复合函数的奇偶性
函数增减性与奇偶判断准则
一复合函数1.增减性对于 F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其增减性满足乘法定则即: 增复合增=增, 减复合减=增 ,减复合增=减,由此可推出更高阶规律,例如增复合增复合减=增复合减=减.2.奇偶性对于F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其实只要掌握好奇偶函数的定义，自己推一下是非常容易的。
记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。
在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。
E 相乘函数1.增减性对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信,很好,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减.2.奇偶性对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推. 不过最重要的是,上述所说的都要符合在相同定义域内,否则...都是枉然。
复合函数单调性、函数奇偶性
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
复合函数的单调性与奇偶性
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:
1.若函数 的定义域都是关于原点对称的,那么由 的奇偶性得到 的奇偶性的规律是:
函数
奇偶性
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当 和 都是奇函数时,复合函数 是奇函数.
2.若函数 在区间 上是单调函数,函数 在 或 上也是单调函数,那么复合函数 在区间 上是单调函数,其单调性规律是:
函数
单调性
增函数
增函数
减函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
即 , 增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数.
三角函数的复合函数性质
三角函数的复合函数性质在数学领域中，三角函数是一类重要的函数。
在研究三角函数时，我们常常会遇到复合函数，也就是将一个函数作为另一个函数的参数。
这篇文章将介绍三角函数的复合函数性质，并分析其在数学和实际应用中的重要性。
一、三角函数的复合函数性质1. 复合函数的定义复合函数是指将一个函数作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。
对于三角函数而言，复合函数可以描述为将一个三角函数作为另一个三角函数的参数，得到一个新的三角函数。
2. 基本的复合函数形式三角函数的复合函数可以写为f(g(x))，其中f(x)和g(x)分别为两个三角函数。
常见的复合函数形式有sin(cos(x))、cos(sin(x))等。
3. 复合函数的性质(1) 连续性：如果f(x)和g(x)都是连续函数，则复合函数f(g(x))也是连续函数。
(2) 奇偶性：复合函数的奇偶性与其内部函数的奇偶性有关。
例如，如果f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(g(x))是奇函数。
二、三角函数复合函数的应用1. 几何应用三角函数的复合函数可以在几何中找到广泛的应用。
例如，在几何图形的旋转、缩放和平移过程中，往往需要用到三角函数的复合函数来描述点的变化。
2. 物理应用在物理学中，三角函数的复合函数可以描述波动、振动和周期性运动等现象。
例如，当我们研究音波的传播过程时，可以利用三角函数的复合函数来构建波函数。
3. 工程应用在工程学中，三角函数的复合函数经常被应用于信号处理、图像处理和控制系统等领域。
例如，在数字信号处理中，复合函数可以用来处理和分析信号的频谱特性。
三、三角函数复合函数的实例1. 示例一：sin(cos(x))考虑复合函数f(x) = sin(cos(x))，我们可以观察到以下性质：(1) f(x)是周期函数，其周期与cos(x)的周期相同。
(2) f(x)的最大值为1，最小值为-1。
(3) f(x)的零点出现在cos(x)的值为2nπ ± π/2的位置。
指数型复合函数的奇偶性与单调性
当 ∈ ｆ — １ ， ＋ 一 ） 时 ， ｇ （ ） 为 增 函 数 。
， １ 、
所 以， （ ｚ ） 一 （ ＋ 专 ） ‘ ｚ 。 为 偶
函数 。
而指数函 数ｆ （ ｕ ） 一（ 寺）是减函 数，
根据 复 合 函数 的单 调 性 知 ： ｆ（ ｚ）一
（ ３ ） 证明： 当ｚ ＞ｏ 时， ２ ＞ｌ ， ２ —ｌ ＞ｏ 。
（ ２ ） 讨 论 ｆ（ ｚ） 的奇偶 性 ；
（ ３ ） 证明： ｆ（ ｘ） ＞ Ｏ。 分析： 对 于 ｆ（ ｚ） 一 ｇ（ ）・ （ ｚ） 的 奇 偶 性 ， 可 以 先 判 断 ｇ（ ｚ） 与 （ ｚ） 的奇 偶性 ， 然 后 根据： 奇 ×奇 一 偶 ， 偶 ×偶 一偶 ， 奇 Ｘ偶 一 奇 ， 得 出 ｆ（ ｚ） 的奇偶性 。 解： （ １ ） 由题 意 得 ２ 一 １ ｒ ｅ ０， 即 ｚ≠ ０ 。
例１ 求函数厂 （ ） 一ｆ
、
的单调增
所以， ｚ 的定义域为 一。 。 ， ｏ ） ｕ‘ ｏ ，
＋ ∞ ）。
区间 。
（ ２ ） 由（ １ ） 知 ｆ（ ） 的定 义 域 为 （ 一一
，
Ｏ）
分析 ： 原 函数可 看成 由指数 函数 － 厂（ “） 一
Ｕ（ Ｏ ＋ｏ 。 ） ， 关 于原 点对 称 。
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学 习研 究 版 ２ ０ １ ６年 第 １ ２期
指 数 型 复合 函数 的奇 偶 性 与 单调 性
■ 赵 万 里
函数 的单 调性 与奇偶 性是 两 个 常考 的性
（ １ ） 求 ｆ（ － ｚ ） 的定 义 域 ；
复合函数奇偶性单调性
复合函数的奇偶性、单调性函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.1.设a>0,f(x)=x x eaa e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.●案例探究例1：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x 、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xy yx ++1), 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx ++1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21x xx --)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1) 上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f(x 2)－f(x 1)=f(x 2)－f(－x 1)=f(21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f(21121x x xx --)<0，即f(x 2)<f(x 1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.例2：设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a 2+a+1)<f(3a 2－2a+1).求：a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a的单调递减区间.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x 2)<f(－x 1), ∵f(x)为偶函数，∴f(－x 2)=f(x 2),f(－x 1)=f(x 1), ∴f(x 2)<f(x 1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a 2+a+1)<f(3a 2－2a+1)得：2a 2+a+1>3a 2－2a+1.