自行车刹车受力情况的两种分析方法令狐烈

自行车刹车受力情况的两种分析方法
令狐烈
摘要：本文就自行车在刹车时前后轮的受力情况分别运用质点系动量矩定理和达朗贝尔原理两种方法，讨论前后轮受力的大小关系，在此基础上进一步讨论了刹车时候的翻转问题，并进行相应比较。最后就分析结果给出自行车刹车方法的建议。
关键词：质点系动量矩定理，达朗贝尔原理，刹车，受力，翻转。
【1】假设及模型
1）为了简化研究，本文对自行车刹车时的情况讨论基于以下假设：
（1）刹车时，前后轮在一条直线上，即不考虑刹车加转弯的情况；
（2）地面的滚动摩阻和摩擦力相比很小，这也正是实际的情况；
（3）刹车时没有侧滑现象，即不考虑侧滑问题。
2）模型与相关参量
如图一将自行车用一根连杆铰接两个车轮来表示，车轮半径为r,两轮轮心相距2L。车的其他部分和人的用三角形表示。在刹车的时候，人的身体因为惯性向前倾斜，人和车组成系统的质心将会前移，假设系统质心前移后相对于两轮连线的中垂线的距离为b，距离地面高度为h，系统总质量为m。为了不失一般性，假设路面与水平面倾角为β；假设地面的动摩擦系数为f；假设自行车刹车使得加速度为a角加速度为α。
[1]前后轮受力分析
当自行车不发生翻转时，α=0；
联立(1) (2) (3)可以解得：
N1= x N2 > N2;——（4）
由（4）式可以看到，无论是只刹前轮，或者只刹后轮，还是前后轮一起刹，前轮受到的地面支持力（也叫抓地力）比后轮要大的多，这主要是刹车时人因为惯性，身体前移，导致整个系统重心前移的结果。这样就不难看出，相同条件下，前轮能够提供更多的摩擦力用于制动。所以用前刹能够更快的制动。当然，前刹不能刹得太死太急，否则将会导致翻转带来安全问题。
由【3】及【4】中分析可知，在刹车时，车轮受到摩擦力作用，因而车体速度很快减下来，而人因为惯性会向前倾斜，使得系统的重心向前移动，导致前轮受到的地面支持力（俗称抓地力）更大，在相同的情况下能够提供更大的制动摩擦力。因此为了能更快的使得自行车停下来，用前轮是一个好选择。但是如果前轮刹死，则自行车很容易发生翻转。所以前轮尽量不要刹死。
[3]张北春 行车中的摩擦力[G] 学生之友(初中版综合号) 2005年21期
[4]宋国西 自行车刹车小析[G]中专物理教学 ,PHYSICS TEACHING IN THE SECONDARY SPECIALIZED SCHOOL1995年01期
[5]理论力学.I [M] 哈尔滨工业大学理论力学教研室，第七版 北京：高等教育出版社，2009.7
[2]翻转问题分析
如果系统的角加速度α不为零，自行车将会发生翻转。当α>0时，自行车将会向前翻转；当α< 0时，自行车将会向后翻转。
当自行车向前翻转时,N2=0=>Ff2=0。此时由(1)式可得：
Ff1x h– N1x (L- b)=J x α >0;
结合(2)式可得：
K1> ;——（5）
如果前轮刹死后滑动，k1=f，要达到翻转的条件就越是容易;如果前轮没有刹死，前轮将会作滚动，因为滚动时k1<<f,所以不容易发生翻转。所以为了防止自行车翻转，前轮尽量不要刹死。
另外，（5）式中，h是系统的质心离地面高度，它主要受自行车的坐垫位置影响，当h越大，即自行车的坐垫位置调得越高时，自行车越容易翻转；L是自行车两轮轮心之间距离的一半，已经固定；b是刹车时，质心偏离两轮连线的中垂线向前的距离，当初速度越大，刹车刹得越急的时候，b越大，自行车越容易翻转。所以刹车不可刹的太急，还可以将手伸直，抵住车把，减少重心前移；坐垫的位置尽量调得矮一些，以降低重心，这样，才能有效防止翻转。
【6】总结
