高三圆锥曲线复习教案理科
[数学教案]圆锥曲线(复习课)
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圆锥曲线（复习课）教学目的1．理解椭圆、双曲线的第一定义及椭圆、双曲线和抛物线的统一定义，并能利用定义求出与圆锥曲线有关的量，也能利用定义求出圆锥曲线方程．2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及相应图象，并掌握相应的性质：图形范围、对称性、顶点、长轴、短轴、实轴、虚轴、焦距、焦点、离心率、准线、渐近线．3．掌握中心在(h，k)的椭圆和双曲线的方程及顶点在(h，k)的抛物线的方程及相应图形与性质(性质同2)．4．掌握方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线的分类．5．理解解析几何用代数方法研究图形的几何性质的学习特点．重点难点重点一是熟练掌握圆锥曲线的标准方程及相应的图形和性质，以及中心在(h，k)的椭圆、双曲线和顶点在(h，k)的抛物线的方程及相应图形和性质，特别要注意形与数的一一对应．重点二是掌握圆锥曲线的定义，能在已知条件合适时，自觉地想到利用定义求圆锥曲线方程，或利用定义求圆锥曲线有关的量．难点在于不易利用平面几何知识选择最简便的方法去解决问题．解析几何固然是用代数方法研究几何问题，但毕竟它仍是几何问题，因而几何图形原有的性质也不能抛弃不用．教学过程椭圆、双曲线和抛物线是解析几何重点研究的曲线．研究的主要内容是椭圆、双曲线和抛物线的形成，即它们的定义及相应的方程；又由方程的代数性质研究曲线的几何性质；圆锥曲线的一般方程是怎样分类的，从而知道它们可表示不同的圆锥曲线；经过平移后圆锥曲线的方程和相应性质．在整个复习课的过程中，强调数形结合的思想方法，利用图形探索解题方法及解的不同情况，特别是有关中心在(h，k)的椭圆、双曲线和顶点在(h，k)的抛物线的问题，更要依据数形结合解决问题，而尽可能避免使用坐标平移公式．突出利用方程思想实施待定系数法求圆锥曲线方程．并注意利用定义得方程和求有关圆锥曲线的量．同时不能忽视平面几何的图形性质的利用．一、复习定义对于圆锥曲线的统一定义，圆锥曲线上一点到焦点的距离与到相应准线距离之比为正常数e，当0＜e ＜1时，动点轨迹为椭圆；当e=1时，动点轨迹为抛物线；当e＞1时，动点轨迹为双曲线．(利用计算机《几何画板》演示随e的变化，动点曲线由椭圆到抛物线到双曲线的变化)．例1抛物线y2=8px(p＞0)上一点M到焦点的距离为a，则点M到y轴的距离为______．分析过M点作MH⊥y轴于H，则所求即|M H|．由定义知M点到焦点的距离a=M点到准线的距离，所以延长MH交准线于M′，则|M M′|=a，而抛物线顶点到准线的距离为2p，故|M H|=|M M′|-2p=a-2p．例2双曲线实轴长为2a，过焦点F1的弦的两个端点A，B均在左支上，且|AB|=m，F2为右焦点，则△ABF2的周长是______．分析由第一定义有|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，两式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a，即|AF2|+|BF2|-|AB|=4a，所以|AF2|+|BF2|=4a+m，则△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=m+4a+m=4a+2m．分析不妨设|PF1|=m，|PF2|=n，由第一定义知m+n=2a=20，又则P点坐标为______．例3一动圆与两已知圆O1：x2+y2+4x+3=0和圆O2：x2+y2-4x-5=0都内切，则动圆圆心轨迹为[]A．椭圆B．双曲线一支C．抛物线D．两条相交直线分析整理⊙O1：(x+2)2+y2=1，⊙O2：(x-2)2+y2=9．从草图易知与⊙O1，⊙O2均内切的圆的半径R＞1且R＞3．设动圆圆心为P，由内切定义有|PO1|=R-1，|PO2|=R-3；两式相减得|PO1|-|PO2|=2，即动圆圆心P到两定点O1(-2，0)，O2(2，0)的距离之差为常数2，且2＜|O1O2|=4，因为|PO1|＞|PO2|，故P点轨迹是以O1，O2为焦点(即2c=4，c=2)，以2a=2(即实轴为2)的双曲线的右支，应选B．评述由以上几例可知在求有关圆锥曲线的各个量时，经常需要用到圆锥曲线的定义(包括第一定义和第二定义)，因而利用定义解题的意识一定要加强，否则不考虑定义，往往会没有思路和方法，一筹莫展．二、复习方程、图形及性质(教师在黑板上画出中心在原点的两种椭圆和双曲线的图形，并画出顶点在原点的四种抛物线的图形．然后提问学生，让学生叙述这些图形的几何性质；范围，对称性，顶点，焦点，长轴，短轴，实轴，虚轴，焦距，准线，离心率，渐近线．还要复习“等轴双曲线”及“共轭双曲线”的概念)．例4曲线x2+ky2=1的准线与y轴平行，则实数k的取值范围是[]A．(-∞，0)∪(1，+∞)B．(0，1)C．(1，∞)D．(-∞，0)这个双曲线的离心率等于[]A．2B．3分析由已知有2a+2c=2(2b)，即a+c=2b．即有了关于a，b，c的一个方程，再有关系式a2+b2=c2，即可确定离心率e，由(a+c)2=4b2，a2+b2=c2得a2+2ac+c2=4(c2-a2)，整理为3c2-2ac-5a2=0，方程两边同除以例5抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y+12=0上，则此抛物线方程是______．分析由已知抛物线为标准方程，且焦点在x轴上，则焦点纵坐标为0，而焦点又在直线3x-4y+12=0上，将y=0代入直线方程，得3x+12=0，=4，p=8，故抛物线方程为y2=-16x．以m的值有3个，故选C．本小题充分体现了分类讨论的思想．例20已知A，B是抛物线y2=4x上的两个点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且抛物线的焦点恰为△AOB的垂心，则直线AB的方程是[]A．x=2B．x=3C．x=5D．x=6分析因为△AOB中有|OA|=|OB|，A，B为抛物线y2=4x上的两个点，所以由抛物线关于x轴对称知，AB⊥x轴，也即A，B两点横的弦长等于[]分析本题表面看是中心在(2，-1)的椭圆问题．但仔细分析所求的量“过已知椭圆的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长”，不与椭圆位置有关，所以考虑中心在原点的与已知椭圆形状相同的椭圆，求出上述量本题要深入体会数形结合的数学思想，发现形的位置变化了，但其中一些量并未变化．例6AB为经过抛物线y2=4x的焦点且倾角为45°的弦．则△AOB的面积是______．分析由已知弦所在直线AB的方程为y=x-1．与y2=4x联立，消y例7以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，若|MF|=|M O|，则椭圆的离心率为分析求离心率只需找到关于a，b，c的一个方程即可．本题在⊙F中，已知|M F|=|M O|，且|FO|=|FM|=r，所以|OM|=|OF|=c，由等边△=c2，化简为4a2b2-b2c2-3a2c2=0，将b2=a2-c2代入得4a2(a2-c2)-c2·(a2-c2)-3a2c2=0，化简为c4-8a2c2+4a4=0，方程两边同除以a4得e4-8e2+4=0，评述本题若设椭圆两焦点为F1，F2，连结MF2，MO，MF1．由等边△OMF2有|M O|=|M F2|=|OF2|=c，且|OF1|=c，则|F1F2|=2|MO|，一个三角形一边上的中线等于此边之半，则这个三角形为Rt△，即∠比较两种解法得到的a，b，c的方程，可知评述中的解法捷便得多．这就是充分利用圆锥曲线的定义及图形的平面几何性质的优越性．本例还可用许多方法得到a，b，c的不同方程来求e，但均不如评述中的方便简捷．例8抛物线x2=2y上离点A(0，a)(a＞0)最近的点恰好是顶点，该结论成立的充要条件是[] A．a＞0B．a≥1分析在抛物线x2=2y上任取一点P(x，y)，|PA|2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2+(2-2a)y+a2(y≥0)，记y0=a-1．当P点为抛物线顶点O(0，0)时，即y=0时|P A|2取得最小值的充要条件是y0≤0，即a-1≤0，又已知a＞0，则a的取值范围是(0，1)，故选D．评述自例11以后，问题都比较综合，涉及到直线、圆、函数、最值、平面几何、圆锥曲线定义等各方面知识，需要训练转化的数学思想，将条件逐步转化到已掌握的知识内容上去，从而使问题得以解决．(老师在引导学生寻找解题思路时，应着重渗透转化的数学思想)．三、复习圆锥曲线的分类及中心在(h，k)的椭圆、双曲线和顶点在(h，k)的抛物线的方程及对应图形与性质．(圆锥曲线的分类学生遗忘得比较厉害，还需认真复习知识点．)中心在(h，k)的椭圆、双曲线和顶点在(h，k)的抛物线的方程及对应图形与性质的复习与“二”处相同，强调数形结合得性质，切忌死记硬背结论)．例9若抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标为[]A．(1，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(-1，0)分析抛物线顶点在(-1，0)，到准线x=-3的距离为2，则焦点到顶点的距离也为2，故焦点坐标为(1，0)，应选A．例10焦点是(2，1)和(2，-3)，半径轴长为3的椭圆方程是______．例29抛物线(y+2)2=4(x+a)的焦点坐标是(0，-2)，则a的值等于[]A．-1B．1C．2D．-2则顶点应为(-1，-2)，故-a=-1，即a=1，故选B．例11平移坐标轴，把原点移至O′(-2，0)，在新坐标系中双曲线方程x2-2y2-2ax=0可化为标准方程则此双曲线在原坐标系中的渐近线方程是即中心在(a，0)，又依题设知中心为点(-2，0)，故a＝-2．所以双曲线已知双曲线方程求渐近线如本例，这样易掌握方法．方程为[ ]A．y2＝18(x-5)B．y2＝8(x-5)C．y2＝-36(x-5)D．y2＝-36(x+5)分析已知双曲线的右焦点(5，0)，左顶点(-4，0)，即分别为所方程为y2＝-2p(x-5)＝-36(x-5)，应选C．例12若k∈R，讨论方程(9-k)x2+(25-k)y2＝(9-k)(25-k)表示的曲线．①当k＜9时，25-k＞0，9-k＞0，方程表示的曲线是椭圆．②当k＝9时，方程化为(25-9)y2＝0，即y＝0，表示直线．③9＜k＜25时，9-k＜0，25-k＞0，方程表示的曲线是双曲线．④k＝25时，方程化为(9-k)x2＝0；即x＝0，表示直线．⑤k＞25时，9-k＜0，25-k＜0，方程无轨迹．能力训练1．如图1，已知椭圆中心O是坐标原点，F为它的左焦点，A为左顶点，l1，l2为准线，l1交x轴于B；P，Q两点在椭圆上，且PM⊥l1于M，PN⊥l2于N，QF⊥OA，则下列比值等于椭圆离心率的有()个．[]A．1B．2 C．4D．52．