解之，得0<a<3. 又a 2－3a+1=(a －23)2－45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a<3,得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用. 难点训练 一、选择题：1.下列函数中的奇函数是( )A.f(x)=(x －1)x x -+11B.f(x)=2|2|)1lg(22---x xC.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D.f(x)=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.函数f(x)=111122+++-++x x x x 的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题:3.函数f(x)在R 上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.若函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 满足f(0)=f(x 1)=f(x 2)=0 (0<x 1<x 2),且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________. 三、解答题: 5.已知函数f(x)=a x +12+-x x (a>1). (1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.求证函数f(x)=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7.设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足： (i)f(x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.已知函数f(x)的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－21)=0,当x>－21 时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案(1)解：依题意，对一切x ∈R,有f(x)=f(－x),即x x x ae e a a e 1=++ae x .整理，得(a －a1)(e x －x e 1)=0.因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a>0,∴a=1(2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f(x 1)－f(x 2)= )11)((1121122121--=-+-+x x x x x x x x e e e e e ee 21211211)1(x x x x x x x e e e e ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f(x 1)－f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数证法二：由f(x)=e x +e－x，得f ′(x)=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0此时f ′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数. 难点训练 一、选择题：1.解析：f(－x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+--<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-->-)0( )()0()()0( )0( 2222x x x x x x x x x x x x =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C 2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C 二、填空题:3.解析：令t=|x+1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R 上单调递增， ∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.解析：∵f(0)=f(x 1)=f(x 2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a(x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b=－a(x 1+x 2),又f(x)在［x 2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x 1＜x,得x 1+x 2>0, ∴b=－a(x 1+x 2)＜0.答案：(－∞,0） 三、解答题:5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0,∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0, 又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f(x 2)－f(x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f(x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f(x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f(x 0)＜－1与f(x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f(x 0)>0与f(x 0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x ≠0,∴f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-,设1＜x 1＜x 2＜+∞, 则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f(x 1)>f(x 2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x 1－x 2,则f(－x)=f(x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f(x 1－x 2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f ［x －(－a)］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f(x+4a)=f ［(x+2a)+2a ］=)2(1a x f +-=f(x),故f(x)是以4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f(x 2－x 1－21)>0,∵f(x 2)－f(x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f(x 1)=f(x 2－x 1)+f(x 1)－1－f(x 1)=f(x 2－x 1)－1=f(x 2－x 1)+f(－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f(x)是单调递增函数. (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.。
高一复合函数知识点总结
高一复合函数知识点总结复合函数是高中数学中的重要概念之一，它是由两个或多个函数组合而成的函数。
在高一阶段学习复合函数时，需要掌握一些基本知识点和技巧。
