余数的妙用
余数的妙用
余数的妙用余数的妙用（週期问题）我们学会了有余数的除法，还知道余数要比除数小的道理，利用除法与余数的知识，可解决生活中很多有趣的问题。
在研究这些有趣的问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重複出现的规律，也就是找出迴圈的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后，根据余数得出正确的结果。
例1 有一堆围棋，按“二白三黑”排列起来，如下图，想一想，第37个是白子还是黑子？第60个呢？解析：这堆棋子的排列是有一定规律的，即按“二白三黑”5个棋子组成一组，这个组依次不断地重複出现，我们先算出37个棋子可以排成这样的几组：37÷5=7（组）……2（个），余数是2，这两个棋子表示第8组的前2个，所以第37个棋子是白子；同理，60÷5=12（组）没有余数，那幺第60个棋子正好是第12组的最后一个，所以，第60个棋子是黑子。
37÷5=7（组）……2（个）60÷5=12（组）答：第37个是白子，第60个是黑子。
1. 有一堆围棋子，如果按“二白三黑”的顺序依次排列起来（如图），第84颗是白子还是黑子？第53颗和第91颗呢？2. 小朋友按照下面的规律串珠子，从左往右数：红、红、黄、黄、黄、红、红、黄、黄、黄……（1）第19颗珠子是什幺颜色？（2）第42颗珠子是什幺颜色？3. 有一列队伍，按1，2，3，4报数，如果这列队伍共有56有，那幺最后一个人应报多少？第39名队员应报多少？4. 有同样大小的红、白、黑珠共120颗，按先3颗红珠后2颗白珠再1颗黑珠排成一排。
问第68颗是什幺颜色？白株共多少颗？例2 202X年的10月1日是星期一，10月25日是星期几？解析：我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个週期不断地重複，从10月1日到10月25日经过了25－1=24天，24÷7=3（星期）……3天，说明24天中包括3个星期还多3天，所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就是星期四。
余 数 的 妙 用
余数的妙用（一）知识点：在有余数的除法里：余数要比除数小；被除数=除数×商+余数。
要求平均分给几个小朋友，平均每人种多少棵树等这类问题时，应该首先从总数里去掉多余的部分，使其能够除尽，这样就能符合题意，求出问题的答案。
例1、（1）□÷□=□……4，除数最小是几？（2）□÷6=□……□，余数可以是几？其中最大的一个是几？练习1：1．（）÷（）=（）……6，除数最小是几？2．（）÷（）=6……7，除数取最小时，被除数是几？3．（）÷8=7……（），余数取最大时，被除数是几？例2、（）÷8=3……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？练习2：1．下面各题中被除数最大填几，最小填几？①（）÷6=8……（）②（）÷7=5……（）2．下题中要使除数最小，被除数应为几？①（）÷（）=6......8 ②（）÷（）=9 (1)例3、老师拿出15颗小红星，每人奖2颗，还余1颗，老师奖给了几位小朋友？练习3：1．在括号里填上合适的数。
48÷（）=9......3 67÷（）=7 (4)2．阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了几个小朋友？3．某数（0除外）除以5，当商和余数相同时，这个数可能是哪些数？例4、有28个梨，最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多？每个小朋友分几个？练习4：1．有37只气球，最少拿走几只，就使得7个小朋友分得一样多？每个小朋友分几只？2．老师做了许多小红花，分给20个小朋友，每人3朵，还剩下2朵，老师共做了多少朵小红花？3．学校体育室要给全校20个班级发乒乓球，现在已知每班分到4只，剩下的只数不够分了，体育室里最多有多少只乒乓球？例5、有一筐梨,总数不到60个,把这筐梨平均分给8个人,还剩2个,这筐梨最多有多少个?练习5：1.一盒饼干，总数不到51块，平均分给8个小朋友，还余下2块，这盒饼干里有多少块？2.有一些练习本,不到35本,平均分给4个孩子或平均分给7个孩子,都剩下3本,想一想，有多少本练习本？3．学校总务主任到文具店买几盒相同价钱的橡皮，付了50元钱，找回10元，你知道总务主任买了多少盒橡皮吗？？课后作业余数的妙用（二）教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。
余数的妙用
