插值逼近 样条函数解读 PPT

分段三次Hermite插值
三次Hermite插值 x [x j1, x j ]时
H3 (x) j1(x) y j1 j (x) y j j1(x) f j1 j (x) f j
令
A1


j 1 (u )

(1
2
u
x j1 hj
u )(
xj hj
有时，我们将左边第一个区间扩大为：(-, t1) 右边第一个区间扩大为：[t n -1,) 这样，对任意实数t ,均可用样条估值。
可以看到，一次样条函数具有连续性。
三次样条（立方样条）
最常用的是三次样条函数
给定如下数据表：
x y
t0 y0
t1 y1
tn yn
(1)
构造满足数据表的三次样条函数



S0(x) a0x b0 x [t 0,t1)
S1(x) a1x b1 x [t1,t2)


Sn -1(x) an 1x bn 1 x [t n -1,tn)
一次样条的几何图形就是折线。
任意给定t [t0 ,t1],都可以用这个样条估值。
首先判断t的区间，然后根据该段的直线求值。
这是因为
y
x xj x j1 x j
y j1
x x j1 x j x j1
yj
y j1 (x x j1)(y j y j1) /(x j x j1)
分段线性插值
10 v y j1 (u x j1)(y j y j1) /(x j x j1)
零次样条
0次样条就是每个小区间是常数（楼梯），整体上没有连续性， 形式如下：

S0(x) c0 x [t 0,t1)
S(x)



S1(x) c1 x [t1,t2)


Sn -1(x) cn 1 x [t n -1,tn)
一次样条
一次样条表示如下：


S(x)
yj
y j1 (x x j1)(y j y j1) /(x j x j1)
缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在
h

max{h
1 jn
j

xj

x j1}足够小才能较好的逼近。
分段三次Hermite插值
上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如 果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系 数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。
插值逼近 ---样条函数
4.4.1 分段插值
已知（x j , y j）, j 0,1,..., n, 判断x [x j1, x j ] 则f (x)用[x j1, x j ]上的线性插值函数表示 。
分段线性插值
一般的，x j1 u x j ,则线性插值函数为
u y j1 (u x j1)(y j y j1) /(x j x j1)
)2
A2


jຫໍສະໝຸດ Baidu(u)

(1
2
u
xj hj
u )(
x j1 hj
)2
B1


j 1 (u )

(u

u x j1)(
xj hj
)2
B2


j
(u)

(u

xj
u )(
xj hj
)2
样条函数插值
所谓的样条函数，是指满足一定的连续条件的分段多项式。
假定节点为n 1个点 t0, t1,..., tn 满足t0 t1 tn . （有时，也称为网格点）
zi S''(ti )， zi 1 S''(ti 1)
k 0为给定的整数。在节点 A t 0, t1,..., tn处的 k 样条函数 S (x)满足 1.在每个区间l [ti -1, ti ), S (x)是次数不超过k的多项式； 2.在整个区间[t 0,tn ]S(x) 具有(k -1)次连续导数。 因此，S (x)是k次分段多项式，整体具有(k -1)次连续导数。
首先，在每个小区间[t 0, t1),[t1, t2),.....,[t n -1, tn ), S(x) 是三次多项式。 设Si (x) 表示区间[ti, ti 1)上的三次多项式，则

S0 ( x)
x [t 0,t1)
S(x)



S1(x) x [t1,t2)


(2)
Sn -1(x) x [t n -1,tn )
20 输出u, v
分段插值函数

I1 ( x)
I ( x)


I 2 ( x)


I
n
(
x)
x (x0 , x1)
x (x1, x2 ) ...... x (xn1, xn )
其中I j

x xj x j1 x j
y j1
x x j1 x j x j1
现在我们推导在小区间[ti, ti 1]上Si (x)的表达式
首先，设 zi S''(ti ). 显然, zi，1 i n -1存在，并且
xlimti S''(x) zi xlimti S''(x) (1 i n -1) (4)
又 Si (x)在区间[ti, ti 1]是3次多项式, 所以Si'' (x)是一次多项式（直线） 并且又
由S,S', and S''的整体连续性能唯一确定样条S(x)吗？
首先我们可以看到确定三次样条S(x)，共有4n个待定系数。 再看条件个数
每个小区间[ti, ti 1), 有两个插值条件 S(ti ) yi , S(ti 1) yi 1, 共有2n个条件（包含连续性）
S'(x) 在每一个内节点连续，即Si' -1(ti ) Si' (ti ), i 1,....., n -1 共有 n -1条件 同样S'' 在内节点连续也给了n -1条件， 这样，总共有4n - 2 个条件，4n个待定元 从而有两个自由变量。
下面我们讨论三次样条的求法。
分段多项式 Si -1 所在的区间为 [ti 1, ti )， Si 所在的区间为 [ti, ti 1),由插值条件可得： Si -1(ti ) yi Si (ti ) (1 i n -1) (3) 这时 S已经具有整体连续性
由三次样条的定义, S' and S''在整体上存在且连续