插值逼近 样条函数解读 PPT
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函数逼近(样条函数)
h0 hn1 , n h0 hn1 h0 hn1 y y0 y y n 1 n n ) 3( n f [ x0 , x1 ] n f [ x n 1 , x n ]) ， g n 3( n 1 h0 hn 1
于是得到 n 阶方程组
Hale Waihona Puke 2 2 n
要在每个子区间 [ xi , xi 1 ] 上构造三次多项式
S ( x) S i ( x) ai x 3 bi x 2 ci x d i x [ xi , xi 1 ], i 0,1,...n 1 共需要 4n 个待定参数。在三次样条插值的定义中一共有 4n-2 个约束条件： 1、2n 个函数值约束。 i 0,1,..., n 1 S i ( xi ) y i S i ( xi 1 ) y i 1 2、 2(n 1) 个内部插值点导数约束。 i 1,..., n 1 S ' ( xi 0) S ' ( xi 0)
x [ x k , x k 1 ] 时， S ( x) yk k ( x) yk 1 k 1 ( x) mk k ( x) mk 1 k 1 ( x)
其中
k ( x) (1 2 k 1 ( x) (1 2
x xk x xk 1 2 )( ) hk hk x xk 1 x xk 2 )( ) hk hk x xk 1 2 ) hk x xk 2 ) hk
分段低次多项式在分段处具有一定光滑性的函数插值就是模拟以上原理发展起来的它克服了高次多项式插值可能出现的振荡现象具有较好的数值稳定性和收敛性由这种插值过程产生的函数就是多项式样条函数
插值逼近 样条函数解读 PPT
20 输出u, v
分段插值函数
I1 ( x)
I ( x)
I 2 ( x)
I
n
(
x)
x (x0 , x1)
x (x1, x2 ) ...... x (xn1, xn )
其中I j
x xj x j1 x j
y j1
x x j1 x j x j1
zi1
hi 1 3
zi
yi hi
1 1
yi hi 1
(9)
利用Si' (ti )＝Si' -1(ti )，得到
hi zi1 2(hi hi1)zi
hi
zi1
6 hi
(
yi1
yi
)
6 hi 1
(
yi
yi1)
(10)
其中i 1,2,...n -（1 内节点）.
zi 1 6hi
(
x
ti
)3
C(
x
ti
)
D(ti
1
x)
(6)
这里，C 和D是积分常数
由插值条件 Si (ti ) yi 以及 Si (ti 1) yi 1 可以确定C和 D
Si (x)
zi 6hi
(ti
1
x)3
zi 1 6hi
(x
ti )3
(
yi 1 hi
x=linspace(0,2.25,10); y=sqrt(x); xx=linspace(0,2.25,100);yy = spline(x,y,xx);
《数学函数逼近》课件
多项式逼近的核心思想是利用多项式 的性质和算法，寻找一个多项式，使 其在一定范围内能够近似表示目标函 数。
多项式逼近的性质
多项式逼近具有连续性和可微性，这意味着逼近函数在定义域内是连续的 ，并且可以求导。
多项式逼近的精度可以通过增加多项式的项数来提高，但同时也增加了计 算的复杂度。
多项式逼近的收敛性是指当多项式的项数趋于无穷时，逼近函数趋近于目 标函数。收敛速度决定了逼近的精度。
在数值分析中，线性逼近 被广泛应用于求解微分方 程、积分方程等数学问题 。
函数近似
在函数近似中，可以使用 线性逼近来近似复杂的函 数，以便于分析和计算。
数据拟合
在数据拟合中，线性逼近 可以用于拟合数据，并预 测未来的趋势。
03
多项式逼近
多项式逼近的定义
多项式逼近是使用多项式来近似表示 一个函数的方法。它通过选择一个多 项式，使其在某种意义下尽可能接近 给定的函数。
3
在金融领域，插值逼近被用于估计和预测股票价 格、利率等金融变量，例如在期权定价、风险评 估等方面。
05
样条逼近
样条逼近的定义
定义
样条逼近是一种数学方法，通过构建多项式样条来逼近给定的函数。样条是一 种连续、光滑的曲线，能够通过给定的离散数据点拟合出函数的变化趋势。
原理
通过选择合适的基函数（如多项式），并确定它们在离散数据点处的取值，可 以构建出一条连续、光滑的曲线，该曲线能够尽可能地逼近给定的函数。
数学函数逼近
xx年xx月xx日
• 引言 • 线性逼近 • 多项式逼近 • 插值逼近 • 样条逼近 • 傅里叶级数逼近
目录
01
引言
主题介绍