这一讲公开课介绍的是余数的妙用，用来解决的问题是周期问题。
同学们碰到周期问题时不必害怕，它和我们经常玩的一类数学游戏很相似，第一步就是要找规律，观察题目给我们的一串数（或一串图形），看一看是不是几个一组重复出现，也就是观察是不是周期现象。
注意哦，每一组中的数（或图形）都必须一模一样，否则肯定是找错了。
第二步就是把这串数（或图形）进行分组，分组就要用到除法运算。
用题目要求的第几个数除以周期，得到的商就是这些数可以分成完整的几组。
如果没有余数，那么要求的数就是最后一组的最后一个数；如果有余数，那么余数是几，要求的数就是一组中的第几个数，这里一定要搞明白，要求的数是商所表示的组数的下一组中的。
举一个具体的例子：有一列数:1、3、5、7、1、3、5、7、1、3、5、7......1）第35个数是几？2）前35个数的和是多少？3）前35个数中有几个3？我们发现原题中的这串数可以看成“1、3、5、7”这4个数一组重复出现，那么每一组都有4个数，周期就是4。
1）第35个数是几？要求第35个数是几，那我们就要先知道把这35个数分组后，第35个数是第几组的第几个，之前我们已经知道4个数可以分为一组，那35个数能分成几组呢？就列算式：35÷4=8（组）……3（个），商是8告诉我们35个数能分成完整的8组，每一组都是“1、3、5、7”，余数是3表明分完8组后还多出来了3个数，那就是每一组的前三个数，即“1、3、5”，1、3、5、7、1、3、5、7......1、3、5、7、1、3、5......第1组第2组......第8组第9组那么第35个数是这35个数中的最后一个，所以就是第9组的第3个数，为5。
（如果题目要求第40个数是多少，就是：40÷4=10（组），表明这40个数不多不少刚好被分成了10组，那要求的第40个数就是最后一个数，也就是第10组的最后一个数，即为7。
）2）前35个数的和是多少？我们不用把这35个数全部写出来，通过引导，孩子们会发现，每组数都是一样的“1、3、5、7”，所以每组数的和都是一样的，即：1+3+5+7=16，我们已经知道了这35个数可以分成8个完整的组，还多出来3个数，那就先算出前8组的和是多少，每组的和都是16，前8组数的和就是：8×16=128，有的孩子做到这里就结束了，不能忘记那多出来的三个数我们还没有考虑呢，这三个数相加是：1+3+5=9，应该也把它们加上求和：128+9=137。
余数的妙用评课
余数的妙用评课1. 引言在数学中，余数是除法运算中的一个重要概念。
它是指在进行整数除法时，被除数除以除数所得到的剩下的不完全被整除的部分。
余数在解决实际问题、进行模运算以及评价课程等方面都有着广泛的应用。
本文将探讨余数在评课中的妙用，通过利用余数来评价课程质量和学生成绩等方面。
2. 余数与课程评价2.1 余数与课程质量在进行课程评价时，我们通常会从多个角度综合考虑一个课程是否优秀。
而利用余数可以帮助我们更加客观地评估一个课程的质量。
例如，我们可以将一个完整的学期分为若干个时间段，并对每个时间段进行打分。
假设一门课程共有10个时间段，每个时间段最高得分为10分。
那么这门课程的总分将是100分。
当我们计算每个时间段得分时，可以使用余数来表示学生在该时间段内表现出色但未达到满分的情况。
具体操作如下：如果某个时间段内学生得到了9分，那么余数就是1。
如果学生得到了8分，则余数为2，依此类推。
通过这种方式，我们可以更加准确地评估学生在每个时间段内的表现，并综合考虑他们的整体表现。
2.2 余数与学生成绩除了课程质量的评价，余数还可以在学生成绩的评定中发挥作用。
在某些情况下，学生的成绩可能非常接近一个整数，但未能完全达到。
这时候，余数可以帮助我们更好地理解学生的实际水平。
以一门考试为例，满分为100分。
如果一个学生得到了96分，那么他的成绩就是96。
但如果另一个学生得到了96.5分，那么他的成绩将是96.5。
这时候我们可以利用余数来表示两个学生之间的差距。
对于第二个学生而言，他的成绩比96高出0.5分。
通过将0.5转化为相应的余数形式（例如0.5乘以10），我们可以更好地理解他们之间的差距，并对他们进行更加客观地评价。
3. 应用示例3.1 课程评价示例假设有一门语文课程共有10个单元，每个单元的满分为10分。
我们可以利用余数来评价每个单元的学习效果。
单元得分余数1 9 12 8 23 10 0………10 9.5 0.5在上表中，我们可以看到学生在每个单元的得分和相应的余数。
数学思维能力提升2升3-07余数的妙用
第7讲余数的妙用把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。
每次除得的余数必须比除数小，这是有余数除法计算中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数=商×除数＋余数。
