常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。

1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d y y x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为．9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。

4．用比较系数法解方程. .5．求方程sin y y x'=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程 2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案 一.填空题。

1. 二，非线性2.u xy=，11(()1)du dx u f u x=+ 3.无穷多 4.3,2,1αβγ=-==-2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dyxy y dx dx-+=5.必要6.3y7.1()()t t -'ΦΦ 8. 25 00t Att e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9.10.11.12. 1,二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.解: 设曲线方程为 , 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意可得如下初值问题:. 分离变量, 积分并整理后可得 .代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 .2.求解方程13dy x y dx x y +-=-+.解：由10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 求得1,2x y =-= 令1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩ 则有.d d ηξηξξη+=-令z ηξ=，解得2(1)1z dz d z ξξ-=+,积分得21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+,故原方程的解为222arctanln (1)(2)1y x y C x -=++-++.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+=解 令，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，即，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。

4.用比较系数法解方程. .解：特征方程为, 特征根为.对应齐方程的通解为 .设原方程的特解有形如代如原方程可得利用对应系数相等可得 , 故 .原方程的通解可以表示为( 是任意常数).5.求方程sin y y x'=+的通解.解：先解y y '=得通解为x y ce =, 令()x y c x e =为原方程的解，代入得()()()sin x x x c x e c x e c x e x '+=+, 即有()sin x c x e x -'=,积分得1()(sin cos )2x c x e x x c -=-++ , 所以1(sin cos )2x y ce x x =-+ 为原方程的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.解：由于22(,)cos sin ,(,)(1)M x y x x xy N x y y x =-=-，因为2M Nxy y x∂∂=-=∂∂所以原方程为恰当方程.把原方程分项组合得22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=,或写成2222111(sin )()()0222d x d x y d y ++=, 故原方程的通解为2222sin x x y y C -+=.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.解：特征方程为31det()(2)(5)0,24A E λλλλλ---==++=--求得特征值122,5λλ=-=-,对应122,5λλ=-=-的特征向量分别为1211,,(,0).12V V αβαβ⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦可得一个基解矩阵2525().2tt tt e e t ee ----⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦ ，又因为1211(0)113-⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦，于是，所求的解为=ΦΦ=-ηϕ)0()()(1t t 2525211111132tt t t e e ee ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 25252134t t t t e e e e ----⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.解: 令0()0x ϕ=，于是221001()[213()],xx y x x dx x x ϕϕ=+--=-⎰223452011133()[213()],1025xx y x x dx x x x x x ϕϕ=+--=-+-+-⎰ 9.求的通解解：方程可化为3284dy y dx x dy y dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，令dyp dx =则有3284p y x yp +=（*），（*）两边对y 求导得322322(4)(8)4dpy p y p y p y p dy -+-=，即32(4)(2)0dp p y y p dy --=，由20dp y p dy -=得12p cy =，即2()p y c =.将y 代入（*）得2224c px c =+， 即方程的 含参数形式的通解为：22224()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p 为参数；又由3240p y -=得123(4)p y =代入（*）得3427y x=也是方程的解 .试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 并求expAt10.若解：特征方程221()69014p λλλλλ--==-+=-，解得1,23λ=，此时 k=1,12n =。

32()480dy dyxy y dx dx-+=2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑由公式expAt= 10()!in tii t eA E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.证：()t Φ是基解矩阵，故1()t -Φ存在，令1()()()X t t t -=Φψ ， 则()X t 可微且det ()0X t ≠，易知()()()t t X t ψ=Φ.所以()()()()()t t X t t X t '''ψ=Φ+Φ()()()()()A t t X t t X t '=Φ+Φ()()()()A t t t X t '=ψ+Φ 而()()()t A t t 'ψ=ψ，所以()()0t X t 'Φ=,()0,X t '=()X t C =（常数矩阵），故()()t t C ψ=Φ .2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.证明：由题设，有⎰++≡xx d y x 0,])([)(20ξξξψξψ,)(00y x =ϕ⎰∈++≡-xx n n x x d y x 0],[,,])([)(0120βαξξξϕξϕ，),2,1(Λ=n .下面只就区间β≤≤x x 0上讨论，对于0x x ≤≤α的讨论完全一样。