• 数学函数逼近是数学分析的一个重要分支，主要研究如何 用简单函数来近似表示复杂函数。
多项式逼近的性质
多项式逼近具有连续性和可微性，这意味着逼近函数在定义域内是连续的 ，并且可以求导。
多项式逼近的精度可以通过增加多项式的项数来提高，但同时也增加了计 算的复杂度。
多项式逼近的收敛性是指当多项式的项数趋于无穷时，逼近函数趋近于目 标函数。收敛速度决定了逼近的精度。
在数值分析中，线性逼近 被广泛应用于求解微分方 程、积分方程等数学问题 。
函数近似
在函数近似中，可以使用 线性逼近来近似复杂的函 数，以便于分析和计算。
数据拟合
在数据拟合中，线性逼近 可以用于拟合数据，并预 测未来的趋势。
03
多项式逼近
多项式逼近的定义
多项式逼近是使用多项式来近似表示 一个函数的方法。它通过选择一个多 项式，使其在某种意义下尽可能接近 给定的函数。
3
在金融领域，插值逼近被用于估计和预测股票价 格、利率等金融变量，例如在期权定价、风险评 估等方面。
05
样条逼近
样条逼近的定义
定义
样条逼近是一种数学方法，通过构建多项式样条来逼近给定的函数。样条是一 种连续、光滑的曲线，能够通过给定的离散数据点拟合出函数的变化趋势。
原理
通过选择合适的基函数（如多项式），并确定它们在离散数据点处的取值，可 以构建出一条连续、光滑的曲线，该曲线能够尽可能地逼近给定的函数。
数学函数逼近
xx年xx月xx日
• 引言 • 线性逼近 • 多项式逼近 • 插值逼近 • 样条逼近 • 傅里叶级数逼近
目录
01
引言
主题介绍
• 数学函数逼近是数学分析的一个重要分支，主要研究如何 用简单函数来近似表示复杂函数。
函数的插值与最佳平方逼近PPT课件
(2) 令
n
pn(x)
i0
n
fili(x)
i0
fi
n j0
xxj xi xj
ji
(5.1-8)
则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足
插值条件(5.1-1)
n
pn(xj) fili(xj)fj
i0
(j = 0，1，...，n)
称pn(x)为Lagrange插值多项式。
a0 a1(5)a2 (5)2 a3(5)3 35
解之得：a0 = 10，a1 = 5，a2 = – 5，a3 = 2
即有p3(x) = 10 + 5x – 5x2 +2x3
注：(1) 范德蒙矩阵的条件数很大 —— 误差大计算量大
(2) 选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式
10
1. Lagrange插值
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
(5.1-3)
8
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn ≠ 0 即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x) Pn[x] 满足插 值条件(5.1-1)。
证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn }，则pn(x) Pn[x] 表为
由(5.1-1)知
课件：插值与逼近
f(x2) f[x1,x2]
f(x3) f[x2,x3]
¦
¦
f(xn) f[xn-1,xn]
f [x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
¦
f[xn-2,xn-1,xn]
f[x0,x1,x2,…,xn]
• 差商的性质
1. 差商关于所含节点是对称的,即与节点位置无关.
2. f[x0,x1,…,xn]＝
• 逼近的度量方式的要求 ：插值,一致逼近,平方逼近(要求必 须提得合理否则无解或许多解),
• 如何构造逼近函数P(x).
• 逼近的效果.
插值的概念
• 插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值.
• 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件
f [x0 , x1
, xk ] f [x0, x1
, xk2 , xk ] f [x0, x1, xk xk1
, xk1]
称为函数f(x)在点x0,x2,…,xk处的k阶差商.
• 差商表
xi
x0 x1 x2 x3 ¦ xn
f(xi) 一阶差商 二阶差商 … n阶差商
f(x0)
f(x1) f[x0,x1]
而Ln(x)=Pn(x), Lagrange插值问题的解存在且唯一.