已知P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p＞0)上两个不同的点，则y1y2＝-p2是直线P1P2通过焦点的[] A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．焦点在x轴上，以y轴为准线，且到点A(5，0)最近距离为A．y2＝2(x-1)B．y2＝4(x-1) C．y2＝18(x-9)D．y2＝36(x-9)4．将抛物线y2＝4x进行平移，使其焦点变为(3，2)，则此时其顶点坐标变为[]A．(4，2)B．(2，2) C．(1，2)D．(-1，2)5．若a∈R，则方程x2+4y2sinα＝1所表示的曲线必定不是[]A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线6．有下列命题：①圆(x-2)2+(y-1)2＝1关于点A(1，2)对称的圆的方程是(x-3)2+(y-3)2＝1；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(-4，-3)的抛物线方程只其中正确命题的序号为[ ]A．②、④B．①、③C．①、②D．③、④7．点A的坐标为(2，3)，F为抛物线y2＝2x的焦点，P在抛物线上移动，若｜PA｜+｜PF｜取最小值，则P点的坐标是______．8．双曲线的两条渐近线分别是3x-4y-2＝0和3x+4y-10＝0，一条准线为5y+4＝0，则双曲线方程是______．9．过抛物线y2＝-4x的焦点且与直线y＝2x所成的角为45°的直线方程为______ ．10．在坐标系XOY下，椭圆4x2+9y2+8x-36＝0与新轴x′和y′在正半轴处都相切，则新原点的旧坐标是______．答案提示1．C2．C3．A4．C5．C6．B7．C8．C9．C10．A10．3x+y+3＝0或x-3y+1＝0。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用
第二课时 圆锥曲线的综合应用考点一 最值范围问题|(2015·高考浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.(1)最值问题的求解方法：①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值． ②建立不等式模型，利用基本不等式求最值． ③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值． (2)求参数范围的常用方法：①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． ②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． ③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． ④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点在y 轴上，抛物线上的点(x 0,1)到焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过直线l ：y ＝x －2上的动点P (除(2,0))作抛物线C 的两条切线，切抛物线于A ，B 两点．①求证：直线AB 过定点Q ，并求出点Q 的坐标；②若直线OA ，OB 分别交直线l 于M ，N 两点，求△QMN 的面积S 的取值范围． 解：(1)由已知条件得1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1＋p2＝2， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ′＝x2，A 处切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，又∵4y 1＝x 21，∴y ＝x 12x －x 214，a同理B 处切线方程为y ＝x 22x －x 224，bab 联立可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.直线AB 的斜率显然存在，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4m ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，即P (2k ，－m )， ∵P 在直线l ：y ＝x －2上， ∴m ＝－2k ＋2，即AB 直线为y ＝k (x －2)＋2， ∴直线AB 过定点Q (2,2)． ②∵O 不会与A ，B 重合．定点Q (2,2)到直线l ：y ＝x －2的距离h ＝ 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，⇒x M ＝2x 1x 1－y 1＝84－x 1，同理得x N ＝2x 2x 2－y 2＝84－x 2.∴|MN |＝2|x M －x N |＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－x 1－14－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2(4－x 1)(4－x 2)＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 2＋16m －4m －16k ＋16. ∵m ＝－2k ＋2，∴|MN |＝42·(k －1)2＋1|k －1|＝4 21＋1(k －1)2.∴S △QMN ＝12|MN |·h ＝41＋1(k －1)2∈(4，＋∞)． 考点二 定点最值问题|已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y Bx B＝－12， 即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系．(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时， 可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时， 此时|AB |＝3，|CD |＝4； 或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712. 考点三 探索存在性与证明问题|(2015·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．解决存在性问题注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．3．(2015·高考安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是线段AC 的中点知， 点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b2， 可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .A 组 考点能力演练1.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 2．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知|MN |＝8，且|PM |＝2|MF |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A ，B ，求证：∠AFM ＝∠BFN ； (3)求三角形ABF 面积的最大值． 解：(1)∵|MN |＝8，∴a ＝4，又∵|PM |＝2|MF |得a 2c －a ＝2(a －c )，即2e 2－3e ＋1＝0⇒e ＝12或e ＝1(舍去)．∴c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)当AB 的斜率为0时，显然∠AFM ＝∠BFN ＝0.满足题意． 当AB 的斜率不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 方程为x ＝my －8，代入椭圆方程整理得： (3m 2＋4)y 2－48my ＋144＝0，则Δ＝(48m )2－4×144(3m 2＋4)，y 1＋y 2＝48m 3m 2＋4，y 1·y 2＝1443m 2＋4. ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1－6＋y 2my 2－6＝2my 1y 2－6(y 1＋y 2)(my 1－6)(my 2－6)＝0，∴k AF ＋k BF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN . 综上可知：恒有∠AFM ＝∠BFN .(3)S△ABF ＝S△PBF －S△P AF＝12|PF |·|y 2－y 1|＝72m 2－43m 2＋4＝72m 2－43(m 2－4)＋16＝723m 2－4＋16m 2－4≤7223·16＝3 3. 当且仅当3m 2－4＝16m 2－4即m 2＝283(此时适合Δ>0的条件)取得等号．三角形ABF 面积的最大值是3 3.3．已知点A ，B ，C 是抛物线L ：y 2＝2px (p >0)上的不同的三点，O 为坐标原点，直线OA ∥BC ，且抛物线L 的准线方程为x ＝－1.(1)求抛物线L 的方程；(2)若三角形ABC 的重心在直线x ＝2上，求三角形ABC 的面积的取值范围．解：(1)抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)设直线OA ，BC 的方程分别为y ＝kx 和y ＝kx ＋b (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x联立消去y 得k 2x 2＝4x ， 解得点A 的坐标为A ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k . 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0.Δ＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝16－16kb >0，即kb <1. 又由韦达定理可得x 1＋x 2＝4－2kb k 2，∴三角形ABC 的重心的横坐标为4k 2＋4－2kb k 23＝8－2kb 3k 2＝2，化简得b ＝4－3k 2k ，代入kb <1可得k 2>1.又三角形ABC 的面积为 S ＝12×k 2＋1×16－16kbk 2×|b |1＋k 2＝|2b |1－kb k 2＝2|4－3k 2|k 2|k |×3k 2－3＝2⎪⎪⎪⎪4k 2－3 3－3k2. 