2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：选修4-4第二节 参数方程

第二节 参数方程授课提示：对应学生用书第201页[基础梳理]1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.3轨迹 普通方程 参数方程直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)(α≠π2，点斜式)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1．参数方程化普通方程(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等．(2)常用公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ. 2．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则 (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. (3)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.[四基自测]1．(基础点：直线与椭圆的参数方程)直线y ＝x 与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C2．(基础点：直线的参数方程)若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为________． 答案：－33．(易错点：消参的等价性)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________． 答案：y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)4．(基础点：椭圆的参数方程)椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．答案：215授课提示：对应学生用书第202页考点一 参数方程与普通方程的互化[例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [详细分析] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，25]．[破题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)． 提醒：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．详细分析：圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2 θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ.所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2 θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．考点二 参数方程的应用[例] (2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t1＋t 2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0. (1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． [详细分析] (1)因为－1＜1－t 21＋t2≤1， 且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)， l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.[破题技法] 1.应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义． 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．(2020·广东揭阳二模)以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝a 2(a ∈R ，a 为常数)，过点P (2，1)，倾斜角为30°的直线l 的参数方程满足x ＝2＋32t (t 为参数)． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点(点P 在A 、B 之间)，且|P A |·|PB |＝2，求a 和||P A |－|PB ||的值．[详细分析] (1)由ρ2cos 2θ＝a 2得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝a 2， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2－y 2＝a 2， ∴曲线C 的普通方程为x 2－y 2＝a 2.∵过点(2，1)，倾斜角为30°的直线l 的普通方程为y ＝33(x －2)＋1，由x ＝2＋32t得y ＝1＋12t ，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋t2(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋t2代入x 2－y 2＝a 2，得t 2＋2(23－1)t ＋2(3－a 2)＝0①，依题意知Δ＝[2(23－1)]2－8(3－a 2)＞0，则方程①的根t 1、t 2就是交点A 、B 对应的参数，t 1·t 2＝2(3－a 2)， 由参数t 的几何意义知|P A |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1·t 2|，得|t 1·t 2|＝2， ∵点P 在A 、B 之间，∴t 1·t 2＜0， ∴t 1·t 2＝－2，即2(3－a 2)＝－2， 解得a 2＝4(满足Δ＞0)，∴a ＝±2. ∵||P A |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|，又t 1＋t 2＝－2(23－1)，∴||P A |－|PB ||＝43－2.考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[例] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，A ，B 均异于原点O ，且|AB |＝42，求α的值．[详细分析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos θ，由题意设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则|AB |＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α|＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，∴α－π4＝π2＋k π(k ∈Z )．∵0＜α＜π，∴α＝3π4.[破题技法] 参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．(2020·湖南郴州二模)已知极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝121＋2sin 2θ，点N 在曲线C 上运动，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋t ，y ＝t(t 为参数)．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的参数方程； (2)求线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最小值．详细分析：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋t ，y ＝t(t 为参数)，∴消去参数t 得直线l 的普通方程为x －y －6＝0.曲线C 的极坐标方程化为ρ2＋2ρ2sin 2θ－12＝0，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋3y 2－12＝0，即x 212＋y 24＝1.∴曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(2)设N (23cos α，2sin α)(0≤α＜2π)，点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4化成直角坐标为(4，4)，则P (3cos α＋2，sin α＋2)， ∴点P 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α－6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－62≥22，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1时，等号成立． ∴点P 到l 的距离的最小值为2 2.。