨯， 解得125CF =．由翻折的性质可知AC=CE ，AD=DE ，CH AE AH HE ∴⊥=，．1122DC DB BD CF DC HE =⋅=⋅，，125HE CF ∴==． 245AE ∴=． ∵AD DE DB ==，∵ABE △ 为直角三角形．75BE ∴=． 故选A ．2．（2019·江苏江都区·八年级期中）如图，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n ＋2与第n 条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）A．0B C D ．1【答案】B【解析】 根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图：从图中发现，发现周期为6条棱÷=……2,20186336即黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长,由勾股定理得：D1 B1==故选B3．（2020·江苏新北区·）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∵x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故选：B．4．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长为h cm, 则h的取值范围是__________.【答案】11cm≤h≤12cm．【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故答案为11cm≤h≤12cm．5．（2019·江苏东台市·八年级期中）如图，∵ABC中，∵C=90°，AC=3，AB=5，点D是边BC上一点．若沿AD将∵ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD=_______________．【答案】2.5【解析】∵AC＝3，AB＝5，∵BC，设BD=x，则CD=4﹣x，∵ED=4﹣x，∵AE=AC=3，∵BE=2，∵BE2+DE2=BD2，∵22+（4﹣x）2=x2，解得x=2.5，∵BD=2.5.故答案为2.5.6．（2019·宜兴市桃溪中学八年级期中）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．【答案】；13或【解析】把立体图展开可得∵根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；∵根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，∵同∵的方式，得到两直角边分别为11和67．（2020·江苏淮安区·）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【解析】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD∵AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∵AC2＋BC2＝AB2．∵∵ABC是直角三角形．∵AC•BC＝CD•AB∵CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∵海港C受到台风影响．（2）当EC ＝250km ，FC ＝250km 时，正好影响C 港口，∵ED 70（km ）∵EF ＝140km∵台风的速度为20km/h ，∵140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．8．（2020·江苏盐城市·）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【答案】2.2米【解析】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt ∵A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，222 6.25BD ∴+=，2 2.25BD ∴=，0BD >，1.5BD ∴=米，0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米，答：小巷的宽度为2.2米．9．（2019·无锡市玉祁初级中学八年级期中）如图，∵AOB ＝90°，OA ＝36cm ，OB ＝12cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【答案】如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是20cm ．【解析】∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC ＝AC ，设AC ＝x ，则OC ＝36﹣x ，∵由勾股定理可知OB 2+OC 2＝BC 2，又∵OA ＝36，OB ＝12，∵122+（36﹣x ）2＝x 2，解方程得出：x ＝20．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是20cm ．10．（2019·江苏江都区·八年级期中）A ，B 两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE ＝200米，BF ＝70米，它们的水平距离EF ＝390米．现欲在公路旁建一个超市P ，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？【答案】超市应建在距离E 处150米的位置.【解析】解：设EP x =米，则390PF x =-（）米,由题意得：222220070390x x +=+-（）解得：150x =.故：超市应建在距离E 处150米的位置.11．（2019·江苏惠山区·八年级期中）如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m （踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B 位置时，点B 离地面垂直高度BC 为1m ，离秋千支柱AD 的水平距离BE 为1.5m （不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD 的高.【答案】秋千支柱AD 的高为3m.【解析】解：设AD ＝x m ，则由题意可得AB ＝(x －0.5)m ，AE ＝(x －1)m ，在Rt∵ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，解得x＝3．即秋千支柱AD的高为3m．12．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？【答案】（1）20s；（2）可以通行．【解析】（1）∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC∵BD，∵Rt∵ACB中，40，Rt∵ACD中，40=，∵BD=80，∵80÷4=20（s），∵受影响时间为20s；（2）∵20＜25，∵可以通行．13．（2020·无锡市大桥实验学校八年级期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m 的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C ，那么所用细线最短需要______m ；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm ，114,AA cm =假设昆虫甲从盒内顶点1C 以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?【答案】（1（2（3）昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲 【解析】（1（2（3）设昆虫甲从顶点1C 沿棱1C C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A→E→F ，爬行捕捉到昆虫甲需x 秒钟，如图1在Rt∵ACF 中，222(2)12(142)x x =+-∵x>0，解得：85.14x = 答：昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲．。
苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理 含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A.BC=1，AC=2，AB=B.BC：AC：AB=12：13：5C.∠A+∠B=∠C D.∠A：∠B：∠C=3：4：53、如图，长方形 OABC 放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交数轴于 P 点，则 P 点表示的数为（）A.2﹣B.﹣C.D.4、如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（）A.1，2，3B.1，3，4C.2，3，5D.3，4，55、已知一个直角三角形的两边长分别3和4，则第三边长是( )A.5B.C.25D.5或6、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的有（）个①∠A：∠B：∠C=l：2：3；②三边长为a，b，c的值为1，2，；③三边长为a，b，c的值为，2，4；④.a2=（c+b）（c﹣b），A.0个B.1个C.2个D.3个7、如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（）A.y=1B.y≥1C.1≤y≤D.1≤y≤8、若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A.20B.24C.40D.489、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB=2，，则AE的长为（）A.1.5B.2C.2.5D.10、已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（）．A.30°B.45°C.60°D.90°11、⊙O 的直径 AB 长为 10，弦 MN⊥AB，将⊙O 沿 MN 翻折，翻折后点 B 的对应点为点 B′，若 AB′＝2，MB′的长为（）A.2B.2 或 2C.2D.2 或 212、矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（）A.6B.C.2（1+ ）D.1+13、如图，正方形的边长为，，，连接，则线段的长为（）A. B. C. D.14、△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A:∠B:∠C＝3:4:5；③a2＝（b＋c）（b－c）；④a:b:c＝5:12:13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、如上图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 ，底面周长为10 ，在容器内壁离容器底部3 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A.13B.12C.15D.16二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为________．17、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则sin B＝________．18、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，D是AB的中点，E是直线BC上一点，把△BDE沿直线ED翻折后，点B落在点F处，当FD⊥BC时，线段BE的长为________.19、如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．过点A 作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB= ，BD=2，则线段AE的长为________．20、如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=________21、在平面直角坐标系 xOy 中，点O 是坐标原点，点 B 的坐标是(3m, 4m- 4)，则OB 的最小值是________.22、如图，矩形纸片ABCD，，，点P在BC边上，将沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且，则AF的值为________.23、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为________ cm．24、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：________三角形．25、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。
苏教版八年级数学上册第3章勾股定理专题复习
勾股定理专题复习勾股定理：1.如图,在一个高为3米,长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度为_______米。
2.三个正方形按如图所示位置摆放，S 表示面积，则S 的大小为________。
3.直角三角形三边长分别是5，12，x ，则2x =_________。
4.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米。
勾股定理应用1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E 的面积是( )．A ．13B ．26C ．47D ．942.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S ，2S ，3S ，4S ，则=+++4321S S S S _____。
3.如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A′处，已知AE=3， BF=5，则B′E= ，AB= ．4.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,点E 为BC 的中点.将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF.则CF 的长为( )A.59B.512C.516D.518 5.如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离为 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．56.动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．如图所示，折叠纸片使点A 落在边BC 上的A'处，折痕为PQ ．当点A'在边BC 上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在边AB 、AD 上移动，则点A'在边BC 上可移动的最大距离为_______．赵爽弦图1.如图,将一边长为a 的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b 的正方形(其中b>a)拼接在一起,则四边形ABCD 的面积为( )22)(.a b b A -+ 22.a b B + 2).(a b C + ab a D 2.2+2.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD 的边长为14,正方形IJKL 的边长为2,且AB IJ //,则正方形EFGH 的边长为_________.3.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.如果大正方形的面积是l3,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么2)(b a +值为________.第三题 第四题4.如图所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt △ABC 绕中心点O 顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm 2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为_________cm．勾股定理最值问题1.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为( )A.4B.5C.6D.72.在锐角三角形ABC中，BC=3√2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN最小值是_____ ．3.如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧,它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米,又知道CD的长为3千米,现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水,铺设水管的工程费用每千米20000元.(1)请在CD上选择水厂位置,使铺设管道的费用最省.(2)并求出铺设水管的最最省总费用.勾股定理综合训练1.如图, 90=∠AOB ,cm OA 9=,cm OB 3=,一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O,机器人立即从点B 出发,沿BC 方向匀速前进拦截小球,恰好在点C 处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC 是多少?2.如图，△ABC 中，∠C=Rt ∠,AC=8cm,BC=6cm,若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分？（2）当t 为何值时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分？（3）当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？3.如图,将在ABC Rt ∆绕其锐角顶点A 旋转90得到ADE Rt ∆,连接BE,延长DE 、BC 相交于点F,则有 90=∠BFE ,且四边形ACFD 是一个正方形.(1)判断ABE ∆的形状,并证明你的结论;(2)用含b 代数式表示四边形ABFE 的面积;(3)求证:222c b a =+.4.在劳技课上,老师请同学们在一张长为17cm,宽为16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余两个顶点在长方形的边上).请你帮助同学们设计出不同类型的,你认为符合条件的等腰三角形,(分别在下列矩形中画出示意图)并分别计算剪下的等腰三角形的面积.(位置不同,形状全等的将视为一种结果)5.如图,ABC Rt ∆中,90=∠B ,cm AB 3=,cm BC 4=.点D 在AC 上,cm AD 1=,点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动;点Q 从点C 出发,沿C A B C →→→的路径匀速运动.两点同时出发,在B 点处首次相遇后,点P 的运动速度每秒提高了cm 2,并沿A C B →→的路径匀速运动;点Q 保持速度不变,并继续沿原路径匀速运动,两点在D 点处再次相遇后停止运动,设点P 原来的速度为s xcm /.(1)点Q 的速度为___________s cm /(用含x 的代数式表示).(2)求点P 原来的速度.。
2023-2024学年苏科新版八年级上册数学期中复习试卷(含答案)