称li(x) (i=1,2,…n)为Lagrange插值基函数．称(3.1.2)为
Lagrange插值多项式．
• 记pn+1(x)=(x-x0)(x-x1) …(x-xn)
三次样条插值ppt
f [x, x0, xn1] f [x0, x1, xn ] f [x, x0, x1, xn ](x xn )
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
教学课件：第三章-插值与逼近
最佳一致逼近在数值分析、计算数学等领域有广泛应用，如多项式插值、样条插值 等算法都是基于最佳一致逼近的思想。
最佳平方逼近
最佳平方逼近是指在平方误差意义下， 函数空间中最佳逼近原函数的逼近元 所在的函数类。
最佳平方逼近在数值分析、计算数学 等领域有广泛应用，如多项式插值、 样条插值等算法都是基于最佳平方逼 近的思想。
图像处理
在图像处理中，插值用于 放大缩小图像，而逼近则 用于图像的平滑和锐化。
物理学模拟
在物理模拟中，插值用于 确定未知点的物理量，而 逼近则用于简化复杂的物 理过程。
02 插值方法
线性插值
总结词
线性插值是最简单的插值方法，通过连接两个已知点的直线来估计中间点的值。
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过已知的x和y坐标计算出中间点的值。 它适用于数据点分布较为均匀的情况，但在数据点分布不均或存在弯曲趋势时， 线性插值的误差较大。
随着科学技术的不断发展，插值与逼近的应用领域也 在不断扩大。未来，插值与逼近将会在人工智能、大 数据分析、机器学习等领域发挥更加重要的作用。
随着教育技术的发展，未来插值与逼近的教学将会更 加注重实践和应用。学生可以通过更多的实践项目和 案例分析，深入理解和掌握插值与逼近的概念和方法 ，提高解决实际问题的能力。
06 总结与展望
总结
• 插值与逼近是数学中重要的概念，广泛应用于实际问题的解决。通过学习插值 与逼近，学生可以更好地理解数学在解决实际问题中的应用，提高数学素养和 解决问题的能力。
• 本章主要介绍了线性插值、多项式插值、样条插值和最小二乘法等插值方法， 以及代数逼近、多项式逼近和样条逼近等逼近方法。这些方法在数值分析、计 算物理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
最佳平方逼近
最佳平方逼近是指在平方误差意义下， 函数空间中最佳逼近原函数的逼近元 所在的函数类。
最佳平方逼近在数值分析、计算数学 等领域有广泛应用，如多项式插值、 样条插值等算法都是基于最佳平方逼 近的思想。
图像处理
在图像处理中，插值用于 放大缩小图像，而逼近则 用于图像的平滑和锐化。
物理学模拟
在物理模拟中，插值用于 确定未知点的物理量，而 逼近则用于简化复杂的物 理过程。
02 插值方法
线性插值
总结词
线性插值是最简单的插值方法，通过连接两个已知点的直线来估计中间点的值。
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过已知的x和y坐标计算出中间点的值。 它适用于数据点分布较为均匀的情况，但在数据点分布不均或存在弯曲趋势时， 线性插值的误差较大。
随着科学技术的不断发展，插值与逼近的应用领域也 在不断扩大。未来，插值与逼近将会在人工智能、大 数据分析、机器学习等领域发挥更加重要的作用。
随着教育技术的发展，未来插值与逼近的教学将会更 加注重实践和应用。学生可以通过更多的实践项目和 案例分析，深入理解和掌握插值与逼近的概念和方法 ，提高解决实际问题的能力。
06 总结与展望
总结
• 插值与逼近是数学中重要的概念，广泛应用于实际问题的解决。通过学习插值 与逼近，学生可以更好地理解数学在解决实际问题中的应用，提高数学素养和 解决问题的能力。
• 本章主要介绍了线性插值、多项式插值、样条插值和最小二乘法等插值方法， 以及代数逼近、多项式逼近和样条逼近等逼近方法。这些方法在数值分析、计 算物理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
数据插值、函数逼近问题的计算机求解101页PPT
第8章 数据插值、函数逼近问题
的计算机求解
薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的 MATLAB求解》，清华大学出版社2019
CAI课件开发：刘莹莹、薛定宇
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1
主要内容
插值与数据拟合 样条插值与数值微积分 由已知数据拟合数学模型 信号分析与数字信号处理基础
样条插值的结果与理论之间的比较：
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
13
【例8-5】
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
14
8.1.3 二维网格数据的插值问题
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
15
【例8-6】
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
47
8.3.2 给定函数的连分式展开及基 于连分式的有理近似
连分式的一般形式
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
48
Cauer II 型连分式
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
49
调用Maple的连分式展开函数
94
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
95