令t ＝1k2，则S ＝23×(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)．考虑函数f (t )＝(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)， 则易得函数f (t )在⎝⎛⎭⎫0，34和⎝⎛⎭⎫1112，1上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫34，1112上单调递增，且f (0)＝9，f ⎝⎛⎭⎫34＝0，f ⎝⎛⎭⎫1112＝127， ∴△ABC 的面积的取值范围是(0,63)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k， 即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .a ．求|OQ ||OP |的值；b ．求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1， 又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. a ．设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. b ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0<t≤1，因此S＝2(4－t)t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时，S取得最大值23，由a知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。
高三数学第十二章 圆锥曲线—椭圆1 复习教案
第十二章圆锥曲线一、知识网络：二、考纲解读：1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程． 2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．5.理解数形结合的思想。
6.掌握曲线与方程的关系。
三、高考导航：圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。
纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点： 1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a 、b 、c 、e 、p 五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用． 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法． 3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现． 4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．对于本章内容来讲，预测10年：（1）1至2道考查圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考查圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
第一节 椭圆一、复习目标：1、掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用；2、运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系二、重难点: 重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用。
高三数学一轮复习圆锥曲线方程及性质教案
圆锥曲线方程及性质程图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p-(0,)2p(0,)2p-准线方程2px=-2px=2py=-2py=范围x≥0x≤0y≥0y≤对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e=1e=1e=1e=说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线o F xylo xyFlxyoFlxy2=，那么它的两条准线间的距离是（）A．36 B．4 C．2 D．1解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B。
（2）双曲线221mx y+=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214xy-+=，∴ m=14-，选A。
（3）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F、)0,3(2F，一条渐近线方程为xy2=，∴2292a bba⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2236ab⎧=⎨=⎩，所以它的两条准线间的距离是222ac⋅=，选C。
点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。
题型5：抛物线方程例9．（1）)焦点到准线的距离是2；（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程。
解析：（1）y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y；方程是x2=-8y。
点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。
当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。
题型6：抛物线的性质例10．（1）若抛物线22y px=的焦点与椭圆22162x y+=的右焦点重合，则p的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4 （2）抛物线28y x =的准线方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- （3）抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(解析：（1）椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ；（2）2p ＝8，p ＝4，故准线方程为x ＝－2，选A ；（3）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 。
高三数学 第十二章 圆锥曲线—双曲线1 复习教案
第四节双曲线一、复习目标：1、了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质；2、 双曲线的几何元素与参数c b a ,,之间的转换 二、重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P121页教师讲解，增强目标意识及参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P122页填空题，教师准对问题讲评） 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当21212||F F a PF PF >=-时, P 的轨迹为双曲线;当21212||F F a PF PF <=-时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义:（双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.解析：平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线2. 双曲线的标准方程与几何性质与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x 与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e ；3.双曲线2222x b y a -＝１的参数方程为：⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。
4.重难点问题探析:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系 （1）.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足212F F a >，二要注意是一支还是两支∴>=-10621PF PF P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x（2）.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为xy 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e （三）、基础巩固导练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-= [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b ，选A2. (08山东)已知双曲线的两个焦点为1(0)F、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -= [解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是5且,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53B ．414C ．54 D ．415[解析] 414,5=∴==c b a ，选B4.（09浙江理）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A 2 B 3 C 5 D 10答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因222,4,5AB BC a b e =∴=∴= 5.（09江西卷文）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ）。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1