2023-2024学年苏科新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．在下列数中，π，，3.14.0.101010，4，（π﹣1）0，无理数有（ ）个．A．1个B．2个C．3个D．4个2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD≌△ACD的依据是（ ）A．角角角B．角边角C．边角边D．边边边4．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（ ）A．4B．10C．4 或10D．6 或105．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）A．7，24，25B．5，12，13C．12，16，20D．4，7，86．把边长为1的正方形ABCD按如图所示放置在数轴上，以原点为圆心，对角线AC为半径画弧，与数轴交于E，F两点，则点F对应的数值是（ ）A．2B．C．D．7．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝7cm，AE＝3cm，则EC的长为（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm8．如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB＝6，AC＝10，则S△CDE＝（ ）A．15B．12C．9D．6二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．用四舍五入法将3.694精确到0.01，所得到的近似数为 ．10．定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有a△b＝ab﹣a﹣b+2．（1）若3△x值不大于3，则x的取值范围是 ；（2）若（﹣2m）△5的值大于3且小于9，则m的整数值是 ．11．若+y2﹣4y+4＝0，则x＝ ，y＝ ．12．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则AB＝ ．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，垂足为D．若∠F＝30°，BE＝4，则DE的长等于 ．14．三角形的三边长分别为cm，cm，cm，这个三角形的周长是 cm．15．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，连接CE交AD于点F，且AD＝2AB＝8，则△AFC的面积为 ．16．若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．（1）以下4组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．①4cm，2cm，1cm；②19cm，20cm，19cm；③13cm，18cm，9cm；④9cm，8cm，6cm．（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 ．三．解答题（共11小题，满分82分）17．计算：×﹣|﹣2|+（﹣）﹣1．18．计算下列各式的值．（1）±；（2）；（3）；19．求下列各式中x的值：（1）x2＝2；（2）（x﹣3）3＝﹣8．20．在如图方格纸中，每个小方格的边长为1．请按要求解答下列问题：（1）以格点为顶点，画一个三角形△ABC，使它的三边长分别为AB＝、BC＝2、CA＝；（2）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出△ABC各顶点的坐标；（3）作△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（不要求写作法）；（4）直接写出△ABC的面积为 ．21．如图，已知AC，BD相交于点O，BO＝DO，CO＝AO，EF过点O分别交BC、AD于点E、F．（1）根据所给的条件，写出图中所有的全等三角形；（2）请说明BE＝DF的理由．22．如图，河岸上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A、B，已知AD＝15km，BC＝10km，现要在河岸AB上建一水厂E向C，D两村输送自来水，要求水厂到两村的距离相等，且DE⊥EC，则水厂E应建在距A点多少千米处？23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，点E、F分别在AB、DC上，连接DE，BF，若AE＝CF；求证：DE＝BF．24．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．25．已知+2＝a，且与互为相反数，求a，b的值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB以每秒4cm的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）（2）求点Q与点C重合时t的值．（3）设正方形PQMN与△ABC的重叠部分周长为1（cm），求l与t之间的函数关系式．（4）作点C关于直线QM的对称点C'，连接PC'．当PC′与△ABC的边垂直或重合时，直接写出t的值．27．已知：如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将线段BC绕点B顺时针旋转一定角度得到线段BD．连接AD交BC于点E，过点C作线段AD的垂线，垂足为点F，交BD于点G．（1）如图1，若∠CBD＝45°．①求∠BCG的度数；②求证：CE＝DG；（2）如图2，若∠CBD＝60°，当AC﹣DE＝6时，求CE的值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：无理数有π，共1个．故选：A．2．解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．3．解：在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（ASA），故判定两个三角形全等最直接的依据是角边角．故选：B．4．解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去；当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系．故选：B．5．解：A、72+242＝252，此三角形能组成直角三角形；B、52+122＝132，此三角形能组成直角三角形；C、122+162＝202，此三角形能组成直角三角形；D、（4）2+（7）2≠（8）2，此三角形不能组成直角三角形．故选：D．6．解：根据勾股定理得正方形的对角线＝＝，∴OC＝，∵以原点为圆心，对角线AC为半径画弧，与数轴交于E，F两点，∴点F对应的数是．故选：D．7．解：∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC＝7cm．∴EC＝AC﹣AE＝7﹣3＝4（cm）．故选：B．8．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝＝8，由翻折变换的性质可知，AB＝AE＝6，∠B＝∠AED＝90°，∴EC＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，在Rt△DEC中，设DE＝x，则BD＝x，DC＝8﹣x，由勾股定理得，DE2+EC2＝CD2，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，即DE＝3，∴S△DEC＝DE•EC＝×3×4＝6，故选：D．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．解：将3.694精确到0.01，所得到的近似数为3.69．故答案为3.69．10．解：（1）∵3△x值不大于3，∴3x﹣3﹣x+2≤3，∴3x﹣x≤3+3﹣2，∴2x≤4，∴x≤2，即x的取值范围是x≤2，故答案为：x≤2；（2）∵（﹣2m）△5的值大于3且小于9，∴，解不等式①，得m＜﹣，解不等式②，得m＞﹣，所以不等式组的解集是﹣＜m＜﹣，即整数m为﹣1，故答案为：﹣1．11．解：∵+y2﹣4y+4＝0，∴+（y﹣2）2＝0，∴x﹣y＝0，y﹣2＝0，解得x＝2，y＝2，故答案为：2，2．12．解：∵S1＝22，S2＝14，∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，∴BC＝＝6，∵AC＝10，∴AB＝＝＝8，故答案为：8．13．解：∵∠C＝90°，FD⊥AB，而∠AED＝∠CEF，∴∠A＝∠F＝30°，∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴DE＝BE＝×4＝2．故答案为2．14．解：根据题意得：++＝4+5+5＝（9+5）cm；故答案为：9+5．15．解：由折叠的性质，可知：AE＝AB＝4，CE＝CB＝8，∠E＝∠B＝90°，∠ACE＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∴∠CAD＝∠ACE，∴AF＝CF．设AF＝x，则EF＝8﹣x．在Rt△AEF中，AE＝4，AF＝x，EF＝8﹣x，∠E＝90°，∴42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴S△AFC＝AF•AB＝×5×4＝10．故答案为：10．16．解：（1）①∵1+2＜4，∴4cm，2cm，1cm不能组成三角形，也就不能组成“不均衡三角形”；②∵19＝19，∴19cm，20cm，19cm不能组成“不均衡三角形”；③∵18﹣13＞13﹣9，∴13cm，18cm，9cm能组成“不均衡三角形”；④∵9﹣8＜8﹣6，∴9cm，8cm，6cm不能组成“不均衡三角形”．故答案为：③；（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），解得：x＜3，∵2x﹣6＞0，解得：x＞3，故不合题意，舍去；②2x+2＞16＞2x﹣6，解得：7＜x＜11，2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），解得：x＞9，∴9＜x＜11，∵x为整数，∴x＝10，经检验，当x＝10时，22，16，14可构成三角形；③2x﹣6＞16，解得：x＞11，2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，解得：x＜15，∴11＜x＜15，∵x为整数，∴x＝12或13或14，都可以构成三角形；综上所述，x的整数值为10或12或13或14，故答案为：10或12或13或14．三．解答题（共11小题，满分82分）17．解：原式＝×2﹣（2﹣）﹣8＝2﹣2+﹣8＝3﹣10．18．解：（1）∵（±）2＝，∴＝；（2）∵0.33＝0.027，∴＝0.3；（3）∵（﹣1）3＝﹣1，∴＝﹣1．19．解：（1）∵x2＝2，∴x2＝6，∴；（2）∵（x﹣3）3＝﹣8，∴x﹣3＝﹣2，∴x＝1．20．解：（1）如图，△ABC即为所求；（2）平面直角坐标系如图所示．A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，0）（答案不唯一）；（3）如图，△A′B′C′即为所求；（4）S△ABC＝2×4﹣×1×2﹣×2×2﹣×1×4＝3．故答案为：3．21．解：（1）图中所有的全等三角形：△ADO≌△CBO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO；（2）在△CBO和△ADO中，，∴△CBO≌△ADO（SAS），∴∠B＝∠D，在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（ASA），∴BE＝DF．22．解：E站应建在离A站10km处，即AE＝BC＝10km，∵AB＝25km、AD＝15km，∴BE＝AB﹣AE＝15km＝AD，∵CB⊥AB、DA⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，在△ADE和△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴DE＝CE．23．证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠A＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∵AB∥CD，∴四边形EDFB为平行四边形，∴DE＝BF．24．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝28，即DE（6+8）＝28，∴DE＝4．25．解：∵，∴，∴a﹣2＝1或a﹣2＝0或a﹣2＝﹣1，∴a＝3或2或1，当a＝3时，，∴，∴b＝2，当a＝2时，，∴，∴，当a＝1时，，∴＝1，∴b＝，综上所述，，．26．解：（1）∵在Rt△ABC中、∠C＝90°，∴AB＝＝＝10，∴AP＝4t，BP＝10﹣4t，PQ＝BP•tan B＝BP•＝（10﹣4t）×＝﹣3t；（2）当点Q与点C重合时，如图1所示：∵cos A＝＝，cos A＝＝＝，∴＝，∴t＝（s）；（3）当0＜t≤时，如图2所示：BN＝AB﹣AP﹣PN＝10﹣4t﹣+3t＝﹣t，∵tan B＝＝，∴NH＝＝＝（﹣t），cos B＝＝，∴BH＝＝＝（﹣t），∴CH＝BC﹣BH＝8﹣（﹣t），∵tan A＝＝，∴PD＝＝＝t，∵cos A＝＝，∴AD＝＝＝t，∴CD＝AC﹣AD＝6﹣t，∴l＝PN+NH+CH+CD+PD＝﹣3t+（﹣t）+8﹣（﹣t）+6﹣t+t＝﹣t+；当＜t＜时，如图3所示：同理：NH＝（﹣t），BH＝（﹣t），BQ＝（10﹣4t），∴HQ＝BQ﹣BH＝（10﹣4t）﹣（﹣t），∴l＝2PQ+NH+HQ＝2（﹣3t）+（﹣t）+（10﹣4t）﹣（﹣t）＝﹣t+；（4）①当C′与C重合时，PC′⊥AB，如图4所示：由（2）得：t＝s；②当PC′⊥AC时，如图5所示：则PC′∥BC，连接C′E，∵点C关于直线QM的对称点C'，∴CC′⊥MQ，CE＝C′E，∴CC′∥PQ，∴四边形CC′PQ是平行四边形，∴CQ＝C′P，CC′＝PQ＝﹣3t，由（3）得：BQ＝（10﹣4t），∴C′P＝CQ＝8﹣（10﹣4t）＝﹣+5t，∵PD∥BC，∴＝＝，即＝＝，∴PD＝t，AD＝t，∴C′D＝PD﹣C′P＝t﹣（﹣+5t）＝﹣t，∵MQ∥AB，∴＝，即＝，∴CE＝﹣+t＝C′E，∴DE＝AC﹣AD﹣CE＝6﹣t﹣（﹣+t）＝﹣t，∵C′D2+DE2＝C′E2，即（﹣t）2+（﹣t）2＝（﹣+t）2整理得：27t2﹣t+＝0，解得：t1＝（s），t2＝（s）（不合题意舍去）；③当C′落在AB上时，PC′与AB重合，如图6所示：∵点C关于直线QM的对称点C'，∴OC＝OC′，∵四边形PQMN是正方形，∴MQ∥AB，∴AD＝CD＝AC＝3，∴DQ是△CAB的中位线，∴CQ＝BQ＝BC＝4，由（3）得：BQ＝（10﹣4t），∴（10﹣4t）＝4，∴t＝（s），综上所述，当PC′与△ABC的边垂直或重合时，t的值为s或s或s．27．（1）①解：∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∵∠CBD＝45°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD，∴∠CAD＝∠D，∵BD＝BC＝BA，∴∠D＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝22.5°，∵CG⊥AD，∴∠CFD＝90°，∴∠ACF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BCG＝∠ACF﹣∠ACB＝22.5°；②证明：延长CG，AB交于T，如图：∵∠ABE＝∠CBT＝90°，AB＝BC，∠BAE＝∠BCT＝22.5°，∴△ABE≌△CBT（ASA），∴BE＝BT，∠AEB＝∠T，∵∠BAE＝22.5°，∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝67.5°＝∠T，∵∠EBG＝∠TBG＝45°，∴∠TGB＝180°﹣∠T﹣∠TBG＝67.5°，∴∠T＝∠TGB，∴BT＝BG，∴BE＝BT＝BG，∵BC＝BD，∴BC﹣BE＝BD﹣BG，即CE＝DG；（2）解：连接CD，过点D作DH⊥BC于H，在DH上取一点J，使得EJ＝DJ，设CF＝a，如图：∵CB＝BD，∠CBD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°+60°＝150°，∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BAD＝∠BDA＝15°，∴∠CAF＝30°，∵CG⊥AD，∴∠CFA＝90°，∴AC＝2CF＝2a，∵∠CDB＝60°，∠BDA＝15°，∴∠FDC＝∠FCD＝45°，∴FC＝DF＝a，DC＝BC＝BD＝a，∵DH⊥BC，∴CH＝BH＝a，DH＝CH＝a，∠HDB＝30°，∴∠JDE＝∠HDB﹣∠BDA＝15°，设EH＝x，∵JE＝JD，∴∠JED＝∠JDE＝15°，∴∠EJH＝∠JED+∠JDE＝30°，∴EJ＝2EH＝DJ＝2x，HJ＝x，DE＝＝＝（+）x，∵DH＝a＝HJ+DJ，∴x+2x＝a，∴x＝（﹣）a，∴DE＝（3﹣）a，∵AC﹣DE＝6，∴2a﹣（3﹣）a＝6，∴a＝3（+1），∴CE＝CH+EH＝a+（﹣）a＝（﹣）a＝（﹣）×3（+1）＝6．。
苏科版八年级上册数学 复习强化训练卷：勾股定理(有答案)