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
96
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
97
由已知样本点去计算其他点函数值的方法
称为数据插值，本章介绍了一维数据插值 的方法及 MATLAB 求解，介绍了曲线平滑 处理与基于样本数据的定积分计算还介绍
的计算机求解
薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的 MATLAB求解》，清华大学出版社2019
CAI课件开发：刘莹莹、薛定宇
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
1
主要内容
插值与数据拟合 样条插值与数值微积分 由已知数据拟合数学模型 信号分析与数字信号处理基础
样条插值的结果与理论之间的比较：
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
13
【例8-5】
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
14
8.1.3 二维网格数据的插值问题
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
15
【例8-6】
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
47
8.3.2 给定函数的连分式展开及基 于连分式的有理近似
连分式的一般形式
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
48
Cauer II 型连分式
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
49
调用Maple的连分式展开函数
94
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
95
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
96
2019/9/30
高等应用数学问题的 MATLAB 求解
97
由已知样本点去计算其他点函数值的方法
称为数据插值，本章介绍了一维数据插值 的方法及 MATLAB 求解，介绍了曲线平滑 处理与基于样本数据的定积分计算还介绍
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
四章 多项式插值与数值逼近PPT课件
Ci
ji
ห้องสมุดไป่ตู้
( xi
1
xj )
j 0 j i
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
n
Ln(x) li(x)yi i0
li(x ) (x ( ix x x 0 ) 0 ( ) ( x x i x x 1 1 ) )( ( x x i x x ii 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i1 ) 1 )(( x x i x n x ) n )
( x是) 满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对
x[a存,b在] (，x满) 足[a,b] R n(x)f(x)(x)f(n (n 1)1 ()!)n1(x)
n
其中 n1(x) 。(x且当xi) 在区f间(n[1)a( x,b) ]有上
i0
界M
时，有
n1
Rn(x) (nMn11)!n1(x)
第四章 多项式插值与函数逼近
/*Polynomial Interpolation and Approximation of Functions */
本章主要内容： 1、Lagrange插值方法 2、Newton插值方法 3、Hermite插值方法 4、三次样条插值方法 5、函数逼近:最佳平方逼近和最佳一致逼近
则称 ( 为x ) 在f ( 函x ) 数集合 中关于节点 并称 为被插f值( x函) 数,[a,b]为插值区间，
（*）式为插值条件。
的一x i个为ni 插插0 值值函节x i数点ni ，，0
设 M m a xx i n i 0, m m inx i n i 0
内插法：用 ( x计) 算被插值函数 f在( x点) x处(的m近,M似)值 外插法：用 ( x计) 算被插值函数 f在( x点) x [a,b处],的x 近(似m 值,M )
数值分析方法【ch01】插值与逼近 培训教学课件
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
03
三、径向基函数插值
0 1 概述
三、径向基函数插值
0 1 概述
Hale Waihona Puke 三、径向基函数插值0 1 概述
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
二、多项式插值
0 4 分片线性插值
则Lagrange插值与Newton 插值失效，表现为： 当n增大时，在区间[-5，5]两端附近误差迅速增大(见 图1-2).
图1-2显示了当n=10时Lagrange插值与Newton 插值的效果，明显可以看出，在区间的两端附近插值 曲线出现振荡.
二、多项式插值
解：使用最小二乘方法可以求解.上 面的超定方程组，从而得到
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
常用的范数如下：
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
二、多项式插值
0 2 Lagrange插值
图1-1给出了7次Lagrange插值曲线，该曲线较好地通过了给定的样本数 据(图中的○表示样本数据，曲线为插值曲线).