第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12， 设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ， 则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。
高三理科数学圆锥曲线复习教案
圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
高三数学 第十二章 圆锥曲线的综合问题 复习教案
第十一节 圆锥曲线的综合问题————热点考点题型探析一、复习目标：掌握圆锥曲线中有关定点、定值问题的解法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值；掌握对称问题的求法。
二、重难点：重点：掌握圆锥曲线中有关定点、定值问题的解法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值。
难点：圆锥曲线的有关范围与最值问题。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程（一）、热点考点题型探析 考点1.对称问题[例1]若直线l 过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆49:22y x C +于A 、B 两点，若A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程．[解析] )1,2(-M ，设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=+-=+y y x x又1492121=+y x ，1492222=+y x ，两式相减得：04922122212=-+-y y x x ，化简得0))((9))((421212121=-++-+y y y y x x x x ，把2,42121=+-=+y y x x 代入得982112=--=x x y y k AB故所求的直线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 所以直线l 的方程为 ：8x-9y+25=0.【反思归纳】要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0>∆),通过该不等式求范围 考点2. 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型：求某些变量的范围或最值[例2]已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与直线10x y +-=相交于两点A B 、．当椭圆的离心率e满足2e ≤≤，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．【解题思路】通过“韦达定理”沟通a 与e 的关系[解析]由22222210b x a y a b x y ⎧+=⎨+-=⎩，得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-= 由22222(1)0a b a b =+->，得221a b +> 此时222121222222(1),a a b x x x x a b a b -+==++ 由0OA OB ⋅=，得12120x x y y +=，∴12122()10x x x x -++=即222220a b a b +-=，故22221a b a =- 由222222c a b e a a -==，得2222b a a e =-∴221211a e =+-由2e ≤≤得25342a ≤≤2a ≤≤【反思归纳】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 考点3 定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量[例3] 已知P 、Q 是椭圆C ：12422=+y x 上的两个动点，)26,1(M 是椭圆上一定点，F 是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
《圆锥曲线与方程》复习课教案
一、课题：《圆锥曲线与方程》的复习二、教学目的：1、通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系。
2、通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的思想以及“应用数学”的意识3、结合教学内容对学生进行运动变化、自我总结和对立统一的观点的教育 三、教学方法：讲授法、练习法四、教学重点：自我总结并引导学生对三种曲线的标准方程和图形、性质的总结 五、教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点，使学生能够自己独立对知识进行总结 六、教学过程： （一）知识梳理： 1．曲线与方程⑴曲线C 上的点与二元方程()0,=y x f 的实数解建立如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以上这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.⑵求曲线的方程的一般步骤①建系；②设点；③列方程；④化简；⑤检查. 2．圆锥曲线的定义⑴平面内满足()212122F F a a PF PF >=+的点P 的轨迹叫做椭圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化.⑵平面内满足()212122F F a a PF PF <=-的点P 的轨迹叫做双曲线，()212122F F a a PF PF <=-表示焦点2F 对应的一支，定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化.⑶平面内与一个顶点F 与一条定直线l （不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定义可实现抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化. 3.圆锥曲线的标准方程椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程.根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式. 4.圆锥曲线的简单几何性质⑴圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件. ⑵双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同.⑶椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点⑷椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴. ⑸圆锥曲线中基本量p e c b a ,,,,的几何意义及相互转化. 6.直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的公共点个数等于由它们的方程构成的方程组解的个数. ⑵直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆相切，但直线与双曲线、抛物线不一定相切，双曲线与平行于渐近线的直线，抛物线与平行（重合）于轴的直线，都只有一个公共点但不相切.7.直线与圆锥曲线相交的弦长⑴求弦长的方法是将直线与圆锥曲线的方程联立后，求出两点坐标，利用两点间距离公式，常用的方法是结合韦达定理，如直线b kx y +=与圆锥曲线相交于()()2211,,,y x B y x A 两点，弦长()21221241x x x x k AB -++=.⑵过抛物线焦点的弦长问题结合定义来解决能化简计算. 8.元圆锥曲线有关的“中点弦”弦的中点坐标与斜率可由曲线方程得到关系，此法称为“点差法”，灵活运用科简化计算，但要以直线与曲线相交为前提，即消元后的方程判别式大于零. 9.当直线过x 轴上的点()0,m M 时，设直线方程为m ty x +=与抛物线方程()022>=p px y 联立消元后的方程较简。
高三数学复习教案：高考数学圆锥曲线复习教案
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本文题目：高三数学复习教案：高考数学圆锥曲线复习教案1.已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程;(2)(理)连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明;否则说明理由。
(文)若为x轴上一点,求证:2.已知圆定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足的取值范围。
3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且⑴求椭圆C的离心率;⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.4.设椭圆的离心率为e=(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.(2)求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M(2，)处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1OQ2.5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(- ，0)和F2( ，0)的距离之和为4.(1)求曲线的方程;(2)设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点)，求直线的方程.6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B.过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n). (Ⅰ)当m+n0时，求椭圆离心率的范围;(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.7.有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆处的切线方程为，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.(1)求证：直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积8.已知点P(4，4)，圆C：与椭圆E：有一个公共点A(3，1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。