典型题讲解例1、□÷6=8……□，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？例2、□÷□=8……5，要使除数最小，被除数应为几？练习1、(1)你能写出最大的被除数和最小的被除数吗？□÷4=7……□(2)除数最小时，被除数是几？□÷□=10 (7)例3、算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？例4、7个小朋友围在桌子旁分37个苹果，至少拿走多少个，才能使小朋友们分得的苹果一样多？例5、有2名老师带领33名同学一起去公园划船，每条船只能坐4个人。
请问他们需要租几条船？练习2、一块布长5米，做一条裙子需要9分米，那么这块布最多能做几条裙子？例6、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第35个珠子是什么颜色？......巩固提升（训练时间：满分：80分，训练得分：）1、计算下列各题。
（每小题2分，共10分）45+69= 16+272= 257+167= 178-85= 287－136= 2、用简便计算下面各题（每小题5分，共10分）67+54+33 145-13-453、填空题。
（每小题4分，共40分）（1）下题中要使除数最小，被除数应为（）。
□÷□=12 (4)（2）你能写出最大的被除数和最小的被除数吗？最大为（），最小为（）。
余数的妙用评课
余数的妙用评课摘要：一、引言1.课程名称：余数的妙用2.课程背景：提高学生对数学知识的理解和应用能力3.课程目标：让学生掌握余数的概念、性质和计算方法二、课程内容概述1.余数的定义与性质2.余数的计算方法3.余数在实际问题中的应用4.课堂活动与案例分析三、课程评价1.教学方法：采用启发式教学，引导学生自主探究2.教学资源：利用现代教育技术手段，提供丰富的教学资源3.学生参与度：学生积极参与课堂讨论，主动提问和解答4.课程效果：学生对余数的概念、性质和计算方法有了更深入的理解四、总结与建议1.课程优点：激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果2.课程不足：个别知识点讲解不够透彻，需要加强3.改进措施：加强备课，丰富教学手段，提高教学质量正文：《余数的妙用》是一堂旨在帮助学生掌握余数相关知识的课程。
通过本课程的学习，学生将能够理解余数的概念、性质，熟练运用余数的计算方法，并学会将余数应用到实际问题中。
课程首先从余数的定义和性质入手，让学生了解余数的基本概念，并掌握余数的一些基本性质。
在此基础上，课程介绍了余数的计算方法，包括有余数除法、同余、模运算等。
通过这些计算方法的学习，学生将能够熟练解决与余数相关的计算问题。
课程的第三部分重点介绍了余数在实际问题中的应用。
通过生动的案例分析，学生将了解到余数在生活中的广泛应用，如密码学、计算机科学等领域。
这有助于提高学生的学习兴趣，激发他们探索数学知识的热情。
在课程实施过程中，教师采用了启发式的教学方法，引导学生自主探究余数的奥秘。
同时，教师利用现代教育技术手段，如PPT、在线教育资源等，为学生提供了丰富的教学资源。
学生们积极参与课堂讨论，主动提问和解答，课堂氛围十分活跃。
总体来说，《余数的妙用》这堂课取得了较好的教学效果。
四年级奥数之余数的妙用
余数的妙用知识要点1、在进行除法运算时，往往会产生余数，对于有余数的除法，许多同学有时很头疼。
但是有余数的除法也不是一无是处，它还有许多妙用，用好它对于我们解决具体问题时有好处的。
2、除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数经典范例例1 被除数是41，余数是,6，除数和商各是多少？思路解析：被除数-余数=除数×商=41-6=35=1×35或5×7解：41-6=3535=1×35或35=5×7当除数=35时商=1 当除数=7时商是5答：当除数=35时商=1 当除数=7时商是5例2 假如今天是星期二，从今天算起，第29天是星期几？思路解析：因为时间是从今天算起，假如今天是1号，到第29号就是29天，这样就算出总天数。
一周是7天，看看这29天中有几个7天，然后再数数余数的天数就可以了。
因为今天是星期二，是前面几个整周的开头第一天，所以余数的第一天也是星期二。
解：29÷7=4 ---- 1答：第29天是星期二。
例3 幼儿园阿姨给小朋友们准备了又红又大的苹果。
7个7个数，也余1个。
