高中数学联赛初等数论专题练习(带答案详解版)
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14．在数列 中， ，且 .
（1） 的通项公式为__________；
（2）在 、 、 、 、 这 项中，被 除余 的项数为__________．
15．将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列，如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”.已知 ，设区间 内的三个正整数 ， ， 满足:数列 ， ， ， 为“弱等比数列”，则 的最小值为________.
4．C
【解析】
【分析】
首先根据平方差公式对 分解因式，由此判断出正确选项.
【详解】
,
一定能被4整除，
故选:C.
【点睛】
本小题主要考查平方差公式，考查整除性问题，属于基础题.
5．C
【解析】
【详解】
设直角三角形三边长分别为 、 、 ，则 ，且 .
两式消去 ，得 ，即 .
于是， .
注意到 ，所以， .
故 或2，即 或6,选C.
A． B． C． D．
2．设 表示不超过 的最大整数（如 ， ），对于给定的 ，定义 ， ；当 时，函数 的值域是（）
A． B．
C． D．
3．用 表示 的整数部分，即 表示不超过 的最大整数，例如： ，设函数 ，则函数 的值域为（）
A． B． C． D．
4．已知 是正整数，则下列数中一定能整除 的是（）
A．6B．3C．4D．5
5．已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等.那么，这样的直角三角形有（）个.
A．0B．1C．2D．3
6．十八世纪，函数 （ 表示不超过 的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程 的所有实数根的个数为（）
A． B．1C．2D．3
7．将编号为1，2，…，18的18名乒乓球运动员分配在9张球台上进行单打比赛，规定每一张球台上两选手编号之和均为大于4的平方数．记{7号与18号比赛}为事件p．则p为（ ）．
A．不可能事件B．概率为 的随机事件
C．概率为 的随机事件D．必然事件
二、填空题
8．在正奇数非减数列 中，每个正奇数 出现 次.已知存在整数 、 、 ，对所有的整数 满足 ，其中 表示不超过 的最大整数.则 等于______.
【解析】
【分析】
首先将函数解析式进行化简，并用换元思想，得到 （ ），研究二次函数在某个区间上的值域，求得 ，根据“高斯函数”的本质，求得结果.
【详解】
因为 ，令 （ ），
则 （ ），函数的对称轴方程为 ，
所以 ，
，所以 ，
所以 的值域为 ，
故选：B.
【点睛】
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.
16．设 表示不超过 的最大整数，如 .
若函数 ，则 的值域为________________.
三、解答题
17．将下列各式进行因式分解.
（1） ；
（2） ；
（3） .
18．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）是否存在实数k， 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值．
6．C
【解析】
【分析】
由 可得 ，若 时，方程显然不成立，故 ，此时 ，分别分析即可.
【详解】
由 可得 ,
因为 时， ，方程无解，
当 时， 的可能取值为 ，
当 时，方程有解 ，
当 时，方程无解，
当 时， ，解得 或 ，
因为 ，符合题意， 不符合题意，舍去，
综上，方程的根为 ， ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程，取整函数，分类讨论的思想，属于中档题.
高中数学联赛初等数论专题练习（详解版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ，已知函数 （ ），则函数 的值域为（）
则下列正确命题的序号是______________．
12．若两整数 、 除以同一个整数 ，所得余数相同，即 ，则称 、 对模 同余，用符号 表示，若 ，满足条件的 由小到大依次记为 ，则数列 的前 项和为________.
13．设 ， 表示不超过 的最大整数，若存在实数 ，使得 ， ，…， 同时成立，则正整数 的最大值是．
3．C
【解析】
【分Байду номын сангаас】
根据条件先判断函数的 的奇偶性，结合 的定义，分别讨论 取整数值和非整数时对应的结果即可．
【详解】
解：函数 的定义域为 ，则
即 ，则 是奇函数，
则 ，
若 ， 是整数，则 ，
如 ，
则 ，
则 ，
则 ，
综上 或 ，
即 的值域为 ，
故选C．
【点睛】
本题考查函数值域的求法，一般地，可先考虑函数的奇偶性、周期性等把函数值域归结到有限区间上，再考虑函数的单调性，也可以利用换元法把复杂函数转化为简单函数，注意根据函数的解析式的形式选择合适的方法．
19．正整数数列 的前 项和为 ，前 项积 ，若 ，则称数列 为“ 数列”.
(1)判断下列数列是否是 数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56
(2)若数列 是 数列，且 .求 和 ；
(3)是否存在等差数列是 数列？请阐述理由.
20．设 ， 是正整数，满足 .证明： .
参考答案
1．B
9．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则 _________.
10．已知 表示正整数 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则 ；21的因数有1，3，7，21，则 ，那么 _________.
11．用符号 表示小于 的最大整数，如 ，有下列命题：①若函数 ，则 的值域为 ；②若 ，则方程 有三个根；③若数列 是等差数列，则数列 也是等差数列；④若 ，则 的概率为 ．
2．D
【解析】
【分析】
利用题目中的两个新定义求得 ，再利用导数求分母的值域，即可得答案.
【详解】
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ，
∴ 为增函数，
∴ ，且 ，
∴ ，∴ .
故选：D.