陈美珍圆锥曲线复习课教案
陈美珍圆锥曲线复习课教案一、教学目标1. 回顾圆锥曲线的定义、性质和图形，加深对圆锥曲线的基本概念的理解。
2. 巩固圆锥曲线的相关公式和定理，提高解题能力。
3. 通过复习，培养学生对圆锥曲线的空间想象能力和直观感知能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的定义和性质2. 圆锥曲线的标准方程3. 圆锥曲线的相关公式和定理4. 圆锥曲线的图形特点5. 圆锥曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 圆锥曲线的定义和性质2. 圆锥曲线的标准方程及其推导3. 圆锥曲线的相关公式和定理的应用4. 圆锥曲线的图形特点的识别和运用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解圆锥曲线的定义、性质、标准方程和相关公式定理。
2. 利用多媒体展示圆锥曲线的图形，增强学生的空间想象能力。
3. 通过例题解析，引导学生运用圆锥曲线的性质和公式定理解决实际问题。
4. 组织学生进行小组讨论和交流，分享学习心得和解题经验。
五、教学过程1. 导入：简要回顾圆锥曲线的定义和性质，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：讲解圆锥曲线的标准方程及其推导，强调相关公式和定理。
3. 案例分析：分析圆锥曲线在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 课堂练习：布置具有代表性的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调圆锥曲线的图形特点和应用。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对圆锥曲线基本概念的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生对圆锥曲线相关公式和定理的应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度，了解他们对圆锥曲线图形特点的认识。
七、课后作业1. 复习圆锥曲线的定义、性质、标准方程和相关公式定理。
2. 完成课后练习题，包括简单应用题和综合题。
3. 准备课堂小测验，测试自己对圆锥曲线的掌握情况。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法是否适合学生的需求。
圆锥曲线复习优秀教案
第二章：圆锥曲线与方程二、已知方程求参数1.【2011·4】已知椭圆方程为它的长轴长为 ；短轴长为 ； 焦距为 ；离心率等于 ；221168x y +=x y 62=2.【2012.5】已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为（3,0），它的长轴长为 ；短轴长为 ； 焦距为 ；离心率等于 ；3. 已知抛物线的标准方程是，则它的焦点坐标是：准线方程为： 。
通径是： 。
三、已知性质求方程 1、【2019高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（ ）（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 变式：（1）双曲线的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该双曲线的方程为 。
（2）抛物线的顶点在原点，一条准线为4x =-，则该抛物线的方程为 。
2、【2019高考北京文19】已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为，求椭圆C 的方程 。
变式：（1）已知双曲线：12222=-by a x （a ＞0,b ＞0）的一个顶点为 A （2,0），离心率为2，则该双曲线的方程 。
（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为3，则该抛物线的方程是： 。
四、提升训练1、已知点A 的坐标为(3，1)，若P 是抛物线24y x =上的一动点，F 是抛物线的焦点，则|PA |+|P F|的最小值为( )(A ) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6五 、小结六、作业：归纳焦点三角形22x a 22yb2。
高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案
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本文题目：高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.把握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，明白它的简单几何性质;4.了解圆锥曲线的简单应用;5.明白得数形结合的思想;6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程或曲线的轨迹;4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的明白得和应用;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.曲线与方程的对应关系. 圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式显现，小题要紧考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、差不多技能和差不多方法运用;解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络9.1 椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】由椭圆的定义知，2a=453+253=25，故a=5，由勾股定理得，(453)2-(253)2=4c2，因此c2=53，b2=a2-c2=103，故所求方程为x25+3y210=1或3x210+y25=1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，然而当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2+ny2=1(m0，n0且m(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为.【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(-2,2)，B(-2，0)，C(0，6)，D(2，-22)，E(22，2)，F(3，-23).通过观看可明白点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.明显半焦距b=6，则不妨设椭圆的方程是x2m+y26=1，则将点A(-2,2)代入可得m=12，故该椭圆的方程是x212+y26=1.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y21=2px1，①y22=2px2，②y21y22=x1x2，则可知B(-2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.而D(2，-22)，F(3，-23)正好符合.又因为椭圆的交点在x轴上，故B(-2，0)，C(0，6)不可能同时显现.故选用A(-2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212+y26=1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范畴;(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a0)，|PF1|=m，|PF2|=n，在△F1PF2中，由余弦定理可知4c2=m2+n2-2mncos 60，因为m+n=2a，因此m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn，因此4c2=4a2-3mn，即3mn=4a2-4c2.又mn(m+n2)2=a2(当且仅当m=n时取等号)，因此4a2-4c23a2，因此c2a214，即e12，因此e的取值范畴是[12，1).(2)由(1)知mn=43b2，因此=12mnsin 60=33b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用;求范畴时，要专门注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1||PF2|(|PF1|+|PF2|2)2，|PF1|a-c.【变式训练2】已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，Q，R分别是圆(x +4)2+y2=14和圆(x-4)2+y2=14上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是.【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|+|PR|(|PF1|-12)+(|PF2|-12)=|PF1|+|PF2|-1=9.因此|PQ|+|PR|的最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2021全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率;(2)设点P(0，-1)满足|PA|=|PB|，求E的方程.【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=43a.l的方程为y=x+c，其中c=a2-b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0，则x1+x2=-2a2ca2+b2，x1x2=a2(c2-b2)a2+b2.因为直线AB斜率为1，因此|AB|=2|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]，即43a=4ab2a2+b2，故a2=2b2，因此E的离心率e=ca=a2-b2a=22.(2 )设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c，y 0=x0+c=c3.由|PA|=|PB|kPN=-1，即y0+1x0=-1c=3.