苏科版八年级上学期数学 期中复习强化训练卷：勾股定理（有答案）一、选择题1、下列由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是()A ．3a =，4b =，5c =B ．32a =，2b =，52c =C ．5a =，13b =，12c =D ．2a =，3b =，4c = 2、适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为（ ）①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°；④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c = ⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑧5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 3、已知△ABC 的三边长分别为5，5，6，则△ABC 的面积为（） A ．12 B ． 15 C ．24 D ．254、如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A ．cm B ．11cm C ．13cm D ．17cm(4) (5) (6)5、如图，圆柱的底面直径为π16，BC ＝12，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S ，则移动的最短距离为（ ） A ．10B ．12C ．14D ．206、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（） A ．2021B ．2022 C ．2022 D ．20217、在如图所示的网格纸中，有A 、B 两个格点，试取格点C ，使得ABC ∆是直角三角形，则这样的格点C 的个数是（） A ．4B ．6C ．8D ．10(7) (8)8、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知90BAC ∠=︒，6AB =，8AC =，点D 、E 、F 、G 、H 、I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的周长为()A ．40B ．44C ．84D ．889、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．给出四个结论： ①a 2+b 2=49；②a -b =2；③2ab =45；④a +b =9．其中正确的结论是（） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①③ D ．②④(9 ) (10)10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，点E 为CD 的中点．将△BCE 沿BE 折叠，使点C 落在矩形内的点F 处，连接DF ，则DF 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11、测得一个三角形的三边长为5、12、13 ，则这个三角形的面积为12、如图，一架2.5m 长的梯子斜靠在垂直的墙AO 上，这时AO 为2m ．如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子的底端B 向外移动m ．13、观察下列勾股数组： ①3， 4， 5 ； ② 5，12，13 ； ③7，24，25 ；④9，40，41；….若a ，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，=a 14、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为_________(14) (15) (16) (17)15、如图，某学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB ，爱心小组想在A 处树立一个标牌“少走■米，踏之何刃？”请你计算后帮她们在标牌的■填上适当的数字为．16、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为cm17、如图，AC BC =，45CPB ∠=︒，AC BC ⊥，若32APB S ∆=，则PB 的长为18、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，延长BC 至点D ，连接AD ，若△ABD 是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC 的长等于．19、如图，在∆ABC中，AC=61，BC=13，AD、CE分别是∆ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF．若DF⊥CE，则AB（）A．10 B．11 C．12 D．13(19)(20)20、如图，在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，D是AB的中点，P，Q分别是BC，DC上的动点，则AQ+QP的最小值是________．三、解答题21、如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且5，它们都要到池塘ABC m 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA走到离树24m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD 为xm．（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为m；（2）求这棵树高有多少米？22、学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？23、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，E是AC上一点，且DE＝DA，若AB＝15，BC＝20，求EC的长．24、如图，在ABC ∆中，21AC =，13BC =，D 是AC 边上一点，12BD =，16AD =，（1）若E 是边AB 的中点，求线段DE 的长；（2）若E 是边AB 上的动点，求线段DE 的最小值．25、如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB cm =，4BC cm =，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A B C A ---运动，设运动时间为(0)t t >秒． （1）AC =cm ；（2）若点P 恰好在ABC ∠的角平分线上，求此时t 的值；（3）在运动过程中，当t 为何值时，ACP ∆为等腰三角形（直接写出结果）？26、如图，长方形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的 E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上． （1）如图（1），当折痕的另一端F 在AB 边上且AE=4时，求AF 的长 （2）如图（2），当折痕的另一端F 在AD 边上且BG=10时，①求证：EF=EG ．②求AF 的长. (3) 如图（3），当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2cm,且BG=10时，求AF 的长．GF ED C BA HAE F BGC D A BGC DEFH(图1)(图2) (图3)苏科版八年级上学期数学 期中复习强化训练卷：勾股定理（答案）一、选择题1、下列由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是()A ．3a =，4b =，5c =B ．32a =，2b =，52c =C ．5a =，13b =，12c =D ．2a =，3b =，4c = 【解答】解：A 、因为222345+=，故是直角三角形；B 、因为22235()2()22+=，故是直角三角形；C 、因为22251213+=，故是直角三角形； D 、因为222234+≠，故不是直角三角形； 故选：D ．2、适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为（ ）①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°；④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c = ⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑧5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（）， 故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形； 根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形； 由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形； 根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a 2=25，b 2=144，c 2=169，可知a 2+b 2=c 2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.3、已知△ABC 的三边长分别为5，5，6，则△ABC 的面积为（A ） A ．12 B ． 15 C ．24 D ．254、如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（C ） A ．cm B ．11cm C ．13cm D ．17cm5、如图，圆柱的底面直径为π16，BC ＝12，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S ，则移动的最短距离为（ ） A ．10B ．12C ．14D ．20【答案】解：如图所示，∵在圆柱的截面ABCD 中AB =π16，BC ＝12，∴AB =21×π16×π＝8，BS=21BC ＝6， ∴AS =2268+=10．故选：A ．6、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（） A ．2021B ．2022 C ．2022 D ．2021【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a ，b ，c ．根据勾股定理，得a 2+b 2=c 2， 即正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积=1．正方形D 的面积+正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形G 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积=1．推而广之，即：每次“生长”的正方形面积和为1，“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2021×1=2021．故选D ．7、在如图所示的网格纸中，有A 、B 两个格点，试取格点C ，使得ABC ∆是直角三角形，则这样的格点C 的个数是（） A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：如图所示：格点C 的个数是8，故选：C ．8、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知90BAC ∠=︒，6AB =，8AC =，点D 、E 、F 、G 、H 、I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的周长为() A ．40B ．44C ．84D ．88【解答】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，∴四边形AOLP 是正方形，边长6814AO AB AC =+=+=， 61420KL ∴=+=，81422LM =+=，∴矩形KLMJ 的周长为2(2022)84⨯+=．故选：C ．9、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．给出四个结论： ①a 2+b 2=49；②a -b =2；③2ab =45；④a +b =9．其中正确的结论是（） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①③ D ．②④【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，∴斜边的平方= a 2+b 2，由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，∴大正方形的面积=斜边的平方= a 2+b 2，即a 2+b 2=49，故①正确；根据题意得4个直角三角形的面积=4×12×ab=2ab ，4个直角三角形的面积=S 大正方形-S 小正方形 =49-4=45，即2ab=45，故③正确； 由①③可得a 2+b 2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b ≠9，故④错误，由①③可得a 2+b 2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A ．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，点E 为CD 的中点．将△BCE 沿BE 折叠，使点C 落在矩形内的点F 处，连接DF ，则DF 的长为（ A ） A ．B ．C ．D ．二、填空题11、测得一个三角形的三边长为5、12、13 ，则这个三角形的面积为3012、如图，一架2.5m 长的梯子斜靠在垂直的墙AO 上，这时AO 为2m ．如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子的底端B 向外移动m ．解：∵Rt △OAB 中，AB ＝2.5m ，AO ＝2m ，∴OB ＝m ；同理，Rt △OCD 中，∵CD ＝2.5m ，OC ＝2﹣0.5＝1.5m ，∴OD ＝m ，∴BD ＝OD ﹣OB ＝2﹣1.5＝0.5（m ）．答：梯子底端B 向外移了0.5米， 故答案为：0.5．13、观察下列勾股数组： ①3， 4， 5 ； ② 5，12，13 ； ③7，24，25 ；④9，40，41；….若a ，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，=a 17 14、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为____12_____15、如图，某学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB ，爱心小组想在A 处树立一个标牌“少走■米，踏之何刃？”请你计算后帮她们在标牌的■填上适当的数字为2米．16、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为425cm17、如图，AC BC =，45CPB ∠=︒，AC BC ⊥，若32APB S ∆=，则PB 的长为．【解答】解：如图，过点C 作CD CP ⊥交PB 的延长线于点D ，连接AD45CPB ∠=︒，90DCP ∠=︒，DCP ∴∆为等腰直角三角形，CP CD ∴= 90ACB ∠=︒，90ACD DCB DCB PCB ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD PCB ∴∠=∠又ACB ∆为等腰直角三角形，AC CB ∴=， ∴在ACD ∆和BCP ∆中PC CD ACD PCBAC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCP SAS ∴∆≅∆45ADC CPB ∴∠=∠=︒，AD PB =45CDP CPB ∠=∠=︒，90ADB ∴∠=︒，AD ∴为APB ∆的高211132222APB S AD PB PB PB PB ∆∴=⨯⨯=⨯⨯== 264PB ∴=，0PB >，8PB ∴=，故答案为818、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，延长BC 至点D ，连接AD ，若△ABD 是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC 的长等于．解：∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，∴AB ＝＝＝13．∵△ABD 是以AD 为其中一腰的等腰三角形，∴分两种情况： ①当AD ＝AB 时，∵AC ⊥BD ，∴DC ＝BC ＝5； ②当AD ＝BD 时，设DC ＝x ，则AD ＝BD ＝5+x ．∵Rt △ADC 中，∠ACD ＝90°，∴DC 2+AC 2＝AD 2，即x 2+122＝（5+x ）2，解得x ＝．综上所述，线段DC 的长等于5或．故答案为：5或．19、如图，在ABC 中，61AC =，13BC =，AD 、CE 分别是ABC 的高线与中线，点F 是线段CE 的中点，连接DF ．若DF CE ⊥，则AB =（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【解析】解：连接DE ，∵AD ⊥BC ，点E 是AB 的中点，∴AB=2DE ， ∵DF ⊥CE ，点F 是线段CE 的中点，∴DE=DC ， ∴AB=2CD ， 在Rt△ABD 中，222AD AB BD =-，在Rt△ACD 中，222AD AC DC =-，∴22AC DC -=22AB BD -，即2222(61)(2)(13)CD CD CD -=--，解得，CD=5， ∴AB=2CD=10，故选：A ．20、如图，在Rt △ABC 中，AB =8，AC =6，BC =10，D 是AB 的中点，P ，Q 分别是BC ，DC 上的动点，则AQ +QP 的最小值是________．【解析】解：如图，过点A 作AE ⊥BC 交BC 于点E ，根据两点之间线段最短，这时AQ+PQ 有最小值，即AE 的长度，∵AC=6，BC=8，AB=10，∠ACB=90°，∵S △ABC =12AE •BC=12AB •AC ，∴68244.8105AB AC AE BC ⋅⨯====．故答案为：4.8．三、解答题21、如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且5BC m =，它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C 再沿CA 走到离树24m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m ，设BD 为xm ．（1）请用含有x 的整式表示线段AD 的长为m ； （2）求这棵树高有多少米？【解答】解：（1）设BD 为x 米，且存在2BD DA BC CA +=+-，即27BD DA +=，27DA x =-， 故答案为：27x -；（2）90C ∠=︒222AD AC DC ∴=+222(27)(5)24x x ∴-=++2x ∴=，527CD ∴=+=，答：树高7米22、学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC ，其中AB ＝13米，BC ＝14米，AC ＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，则CD ＝14﹣x ，在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵AD 2＝AB 2﹣BD 2，AD 2＝AC 2﹣CD 2，∴AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，即132﹣x 2＝152﹣（14﹣x ）2，解得x ＝5，∴AD 2＝AB 2﹣BD 2＝132﹣52＝144，∴AD ＝12（米）， ∴学校修建这个花园的费用＝＝5040（元）．答：学校修建这个花园需要投资5040元．23、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC 于点D ，E 是AC 上一点，且DE ＝DA ，若AB ＝15，BC ＝20，求EC 的长．解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∴AB 2+BC 2＝AC 2．∵BC ＝20，AB ＝15，∴AC ＝25，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°．∵S △ABC ＝S △ABC ∴．∴BD ＝12， 在Rt △ABD 中，AD ＝＝9，∵DE ＝DA ，∴AE ＝2AD ＝18．∴EC ＝AC ﹣AE ＝25﹣18＝7．24、如图，在ABC ∆中，21AC =，13BC =，D 是AC 边上一点，12BD =，16AD =，（1）若E 是边AB 的中点，求线段DE 的长；（2）若E 是边AB 上的动点，求线段DE 的最小值．【解答】解：（1）在BCD ∆中，13BC =，12BD =，5CD AC AD =-=，22251216913+==，即222CD BD BC +=，90BDC ∴∠=︒．在Rt ABD ∆中，16AD =，12BD =，90ADB ∠=︒，2220AB AD BD ∴=+=． 又点E 是边AB 的中点，1102DE AB ∴==． （2）当DE AB ⊥时，DE 长度最小． 此时：1122ABD S AD BD AB DE ∆==，485AD BD DE AB ∴==．∴线段DE 的最小值为485．25、如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB cm =，4BC cm =，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A B C A ---运动，设运动时间为(0)t t >秒．（1）AC =cm ；（2）若点P 恰好在ABC ∠的角平分线上，求此时t 的值；（3）在运动过程中，当t 为何值时，ACP ∆为等腰三角形（直接写出结果）？【解答】解：（1）ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB cm =，4BC cm =， 22543AC cm ∴=-=，故答案为：3；（2）如图，过P 作PD AB ⊥于D ，BP 平分ABC ∠，90C ∠=︒，PD PC ∴=，4BC BD ==，541AD ∴=-=，设PD PC y ==，则3AP y =-，在Rt ADP ∆中，222AD PD AP +=，2221(3)y y ∴+=-，解得43y =，43CP ∴=， 454313226AB BC CP t ++++∴===； 当点P 与点B 重合时，点P 也在ABC ∠的角平分线上，此时，522AB t ==； 综上所述，点P 恰好在ABC ∠的角平分线上，t 的值为316或52；（3）分四种情况：①如图，当P 在AB 上且AP CP =时，A ACP ∠=∠，而90AB ∠+∠=︒，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP ∴=，P ∴是AB 的中点，即1522AP AB ==，524AP t ∴==； ②如图，当P 在AB 上且3AP CA ==时，322AP t ==； ③如图，当P 在AB 上且AC PC =时，过C 作CD AB ⊥于D ，则125AC BC CD AB ⨯==， Rt ACD ∴∆中，95AD =，1825AP AD ∴==，925AP t ∴==； ④如图，当P 在BC 上且3AC PC ==时，431BP =-=，6322AB BP t +∴===． 综上所述，当54t =或32或95或3s 时，ACP ∆为等腰三角形．26、如图，长方形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．（1）如图（1），当折痕的另一端F 在AB 边上且AE=4时，求AF 的长（2）如图（2），当折痕的另一端F 在AD 边上且BG=10时，①求证：EF=EG ．②求AF 的长.(3) 如图（3），当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2cm,且BG=10时，求AF 的长．G FE D AHA E FB GCD A B GC D E F H (图1)(图2) (图3)（1） 如图1，∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴BF=EF ，∵AB=8，∴EF=8-AF ，在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2=EF 2，即42+AF 2=（8-AF ）2，解得AF=3；（2）如图2，①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF=∠EGF ，∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF=∠EFG ，∴∠EGF=∠EFG ，∴EF=EG ；②∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF ，∴EF=EG=10，在Rt △EFH 中，FH=22HE EF -=22810-=6, ∴AF=FH=6．(3) AF=223。