本文将对高一复合函数的相关知识进行总结，包括定义、性质和常见解题方法等方面。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数构成的函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换，再对结果进行f(x)的变换。
可以用以下形式表示：f(g(x))，也可以写作(f ∘g)(x)。
2. 复合函数的求解对于给定的复合函数f(g(x))，求解的方法如下：Step 1: 先确定内层函数g(x)的定义域和值域，保证f(g(x))有意义。
Step 2: 将g(x)的结果代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。
Step 3: 综合以上结果，确定f(g(x))的定义域和值域。
3. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域等于内层函数g(x)的定义域中，使得g(x) ∈ f(x)的值域。
（2）复合函数的值域：与内层函数g(x)的值域相对应，即g(x)的值域是f(g(x))的值域。
（3）复合函数的奇偶性：若f(x)是奇函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是奇函数；若f(x)是偶函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是偶函数。
（4）复合函数的单调性：若f(x)在[a, b]上单调增加（或单调减少），g(x)是单调函数，则f(g(x))在[a, b]上也单调增加（或单调减少）。
4. 复合函数的常见解题方法（1）求函数的复合逆：对于复合函数f(g(x))，若要求它的复合逆，可以先求g(x)的逆函数g^(-1)(x)，然后将g^(-1)(x)代入f(x)中即可。
（2）复合函数的导数：若已知内层函数g(x)可导，外层函数f(x)在g(x)的值域上可导，则可以利用链式法则求得复合函数的导数。
（3）复合函数与反函数的关系：若复合函数f(g(x))恒等于x，且g(x)为f(x)的反函数，则f(x)和g(x)互为反函数。
函数增减性与奇偶性一般快速判断方法
一复合函数1.增减性对于F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其增减性满足乘法定则即: 增复合增=增, 减复合减=增,减复合增=减,由此可推出更高阶规律,例如增复合增复合减=增复合减=减.2.奇偶性对于F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其实只要掌握好奇偶函数的定义，自己推一下是非常容易的。
记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。
在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。
二加减函数1.增减性对于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增，减+减=减，减+增则无定则2.奇偶性对于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶,偶-偶=偶.奇+偶无定则三相乘函数1.增减性对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信,很好,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减.2.奇偶性对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即奇*偶=奇,偶*偶=偶,奇*奇=偶除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推.不过最重要的是,上述所说的都要符合在相同定义域内,否则...都是枉然如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
复合函数2
x)
2 (
1 2
)
x2
3x2
在
,
3 2
上是增函数,
在
3 2
,
上是减函数.
•复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两是增 函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函 数；
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个 是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数 y=f[g(x)]为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
(2)设 t＝f(x)，则原方程即化为 t2＋at＋b＝0， 由 t＝f(x)图象如下：
可知 a<0，b>0，c＝0，即 a<c<b.
可得：当 t＝1 时，x 有三解，当 t>0 且 t≠1 时，x 有两解． 又 t1＋t2＝－a，所以当 t1＝1，t2∈(0,1)∪(1，＋∞)时，原方程 有 5 个解， 即 a∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．
复合函数的奇偶性
1.判断函数f
( x)
ax ax
1 (a 1
0且
a 1)的奇偶性.
2.判断函数f
(x)
x
ax ax
1 (a 1
0且
a 1)的奇偶性.
函数的奇偶性： 奇＋奇＝奇 偶＋偶＝偶 奇×奇＝偶 偶×偶＝偶 奇×偶＝奇 奇＋偶＝（不确定）
类比： 负＋负＝负 正＋正＝正 负×负＝正 正×正＝正 负×正＝负 负＋正＝（不确定）
复合函数单调性、函数奇偶性
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
全面剖析复合函数及性质
全面剖析复合函数及性质山东省汶上县第一中学 （272500） 丁阳会一、复合函数的定义.一般地，对于两个函数y =f (u )和u =g(x),如果通过u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y =f (u )和u =g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)),其中函数y =f (u )称为外函数，函数u =g(x)称为内函数，u 称为中间变量。
复合函数可以分解为几个简单函数即内函数和外函数，例如复合函数21x y -=由外函数u y =和内函数21x u -=两个基本初等函数复合而成的。
二、复合函数的定义域.复合函数))((x g f y =可以分解为⎩⎨⎧==（内函数）（外函数）),(),(x g u u f y ， 该复合函数的对应关系可以理解为自变量x 以u 为中间变量通过g f 与两个对应关系对应到y ，即y u x f g −−−→−−−−→−对应关系对应关系，其中外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域，外函数)(u f y =的值域是复合函数))((x g f y =的值域，内函数)(x g u =的定义域是复合函数))((x g f y =的定义域。
（一）已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域。
已知函数)(x f 的定义域为[a,b],则函数))((x g f 的定义域是指满足不等式a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围; 例1.已知)(x f 的定义域为[1,2]，求函数)1(2x f y +=的定义域.分析：)1(2x f y +=可以分解为⎩⎨⎧+==21)(xu u f y ，外函数)(u f y =的定义域[1,2]是内函数21x u +=的值域，求复合函数的定义域，只须解不等式2112≤+≤x ，便可求出其定义域.解： 由2112≤+≤x 得1≤x ,即1≤x ，11≤≤-∴x∴函数)1(2x f y +=的定义域是[-1，1]。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 (1)
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。