从而a=32，b=3，故E的方程为x218+y29=1.【变式训练3】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2 |=e，则e的值是()A.32B.33C.22D.63【解析】设F1(-c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x=-a2c，抛物线准线为x=-3c，x0-(-a2c)=x0-(-3c)c2a2=13e=33.故选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2+ny2=1(m0，n0，mn)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会依照定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行运算推理.3.焦点三角形包含着专门多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范畴.9.2 双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x+4)2+y2=2外切，与圆B：( x-4)2+y2= 2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|=r+2，|BE|=r-2，因此|AE|-|BE|=22，又A(-4,0)，B(4,0)，因此|AB|=8,22|AB|.依照双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.因为a=2，c=4，因此b2=c2-a2=14，故点E的轨迹方程是x22-y214=1(x2).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要专门注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线x29-y216=1的右支上一点，M，N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使=0，求此双曲线离心率的取值范畴.【解析】设P(x，y)，则由=0，得APPQ，则P在以AQ为直径的圆上，即(x-3a2)2+y2=(a2)2，①又P在双曲线上，得x2a2-y2b2=1，②由①②消去y，得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0，即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0，当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去;当x=2a3-ab2a2+b2时，满足题意的点P存在，需x=2a3-ab2a2+b2a，化简得a22b2，即3a22c2，ca62，因此离心率的取值范畴是(1，62).【点拨】依照双曲线上的点的范畴或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范畴的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A.k2-e21B.k2-e21C.e2-k21D.e2-k21【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足-ba题型三有关双曲线的综合问题【例3】(2021广东)已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1、A 2，点P(x1，y1)，Q(x1，-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;(2)若过点H(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由题意知|x1|2，A1(-2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2)，①直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(x-2).②方法一：联立①②解得交点坐标为x=2x1，y=2y1x1，即x1=2x，y1=2 yx，③则x0，|x|2.而点P(x1，y1)在双曲线x22-y2=1上，因此x212-y21=1.将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22+y2=1，x0且x2.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①②得y2=-y21x21-2(x 2-2).③又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212-y21=1，即y21=x212-1.代入③式整理得x22+y2=1.因为点P，Q是双曲线上的不同两点，因此它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x+2 y-2=0.解方程组得x=2，y=0.因此直线l与双曲线只有唯独交点A2.故轨迹E只是点(0,1).同理轨迹E也只是点(0，-1).综上分析，轨迹E的方程为x22+y2=1，x0且x2.(2)设过点H(0，h)的直线为y=kx+h(h1)，联立x22+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.令=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0，得h2-1-2k2=0，解得k1=h2-12，k2=-h2-12.由于l1l2，则k1k2=-h2-12=-1，故h=3.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由h2(-h2)=-1，得h=2.现在，l1，l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2，它们与轨迹E分别仅有一个交点(-23，223)与(23，223).因此，符合条件的h的值为3或2.【变式训练3】双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F 2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()A.1+22B.3+22C.4-22D.5-22【解析】本题考查双曲线定义的应用及差不多量的求解.据题意设|AF1|=x，则|AB|=x，|BF1|=2x.由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a，即x=22a=|AF1|.故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|=|F1F2|2-|AF1|2=4c2-8a2.又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a，即4c2-8a2=22-2a，两边平方整理得c2=a2(5-22)c2a2=e2=5-22，故选D.总结提高1.要与椭圆类比来明白得、把握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应专门注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.2.要深刻明白得双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a| F1F2|时，P的轨迹是双曲线;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;当||PF1|-|PF2||=2a|F1F2|时，P无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一样先画出渐近线，要把握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线;(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=bax，可将双曲线方程设为x2a2-y2b2=(0)，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法.9.3 抛物线典例精析题型一抛物线定义的运用【例1】依照下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点P(2，-4);(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.【解析】(1)设方程为y2=mx或x2=ny.将点P坐标代入得y2=8x或x2=-y.(2)设A(m，-3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2=2px(p0)，由定义得5=|AF|=|m+p2|，又(-3)2=2pm，因此p=1或9，所求方程为y2=2x或y2=18x.【变式训练1】已知P是抛物线y2=2x上的一点，另一点A(a,0) (a0)满足|P A|=d，试求d的最小值.【解析】设P(x0，y0) (x00)，则y20=2x0，因此d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.因为a0，x00，因此当0当a1时，现在有x0=a-1，dmin=2a-1.题型二直线与抛物线位置讨论【例2】(2021湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差差不多上1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B 的任一直线，都有0?若存在，求出m的取值范畴;若不存在，请说明理由.【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：(x-1)2+y2-x=1(x0).化简得y2=4x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y 2).设l的方程为x=ty+m，由得y2-4ty-4m=0，=16(t2+m)0，因此①又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2).(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y20.②又x=y24，因此不等式②等价于y214y224+y1y2-(y214+y224)+10(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+10.