苏科版八年级数学上册 勾股定理单元复习辅助线的添加(含动点题、最值问题、建模问题) 4
思路点拨：勾股定理的实际问题常常需要添加辅助线，1.一部分是连线构成图形，从而用面积法求解。
2.一部分是设边长为x ，利用勾股定理的三边关系直接求解。
（类似于勾股定理的折叠问题）例如：相遇模型、秋千旗杆模型、梯子滑动模型。
考点1.1：常考的勾股定理实际问题例1：. （涉及需要添加辅助线）（2017立达期中）（2018常熟月考）如图，有一块四边形花圃=4m ，=13m ，=12m ，=3m ，该花圃的面积为（ ）m2.例2．机器人问题（2018常熟期中）如图所示，OA ⊥OB ，OA=45cm ，OB=15cm ，一机器人在B 处发现有一个小球自A 点出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从B 处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C 处截住了小球，求机器人行走的路程BC ．例3 秋千问题(2018吴中区期中)如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面0.6m ，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于2.4m ，距地面1.4m ，求秋千的长.,90,ABCD ADC AD ∠=︒AB BCDC AB B AB B EB AB（2017高新区期中）如图，一架10米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米（1）求它的底端滑动多少米？（2）为了防止梯子下滑，保证安全，小强用一根绳子连结在墙角C与梯子的中点D处，你认为这样效果如何？请简要说明理由。
思路点拨：最短距离问题有两个解题依据：1.饮马模型或饮马模型的拓展变形应用。
2.将立体图像展开，从而将抽象的三维问题转为二维问题，可直接利用勾股定理求解。
重点：部分展开图形涉及比较以及分类讨论的思想来求解。
难点：具体是展开图或剖面图需要具体问题具体分析。
考点1.2最短距离及相关问题例1. （2017立达期中）如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长?例2．（2017吴中区期中）如图，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（▲）A．20 cm B．10 cm C．14 cm D．无法确定例3．（2017常熟期中）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值_________．例4（2018青云中学）如图，村到公路的距离为6 km ，村到公路的距离为2km ，且的长为6 km.现要在公路上取一点，使的值最小，则这个最小值为 .例6：“数学建模”(1)模型——小马喝水问题：直线MN 表示一条河流的岸，在河流同侧有A 、B 两地，小马从A 地出发到B 地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用直尺和圆规作出使小马行走最短路程的饮水点P 的位置．（作在答题纸上，保留作图痕迹，并用黑水笔将痕迹描深）(2)运用——和最小问题：如图②，E 是边长为8的正方形ABCD 边BC 上一点，CE ＝2，P 是对角线BD 上的一个动点，求PC ＋PE 的最小值．A l ABC l CD BD P AP CP例7如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是( ) A．5 B．25C．15 D．35例8如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米。
勾股定理(3个考点清单+16种题型解读)(原卷版)—2025学年八年级数学上学期期中考点(苏科版)
勾股定理（3个考点清单+16种题型解读）【清单01 勾股定理】1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+． 在应用勾股定理时要注意它的变式：abb ac a c b b c a c b a 2)(22222222222-+=-=⇒-=⇒=+；2.勾股定理的验证方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中221()42ABCD S a b c ab =+=+´正方形，所以222c b a =+．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中221()42ABCD S c b a ab =-+´正方形，所以222c a b =+．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==´+梯形 ，所以222c b a =+．【清单02 勾股定理的逆定理】1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c ，且a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．2. 勾股数满足关系a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；【清单03 勾股定理的应用】1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2、用于解决带有平方关系的证明问题；3、与勾股定理有关的面积计算；4、勾股定理在实际生活中的应用．【考点题型一勾股定理的证明方法】【例1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【变式1-1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（）A．②③B．①②③C．①②③④D．②③④【变式1-2】如图，阴影部分是由4个三边分别为a、b、c（c为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为()2a b -外，还可以表示为： ；【变式1-3】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A ，E ，D 在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于a ，b ，c 的代数恒等式，则这个恒等式是．【变式1-4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．请根据信息解答下列问题：(1)请用含a ，b ，c 的代数式表示大正方形的面积．方法1：______．方法2：______．(2)根据图2，求出a ，b ，c 之间的数量关系．(3)如果大正方形的边长为10，且14a b +=，求小正方形的边长．【考点题型二 以弦图为背景的计算题】【例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b ，较短直角边为a ，则22b a -的值是（ ）A ．7B ．14C ．21D ．28【变式2-1】如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b ，较短直角边为a ，则a b +的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【变式2-2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ．【变式2-3】如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形ABCD 的面积为34，直角三角形较短的直角边长AH 为3，则中间小正方形EFGH 的面积为．【变式2-4】阅读下列材料，并完成相应的任务：小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成AB c BE a AE b ===，，，．任务一：如图1，请用它验证勾股定理．任务二：如图1，若315b a c -==，，求Rt ABE V 的面积．任务三：如图2，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上的高，43AC BC ==，，请直接写出CD 的长．【考点题型三 勾股数问题】【例3】下列各组数据为勾股数的是（ ）A B ．1C ．5，12，13D ．2，3，4【变式3-1】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；¼这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；¼若此类勾股数的勾为2(0m m >，m 为正整数），则弦是（结果用含m 的式子表示）（ ）A ．21m +B ．21m -C ．22m +D ．23m +【变式3-2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ．【变式3-3】如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为3，2，2，5，则正方形G 的面积为 ．【变式3-4】阅读材料：勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a 、b 、c 的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解(),,a b c 通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组()3,4,5．类似地，还可以得到下列勾股数组：()5,12,13，()7,24,25，()9,40,41，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：勾股数组各数组的和和的另一表示法和与最小数的差股弦3，4，51234´1239-=912-912+5，12，133056´30525-=2512-2512+7，24，255678´56749-=4912-4912+观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；特点2：______．…回答问题：(1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______；(2)如果n 表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为(),,n ；(3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组．【考点题型四 用勾股定理解三角形】【例4】如图，ABC D 中，90ACB Ð=°，3BC =，4AC =，点D 是AB 的中点，将ACD D 沿CD 翻折得到ECD D ，连接AE ，BE ，则线段BE 的长等于( )A ．75B ．32C ．53D ．2【变式4-1】如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长度为半径作弧，两弧相交于点P 和点Q ，作直线PQ 分别交BC ，AC 于点D 和点E ．若3CD =，则AB 的长为（ ）A ．5B ．C ．6D ．8【变式4-2】把两块同样大小的含45°角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上，若AB =，则CD =．【变式4-3】如图，在ABC V 中，,4,AB AC BC DEF ==△的周长是8，AF BC ^于点,F BE AC ^于点E ，且点D 是AB 的中点，则AF 等于 ．【变式4-4】定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知ABC V 是“准等边三角形”，其中35A Ð=°，90C Ð>°．求B Ð的度数．【解决问题】（3）如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =D 在AC 边上，若BCD △是“准等边三角形”，直接写出BD 的长．【考点题型五 勾股定理与网格问题】【例5】如图，在33´的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，AD 为ABC V 的高，则AD 的长为（ ）A B C D 【变式5-1】如图，44´方格纸中小正方形的边长为1，A ，B 两点在格点上，要在图中格点上找到点C ，使得ABC V 的面积为2，满足条件的点C 的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．7个【变式5-2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC V 的顶点A ，B ，C 均在格点上．(1)线段AB 的长等于 ；(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点A 关于直线BC 的对称点A ¢，并简要说明点A ¢的位置是如何找到的（不要求证明） ．【变式5-3】“在ABC V 中，AB 、BC 、AC ”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC V （即ABC V 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC V 的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求ABC V 面积的方法叫做构图法．（1）直接写出图1中ABC V 的面积 ；（2）若DEF V (0)a >，且DEF V 的面积为23a ，写出它的第三条边长 （试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为a 的网格中画出符合题意的DEF V ）．【变式5-4】问题背景：在ABC V 中，AB 、BC 、AC 辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC V （即ABC V 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求ABC V 的高，借用网格就能计算出它的面积．(1)请将ABC V 的面积直接填写在横线上______；(2)在图2中画DEF V ，使三边DE 、EF 、DF ，DEF V 的形状，说明理由．【考点题型六 勾股定理与折叠问题】【例6】如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，4AC =，3BC =，把Rt ABC △沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的点E 处，则AD 的长为（ ）A ．1.5B ．2.5C ．3D ．5【变式6-1】如图，三角形纸片ABC 中，90BAC Ð=°，2AB =，3AC =．沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，若折痕与AC 的交点为E ，则AE 的长是（ ）A ．56B ．76C ．136D ．135【变式6-2】如图，有一张Rt ABC △的纸片AB ，两直角边4AC =，8BC =，现将Rt ABC △折叠，使点B 与点A 重合，得到折痕MN ，则ACM △的面积为．【变式6-3】如图，已知在Rt ABC △中，901216ABC AB BC Ð=°==，，，点D 是边BC 上的任意一点，以AD为折痕翻折ABD △，使点B 落在点E 处，连接EC ，当DEC V 为直角三角形时，BD 的长为 ．【变式6-4】（1）在ABC V 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．（i ）如图1，若14BC =，求线段AD 的长；（ii ）若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC V 中，5,AB AC ==A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ．将ABD △沿直线AB 翻折后得到对应的ABD ¢△，连接CD ¢，若4=AD ，求线段CD ¢的长．【考点题型七 判断三边能否构成直角三角形】【例7】在ABC V 中，已知A B C ÐÐÐ，，的对边分别是a b c ，，．下列条件不能判断ABC V 是直角三角形的是（ ）A ．222a c b -=B ．C A B Ð=Ð-ÐC ．::5:12:13a b c =D ．::3:4:5A B C ÐÐÐ=【变式7-1】下面三角形中是直角三角形的有（ ）①三角形三内角之比为1:2:3； ②三角形三内角之比为3:4:5；③三角形三边之比为1:2:3； ④三角形三边之比为3:4:5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式7-2】如图，在ABC V 中，513AB AC BC ==，，边上的中线6AD =，BC 的长度为 ．【变式7-3】如图，已知ABC V 中，26AB =，24AC =，10BC =，D 是AB 的中点，连接CD ，则CD 的值为 ．