【点睛】
本题考查函数新定义问题、导数的运用、三次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
（1） 的通项公式为__________；
（2）在 、 、 、 、 这 项中，被 除余 的项数为__________．
15．将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列，如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”.已知 ，设区间 内的三个正整数 ， ， 满足:数列 ， ， ， 为“弱等比数列”，则 的最小值为________.
4．C
【解析】
【分析】
首先根据平方差公式对 分解因式，由此判断出正确选项.
【详解】
,
一定能被4整除，
故选:C.
【点睛】
本小题主要考查平方差公式，考查整除性问题，属于基础题.
5．C
【解析】
【详解】
设直角三角形三边长分别为 、 、 ，则 ，且 .
两式消去 ，得 ，即 .
于是， .
注意到 ，所以， .
故 或2，即 或6,选C.
A． B． C． D．
2．设 表示不超过 的最大整数（如 ， ），对于给定的 ，定义 ， ；当 时，函数 的值域是（）
A． B．
C． D．
3．用 表示 的整数部分，即 表示不超过 的最大整数，例如： ，设函数 ，则函数 的值域为（）
A． B． C． D．
4．已知 是正整数，则下列数中一定能整除 的是（）
A．6B．3C．4D．5
5．已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等.那么，这样的直角三角形有（）个.
A．0B．1C．2D．3
6．十八世纪，函数 （ 表示不超过 的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程 的所有实数根的个数为（）
A． B．1C．2D．3
7．将编号为1，2，…，18的18名乒乓球运动员分配在9张球台上进行单打比赛，规定每一张球台上两选手编号之和均为大于4的平方数．记{7号与18号比赛}为事件p．则p为（ ）．
A．不可能事件B．概率为 的随机事件
C．概率为 的随机事件D．必然事件
二、填空题
8．在正奇数非减数列 中，每个正奇数 出现 次.已知存在整数 、 、 ，对所有的整数 满足 ，其中 表示不超过 的最大整数.则 等于______.
【解析】
【分析】
首先将函数解析式进行化简，并用换元思想，得到 （ ），研究二次函数在某个区间上的值域，求得 ，根据“高斯函数”的本质，求得结果.
【详解】
因为 ，令 （ ），
则 （ ），函数的对称轴方程为 ，
所以 ，
，所以 ，
所以 的值域为 ，
故选：B.
【点睛】
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.
16．设 表示不超过 的最大整数，如 .
若函数 ，则 的值域为________________.
三、解答题
17．将下列各式进行因式分解.
（1） ；
（2） ；
（3） .
18．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）是否存在实数k， 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值．
6．C
【解析】
【分析】
由 可得 ，若 时，方程显然不成立，故 ，此时 ，分别分析即可.
【详解】
由 可得 ,
因为 时， ，方程无解，
当 时， 的可能取值为 ，
当 时，方程有解 ，
当 时，方程无解，
当 时， ，解得 或 ，
因为 ，符合题意， 不符合题意，舍去，
综上，方程的根为 ， ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程，取整函数，分类讨论的思想，属于中档题.
高中数学联赛初等数论专题练习（详解版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ，已知函数 （ ），则函数 的值域为（）
则下列正确命题的序号是______________．
12．若两整数 、 除以同一个整数 ，所得余数相同，即 ，则称 、 对模 同余，用符号 表示，若 ，满足条件的 由小到大依次记为 ，则数列 的前 项和为________.
13．设 ， 表示不超过 的最大整数，若存在实数 ，使得 ， ，…， 同时成立，则正整数 的最大值是．
3．C
【解析】
【分Байду номын сангаас】
根据条件先判断函数的 的奇偶性，结合 的定义，分别讨论 取整数值和非整数时对应的结果即可．
【详解】
解：函数 的定义域为 ，则
即 ，则 是奇函数，
则 ，
若 ， 是整数，则 ，
如 ，
则 ，
则 ，
则 ，
综上 或 ，
即 的值域为 ，
故选C．
【点睛】
本题考查函数值域的求法，一般地，可先考虑函数的奇偶性、周期性等把函数值域归结到有限区间上，再考虑函数的单调性，也可以利用换元法把复杂函数转化为简单函数，注意根据函数的解析式的形式选择合适的方法．
19．正整数数列 的前 项和为 ，前 项积 ，若 ，则称数列 为“ 数列”.
(1)判断下列数列是否是 数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56
(2)若数列 是 数列，且 .求 和 ；
(3)是否存在等差数列是 数列？请阐述理由.
20．设 ， 是正整数，满足 .证明： .
参考答案
1．B
9．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则 _________.
10．已知 表示正整数 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则 ；21的因数有1，3，7，21，则 ，那么 _________.
11．用符号 表示小于 的最大整数，如 ，有下列命题：①若函数 ，则 的值域为 ；②若 ，则方程 有三个根；③若数列 是等差数列，则数列 也是等差数列；④若 ，则 的概率为 ．
2．D
【解析】
【分析】
利用题目中的两个新定义求得 ，再利用导数求分母的值域，即可得答案.
【详解】
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ，
∴ 为增函数，
∴ ，且 ，
∴ ，∴ .
故选：D.
【点睛】
本题考查函数新定义问题、导数的运用、三次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.