你能算出至少有多少个苹果吗？思路解析：5个5个数，余1个，就是苹果数倍5除余1,有5、10、15、20、25、30、35、40---；7个7个数，也余1个，是苹果数7除余1,有7、14、21、28、35、42---；所以苹果数既要能被5除余1，也要能被7除余1.从上面的列出数看，它们共同的最小数是35.解：能被5整除5、10、15、20、25、30、35、40---；能被7整除7、14、21、28、35、42---；35+1=36（个）答：共有苹果36个。
例4 豆豆和丁丁玩报数游戏，每次每人报1 - 4个数，即不能超过4个数。
谁报到88个数谁胜。
丁丁先报，豆豆后报。
可不管怎么报，都是丁丁胜。
豆豆很奇怪。
丁丁说：“那是因为我知道余数的妙用。
第1讲 余数的妙用
1． 租船．
（1）如果都坐大船，至少需要几条大船？ 23÷5＝4（条）⋯⋯3（名）；4＋1＝5（条）
（2）如果都坐小船，至少需要几条小船？ 23÷3＝7（条）⋯⋯2（名）；7＋1＝8（条）
（3）如果大船小船可以搭配乘坐，请你给出一个乘车方案． 4 条大船 1 条小船
2． 陈博士有 50 颗纽扣． （1）如果一件衣服需要订 6 颗纽扣，请问最多能订多少件衣服？ 50÷6＝8（件）⋯⋯2（件），最多能订 8 件衣服
我们知道被除数＝除数×商，那你可以推理出被除数、除数、商、余数的关系吗？推一 推，试一试．
① ÷7＝4…… ，余数最大是多少？被除数最大是多少？ 6；4×7+6=34
② ÷ ＝6……7，除数最小是几？被除数最小是几？ 8；6×8+7=55
① ÷3＝5…… ，余数最大是多少？被除数最大是多少？ 2；3×5+2=17
12根
12÷4=3（个）
余数和谁有很密切的关系，是什么关系？
9根 10根
9÷4=2（个）……1（根） 10÷4=2（个）……2（根）
11根
11÷4=2（个）……3（根）
12根
12÷4=3（个）
13根
13÷4=3（个）……1（根）
＜
在有余数的除法算式中余数是不够分而余下 的，所以小于除数。如果余数等于或大于除数，说 明还可以再分。
“至少需要租多少条船” 是指租船的数量最少。
22个学生去划船，每条船最多坐4人。他们 至少要租多少条船？
问题：1. 有的同学认为至少需要5条船，还有 的同学认为至少需要6条船，你觉得呢？
2. 看来余下的2人是关键，应该怎样安排他们？
22个学生去划船，每条船最多坐4人。他们 至少要租多少条船？
余数的妙用教学设计与教案
余数的妙用教学设计与教案一、教学目标1. 让学生理解余数的概念，掌握有余数的除法运算。
2. 培养学生发现、分析和解决实际问题的能力。
3. 培养学生运用有余数除法的知识解决生活中的问题。
二、教学内容1. 余数的概念：在除法运算中，除数不能整除被除数时，剩下的数叫做余数。
2. 有余数的除法运算：被除数= 除数×商+ 余数3. 实际问题：运用有余数除法的知识解决生活中的问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握有余数的除法运算，以及运用有余数除法的知识解决实际问题。
2. 教学难点：理解余数的概念，以及如何运用有余数除法解决实际问题。
四、教学方法1. 采用情境教学法，通过生活实例引导学生理解余数的概念。
2. 采用小组合作学习法，让学生在讨论中掌握有余数的除法运算。
3. 采用实践教学法，让学生在实际操作中学会运用有余数除法解决生活中的问题。
五、教学步骤1. 导入新课：通过一个生活实例，如分配物品，引出余数的概念。
2. 讲解有余数的除法运算：讲解被除数= 除数×商+ 余数的计算方法。
3. 练习有余数的除法运算：让学生独立完成一些相关的练习题。
4. 运用有余数除法解决实际问题：让学生分组讨论，找出生活中的问题，并运用所学知识解决。
六、教学评价1. 通过课堂问答、练习题和实际问题解决，评价学生对余数概念和有余数除法运算的掌握程度。
2. 观察学生在小组合作学习中的参与情况和问题解决能力。
3. 收集学生解决的实际问题案例，评价其运用有余数除法知识的能力。
七、教学拓展1. 引导学生思考：在实际生活中，还有哪些场景会用到有余数的除法？2. 让学生尝试解决更复杂的有余数问题，如多次除法运算、混合运算等。
3. 引入其他相关概念，如最大余数、最小余数等，让学生进一步探索。
八、教学资源1. 教案、PPT课件、黑板等教学辅助工具。
2. 练习题、实际问题案例等教学材料。
3. 计算机、投影仪等多媒体设备，用于展示和讲解。
余数的妙用
余数的妙用1、有一袋糖，在60至70粒之间，如果分的人数与每人分的粒数相同的话还多3粒。