【变式7-4】如图，ABC V 中，E 为AB 边上的一点，连接CE 并延长，过点A 作AD CE ^，垂足为D ，若7AD =，20AB =，15BC =，24DC =．(1)试说明B Ð为直角；(2)记ADE V 的面积为1S ，BCE V 的面积为2S ，则21S S -的值为 ．【考点题型八 利用勾股定理的逆定理求解】【例8】如图，已知ABC V 中，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，点M ，N为垂足，若32BD =，2DE =，52EC =，则AC 的长为（ ）A B C D ．【变式8-1】如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，1CD =，AD 90BCD Ð=°，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．1+B ．1+C ．1+D ．1【变式8-2】如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且4PA =，3PB =，5PC =，以BC 为边在ABC V 外作BQC BPA V V ≌，连接PQ ，则APB Ð的度数为 ．【变式8-2】如图，在ABC V 中，AC 和BC 的垂直平分线1l 和2l 分别交AB 于点D 、E ，若3AD =，4DE =，5EB =，则ABC V 的面积等于 ．【变式8-4】如图，在四边形ABCD 中，90,1,3B BC AC DA CD Ð=°====，(1)证明：ACD V 是直角三角形；(2)求四边形ABCD 的面积．【考点题型九 勾股定理逆定理的实际应用】【例9】小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（ ）A ．向北B ．向南C ．向西D ．向南或向北【变式9-1】甲，乙两艘客轮同时从港口O 出发，甲客轮沿北偏东30°的方向航行600m 到达点A 处，乙客轮在同一时刻到达距离港口800m 的点B 处，若A ，B 两点间的距离为1000m ，则乙客轮的航行方向可能是（ ）A ．南偏东60°B ．南偏西60°C ．北偏西30°D ．南偏西30°【变式9-2】海面上有两个疑似漂浮目标．A 舰艇以12海里/时的速度离开港口O ，向北偏西50°方向航行；同时，B 舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B 舰艇的航行方向是 ．【变式9-3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中A Ð与DBC Ð都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件 符合要求吗？（填“是”或“否”）（2）这个四边形的面积为 ．【变式9-4】如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C ，河边原有两个取水点A 、B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H (A 、H 、B 在同一条直线上)， 并修建一条路CH ， 测得3CB =千米， 2.4CH =千米， 1.8HB =千米，(1)问CH 是不是村庄C 到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC 的长．【考点题型十 勾股定理的简单应用】【例10】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（ ）A ．4.2尺B ．4.5尺C ．5.2尺D ．5.5尺【变式10-1】如图是楼梯的一部分，若2AD =，1BE =，3AE =，一只蚂蚁在A 处发现C 处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）A B ．3C D ．【变式10-2】荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB 的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度1m BC =，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D 的位置，测得推送的水平距离为6m ，即6m DE =．此时秋千踏板离地面的垂直高度3m DF =．那么，绳索的长度为 m ．AB=【变式10-3】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 2.4BC=米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的米，当（身高1.2m）人体进入感应范围内时（即 1.6距离AD的长为米．【变式10-4】如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米．(1)求梯子顶端A与地面的距离AC的长；AE=，求梯子的下端B滑动的距离BD的长．(2)若梯子的顶端A下滑到E，使4【考点题型十一判断汽车是否超速】【例11】M 城气象中心测得台风中心在M 城正北方向240km 的P 处，以每小时45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．A ．4B ．5C ．6D ．7【变式11-1】如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒【变式11-2】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了5s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是 m /s ．【变式11-3】如图，有两条公路、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是 米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是 秒．【变式11-4】“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN 上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5秒，已知60CBN Ð=°，200BC =米，AC =米．(1)请求出观测点C 到公路MN 的距离；(2)此车超速了吗？请说明理由．1173»»．．）【考点题型十二 选址使两地距离相等】【例12】23．某地区要在公路AB 上建一个蔬菜批发厂E ，使得C ，D 两村庄到E 的距离相等，已知18km AB =，9km DA =，15km CB =．DA AB ^于点A ，CB AB ^于点B ，则AE 的长是（ ）A ．10kmB ．11kmC ．12kmD ．13km【变式12-1】如图，高速公路上有A ,B 两点相距10km ，C ,D 为两村庄，已知4km DA =，6km CB =．DA AB^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个服务站E ，使得C ,D 两村庄到E 站的距离相等，则EB 的长是( )．A ．4kmB ．5kmC ．6kmD km【变式12-2】如图，商场（点M ）距公路（直线l ）的距离（MA ）为3km ，在公路上有一车站（点N ），车站距商场（NM ）为4km ，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P ），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP ）的长为 ．【变式12-3】为了解决 A 、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边l 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km ，B 村到河边的距离为 2km ，AB=4km ，则水管线最短要 km(结果保留根号）．【变式12-4】如图，小区A 与公路l 的距离200AC =米，小区B 与公路l 的距离400BD =米，已知800CD =米．(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q ，使Q 到A 、B 两小区的路程相等，求CQ 的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P ，使P 到A 、B 两小区的路程之和最短，求PA PB +的最小值，求出此最小值．【考点题型十三 求最短路径问题】【例13】如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A B ．13cm C ．12cm D ．17cm【变式13-1】如图所示，圆柱底面半径为4cm π，高为18cm ，点A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为（ ）A ．24cmB ．30cmC ．18cmD ．27cm【变式13-2】在一个长14cm ，宽8cm 的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD ，它的底面边长为1cm 的等边三角形，一只蚂蚁从点A 处到点C 处的最短路程是 cm ．【变式13-3】如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm ，底面周长为12cm ，在容器内壁离容器底部7cm 的A 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿2cm 的点B 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm ．【变式13-4】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．【思想应用】（1）已知a ，b 均为正实数，且2a b +=+解决此问题：如图，2AB =，1AC =，2BD =，CA AB ^，DB AB ^，点E 是线段AB 上的动点，且不与端点重合，连接CE ，DE ，设AE a =，BE b =．①用含a 的代数式表示CE =________，用含b 的代数式表示DE =________．________．【类比应用】（2+【考点题型十四 勾股定理中的最值问题】【例14】如图，Rt ABC △中，2AC BC ==，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，在CD 上找一点P ，使PA PE+最小，则这个最小值是（ ）A ．2B ．CD 【变式14-1】如图，∠AOB=45°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=8．在OA 上有一动点Q ，OB 上有一动点R ．若△PQR 周长最小，则最小周长是（ ）A ．8B ．C ．16D ．【变式14-2】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A ¢，连接A B ¢，则A B ¢与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B ¢．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC V 中，90,2,C AC BC E Ð=°==是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE+的最小值为 ；（2）几何拓展：如图3，ABC V 中，2,30AC A =Ð=°，若在AB 上取一点M ，则2CM AM +的值最小值是 ．【变式14-3】数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当012x <<时，的最小值”可看作两直角边分别为x 和2的Rt ACP V 分别是12x -和3的Rt BDP V 的斜边长．于是将问题转化为求AP BP +的最小值，如图所示，当AP 与BP 共线时，AP BP +为最小．请你解决问题：当04x <<的最小值是 ．【变式14-4】如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，4AB AC ==，D 是BC 边上一点，连接AD ，以AD 为直角边向右作等腰直角三角形ADE ，其中=90DAE а．(1)连接CE ，求证：ABD ACE ≌△△．(2)当BD 为何值时，ADE V 的周长最小．【考点题型十五 勾股定理的动点问题】【例15】如图，在ABC V 中，2,,AB BC AO BO P ===是射线CO 上的动点，60AOC Ð=°，则当PAB V 是直角三角形时，AP 的长为（ ）A B C D 【变式15-1】如图，在ADF Ð边DA 上有一点B ，6DB =，22.5ADF Ð=°，E ，C 分别是边DF 和DA 上的动点，则BE EC +的最小值是（ ）A ．B ．6C ．D ．3【变式15-2】如图．在Rt ABC △中．90,306C A BC Ð=°Ð=°=，．若点P 是边AB 上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A B A --运动，同时点C 以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t ，若BPQ V 为直角三角形，则t 的值为【变式15-3】如图，ABC V 中，90C Ð=°，8AC =cm ，6BC =cm ，BD 平分ABC Ð，动点M 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿边AB BC ®匀速运动，连接DM ，当ADM V 是以AD 为腰的等腰三角形时，点M 的运动时间为 秒．【变式15-4】如图，在ABC V 中，90B Ð=°，8AB =，10AC =，P ，Q 是ABC V 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B ®方向运动，且速度为每秒1个单位长度；点Q 从点B 开始沿B C A ®®方向运动，且速度为每秒2个单位长度．它们同时出发，设出发的时间为t 秒．根据以上信息，解答下列问题．(1)求BC 的长．(2)当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上．(3)当点Q 在边CA 上运动时，是否存在t 的值，使BCQ △为等腰三角形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【考点题型十六 勾股定理的综合】【例16】如图，在等边ABC V M 在线段AB 上，2AM =，1B M =，则以线段AM ，BM ，CM 的长为边组成的三角形面积为（ ）A B C ．34D ．1【变式16-1】如图，在ABC V 中，3,5,7AB AC BC ===．E F 、分别为BC CA 、上的动点，且BE CF =，连接AE BF 、，则AE BF +的最小值为（ ）A B C ．6D【变式16-2】在Rt ABC △中，Rt C Ð=Ð，8AC =，4BC =，以AB 为边在ABC V 外作等腰直角ABD ，连接CD ，则CD 长为 ．【变式16-3】如图，在ABC V 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，将△ABD 沿AD 折叠至ABC V 所在平面内，得到ADE V ，AE 与BC 交于点F ，连接CE ，若AD CE ，120BAC AFC Ð=Ð=°，2AC =AB 的长为【变式16-4】已知ABC V 中，AB AC =．(1)如图1，在ADE V 中，若AD AE =，且DAE BAC Ð=Ð，求证：CD BE =；(2)如图2，在ADE V 中，若60ÐаDAE BAC ==，且CD 垂直平分AE ，3AD =，4CD =，求BD 的长；(3)如图3，在BCD △中，45CBD CDB Ð=Ð=°，连接AD ，若45CAB Ð=°，求AD AB 的值．。
最新苏科版八年级数学上册勾股定理(含解析)
勾股定理一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE 的面积为（）A．18 B．36 C．65 D．72 4．在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（）A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（）A．9 B．C．D．36．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF 平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36 B．9 C．6 D．18 7．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 8．2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（）A．2 B．0.5 C．13 D．1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为．10．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC 三边为直径作半圆，则阴影部分面积为．14．如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为．15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．16．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为．三、解答题（本大题共6题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE ＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．18．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．19．阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．20．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，所以4ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．21．【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为；（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为、（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是（等号两边需化为最简形式）；（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．22．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC ＝15，DB＝9．（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•江苏省沛县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．【解析】根据题意得：S（a+b）（a+b），S ab ab c2，（a+b）（a+b）ab ab c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故选：D．2．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据勾股定理和角平分线的性质解答即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB，AB=10∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，∴CE＝ED，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C．