关于刹前轮容易翻转的分析，文献[1]已经做的很好了，本文只是简单的再现。本文的重点是关于刹车时前后轮的受力大小同时使用动量矩定理和达朗贝尔原理进行分析，比较两种方法。最后结合了自行车的结构，讨论了相关尺寸对翻转情况的影响，进而提出刹车的合理建议。
参考文献：
[1]王瑞毡 对自行车刹车时稳定性问题的讨论 [G] 物理教学探讨2003年09期[2]刘传庠 自行车运动的有关力学问题[TB]高等函授学报(自然科学版)1994年03期
当自行车将会向后翻转时，N1=0=>Ff1=0,这时有：
J x α=Ff2x h + N2x (L+ b)>0恒成立；
即自行车不可能向后翻转。
【4】达朗贝尔原理分析法
刹车时，自行车系统所受惯性力为：
FI=mx a;——（6）
惯性力矩向朗贝尔原理可知，系统所受外力和惯性力在形式上组成平衡力系：
N2= ；——（11）
由（10）和（11）可知，N1>N2；即刹车时大部分的压力作用在前轮，这与质心动量矩定理分析的到的结果一样,所以同样条件下前轮能够提供更多的制动摩擦力；
由（11）可知N1>0恒成立，即自行车不可能向后翻；
当N2 =0时，自行车回向前翻。此时，除了质心动量矩定理分析的到的结果之外，我们还能直观的看到，当加速度a越大，路面越陡（β越大），N2越有可能达到零，翻车的可能性越大。关于刹前后轮对翻车的影响，用达朗贝尔原理和用质心动量矩定理分析一模一样，此处不再赘述。
其中，Jc为系统的绕质心轴转动惯量；α为系统的角加速度，这里以逆时针为正，顺时针为负。
补充方程：
Ff1= k1 x N1;——(2)
Ff2= k2 x N2;——(3)
其中，k1 <= f；k1 <= f。当且仅当车轮滑动时，等号才成立。因为滚动摩擦力与滑动摩擦力相比要小的多，因此当车轮滚动时，系数k1<<f,k2<<f。
∑MA(F)=0: N2 x 2L + (mg Sinβ+FI) h –mg Cosβ (L- b)– MIc=0;——（8）
∑MB(F)=0: (mg Sinβ+FI) h +mg Cosβ (L+ b)– N1 x 2L– MIc=0;——（9）
当自行车没有翻转时，α=0，联立；
解得：N1= ；——（10）
【5】结论与建议
比较两种分析方法可以看到，质点系的动量矩定理简单易懂，但是无法在公式中直接看出加速度和路面倾斜角度的影响。达朗贝尔原理分析方法弥补了这一缺陷，但是却要求有更深的力学知识。事实上，达朗贝尔原理只是动量定理和动量矩定理的另一种描述，但是它使得我们能够将动力学的问题使用静力学的方法来求解。
【0】问题的提出
刹车时，究竟是前轮提供的摩擦力大一些还是后轮？刹车该先刹前轮还是后轮？刹死还是不刹死更安全一些？急速下坡刹车时，后轮常常会腾空，那么是否是会有翻转的危险？怎么样刹车才能更安全，才能让自行车及时停下来？自行车刹车时制动力来自地面的作用力，分析地面的作用力对于指导我们如何正确的刹车有着重要意义。本文将建立自行车刹车时的简易模型，分别运用质点系动量矩定理和达朗贝尔原理，讨论前后轮受力的大小关系，在此基础上进一步讨论了刹车时候的翻转问题，最后就分析结果给出自行车刹车方法的建议。
【3】质点系动量矩定理分析法
以平行路面为x轴，垂直路面为y轴建立坐标系。质点系加速度如图二。
刹车时，人身体向前倾，系统质心向前移动。在图一所示瞬间，自行车系统受到重力mg作用。前轮受到地面支持力N1，摩擦力Ff1作用，后轮受到地面支持力N2，摩擦力Ff2作用。
对系统质心运用质点系动量矩定理得：
Ff1x h +Ff2x h + N2x (L+ b) – N1x (L- b)=Jcx α；——(1)