上海宝山实验学校九年级上册期中试卷检测题

上海宝山实验学校九年级上册期中试卷检测题

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．

【解析】

【分析】

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；

（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.

【详解】

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）；

答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.

（1）求k 的取值范围；

（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-

，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-

34 ；（2）k=﹣1 【解析】

试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；

（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.

试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，

∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．

∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．

解得k ＜-34

； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．

则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，

∵=== 32

-， 解得：k=-1或k= 13

-（舍去），

∴k=﹣1

3．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .

（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；

（2）设BC a =，AC b =；

①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.

②若线段AD EC =，求a b

的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②

34a b =. 【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；

②根据勾股定理列出算式，计算即可．

【详解】

（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.

∴90B A ∠=︒-∠

9028=︒-︒

62=︒，

∵BC BD =，

∴1802

B BCD BD

C ︒-∠∠=∠= 180622

︒-︒= 59=︒.

∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠

9059=︒-︒

31=︒.

（2）①BD BC a ==，

∴AD AB BD =-

AB a =-.

在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，

AB =

=

∵2220x ax b +-=，

∴22

a x -±=

a =-

a AB =-±.

∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.

②∵AE AD =，

又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==

， ∴2

b AD =. 在Rt ABC ∆中，

222AB AC BC =+， ∴2

222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭

， 2

2224b a ab b a ++=+， ∴234

b ab =. ∵0b >， ∴

34b a =， ∴34

a b =. 【点睛】

本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．

4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．

①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣

3

2

，

15

4

）

【解析】

试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1

x=-即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；

②ΔOBCΔAPD

ABCP C

=

PDO

S S S S

++

四边形梯形

，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2

y ax bx c

=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1

x=-，∴

{3

1

2

a b c

c

b

a

++=

=

-=-

，解得：

1

{2

3

a

b

c

=-

=-

=

，∴二次函数的解析式为223

y x x

=--+=2

(1)4

x

-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2230

y x x

=--+=，解得3

x=-或1

x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223

y x x

=--+上，∴设点P（x，223

x x

--+），

①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232

y x x

=--+=，解得21（舍去）或x=21

-，∴点P（21

-，2）；

②设P(x，y)，则223

y x x

=--+，∵ΔOBCΔAPD

ABCP C

=

PDO

S S S S

++

四边形梯形

=

1

2

OB•OC+

1

2

AD•PD+

1

2

(PD+OC)•OD=

111

31+(3)(3)()

222

x y y x

⨯⨯⨯+++-=