③由①式，不等式③等价于m2-6m+14t2.④对任意实数t,4t2的最小值为0，因此不等式④关于一切t成立等价于m 2-6m+10，即3-22由此可知，存在正数m，关于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0，且m的取值范畴是(3-22，3+22).【变式训练2】已知抛物线y2=4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y 2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y1+1y2= .【解析】y2-4my+8m=0，因此1y1+1y2=y1+y2y1y2=12.题型三有关抛物线的综合问题【例3】已知抛物线C：y =2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M 是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行;(2)是否存在实数k使=0?若存在，求k的值;若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，把y=kx+2代入y=2x2，得2x2-kx-2=0，由韦达定理得x1+x2=k2，x1x2=-1，因此xN=xM=x1+x22=k4，因此点N的坐标为(k4，k28).设抛物线在点N处的切线l的方程为y-k28=m(x-k4)，将y=2x2代入上式，得2x2-mx+mk4 -k28=0，因为直线l与抛物线C相切，因此=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，因此m=k，即l∥AB.(2)假设存在实数k，使=0，则NANB，又因为M是AB的中点，因此|MN|= |AB|.由(1)知yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k 24+2.因为MNx轴，因此|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168.又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(k2)2-4(-1)=12k2+1k2+16.因此k2+168=14k2+1k2+16，解得k=2.即存在k=2，使=0.【点拨】直线与抛物线的位置关系，一样要用到根与系数的关系;有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直截了当使用公式|AB|=x1+x2+p，若只是焦点，则必须使用一样弦长公式.【变式训练3】已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作圆(x-3)2+y2=1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是.【解析】455.总结提高1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.2.把握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上;(2)准线垂直于对称轴;(3)焦点到准线的距离为p;(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.3.抛物线的标准方程有四种形式，要把握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采纳待定系数法.4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对比，专门容易把握.但由于抛物线的离心率为1，因此抛物线的焦点有专门多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B 两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p sin2(为AB的倾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=p24等.9.4 直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一直线与圆锥曲线交点问题【例1】若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a 的值.【解析】联立方程组(1)当a=0时，方程组恰有一组解为(2)当a0时，消去x得a+1ay2-y-1=0，①若a+1a=0，即a=-1，方程变为一元一次方程-y-1=0，方程组恰有一组解②若a+1a0，即a-1，令=0，即1+4(a+1)a=0，解得a= -45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述，a=0或a=-1或a=-45.【点拨】本题设计了一个思维陷阱，即审题中误认为a0，解答过程中的失误确实是不讨论二次项系数=0，即a=-1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a=0时，曲线y2=ax，即直线y=0，现在与已知直线y=x-1 恰有交点(1,0);②当a=-1时，直线y=-1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特点是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零);③当a=-45时直线与抛物线相切.【变式训练1】若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点，则实数k的取值范畴为()A.{1，-1，52，-52}B.(-，-52][52，+)C.(-，-1][1，+)D.(-，-1)[52，+)【解析】由(1-k2)x2-2kx-5=0，k=52，结合直线过定点(0，-1)，且渐近线斜率为1，可知答案为A.题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】(2021辽宁)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，=2 .(1)求椭圆C的离心率;(2)假如|AB|=154，求椭圆C的方程.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y=3(x-c)，其中c=a2-b2.联立得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.解得y1=-3b2(c+2a)3a2+b2，y2=-3b2(c-2a)3a2+b2.因为=2 ，因此-y1=2y2，即3b2(c+2a)3a2+b2=2-3b2(c-2a)3a2+b2.解得离心率e=ca=23.(2)因为|AB|=1+13|y2-y1|，因此2343ab23a2+b2=154.由ca=23得b=53a，因此54a=154，即a=3，b=5.因此椭圆的方程为x29+y25=1.【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.【变式训练2】椭圆ax2+ by2=1与直线y=1-x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为.【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y 2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y 1-y2)(y1+y2)=02ax0+2by0y1-y2x1-x2=0ax0-by0=0.故ab=y0x0=32.题型三对称问题【例3】在抛物线y2=4x上存在两个不同的点关于直线l：y=kx+3对称，求k的取值范畴.【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k0.设直线AB的方程为y=-1kx+b，联立消去x，得14ky2+y-b=0，由题意有=12+414k0，即bk+10.(*)且y1+y2=-4k.又y1+y22=-1kx1+x22+b.因此x1+x22=k(2k+b).故AB的中点为E(k(2k+b)，-2k).因为l过E，因此-2k=k2(2k+b)+3，即b=-2k-3k2-2k.代入(*)式，得-2k-3k3-2+1k3+2k+3k30k(k+1)(k2-k+3)-1【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程;(2)关于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范畴问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解;或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范畴.【变式训练3】已知抛物线y=-x2+3上存在关于x+y=0对称的两点A，B，则|AB|等于()A.3B.4C.32D.42【解析】设AB方程：y=x+b，代入y=-x2+3，得x2+x+b-3=0，因此xA+xB=-1，故AB中点为(-12，-12+b).它又在x+y=0上，因此b=1，因此|AB|=32，故选C.总结提高1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究能够转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组通过消去y(也能够消去x)得到x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a0两种情形，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情形除a0，=0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(现在直线与双曲线、抛物线属相交情形).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.3.弦中点问题的处理既能够用判别式法，也能够用点差法;使用点差法时，要专门注意验证相交的情形.9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一求轨迹方程【例1】已知抛物线的方程为x2=2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l 2，记l1和l2交于点M.(1)求证：l1(2)求点M的轨迹方程.【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+12.