这袋糖果有多少粒？2、第一天是星期一，第50天是星期几？3、学校把91本书，分给9个班，每班7本，还剩几本？4、学校把一批故事书，平均分给三年级的6个班，每班7本，还剩4本，这批书有多少本？5、小王在做一道除法算式题，把除数8，错写成5，结果商是6，余数是2，，正确的商应该是几？6、有一道除法题，除数是8，小红不小心把被除数的十位数字和个位数字看颠倒了，结果除得的商3，余数是3，正确的商是几？7、有一筐苹果，比20多，比30少，平均分给6个人或8个人都剩4个，这筐苹果有多少个？8、王老师做了50多个五角星，平均分给8个同学还剩2个，王老师做了多少个五角星？每个同学分得多少个？9、有一列图形，排列规律如下：△△○○○□△△○○○□……1 ）第29个图形是什么图形？2）第50个图形是什么图形？3）如果一共有50个图形，△、○、□各有多少个？10、一张纸上排着两行字；我爱学奥数我爱学奥数我爱学奥数我爱学奥数……我是一个好学生我是一个好学生我是一个好学生……第13组（上下两字为一组）的两个字是什么？第43组呢？11把一根木头锯成6段要锯几次？每锯一次要3分钟，一共要几分钟？12、星星、月月、静静、贝贝、欢欢、妮妮、明明。
红红8个小朋友玩牌。
按照刚才的顺序，54张扑克牌最后一张分给谁？13、66名老师乘车外出，每辆车限乘9人（含司机）至少需要几辆车？14、做一面五星红旗要5颗五角星（1大4小）现有20粒小五角星和10粒大五角星，这些五角星最多可以做几面五星红旗？15.有29人参加巡游活动。
（1）每只船限乘4人，至少要组几条船？（2）如果按顺序上船，第21名学生上第几条船？16、如果4月1日是星期三，那么5月1日是星期几？17、小夏要买一套125元的书，她已经存了63元钱。
如果她每周能存7元钱，至少需要多少周才能存够？18、一共有70块巧克力，每个盒子装8块，至少需要几个盒子？，。
第三讲—余数的妙用
余数的妙用一、学习引入今天是9月12日，很多小动物来给黑熊过生日。
因为是星期六，就连住得很远的小松鼠也赶来了，大家玩得可开心了，还约定明年的今天大家一起去秋游。
黑熊想：明年会不会更热闹呢？明年的生日又会是星期几呢？想来想去，怎么也没想出来，最后只好呼呼大睡了。
同学们，其实利用余数就能解决这个问题，你想知道吗，快来看看余数的妙用吧!二、典型例题要点1 余数要比除数小例1. □÷□=9……7，被除数最小是多少？因为余数要比除数小，余数是7，除数就应该比7大，如8、9、10、……，商和余数是已知的，被除数的大小和除数的大小有关，除数越小，被除数就越小，所以除数是8时，被除数是最小的。
解：9×8+7＝79答：除数等于8时，被除数最小，最小是79。
要点2 除数=（被除数一余数）÷商商=（被除数一余数）÷除数例2. 被除数是41，余数是6，除数和商各是多少？（你能写出几种答案）因为被除数-余数=除数×商，所以41-6=345，35=1×35=5×7。
又因为余数是6，所以除数可以是7或35。
解：此题有两种答案：①除数是35，商是1；②除数是7，商是5。
要点3 利用余数的知识解决有关年、月、日的问题例3. 今天是星期二，从今天算起，第29天是星期几？日一二三四五六1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29假如今天是1号，那么第29天就是29号，也就是星期二；一个星期有7天，以7天为一个周期，29÷7=4（个）……1（天）。
这题我们可以把星期二到下个星期一看成一个周期，有4个这样的周期，余下的一天就是星期二。
解：29÷7＝4（个）……1（天）答：第29天是星期二。
要点4 余数在生活中的运用例4. 幼儿园的阿姨给小朋友们准备了又红又大的苹果，5个5个数，余一个，7个7个数，余一个，你知道至少有多少个苹果吗？5个5个数，就是5、10、15、20、25、30、35、40、…，因为余1个，所以就比上面的数多1；7个7个数，就是7、14、21、28、35、42、…，因为余1个，所以也比上面的数多1，5个5个数，7个7个数都能数到35，所以苹果的个数至少比35多1个，就是36个。
余数与因数的应用
余数与因数的应用在数学中，余数和因数都是重要的概念。
余数是指一个数除以另一个数所得的不尽的部分，而因数则是能够整除给定数的数。
这两个概念在日常生活和数学问题中都有着广泛的应用。
本文将探讨余数和因数的一些常见应用，并举例说明。
一、余数的应用1. 时钟问题在时钟问题中，余数的概念被广泛运用。
假设现在是下午3点，我们想知道在20小时后是几点。
这个问题可以通过计算20÷12得到商数1和余数8，意味着20小时后的时刻比当前时间多8个小时。
因此，在下午3点的基础上，加上余数8个小时，得到答案是晚上11点。
2. 日历问题在日历问题中，余数也能帮助我们计算特定日期，如某个星期的某一天是几号。
例如，我们知道某年的1月1日是星期一，我们希望知道12月31日是星期几。
首先，我们需要计算出一年有多少周，然后计算余数。
如果一年有52个星期，那么余数是365除以7得到的余数，即1。
