高中数学解析几何解答题专题训练 (1)(有解析)

高中数学解析几何解答题专题训练 (1)

一、解答题（本大题共30小题，共360.0分） 1. 已知椭圆E ：x 2

a 2+

y 2b 2

=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√

2

2，斜率为k 的直线

l 过F 1且与椭圆E 相交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为8√2． (1)求椭圆E 的标准方程；

(2)设线段AB 的中垂线m 交x 轴于N ，在以NA ，NB 为邻边的平行四边形NAMB 中，顶点M 恰好在椭圆E 上，求直线l 的方程．

2. 如图，设抛物线方程为x 2=2py(p >0)，M 为直线y =−2p 上任

意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ． (Ⅰ)设线段AB 的中点为N ； (ⅰ)求证：MN 平行于y 轴；

(ⅰ)已知当M 点的坐标为(2,−2p)时，|AB|=4√10，求此时抛物线的方程；

(Ⅱ)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线x 2=2py(p >0)上，其中，点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 已知椭圆C ：x 2

a

2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 的倾斜角为锐角，P 为椭圆的上顶点，且PF 1⊥PF 2． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若直线l与椭圆C交异于点P的两点A，B，且直线PA，PB与直线x+y−2=0分别交于不同两点M、N，当|MN|最小时，求直线l的方程．

4.已知椭圆M：x2

a +y2

b

=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，

且椭圆经过点N(√2,√2

2

)．

(1)求椭圆M的方程；

(2)若斜率为−1

2

的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．

(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．

5.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2

a +y2

b

=1(a>b>0)的离心率为√3

2

，A为

椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，|AB|=|AO|，△BOC的面积为√3．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点(M,N在直线OA的同侧)，若∠CAM=∠OAN，求直线l的方程．

6. 已知椭圆C ：

x 2a 2

+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 短轴两顶点和两焦点

构成的四边形为正方形，且周长为4√2，经过F 2与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若椭圆C 短轴上的点T(0,t)，满足|TM|=|TN|，求实数t 的取值范围． 7. 已知椭圆

x 2a

2+

y 2b 2

=1(a >b >0)的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O 为坐标原点，椭圆的离心率

为√22

，且△TFO 面积的最大值为1

2． (1)求椭圆的方程；

(2)设点A(0,1)，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|⋅|ON|=2，求证：直线l 经过定点．

8. 已知过点M(0,m)(m >0)的直线l 与抛物线C ：x 2=4y 交于A ，B 两点．

(1)分别以A ，B 为切点作抛物线的两条切线PA ，PB ，交点为P ，当m =1时，求点P 的轨迹方程；

(2)若1

|AM|2+1

|BM|2为定值，求m 的值． 9. 已知椭圆

x 24

+y 25

=1的上焦点为F ，

曲线C 1上动点M(x,y)(y ≥0)到F 的距离|MF|比点M 到x 轴的距离长1个单位． (1)求曲线C 1的方程；

(2)若直线L ：y =kx +t 与曲线C 1相交于A 、B 两点，过A 、B 分别作曲线C 1的切线相交于点P ，直线PA 、PB 分别与x 轴相交于C 、D ，若AB 与y 轴相交于点Q ． ①四边形PCQD 是否为平行四边形？说明理由．

②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由．

10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：

x 24

+y 2=1上的动点，不经过点P 的直线l 交

椭圆E 于A ，B 两点．

(1)若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；

(2)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线PA 的位置关系，并说明理由．

11.已知直线y=2p与抛物线C：x2=2py(p>0)交于P，Q两点，且|PQ|=8．

(1)求抛物线C的方程；

(2)斜率为k(k≠0)的直线l经过C的焦点F，l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y

为定值，求点E的坐标．

轴交于点D，点E在y轴上，|AB|

|DE|

12.在平面直角坐标系xOy中，设m≥1，过点(m,0)的直线l与圆P：x2+y2=1相切，且与抛物

线Q：y2=2x相交于A，B两点．

(1)当m在区间[1,+∞)上变动时，求AB中点的轨迹；

(2)设抛物线焦点为F，求△ABF的周长(用m表示)，并写出m=2时该周长的具体取值．

13.如图，抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，过焦点F的直线l抛物线交于A、B两点，点A到x

轴的距离等于|AF|−1．

(1)求抛物线方程；

(2)过F与AB垂直的直线和过B与x轴垂直的直线相交于点M，AM与y轴交于点N，求点N

的纵坐标的取值范围．