第六章 组合变形

第六章 组合变形

一、内容提要

组合变形形式是指除拉伸、压缩、平面弯曲、自由扭转等基本变形形式以外的其它变形形式。在工程实际中，杆件的受力变形情况种类繁多，但根据叠加原理及圣维南原理，它们均可以简化为几种基本变形形式的组合。

（一）杆件在组合变形下的应力计算方法

1、在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。

2、叠加法的主要步骤

（1）、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。

（2）、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。

（3）将分别计算得到的同一截面同一点上的正应力取代数和，得到组合变形下该点处的正应力σ；将分别计算得到的同一截面同一点上的切应力取几何和，得到组合变形下该点处的切应力τ，简称叠加。

因此计算步骤概括为：

分解——分别计算——叠加

其关键是分解。

（二）将组合变形分解为几种基本变形的两种途径

1、载荷分解法

（1）、将任意方向的外力F ，在作用点分解为平行于轴线的纵向力F ’z 和平行于形心主轴的横向力F ’y 、F ’z ，如图6-1a 所示。

( )( )

( )

( )(拉伸)

( 平面内弯曲)图

（2）、将纵向力F ’x 向该截面形心简化，得一与轴线重合的纵向力F x （引起拉伸或压缩，F ’x =F x ），和一个集中力偶m ，再将集中力偶m 沿两个形心主轴方向分解，得两个力偶分量m y 、m z （分别在xz 平面和xy 平面内引起平面弯曲）结果如图6-1b 所示。

（3）、将两个横向力F’y、F’z分别向弯曲中心C简化，得两个过弯曲中心，并分别平行于形心主轴得横向力F y、F z，且F y=F’y，F z=F’z（分别在xy平面和xz平面内引起平面弯曲），及两个与轴线平行的力偶m x1、m x2，取代数和得m x（引起扭转，且在这里只考虑自由扭转）结果如图6-1c所示。

（4）、分别将引起拉伸（压缩）、xy平面内的平面弯曲、xz平面内的平面弯曲及扭转的载荷分量归并在一起，得到杆件各基本变形下的受力图，如图6-1d所示。

（5）、分别画出杆件在各基本变形下的内力图，综合比较各截面的内力分量，得到可能的危险截面上的内力分量，一般情况下有六个，即F N、F Sy、F Sz、M y、M z和T。

2、内力分解法

（1）、在欲求内力的截面上建立形心主轴坐标系Oxyz（O为截面形心，Ox为截面外法线，Oy、Oz为截面形心主轴）。

（2）、应用截面法，将截面一侧的外力向该截面形心简化，得一个主向量R e和一个主矩M e，从平衡关系直接求得该截面上的总内力：一个主向量R和一个主矩M，且R=R e，M=M e，如图6-2所示。

( )

( )

图

（3）、将主矩M沿Oxyz三个坐标轴方向分解，得三个力偶分量T1（扭矩）、M y和M z （弯矩）。

（4）、将主向量R沿三个坐标轴分解，得一个轴力F N和两个剪力F Sy和F Sz。当截面弯曲中心与形心不重合时，还须将F Sy和F Sz向弯曲中心简化，得两个剪力F Sy和F Sz及两个扭矩T2和T3。

（5）、将所有扭矩T1、T2、T3取代数和，得到该截面上的总扭矩T。最后在该截面上得到与基本变形要求一致的内力分量，一般有六个，即F N、F Sy、F Sz、M y、M z和T。

以上两种分解方法，可根据具体情况灵活应用，一般直杆多用载荷分解法，曲杆多用内力分解法。

（三）组合变形下杆件的强度计算

1、对杆件内各截面上的所用内力分量进行综合比较，确定可能的危险截面。

2、根据各种内力分量所对应的应力分布规律，判断可能的危险点。分别利用基本变形的内力计算公式，计算该点处的应力，叠加（正应力取代数和，切应力取几何和）后得危险点处的正应力σ和切应力τ。

3、根据危险点的应力状态，选用合适的强度理论，进行强度计算。

应该特别注意的是组合变形下杆件的可能危险截面和危险点一般都不止一个，切勿遗漏。

二、基本要求

本章的基本理论为：理论力学中力系的简化，平衡问题的求解；截面图形的几何性质，如形心、形心主惯性轴；基本变形内力、应力的分析与计算；叠加原理；应力状态分析与强度理论的应用等。要求在掌握上述基本理论的基础上，解决斜弯曲、拉弯组合、偏心压缩（拉伸）及弯扭组合变形的应力计算问题。

（一）斜弯曲

斜弯曲是两个相互正交的形心主惯性轴平面内平面弯曲的组合变形。

当杆件在两个相互正交的形心主惯性平面内分别有横向力作用时（如图6-3a 所示）或杆件所受的横向力不与杆件的形心主惯性平面重合或平行时（如图6-3b 所示）杆件发生斜弯曲。杆件变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内。

( )

( )图

1、斜弯曲杆的应力

将斜弯曲分解为在两个形心主惯性平面内的平面弯曲，然后分别计算其应力，再进行叠加。则任意截面上任意点（y 、z ）处的正应力为

z

z y y I y M I z

M +=σ (6-1) 式中M y 、M z 分别为主惯性平面y 、z 内的弯矩，y 、z 分别为计算应力点的坐标，I y 、I z 分别为截面的两个形心主惯性矩。

一般情况下，任意截面上还有剪力F Sy 和F Sz ，因而该点处还有切应力。通常在斜弯曲问题中，剪力引起的切应力可忽略不计。

2、中性轴位置 由中性轴上各点的正应力均为零，可知任一截面上中性轴方程为

0=+z

z y y I y M I z

M (6-2)