所以，12月31日就是星期一。
3. 数字校验在数字校验中，余数也起到重要的作用。
例如，银行卡号、身份证号等都采用了基于余数的校验算法。
以银行卡号为例，最后一位通常是校验位，由前面的数字通过一定的算法计算得出。
当输入银行卡号时，系统会自动计算出校验位，如果计算出的校验位与输入的校验位相同，则说明输入的银行卡号是正确的。
二、因数的应用1. 分解质因数质因数分解是指将一个数分解成一系列质数的乘积。
对于一个正整数n，它的质因数分解形式可以写成n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pn^an，其中p₁、p₂...pn都是质数，a₁、a₂...an都是正整数。
质因数分解在数学和密码学等领域都有着重要的应用。
2. 最大公因数和最小公倍数在计算最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）的问题中，因数也扮演着重要的角色。
最大公因数是指两个或多个数中能够整除所有数的最大数，而最小公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的数。
二年级下册数学人教版《奥数举一反三—余数的妙用》课件
有余数题目的解答技巧：
1、余数一定要比除数小 2、牢记除数×商＋余数=被除数这一等式 3、求平均数时，先从总数把多余部分减去，使其能够除尽再继续解答
小学二年级奥数思维拓展
余数的妙用（二）
王牌例题1
王老师把1~40号卡片依次发给小亮、小红、小云、小强4个
王牌例题4
有28个梨,最少拿走几个,就使得6个小朋友分得一样多？每
个小朋友分几个？
【思路】
要求28个梨里最少拿走几个,就使得6个小朋友分得一样多,就是把28个苹果平 均分给6个小朋友后,求余下的个数.
列式如下： 28÷6=4（个）……4（个） 答：最少拿走4个,每个小朋友分4个。
王牌例题5
有一筐梨，总数不到60个，把这筐梨平均分给8人，还剩2 个梨，这筐梨有多少个？
列式如下： 31÷7=4个......3天
答：再过31天是星期一。
王牌例题4
8个队员围成一圈做游戏,从1号队员开始，按箭头方向向下一
个人传球，在传球时按顺序报数，当报到75时，球在几号队
员手上？
【思路】
8个队员依次传球，不断重复，把他们看成一组， 每组报8个数，75个数按照这样可以分成几组： 75÷8=9组......3个，报75时，球在第10组的第3 个队员手中，即3号球员手上。
列式如下： 26÷4=6组......2张 余数是2，
因此，第26张应发给小红 答：第26张卡片应发给小红。
王牌例题2
有一列数3，1，2，3，1，2，3，1，2，......，第20个数是
多少？这20个数的和是多少？
【思路】
从列数可看出，它是按“3，1，2”3个数为一组依次不断重复出现。 20个数里面有几个3，即20÷3=6பைடு நூலகம்......2个，余数是2，因此，第20个 数是第7组的第2个数，是1。这里每组各数的和是3+1+2=6，20个数有 6个6再加上2个数。
《余数的妙用》教学设计
第一篇：《余数的妙用》教学设计余数的妙用学习目标：1、能够根据情境提出问题，解决租船问题，并通过分析对比充分感受加最多、最少的不同？体会数学的严谨。
2、学生经历发现问题》提出问题》分析问题》解决问题的过程，提高解决问题的能力。
3、感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
一、直接导入PPT呈现情境图：师：昨天老师已经让大家从中发现并提出除法问题，现在看一下都提出了哪些问题吧。
二、经历探究（一）加1的题型（1）发现与提出PPT呈现问题：38人需要几个热气球？师：请一位同学大声读一读，觉得这个问题提得怎么样？（？？？）师：再看看这个问题。
一起大声读一读。
两个问题有区别吗？（一个有至少一个没有）师：哪个问题更严谨呢？为什么？小组交流讨论。
点名同学回答。
师：你觉得呢？师小结：没有至少这两个字的话，这个问题就不够严谨，可以有很多答案了。
看来，大家都同意这个问题更严谨，大家都感受到了数学的严谨。
（2）分析与解决过渡语：下面，我们就一起来分析解决这个问题吧！请同学们先自己独立分析，把你的解决方法写在课堂练习本上吧。
小组交流想法。
生发言：我是这样想的，要求38人至少需要几个热气球，可以列除法算式38除以5等于7个余3人。
剩下的3人还需要一个热气球，所以7加1等于8个。
至少需要8个热气球。
师：谁可以用画图的方式来分析问题，让大家更好的理解？现在课堂练习本上画一画吧！生：上台画一画并讲解。
