实验1.3 惯性秤测量质量

实验1.3 用惯性秤测量质量

物理天平和分析天平是用来测量质量的仪器，但它们的原理都是基于引力平衡，因此测出的都是引力质量，为进一步加深对惯性质量概念的了解，本实验使用动态的方法，测量物体的惯性质量，以期与引力质量作出比较． 【实验目的】

1．掌握用惯性秤测定物体质量的原理和方法；

2．了解仪器的定标和使用。 【实验仪器】

惯性秤，周期测定仪，定标用标准质量块（共10块），待测圆柱体。 【实验原理】

根据牛顿第二定律F ma =，有/m F a =，把同一个力作用在不同物体上，并测出各自的加速度，就能确定物体的惯性质量。

常用惯性秤测量惯性质量，其结构如图1.3-1所示．惯性秤由平台(12)和秤台(13)组成，它们之间用两条相同的金属弹簧片(8)连接起来。平台由管制器(9)水平地固定在支撑杆上，秤台用来放置砝码和待测物(5)，此台开有一圆柱孔，该孔和砝码底座(包括小砝码和已知圆柱体)一起用以固定砝码组和待测物的位置。

当惯性秤水平固定后，将秤台沿水平方向拨动1 cm 左右的距离，松开手后，秤台及其上面的物体将做水平的周期性振动，它们虽同时受到重力和秤臂的弹性恢复力的作用，但重力垂直于运动方向，对此运动不起作用，起作用的只有秤臂的弹性恢复力。在秤台上的负荷不大，且秤台位移很小的情况下，可以近似地认为秤台的运动是沿水平方向的简谐运动。

设秤台上的物体受到秤臂的弹性恢复力为F kx =-，k 为秤臂的劲度系数，x 为秤台水平偏离平衡位置的距离，根据牛顿第二定律，运动方程为：

()202i d x

m m kx dt

+=- (1.3-1)

图1.3-1 惯性秤示意图

式中0m 为空秤的惯性质量，i m 为秤台上插入的砝码的惯性质量． 其振动周期T 由下式决定

k

m m T i

+=02π

(1.3-2) 将式(1.3-2)两侧平方，改写成

22

2

044i T m m k k

ππ=+ (1.3-3)

当秤台上负荷不大时，k 可看做常数，则上式表明惯性秤的水平振动周期T 的平方和附加质量线关系。当测出已知附加质量i m 所对应的周期值i T ，可作2T m -直线图（图1.3-2），这就是该惯性秤的定标曲线。

实验中为避免计算，通常采用作图法．直接从m T -2曲线图中查出待测物的惯性质量。方法如下：先测出空秤(其惯性质量0m )的水平振动周期0T ，然后将具有相同惯性质量的砝码依次增加放在秤台上，测得一组分别对应的振动周期

1T ，2T ，…，i T ，画出相应的m T -2曲线图，如图1.3-2所示，测量某待测物的

质量j m 时，只要将它放在砝码所在的位置上，测出其振动周期j T ，从m T -2曲线上即可找出对应于j T 的质量j m ，至于i m 中包括的0m ，它是惯性秤空秤的惯性质量，是一个常数，在绘制m T -2曲线时，取0m 作为横坐标的原点，这样作图或用图时就可以不必考虑0m 了。

惯性秤必须严格水平安置，才能得到正确的结果，否则，秤的水平振动将受

到重力的影响，这时秤台除受到秤臂的弹性恢复力外，还要受到重力在水平方向的分力的作用，为研究重力对惯性秤的影响，可以分两种情况考虑：

图1.3-2 惯性秤的2T m -曲线

1、惯性秤仍水平安置，将圆柱体用长为L 的线吊在秤台的圆孔内，如图1.3-3所示，此时圆柱体重量由悬线所平衡，不再铅直地作用于秤臂上，若再让秤振动起来，由于被测物在偏离平衡位置后，其重力的水平分力作用于秤台上，从而使秤的振动周期有所变化，在位移x 与悬线长L (由悬点到圆柱体中心的距离)相比较小，而且圆柱体与秤台圆孔间的摩擦阻力可以忽略时，作用于振动系统上的恢复力为(/kx mgx L +)，此时振动周期为

02i

i m m T m g k L

π

+'=+

(1.3-4) 由(1.3-2)和(1.3-4)两式可见，后一种情况下秤臂的振动周期T 比前一种要小一些，两者比值为

1i i m g

k m g T L T k kL

+

==+'

(1.3-5)

2、当秤臂铅直放置时，秤台的砝码(或被测物)的振动亦在铅直面内进行，由于重力的影响，其振动周期也会比水平放置小，若秤台中心至台座的距离为l (图1.3-4)，则振动系统的运动方程可以写成

()2002i i m m d x

m m k g x dt l +⎛⎫+=-+

⎪⎝⎭

(1.3-6) 相应地周期可以写成

002i

i m m T m m k g

l

+''=++ 1.3-7)

将式(1.3-7)与式(1.3-2)比较，有

图1.3-3 惯性秤水平放置工作方式 图1.3-4 秤臂铅直安装工作方式

T T ==''

1.3-8)

通过以上讨论可以看出重力对实验结果的影响．

【实验内容】

1、测定惯性秤水平放置时的定标曲线

(1)用水准仪校准惯性秤秤臂的水平，接好周期测定仪的连线，把周期测定仪的周期选择开关拨在10个周期的位置上，然后接通电源。 (2)将惯性秤的秤台沿水平方向稍稍拉开一小距离（约1cm 左右），任其振动，测定空秤时0m m =时的周期0T ，然后依次加上砝码i m ，测定0i m m m =+所对应的周期i T ，一直到将10个砝码加完为止，将所测数据记入表一中。注意加砝码时应对称地加入，并且砝码应插到盒底，使得砝码的重心一直位于秤台中心（重复测三次）。

2、待测圆柱体惯性质量的测定

取下10个砝码，分别将大圆柱体、小圆柱体放入秤台圆孔中，测定惯性秤周期T 大、（重复测三次）T 小，记入表二中，并将它们的引力质量也记入表二中。 3、研究重力对惯性秤测量精度的影响

(1)水平放置惯性秤，待测物（大圆柱体）通过长约50cm 的细线铅直悬挂在秤台的圆孔中(注意应使圆柱体悬空，又尽量使圆柱体重心与秤台中心重合)，此时圆柱体的重量由吊线承担，当秤台振动时，带动圆柱体一起振动，测定其振

动周期T '大

，将测量数据记入表二中。 (2)垂直放置惯性秤，使秤在铅直面内左右振动，依次插入砝码，测定相应质量i m 所对应的周期i T '，将测量数据记入表三中。 【数据处理要求】

1、根据表一数据，绘出惯性秤水平放置的2i i T m -定标曲线，分别由该直线

的斜率（24k π）、截距（2

04m k

π）求出惯性秤的劲度系数K 和空秤的有效质量0m 。

2、根据表二数据，用内插法从2i i T m -定标曲线中查出大、小圆柱体的惯性质量，并与它们的引力质量进行比较，求出它们的相对误差。

3、研究重力对惯性秤测量精度的影响。

(1)将所测周期T 大与T '大

进行比较，说明二者为何不同。 (2) 根据表三的数据，绘出惯性秤竖直平放置的2i i T m '-曲线（与2i i T m -定