3．（2019秋•江苏省常州期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC ＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18 B．36 C．65 D．72【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形面积求法得出即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，∴AB，则正方形ABDE的面积为：AB＝65．故选：C．4．（2019秋•江苏省新吴区期中）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】在直角三角形中，已知两直角边为6、8，则根据勾股定理即可计算斜边的长度．【解析】在直角三角形中，根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方，设斜边为c∴c²10²，c=1故选：D．5．（2019秋•江苏省沭阳县期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（）A．9 B．C．D．3【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．【解析】在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝3，设AE=EC=a，CF=BC=b，AD=BD=c，则AC²=2a²，BC²=2b²，AB²=2c²，S阴影＝S△AEC+S△BFC+S△ADB22c2（AC2+BC2+AB2）AB232．故选：B．6．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36 B．9 C．6 D．18【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF 然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1＝∠2∠ACB，∠3＝∠4∠ACD，∴∠2+∠3（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，∴EM＝CM，CM＝MF，∵EM＝3，∴EF＝3+3＝6，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．故选：A．7．（2019秋•江苏省金台区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长的平方5，或直角三角形的第三边长的平方，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．8．（2019秋•江苏省吴中区期中）2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（）A．2 B．0.5 C．13 D．1【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝49，大正方形的面积为25，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解析】∵（a+b）2＝49，∴a2+2ab+b2＝49，∵大正方形的面积为25，∴2ab＝49﹣25＝24，∴小正方形的面积为25﹣24＝1．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020春•泰兴市校级期中）一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为98°．【分析】根据邻补角得出∠3，进而利用等腰直角三角形得出∠4，应用平行线的性质和四边形的内角和解答即可．【解析】如图所示：由题意可得：∠4＝45°，∵∠1＝53°，∴∠3＝127°，∴∠5＝360°﹣90°﹣45°﹣127°＝98°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠5＝98°，故答案为：98°10．（2019秋•江苏省宿豫区期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝ 5 ．【分析】在△ABC中，∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2，根据题目给出的BC＝12，AB＝13，根据勾股定理可以求AC的长．【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，∴AC5．AC=5故答案为：5．11．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为 6 ．【分析】由正方形的面积和勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，可求BC的长，再根据三角形面积公式即可求解．【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴9+BC2＝25，∴BC2＝25﹣9＝16，∴BC＝4，∴Rt△ABC的面积＝42＝6．故答案为：6．12．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式得出AB•AC BC•AD，即可求出AD．【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，∴AB144，AB=12∵S△ABC AB•AC BC•AD，∴12×1620AD，∴AD．故答案为：．13．（2019秋•江苏省亭湖区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 6 ．【分析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，证明S1+S2＝S3；推出S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，由此即可解决问题．【解析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，则有：S1π（）2，同理，S2，S3，∵BC2+AC2＝AB2，∴S1+S2＝S3；∴S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，在直角△ABC中，BC9，BC=3则S阴影＝S△ABC AC•BC4×3＝6．故答案为6．14．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为 4 ．【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理得到正方形S1，S2的面积和是斜边AB的平方．【解析】∵以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，∴正方形S1的面积是AC2，正方形S2的面积是BC2，AC2+BC2＝AB2，∴正方形S1，S2的面积和为：AC2+BC2＝AB2＝22＝4．故答案是：4．15．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4，∴4ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案是：316．（2019秋•江苏省常州期中）△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为 6 ．【分析】过A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长即可．【解析】过A作AD⊥BC于D，则BD＝8，在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8，则AD6．AD=6所以BC边上高的长的高为6．故答案为：6．三、解答题（本大题共6题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）如图，已知△ABC和△BDE 是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CBE（SAS）即可．（2）证明∠DCE＝90°，求出DE，利用勾股定理计算即可．【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°，同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD与△CBE中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE BD，∵△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2，∴AD2+CD2＝2．18．（2019秋•江苏省新北区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD ＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．【分析】（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．【解析】（1）EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE DB，∵∠DCB＝90°，∴CE BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝16，BD＝20，E、F分别是边AC、BD的中点，∴AE＝CE＝10，CF＝8，∵EF⊥AC．∴EF6．EF=619．（2019秋•江苏省大丰区期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4ab ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9 ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为28 ；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【解析】[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c a，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，故故答案为5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣24×6＝28．故答案为28．[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：（a+b）×k（a+b）＝3b×ka c×ck，∴（a+b）2＝3ab+c2∴a2+b2﹣ab＝c2．20．（2020春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，所以4ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【解析】（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+ab b2，也利用表示为ab c2ab，∴a2+ab b2ab c2ab，即a2+b2＝c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为3×45×h，∴h，故答案为；（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：21．（2020春•江阴市期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a）；（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为c2﹣2ab 、（b﹣a）2（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是a2+b2＝c2 （等号两边需化为最简形式）；（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为13 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；（3）根据（1）的结果，即可得出答案；（4）代入求出即可；（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；（6）代入（5）中的等式求出即可．【解析】（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），故答案为：（b﹣a）；（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，即a2+b2＝c2，故答案为：a2+b2＝c2；（4）∵a2+b2＝c2，a＝5，b＝12，∴c＝13，故答案为：13；（5）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）∴43＝a3+b3+3×2×4，解得：a3+b3＝40．22．（2019秋•江苏省宜兴市期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长即可；（2）有（1）的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，继而求出△ABC的面积．【解析】（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即CD2+92＝152，解得CD＝12；（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴AD2+122＝202，解得AD＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．∴S△ABC AB•CD25×12＝150．。
(精练)(核定版)苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是( )A. B. C. D.2、如图，是斜边上的高，，，点是上的动点，以为圆心作半径为的圆，若该圆与重叠部分的面积为，则的最小值为（）A. B. C. D.3、图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（）平方单位.A.48B.12C.24D.364、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.65、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A.4条B.3条C.2条D.1条6、下列三角形是直角三角形的是（）A. B. C. D.7、如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为（）A.2B.C.4D.8、一个直角三角形“两边”的长分别为3和4，则“第三边”的长是（）A.5B.6C.D.9、如图，在四边形ABCD中，，，，.分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（）A. B.4 C.3 D.10、如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B 落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于( )A. B. C. D.11、《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺( 尺寸)，则的长是（）A. 寸B. 寸C. 寸D. 寸12、把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A. B.5 C.4 D.13、如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，且点坐标为，点坐标为，则的值为（）A.3B.7C.12D.2114、如图，⊙O直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足M，OM：OD＝3：5，则AB 的长是（）A. cmB. cmC. cmD. cm15、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（）A.1.5B.2C.2.25D.2.5二、填空题(共10题，共计30分)16、已知直角三角形三边长分别为3，4，m，则m＝________．17、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=________cm．18、已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，如图5所示，把正方形放置在正六边形外，使OK边与AB边重合，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外就点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转：此时点O经过路径的长为________；若按此方式旋转，共完成六次，在这个过程中，点B，O之间距离的最大值是________.图519、将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为________．20、如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为________．21、如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG= ，则△CEF的面积是________．22、如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD 上，EC=1，则PC+PE的最小值是________．23、如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点E.若，，则矩形的对角线的长为________．24、菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点E坐标为（0，﹣），点P是对角线OC上一个动点，则EP+BP最短的最短距离为________.25、如图，已知AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD=4cm，DB=9cm，则弦CB的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A 2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．27、如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点B（0，），与x 轴相交于M，N两点，如果点M的坐标为（，0），求点N的坐标28、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．29、如图, 接,且AB为的直径, ,与AC交于点E,与过点C的切线交于点D.若, ,求OE的长.30、在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B （﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、D4、D5、B6、D7、D8、D9、A10、C11、C12、B13、C14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