二、多项式插值
0 3 Newton插值
当我们需要扩充试探空间的时候，之前所有的基函数都没有被保留，这非 常不利于大规模数值计算.克服这一缺陷的有效方法之一是Newton插值.选择 如下形式的试探空间
三次样条曲线.ppt
• 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。1858 年利用椭圆函数首先得出五次 方程的解。1873年证明了自然 对数的底e的超越性。在现代数 学各分支中以他姓氏命名的概 念（表示某种对称性）很多， 如“Hermite二次型”、 “Hermte算子”等。
2.1 Hermite 基 函 数
打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上
描线：用“压子”使“样条”通过型 值点
放样现场
模线的形状特征
分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本 质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同 光滑：不象每两点之间连线那样有明显的棱角。数 学本质是整条曲线具有连续的导函数
模线的力学实质
1 M(x) 欧拉公式 ρ(x) EJ
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g 表达式复杂,
或无封闭形式,
或未知。
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f (x j ) y j ( j 0,1, n)
再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
两种插值方式的图例
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
2.1 Hermite 基 函 数
打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上
描线：用“压子”使“样条”通过型 值点
放样现场
模线的形状特征
分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本 质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同 光滑：不象每两点之间连线那样有明显的棱角。数 学本质是整条曲线具有连续的导函数
模线的力学实质
1 M(x) 欧拉公式 ρ(x) EJ
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g 表达式复杂,
或无封闭形式,
或未知。
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f (x j ) y j ( j 0,1, n)
再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
两种插值方式的图例
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
【全版】数值分析课件第四章多项式插值与函数逼近2推荐PPT
全导数的hermite插值多项式的几何意义如n1时hermite插值多项式二全导数的hermite插值多项式的存在唯一性和余项满足前述插值条件的不超过2n1次的插值多因此多项式有n1个二重零点设被插值函数在区间ab上有2n1阶连续导关于互异节点的满足前述插值条件的不超过2n1次的插值多项式则对成立证明方法同完全类似应用hermite插值计算的近似值
1(13x)(x1)2(x2)2 4
1(x)[12(x1)(1 101 12)][((x 1 0 0))((1x22))]2
x2(x2)2
2(x)[12(x2)(2 10211)][((x2 00))((2x11))]2
1(73x)x2(x1)2 4
0(x)(x0 )l0 2(x)1 4x (x 1 )2(x2 )2
如n=1时Hermite插值多项式 H 3 (为x )
H3(x)f(x0)12xx00xx1xx0xx112f(x1)12xx11xx0xx1xx002 f(x0)(xx0)xx0xx112f(x1)(xx1)xx1xx002
全导数的Hermite插值多项式的几何意义
H9(x) f(x)
x0
x1
满足如下的2n+2个条件
H 2n1(xi)f(xi) H 2 n1(xi)f(xi)
i0,1,2, ,n
称上述问题为全导数的Hermite插值问题
一、全导数的Hermite插值多项式的构造
思想 类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构 造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。
并推导其插值余项（已知 f ( x具) 有4阶连续导数）。
解：首先构造满足插值条件 H 3 (x i)f(x i)的i多 项0 ,式1 ,2
1(13x)(x1)2(x2)2 4
1(x)[12(x1)(1 101 12)][((x 1 0 0))((1x22))]2
x2(x2)2
2(x)[12(x2)(2 10211)][((x2 00))((2x11))]2
1(73x)x2(x1)2 4
0(x)(x0 )l0 2(x)1 4x (x 1 )2(x2 )2
如n=1时Hermite插值多项式 H 3 (为x )
H3(x)f(x0)12xx00xx1xx0xx112f(x1)12xx11xx0xx1xx002 f(x0)(xx0)xx0xx112f(x1)(xx1)xx1xx002
全导数的Hermite插值多项式的几何意义
H9(x) f(x)
x0
x1
满足如下的2n+2个条件
H 2n1(xi)f(xi) H 2 n1(xi)f(xi)
i0,1,2, ,n
称上述问题为全导数的Hermite插值问题
一、全导数的Hermite插值多项式的构造