师小结：通过画图分析问题，这道题可以转化为求38里面有几个5，发现有1、2/3/4/5/6、7个5，还剩下2.这个2在这个问题情境中表示剩下的2个人，还需要1个热气球，所以再要加1，得到结论至少需要8个。
（二）不加1的题型（1）发现并提出师：除了这个问题，还有的同学提出了这样的问题，读一读。
ppt出示问题：20元可以买几瓶饮料？你觉得这个问题严谨吗？生回答：不严谨，没有最多。
20元可以买1瓶、2瓶。
师：怎样才是一个严谨的问题呢？谁来提一提。
7余数的妙用-小学奥数暑假提高衔接
一行以“甲、乙、两”三个字为一组重复出现，下面一行以“奥、林、
匹、克”四个字为一组重复出現。要求第 15 组是哪两个宇，必须分别
3
求出上、下两行各是什么字オ行。我们先求上一行字是什么 15÷3=5(组)， 它没有余数，说明第 15 个字是“甲、乙、两”这组中的最后一个字， 即“丙”字。再求下一行字是什么，15÷4=3(组)……3(个)，说明下一 行第 15 个字是第 4 组中的第 3 个字，即“匹”字，所以，第 15 组是“丙、 匹”两个字。
解答 15÷3=5(组)
22÷3=7(组)…1(个
答:第 15 个水果是苹果，第 22 个水果是梨。
【例 6】
甲 乙 丙 甲 乙 丙 甲 乙 ……
奥 林 匹 克 奥 林 匹 克 …… 上表
中，每一列两个字组成一组，如第一组“甲奥”、第二组“乙林” ……
问第 15 组是什么？
分析 观察上表，我们可以找到表中有两个独立的排列规律，上面
分析 这题中的水果是接“一个梨两个苹果”的规律重复排列，即 3 个水果为一组。
每组中水果的排列顺序都是一样的，即第一个为梨，第二、三个为
苹果。15 个水果中含有 5 组，第 15 个水果是第 5 组的最后一个，是革
果。22 个水果中含有 7 组多 1 个，第 22 个水果就是重复 7 组后的第 1
个水果，应该是梨。
第 7 讲 余数的妙用
我们学过了有余数的除法，利用余数，可以解决很多有趣的问题， 在有余数的除法中有这样的规律:(1)余数必须比除数小；(2)被除数=除 数×商+余数。
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如一 周七天就是按顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到一些重复出 现的问题。在研究这些问题时，我们不仅要判断其不断重复出现的规律， 也就是找出循环的国定数，而更重要的是看它的余数。
二年级余数的妙用课件
余数在周期性问题中有着广泛的应用，例如时间的计算、日历的计算等。通过计算余数，我们可以确定某个事件 是否会发生，以及发生的周期。
简化计算
对于一些复杂的周期性问题，我们可以通过计算余数来简化计算过程，快速得出结果。
通过余数判断整除性
判断是否是某数的倍数
通过计算余数，我们可以判断一个数是否是另一个数的倍数。如果一个数除以另一个数的余数为0， 则说明这个数是另一个数的倍数。
情景描述
有一定数量的物品需要平均分给若干人，每 人分得数量相等。已知物品总数和人数，需 要计算每人能分到多少物品，以及是否会有 剩余。
余数的应用
通过计算物品总数除以人数的余数，可以判 断物品是否能够平均分配。若余数为0，则 能够完全平均分配；若余数不为0，则不能 完全平均分配，且余数为剩余物品的数量。
THANKS
感谢观看
实例三：余数在密码学中的简单应用
情景描述
密码学中常常使用余数来提高加密的安全性。例如，一 个简单的密码生成规则可以是：将某个数字除以另一个 数字，然后取余数作为密码的一部分。
余数的应用
通过选择适当的除数和被除数，可以生成难以猜测的密 码。这是因为余数的取值范围小于除数，使得密码空间 相对较小，从而增加密码的复杂性。同时，使用余数还 可以方便地验证密码的正确性，提高密码的安全性。
光学的色彩理论：在光学的色彩理论中，光的三原色（红、绿、蓝）的 混合可以产生各种颜色。每种颜色的强度都可以通过余数来计算，以确
定混合后的颜色。
这些例子只是余数在各学科中的一部分应用，实际上，余数在我们的日 常生活和科学研究中有着广泛的应用。
04
通过实例提高学生理解和应用余 数的能力
实例一：通过余数计算分组人数
十.余数的妙用
十、余数的妙用姓名知识概要在平均分的过程中，会出现两种可能，一种是正好分完，一种是有剩余。
比如：10÷2=5，就是能够除尽，没有余数的除法，而对于10÷3=3……1，我们就称之为有余数除法。
注意余数要比除数小。