苏科版八年级数学上册《3.1 勾股定理》同步练习题-带答案
苏科版八年级数学上册《3.1 勾股定理》同步练习题-带答案一、单选题1．已知如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB ＝10，则图中阴影部分的面积为 （ ）A ．50B ．502C ．100D ．10022．如图，已知1S 、2S 和3S 分别是Rt ABC △的斜边AB 及直角边BC 和AC 为直径的半圆的面积，则12S S 、和3S 满足关系式为（ ）．A ．123S S S =+B ．123S S S <+C ．123S S S >+D ．无法判断3．如图，点A ，C 都是数轴上的点，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（ ）A ．110B ．5-C ．51-D ．101-4．如图，在等腰1Rt OAA 中190OAA ∠=︒，OA=1，以OA 1为直角边作等腰12Rt OA A ，以OA 2为直角边作等腰23Rt OA A ，则2n OA 的长度为（ ）A ．2nB ．2nC ．2nD ．225．在等腰ABC 中，AB=AC=5，13BC ）A ．12B ．3C ．32D ．186．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的高为（ ）A ．4.8B ．5C ．7D ．107．如图，在Rt△ABC 中，△B=90°，AB=8，BC=4，斜边AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．4.58．四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（ ）A ．点K ，FB ．点K ，EC ．点C ，FD ．点C ，E9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．27cmB ．228cmC ．242cmD ．249cm10．如图，在Rt △ABC 中，△C =90°，D 为AC 上一点，且DA =DB =5，又△DAB 的面积为10，那么△ABC 的面积是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．403二、填空题11．在ABC 中30ABC ∠=︒，AE ⊥BC ，AD ⊥AB ，交直线BC 于点D ，若3AB =CD=1，则： （1）AE 的长为 ；（2）AC 的长为 ．12．如图，ABC 中=90C ∠︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，CD=6，BD=10，AC 长为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，点()48,33E t t +--是该平面内任意一点，连接OE ，则OE 的最小值是 ． 14．如图，△ABC 中，△C ＝90°，AC+BC ＝6，△ABC 的面积为114cm 2，则斜边AB 的长是 cm ．15．图1是第七届国际数学教育大会（JCME -7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O 的直角三角形演化而成的．若图2中的11223341OA A A A A A A ====⋯=，按此规律继续演化，则910OA A △的面积为 ．三、解答题16．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45︒降为30︒，已知原滑滑板AB 的长为6米，点E 、D 、B 、C 在同一水平地面上．(1)改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）(2)若滑滑板的正前方留有4米长的空地就能保证安全，已知原滑滑板的前方8米处的E 点有一棵大树，这样的改造是否可行？说明理由．2 1.414 3 1.732 6 2.449≈）17．中国最强发射震撼上演！2024年2月3日7时37分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将吉利星座02组卫星发射升空，11颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，火箭从地面A 处垂直发射，当火箭到达B 点时从D 处的雷达站测得60km BD = 30ADB ∠=；当火箭到达C 点时，测得45ADC ∠=，求BC 的长．2 1.414≈ 3 1.732≈ 5 2.236≈，结果精确到0.1km ）18．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知180cm,160cm AB AC AD ===，AC 与AB 的张角BAC ∠记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是3060α︒≤≤︒，BC 为固定张角α大小的锁链．(1)求锁链BC 长度的最大值；(2)若60α=︒，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D 到地面的距离．（结果保留根号） 19．如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立,,,A B C D 四个点，并给出以下信息：点A 在点B 的西北方向上，点D 在点B 的北偏西15︒方向上，点D 在点A 的东北方向上90BCD ∠=︒，30CD =米，25AD =米．(1)求BC 的长；(2)若小明和小亮从点B 同时出发，分别沿B A D →→和B C D →→到达点D ，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．3 1.73≈ 2 1.41≈）20．如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为50厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到0.01厘米）参考答案1．A2．A3．A4．C5．B6．A7．A8．C9．D10．C11．31321 12．1213．125/2.4/22514．515．3 216．(1)2.49米(2)可行，略17．22.0km18．(1)锁链BC长度的最大值为180cm (2)桑梯顶端D到地面的距离为1703cm 19．(1)40米(2)小明先到达，略20．223.20cm。
第3章 勾股定理 苏科版数学八年级上册单元复习习题精选(含解析)
第3章 勾股定理单元复习习题精选(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共24分)1.直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x 的值有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2022江苏徐州期中)用三张正方形纸片按如图所示的方式构成图案,若要使所围成的三角形是直角三角形,则选取的三张正方形纸片的面积不可以是( )A.1,2,3B.2,2,4C.3,4,5D.2,3,53.(2022江苏宿迁期中)下列各组数中,是勾股数的是( )A.35,45,1B.30,40,50C.-6,-8,-10D.0.3,0.4,0.54.(2022江苏溧阳期中)一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端7米,消防车的云梯最大伸长为25米,则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.16米B.20米C.24米D.25米5.(2022独家原创)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,已知BC=5,AB=13,点D 是斜边AB 上的动点,则CD 的最小值为( )A.6013B.365C.94D.12256.(2022江苏南京期中)如图,以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆,若半圆B、C 的面积分别是4、5,则半圆A的面积是( )A.1B.3C.4.5D.97.有一个边长为1的正方形,以它的一条边为斜边,向外作一个直角三角形,再分别以直角三角形的两条直角边为边,向外各作一个正方形,称为第一次“生长”(如图1);再分别以这两个正方形的边为斜边,向外各自作一个直角三角形,然后分别以这两个直角三角形的直角边为边,向外各作一个正方形,称为第二次“生长”(如图2);……如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2 021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )图1 图2A.1B.2 020C.2 021D.2 0228.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD和AB上的动点,则PA+PQ的最小值是( )A.2.4B.4.8C.4D.5二、填空题(每小题3分,共24分)9.(2022独家原创)在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=24,AB=25,则△ABC的面积为 .10.(2021湖南岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线的长恰好为1丈.问门高、宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .11.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.12.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系式|c2-a2-b2|+(a-b)2=0,则△ABC的形状为 .13.如图所示的网格是正方形网格(每个小正方形的边长为1),则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P在小正方形的顶点上).14.利用图①②中两个图形的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理,这个定理称为 ,其数学表达式是 .图① 图②15.(2022江苏邳州期中)观察下列各组勾股数:(1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)7,24,25;(4)9,40,41;……照此规律,将第n组勾股数按从小到大的顺序排列,排在中间的数,用含n的代数式可表示为 .16.如图,圆柱形玻璃杯的高为7 cm,底面周长为16 cm,在杯内离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿1 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短路径为 cm.三、解答题(共52分)17.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.若AC=8,BC=4,求AE的长.18.(8分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时,也可以用面积法来证明勾股定理,请完成证明过程.(提示:BD和AC都可以分割四边形ABCD)19.(2022江苏南京期中)(8分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24.求四边形ABCD的面积.20.(8分)如图,在B港有甲、乙两艘渔船同时航行,若甲船沿北偏东60°方向以8千米/时的速度前进,乙船沿南偏东某方向以15千米/时的速度前进,2小时后甲船到达M岛,乙船到达P岛,两岛相距34千米,你知道乙船沿哪个方向航行吗?21.(2021江苏无锡新吴期中)(10分)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.(1)请把下列三组勾股数补充完整:① ,8,10;②5, ,13;③8,15, ;(2)小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.请你帮小敏证明这三个数2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数;(3)如果21,72,75是满足上述小敏发现的规律的勾股数,求m+n的值.22.(2022江苏南京期末)(10分)【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式,两个边长分别为a,b的直角三角形和一个两条直角边长都是c的直角三角形拼成如图①所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积.(1)方法一可表示为 ;方法二可表示为 ;(2)根据方法一和方法二,得出a,b,c之间的数量关系是 (等式的两边需写成最简形式);(3)由上可知,若一直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为 ;【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.如图②是边长为a+b的正方体,被如图所示的分割线分成8块.(4)用不同方法计算这个正方体的体积,就可以得到一个等式,这个等式为 ;(等号两边需化为最简形式)(5)已知2m-n=4,mn=2,利用上面的规律求8m3-n3的值.图① 图②答案全解全析1.B 当x 为斜边长时,x 2=22+42=20;当4为斜边长时,x 2=42-22=12.故x 的值有2个.2.C 由题意可知,三角形各边长的平方是对应的正方形的面积,∵所围成的三角形是直角三角形,∴斜边对应的正方形的面积=两直角边对应的正方形的面积和.∵1+2=3,2+2=4,3+4≠5,2+3=5,∴选取的三张正方形纸片的面积不可以是3,4,5.故选C.3.B A.35,45不是正整数,∴不是勾股数;B.302+402=502,∴是勾股数;C.-6,-8,-10不是正整数,∴不是勾股数;D.0.3,0.4,0.5不是正整数,∴不是勾股数.故选B.4.C 如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=25米,BC=7米.由勾股定理,得AC 2=AB 2-BC 2=252-72=576,所以AC=24米.故选C.5.A 在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=5,AB=13,∴AC 2=AB 2-BC 2=132-52=144,∴AC=12.根据垂线段最短可知,当CD ⊥AB 时,CD 的值最小,为12AC·BC 12AB =5×1213=6013.故选A.6.A 如图,∵△DEF 是直角三角形,∴DE 2+DF 2=EF 2,∴π8DE 2+π8DF 2=π8EF 2,∴S B +S A =S C .∵半圆B 、C 的面积分别是4、5,∴半圆A 的面积是1.故选A.7.D 由题意得S A =1,由勾股定理,得S B +S C =1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2.同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,……∴“生长”了2 021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2 022.故选D.8.B 如图所示.作点Q 关于直线BD 的对称点Q',因为BD 平分∠ABC,所以点Q'在BC 上,连接PQ',则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ'的最小值,∴当A 、P 、Q'三点共线且AQ'⊥BC 时,PA+PQ 的值最小,过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长.∵AB=6,BC=10,∴由勾股定理得AC 2=BC 2-AB 2=102-62=82,∴AC=8,∵S △ABC =12AM·BC=12AB·AC,∴AM=AB ·AC BC=4810=4.8.故选B.9.答案 84解析 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=25,AC=24,∴BC 2=AB 2-AC 2=252-242=49,∴BC=7,∴△ABC 的面积为12AC·BC=12×24×7=84.10.答案 x 2+(x-6.8)2=102解析 门高AB 为x 尺,则门的宽为(x-6.8)尺,AC=1丈=10尺,由勾股定理,得AB 2+BC 2=AC 2,即x 2+(x-6.8)2=102.11.答案 4解析 设“路”的长度是x 米,由勾股定理,得x 2=42+32=25,∴x=5,∴他们少走了3+4-5=2(米),即2×2=4步.12.答案 等腰直角三角形解析 由关系式|c 2-a 2-b 2|+(a-b)2=0得,c 2-a 2-b 2=0且a-b=0,即a 2+b 2=c 2且a=b,∴△ABC 是等腰直角三角形.13.答案 45解析 延长AP 交网格线于D,连接BD.则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+DB2=PB2,PD=BD,∴∠PDB=90°,∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.故答案为45.14.答案勾股定理;a2+b2=c2解析 借助题图①,根据大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积,得ab,化简后可得c2=a2+b2.借助题图②,根据大正方形的面积=小正方形的面c2=(b-a)2+4×12ab,化简得a2+b2=c2.积+四个直角三角形的面积,得(a+b)2=c2+4×1215.2n2+2n;解析 (1)3,4,5中,3=2×1+1,4=32-12;(2)5,12,13中,5=2×2+1,12=52-12;(3)7,24,25中,7=2×3+1,24=72-12;(4)9,40,41中,9=2×4+1,40=92-12……,即2n2+2n.以此类推,第n组勾股数中,最小的数为2n+1,排在中间的数为(2n+1)2-12故答案为2n2+2n.16.答案 10解析 如图(图中数据的单位:cm),将杯子的侧面展开,作A关于EF的对称点A',连接A'C,易知A'C的长为所求的最短路程,根据勾股定理得A'C2=A'D2+CD2=82+62=102,所以A'C=10 cm,即所求的最短路程为10 cm.17.解析 连接BE.∵DE 垂直平分AB,∴AE=BE.设AE=BE=x,则CE=8-x,在Rt △BCE 中,由勾股定理,得BC 2+CE 2=BE 2,∴42+(8-x)2=x 2,解得x=5,∴AE=5.18.解析 连接DB,过点D 作BC 边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab,S 四边形ABCD =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a(b-a),∴12b 2+12ab=12c 2+12a(b-a),∴a 2+b 2=c 2.19.解析 连接AC.在△ABC 中,∠B=90°,由勾股定理,得AB 2+BC 2=AC 2.∵AB=20,BC=15,∴AC 2=202+152=625,∴AC=25.∵CD=7,AD=24,AC=25,∴CD 2+AD 2=72+242=49+576=625,AC 2=252=625,∴CD 2+AD 2=AC 2,∴△ACD 是直角三角形,即∠D=90°,∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB·BC+12AD·CD=12×20×15+12×24×7=234.20.解析 由题意知,BM=8×2=16千米,BP=15×2=30千米,在△BMP 中,BM 2+BP 2=256+900=1 156,PM 2=342=1 156,∴BM 2+BP 2=MP 2,∴△BMP 是直角三角形,∠MBP=90°,∴∠ABP=180°-90°-60°=30°,∴乙船沿南偏东30°方向航行.21.解析 (1)6;12;17.(2)证明:∵(m 2-n 2)2+(2mn)2=m 4+n 4-2m 2n 2+4m 2n 2=m 4+n 4+2m 2n 2,(m 2+n 2)2=m 4+n 4+2m 2n 2,∴(m 2-n 2)2+(2mn)2=(m 2+n 2)2,∴m 2-n 2,m 2+n 2,2mn 是勾股数.(3)把21,72,75分别除以3,得7,24,25,∵偶数24=2×4×3,25=42+32,7=42-32,∴m=4,n=3,∴m+n=4+3=7.22.解析 (1)方法一可表示为12ab+12ab+12c 2;方法二可表示为12(a+b)2.故答案为12ab+12ab+12c 2;12(a+b)2.(2)由题意可得12ab+12ab+12c 2=12(a+b)2,整理得c 2=a 2+b 2.故答案为c 2=a 2+b 2.(3)10.(4)方法一可表示为(a+b)3;方法二可表示为a 3+3a 2b+3ab 2+b 3.∴等式为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3.故答案为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3.(5)由(4)可得(2m-n)3=8m 3-12m 2n+6mn 2-n 3=8m 3-n 3-6mn(2m-n),∵2m-n=4,mn=2,∴64=8m 3-n 3-6×2×4,∴8m 3-n 3=64+48=112.。
苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理 含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一木杆在离地面3米处拆新，木杆顶端落在离木杆底端4米的水平地画处。
那么木杆折断之前的高度是（）米。
A.8B.7C.5D.42、如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的长度是（）A.2B.3C.D.3、下列各组数中，能构成直角三角形的一组是( )A.1，2，3B.1，1，C.2，3，4D.7，15，174、下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是( )A.3，5，7B.5，7，8C.1，，2D.4，6，75、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（）A.8B.9C.10D.26、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A.5B.7C.9D.117、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④S△ODC =S四边形BEOF中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、在正方形网格中，∠BAC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC 的值为 ( )A. B. C. D.9、若的三边长分别是，，，则下列条件：（1）；（2）；（3）；（4）其中能判定是直角三角形的个数有（）．A.4个B.3个C.2个D.1个10、如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）A.14B.13C.14D.1411、如图，O为矩形ABCD内一点，满足OD＝OC，若点O到边AB的距离为d，到边DC的距离为3d，且OB＝2d，则矩形ABCD的对角线的长为（）A.2dB. dC.3dD. d12、要在数轴上作出表示的点，可以通过构造直角三角形的方法，下列各组数值中，可以作为这个直角三角形两条直角边长的是（）A.5，5B.3，1C.1，9D.2，613、如图是某地一的长方形大理石广场示意图，如果小琴要从A角走到C角，至少走( )米A.90B.100C.120D.14014、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，为内部一点，则的最小值等于( )A. B. C. D.15、如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中， AB＝3，AD＝10，点E在AD上且DE＝2.点G为AE 的中点，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为________.17、如图，的直径⊥弦，垂足为点，连接，若CD=2 ，，则的长为________．18、如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．19、如图,在边长为4的等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,E,F是AD上的两点,则阴影部分的面积是________20、如图，内接于，若，则的半径长为________．21、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1， S2，则S1＋S2=________．22、如图，D为等边△ABC中边BC的中点，在边DA的延长线上取一点E，以CE 为边、在CE的左下方作等边△CEF，连结AF.若AB＝4，AF＝，则CF的值为________.23、如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若，则________．24、如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△AOB的周长等于________．25、如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是________三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，中，于D．求及的长．27、如图,在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格图中进行下列操作(以下结果保留根号)：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置,并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD,则⊙D的半径为,∠ADC的度数为；（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥底面半径．28、在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高?29、在△ABC中，,试判断△ABC的形状，并说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、勾股定理1.勾股定理的证明23．（67 南玄期中）（9 分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．23．(89 南一期末)（6 分）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边的长分别为a 和b，斜边为c．图②是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个直角梯形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并标注相关数据；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．22．（89 南高期中）（5 分）在四边形ABCD 中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，求证：AC⊥CD．5．（89 南鼓期末）（2 分）下列各组数是勾股数的是（）A．，，B．1，1，C．，，D．5，12，1314．（89 南六联期中）（2 分）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：．24．（67 南师大期中）（6 分）探寻“勾股数”：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”，勾股数有多少？勾股数有规律吗？（1）请你写出两组勾股数．（2）试构造勾股数．构造勾股数就是要寻找3 个正整数，使他们满足“两个数的平方和（或差）等于第三数的平方”，即满足以下形式：①2+ 2＝2；或②2﹣2＝2③要满足以上①、②的形式，不妨从乘法公式入手．我们已经知道③（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．如果等式③右边也能写成 2 的形式，就能符合②的形式．因此不妨设x＝m2，y＝n2，（m、n 为任意正整数，m＞n），请你写出含m、n 的这三个勾股数并证明它们是勾股数．4．（56 南栖期中）（2 分）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9 和25，则正方形A 的面积是（）A．16 B．32 C．34 D．6415．（89 南高期中）（2 分）已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27 和54，则正方形③的边长为．16．（45 南江湖熟期中）（2 分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π，S3＝π，则S2＝．4.勾股定理的简单应用6．（89 南玄期末）（2 分）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD 的长是（）A．a+b B．a﹣b C．D．11．（67 南29 中期中）（2 分）如图所示，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5 米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5 米，则梯子顶端A 下落了米．13．（56 南溧期末）（3 分）在△ABC 中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为cm2．15．（89 南联期末）（2 分）一块钢板的形状如图所示，已知AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝4cm，AD＝3cm，∠ADC＝90°，则这块钢板的面积是cm2．二、共斜边模型7．（89 南秦期中）（2 分）如图，一根长为a 的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP 的长度（）A．减小B．增大C．不变D．先减小再增大6．（89 南六联期中）（2 分）如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点D，BE⊥AC 于点E，F 为BC 的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF 的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．1522．（89 南秦期中）（8 分）如图，△ABC 中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M 为BC 的中点．（1）求证：ME＝MF；（2）若∠A＝50°，求∠FME 的度数．23.【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y 表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解答】解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．（2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，×（3+1）×3×4＝×4×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（3）将四边形MTKN 的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案为：．23.【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；（2）此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理．【解答】解：（1）如图所示，是梯形；（2）由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；22.【分析】在△ABC 中，根据勾股定理求出AC2的值，再在△ACD 中根据勾股定理的逆定理，判断出AC ⊥CD．【解答】证明：在△ABC 中，AB⊥BC，根据勾股定理：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，∵在△ACD 中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，∴AC2+CD2＝AD2，∴根据勾股定理的逆定理，△ACD 为直角三角形，∴AC⊥CD．5.【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、∵，不是整数，故不是勾股数，故错误；B、∵不是整数，故不是勾股数，故错误；C、∵，不是正整数，故不是勾股数，故错误．D、∵52+122＝132，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；故选：D．14.【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6 组勾股数的第一个数是13，又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x，第三个数为x+1，根据勾股定理的逆定理，得：13 的平方+x 的平方＝（x+1）的平方，解得x＝84．则得第6 组数是：13、84、85．故答案为：13、84、85．24.【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：（1）勾股数：3，4，5或6，8，10等．（2）（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4，（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝4m2n2＝（2mn）2．∴（m2+n2）2﹣（2mn）2＝（m2﹣n2）2，∴m2+n2，m2﹣n2，2mn 为勾股数．故答案为：．4.【分析】根据已知两正方形的面积分别得出直角三角形两直角边长的平方，利用勾股定理求出斜边长的平方，即可求出正方形A 的面积．【解答】解：如图所示：根据题意得：EF2＝25，FG2＝9，∠EFG＝90°，根据勾股定理得：EG2＝25+9＝34，∴以斜边为边长的正方形A 的面积为34．故选：C．15.【分析】根据正方形的性质就可以得出∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD，∠AEB＝∠CBD，就可以得出△ABE≌△CDB，得出AE＝BC，AB＝CD，由勾股定理就可以得出BE 的值，进而得出结论．【解答】解：∵四边形①、②、③都是正方形，∴∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DBC＝90°，∴∠AEB＝∠CBD．在△ABE 和△CDB 中，，∴△ABE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，AB＝CD．∵正方形①、②的面积分别27cm2 和54cm2，∴AE2＝27，CD2＝54．∴AB2＝27．在Rt△ABE 中，由勾股定理，得BE2＝AE2+AB2＝27+54＝81，∴BE＝9．故答案为：9．16.【分析】利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵三角形是直角三角形，∴S2+S3＝S1，∴S2+ π＝π，解得S2＝2π．故答案为：2π．6.【分析】设CD＝x，则DE＝a﹣x，求得AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，求得CD＝，得到BC＝DE＝a﹣＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设CD＝x，则DE＝a﹣x，∵HG＝b，∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，∴x＝，∴BC＝DE＝a﹣＝，∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝，∴BD＝，故选：C．11.【分析】由题意知，AB＝DE＝2.5 米，CB＝1.5 米，BD＝0.5 米，则在直角△ABC 中，根据AB，BC 可以求AC，在直角△CDE 中，根据CD，DE 可以求CE，则AE＝AC﹣CE 即为题目要求的距离．【解答】解：在直角△ABC 中，已知AB＝2.5 米，BC＝1.5 米，∴AC＝＝2 米，在直角△CDE 中，已知CD＝CB+BD＝2 米，DE＝AB＝2.5 米，∴CE＝＝1.5 米，∴AE＝2 米﹣1.5 米＝0.5米．故答案为：0.5．13.【分析】此题分两种情况：∠B 为锐角或∠B 为钝角已知AB、AC 的值，利用勾股定理即可求出BC 的长，利用三角形的面积公式得结果．【解答】解：当∠B为锐角时（如图1），在Rt△ABD 中，BD＝＝＝5cm，在Rt△ADC 中，CD＝＝＝16cm，∴BC＝21，＝＝×21×12＝126cm2；∴S△ABC当∠B为钝角时（如图2），在Rt△ABD 中，BD＝＝＝5cm，在Rt△ADC 中，CD＝＝＝16cm，∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11cm，∴S＝＝×11×12＝66cm2，△ABC故答案为：126 或66．15.【分析】连接AC．利用勾股定理可求出AC 的长，根据△ABC 的三边关系可得△ABC 是直角三角形，根据三角形的面积公式可求出△ABC 与△ACD 的面积，进而求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：连接AC，由勾股定理得AC＝＝5cm，∵AB＝12cm，BC＝13cm，AC2+AB2＝BC2，即52+122＝132，故△ABC 是直角三角形，∠CAB＝90°，故四边形ABCD 的面积＝S﹣S△ACD，△ABC＝AB•AC﹣AD•CD，＝×12×5﹣×4×3，＝30﹣6，＝24cm2，故答案为：24．7.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP＝AB．【解答】解：∵AO⊥BO，点P 是AB 的中点，∴OP＝AB＝×a＝a，∴在滑动的过程中OP 的长度不变．故选：C．6.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．【解答】解：∵CD⊥AB，F 为BC 的中点，∴DF＝BC＝×8＝4，∵BE⊥AC，F 为BC 的中点，∴EF＝BC＝×8＝4，∴△DEF 的周长＝DE+EF+DF＝5+4+4＝13．故选：C．22.【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME＝BC，MF＝BC，得到答案；（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F 四点共圆，根据圆周角定理得到答案．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M 为BC 的中点，∴ME＝BC，MF＝BC，∴ME＝MF；（2）解：∵CF⊥AB，∠A＝50°，∴∠ACF＝40°，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F 四点共圆，∴∠FME＝2∠ACF＝80°．。