思想 类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构 造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。
并推导其插值余项（已知 f ( x具) 有4阶连续导数）。
解：首先构造满足插值条件 H 3 (x i)f(x i)的i多 项0 ,式1 ,2
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首先，在每个小区间[t 0, t1),[t1, t2),.....,[t n -1, tn ), S(x) 是三次多项式。 设Si (x) 表示区间[ti, ti 1)上的三次多项式，则
S0 ( x)
x [t 0,t1)
S(x)
S1(x) x [t1,t2)
(2)
Sn -1(x) x [t n -1,tn )
20 输出u, v
分段插值函数
I1 ( x)
I ( x)
I 2 ( x)
I
n
(
x)
x (x0 , x1)
x (x1, x2 ) ...... x (xn1, xn )
其中I j
x xj x j1 x j
y j1
x x j1 x j x j1
由S,S', and S''的整体连续性能唯一确定样条S(x)吗？
首先我们可以看到确定三次样条S(x)，共有4n个待定系数。 再看条件个数
每个小区间[ti, ti 1), 有两个插值条件 S(ti ) yi , S(ti 1) yi 1, 共有2n个条件（包含连续性）
S'(x) 在每一个内节点连续，即Si' -1(ti ) Si' (ti ), i 1,....., n -1 共有 n -1条件 同样S'' 在内节点连续也给了n -1条件， 这样，总共有4n - 2 个条件，4n个待定元 从而有两个自由变量。
有时，我们将左边第一个区间扩大为：(-, t1) 右边第一个区间扩大为：[t n -1,) 这样，对任意实数t ,均可用样条估值。
可以看到，一次样条函数具有连续性。
三次样条（立方样条）
最常用的是三次样条函数
给定如下数据表：
x y
t0 y0
t1 y1
tn yn
(1)
构造满足数据表的三次样条函数
分段三次Hermite插值
三次Hermite插值 x [x j1, x j ]时
H3 (x) j1(x) y j1 j (x) y j j1(x) f j1 j (x) f j
令
A1
j 1 (u )
(1
2
u
x j1 hj
u )(
xj hj
k 0为给定的整数。在节点 A t 0, t1,..., tn处的 k 样条函数 S (x)满足 1.在每个区间l [ti -1, ti ), S (x)是次数不超过k的多项式； 2.在整个区间[t 0,tn ]S(x) 具有(k -1)次连续导数。 因此，S (x)是k次分段多项式，整体具有(k -1)次连续导数。
下面我们讨论三次样条的求法。
分段多项式 Si -1 所在的区间为 [ti 1, ti )， Si 所在的区间为 [ti, ti 1),由插值条件可得： Si -1(ti ) yi Si (ti ) (1 i n -1) (3) 这时 S已经具有整体连续性
由三次样条的定义, S' and S''在整体上存在且连续
现在我们推导在小区间[ti, ti 1]上Si (x)的表达式
首先，设 zi S''(ti ). 显然, zi，1 i n -1存在，并且
xlimti S''(x) zi xlimti S''(x) (1 i n -1) (4)
又 Si (x)在区间[ti, ti 1]是3次多项式, 所以Si'' (x)是一次多项式（直线） 并且又
yj
y j1 (x x j1)(y j y j1) /(x j x j1)
缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在
h
max{h
1 jn
j
xj
x j1}足够小才能较好的逼近。
分段三次Hermite插值
上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如 果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系 数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。
零次样条
0次样条就是每个小区间是常数（楼梯），整体上没有连续性， 形式如下：
S0(x) c0 x [t 0,t1)
S(x)
S1(x) c1 x [t1,t2)
Sn -1(x) cn 1 x [t n -1,tn)
一次样条
一次样条表示如下：
S(x)
S0(x) a0x b0 x [t 0,t1)
S1(x) a1x b1 x [t1,t2)
Sn -1(x) an 1x bn 1 x [t n -1,tn)
一次样条的几何图形就是折线。
任意给定t [t0 ,t1],都可以用这个样条估值。
首先判断t的区间，然后根据该段的直线求值。
)2
A2
j (u)
(1
2
u
xj hj
u )(
x j1 hj
)2
B1
j 1 (u )
(u
u x j1)(
xj hj
)2
B2
j
(u)
(u
xj
u )(
xj hj
)2
样条函数插值
所谓的样条函数，是指满足一定的连续条件的分段多项式。
假定节点为n 1个点 t0, t1,..., tn 满足t0 t1 tn . （有时，也称为网格点）
zi S''(ti )， zi 1 S''(ti 1)
这是因为
y
x xj x j1 x j
y j1
x x j1 x j x j1
yj
y j1 (x x j1)(y j y j1) /(x j x j1)
分段线性插值
10 v y j1 (u x j1)(y j y j1) /(x j x j1)
插值逼近 ---样条函数
4.4.1 分段插值
已知（x j , y j）, j 0,1,..., n, 判断x [x j1, x j ] 则f (x)用[x j1, x j ]上的线性插值函数表示 。
分段线性插值
一般的，x j1 u x j ,则线性插值函数为
u y j1 (u x j1)(y j y j1) /(x j x j1)