被除数，除数，商，余数之间的关系：被除数＝除数×商＋余数余数＝被除数－商×除数商＝（被除数－余数）÷除数除数＝（被除数－余数）÷商例题精选例1、在算式（）÷8=5……（）中根据余数写出被除数最大是几？最小是几？例2、在算式（）÷（）=5……（）中，被除数最小是几？我能行：1、在算式（）÷3=8……（）中被除数最大是几？最小是几？2、在算式（）÷（）=9……（）中，被除数最小是几？例3、（1）○△□□○△□□○△□□……第20个图形是什么图形？（2）第39个棋子是白子还是黑子？例4、电视塔上有一串彩灯，按“2红、2黄、2绿、2蓝”依次排列，第27只，、第37只彩灯是什么颜色？例5、今天是星期五，再过19天，是星期几？我能行：1、找出下面图形的规律，想一想第29个图形是什么？△△○○○△△○○○△△○○○……2、小雨练习书法，她把“我爱伟大的祖国”这句话依次反复书写，第60个字应写的是什么字？。
超级训练：1、根据算式（）÷5=8……（），写出最大的被除数与最小的被除数。
2、在算式（）÷（）=7……（）中，被除数最小是几？3、（1）△△○○○△△○○○△△○○○……第29个图形是什么图形？（2）○□◎○□◎○□◎○……第25个图形是什么图形？4、“从小爱数学从小爱数学从小爱数学……”依次排列，第33个字是什么字？5、三(1)班同学参加学校拔河比赛，他们比赛的队伍按“三男二女”依次排成一队，第26个同学是男同学还是女同学？6、运动场上有一排彩旗，一共34面，按“三红一绿两黄”排列着，最后一面是什么颜色的旗？7、今天是星期三，再过30天是星期几？8、有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5……第20个数字是几，这20个数的和是几。
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我们学会了有余数的除法，还知道余数要比除数小的道理，利用除法与余数的知识，可解决生活中很多有趣的问题。
在研究这些有趣的问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重
复出现的规律，
也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后，根据余数得出正确的结果。
例
1
有一堆围棋，按“二白三黑”排列起来，如下图，想一想，第37个是白子还是黑子？第60个呢？
……
解析：这堆棋子的排列是有一定规律的，即按“二白三黑”5个棋子组成一组，这个组依次不断地重复出现，我们先算出37个棋子可以排成这样的几组：37÷5=7（组）……2（个），余数是2，这两个棋子表示第8组的前2个，所以第37个棋子是白子；同理，60÷5=12（组）没有余数，那么第60个棋子正好是第12组的最后一个，所以，第60个棋子是黑子。
37÷5=7（组）……2（个）
60÷5=12（组）
答：第37个是白子，第60个是黑子。
专题引导 练习
1
1. 有一堆围棋子，如果按“二白三黑”的顺序依次排列起来（如图），
第84颗是白子还是黑子？第53颗和第91颗呢？
○○●●●○○●●●○○●●●……
2. 小朋友按照下面的规律串珠子，从左往右数：红、红、黄、黄、黄、红、红、黄、黄、黄……
（1）第19颗珠子是什么颜色？
（2）第42颗珠子是什么颜色？
3. 有一列队伍，按1，2，3，4报数，如果这列队伍共有56有，那么最后一个人应报多少？第39名队员应报多少？
4. 有同样大小的红、白、黑珠共120颗，按先3颗红珠后2颗白珠再1颗黑珠排成一排。
问第68颗是什么颜色？白株共多少颗？
例22001年的10月1日是星期一，10月25日是星期几？
解析：我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复，从10月1日到10月25日经过了25－1=24天，24÷7=3（星期）……3天，说明24天中包括3个星期还多3天，所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就是星期四。
25－1=24（天）
24÷7=3（星期）……3天
答：10月25日是星期四。
练习2
1. 2001年8月1日是星期三，问8月28日是星期几？
2. 2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？
3. 2001年10月4日是星期四，问10月28日是星期几？
4. 2001年6月1日是星期五，问9月1日是星期几？
例3100个3相乘,积的个位数字是几?
解析：我们先找一找规律：
1×3=3
3×3=9
3×3×3=27
3×3×3×3=81
3×3×3×3×3=243
……
取它们的个位数字都是3、9 、7、1不断重复出现，之后的几个3相乘都是这个规律。
100÷4=25 刚好除尽，所以100个3相乘，末尾的数是1。
练习3
1. 23个3相乘，积的个位数字是几？
2. 100个2相乘，积的个位数字是几？
3. 50个7相乘，积的个位数字是几？
3。