联立消去y整理得x2-2kx-1=0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x 2，y2)，则有x1x2=-1，将抛物线方程改写为y=12x2，求导得y=x.因此过点A的切线l1的斜率是k1=x1，过点B的切线l2的斜率是k2= x2.因为k1k2 =x1x2=-1，因此l1l2.(2)直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1)，即y-x212=x1(x-x1).同理直线l2的方程为y-x222=x2(x-x2).联立这两个方程消去y得x212-x222=x2(x-x2)-x1(x-x1)，整理得(x1-x2)(x-x1+x22)=0，注意到x1x2，因此x=x1+x22.现在y=x212+x1(x-x1)=x212+x1(x1+x22-x1)=x1x22=-12.由(1)知x1+x2=2k，因此x=x1+x22=kR.因此点M的轨迹方程是y=-12.【点拨】直截了当法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的确实是直截了当法.要注意求轨迹方程和求轨迹是两个不同概念，求轨迹除了第一要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种差不多曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌.【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是()A.x29-y216=1B.x216-y29=1C.x29-y216=1(x3)D.x216-y29=1(x4)【解析】如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，因此|CA|-|CB|=8-2=6，依照双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29-y216=1(x3)，故选C.题型二圆锥曲线的有关最值【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+3y2=4上，对角线B D所在直线的斜率为1.当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.【解析】因为四边形ABCD为菱形，因此ACBD.因此可设直线AC的方程为y=-x+n.由得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A，C在椭圆上，因此=-12n2+640，解得-433设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=3n2，x1x2=3 n2-44，y1=-x1+n，y2=-x2+n. 因此y1+y2=n2.因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60，因此|AB|=|BC|=|CA|.因此菱形ABCD的面积S=32|AC|2.又|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162，因此S=34(-3n2+16) (-433因此当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.【点拨】建立目标函数，借助代数方法求最值，要专门注意自变量的取值范畴.在考试中专门多考生没有利用判别式求出n的取值范畴，尽管也能得出答案，然而得分缺失许多.【变式训练2】已知抛物线y=x2-1上有一定点B(-1,0)和两个动点P、Q，若BPPQ，则点Q横坐标的取值范畴是.【解析】如图，B(-1,0)，设P(xP，x2P-1)，Q(xQ，x2Q-1)，由kBPkPQ=-1，得x2P-1xP+1x2Q-x2PxQ-xP=-1.因此xQ=-xP-1xP-1=-(xP-1)-1xP-1-1.因为|xP-1+1xP-1|2，因此xQ1或xQ-3.题型三求参数的取值范畴及最值的综合题【例3】(2021浙江)已知m1，直线l：x-my-m22=0，椭圆C：x2m2+y 2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范畴.【解析】(1)因为直线l：x-my-m22=0通过F2(m2-1，0)，因此m2-1=m22，解得m2=2，又因为m1，因此m=2.故直线l的方程为x-2y-1=0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得2y2+my+m24-1=0，则由=m2-8(m24-1)=-m2+80知m28，且有y1+y2=-m2，y1y2=m28-12.由于F1(-c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，由=2 ，=2 ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，|GH|2=(x1-x2)29+(y1-y2)29.设M是GH的中点，则M(x1+x26，y1+y26)，由题意可知，2|MO||GH|，即4[(x1+x26)2+(y1+y26)2](x1-x2)29+(y1-y2) 29，即x1x2+y1y20.而x1x2+y1y2=(my1+m22)(my2+m22)+y1y2=(m2+1)(m28-12).因此m28-120，即m24.又因为m1且0，因此1因此m的取值范畴是(1,2).【点拨】本题要紧考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的差不多思想方法和综合解题能力.【变式训练3】若双曲线x2-ay2=1的右支上存在三点A、B、C使△A BC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范畴为.【解析】设B(m，m2-1a)，则C(m，-m2-1a)(m1)，又A(1,0)，由AB=BC得(m-1)2+m2-1a=(2m2-1a)2，因此a=3m+1m-1=3(1+2m-1)3，即a的取值范畴为(3，+).总结提高事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
圆锥曲线复习与小结(3)教案
圆锥曲线复习与小结（3）教学目标：使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等．教学重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．教学难点：双圆锥曲线的相交问题．教学过程一、与圆锥曲线有关的几种典型题1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．例1 过抛物线214y x=-的焦点作倾斜角为α的直线l交抛物线于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值；(2)x+y的最大值与最小值．3．与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．例3在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法．例4.已知曲线22212():1:12y aC x C y x-+==+及有公共点，求实数a的取值范围．二、练习1.求椭圆2214xy+=到点A(1,0)的距离为最小的点P的坐标.2．已知圆(x-1)2+y2=1与抛物线y2=2px有三个公共点，求P的取值范围．3.证明：椭圆221205x y+=与双曲线221123x y-=的交点是一个矩形的顶点．三、作业同步练习 08F3。
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圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
如（1）若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值是__ （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：by x a=±。
如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______（2）双曲线221ax by -=:a b =（3）设双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：ce a=，抛物线⇔1e =。
如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（答：（2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______ （3）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______（2）过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______；（3）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条（4）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（5）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11_______ （6）设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （7）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离（8）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。
①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed =，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。
如（1）已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（2）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（4）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（5）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（6）椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。