圆锥曲线中轨迹方程的求法

圆锥曲线中轨迹方程的求法
临沂——李宝峰
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.
一：直接法：
是求轨迹方程最基本的方法，如果动点P 满足的等量关系易于建立，可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，构成F （x ，y ）=0，即可得到轨迹方程。

一般有设点，列式，代换，化简，证明（可省略）五个步骤。

但要注意“挖”与“补”。

直接根据等量关系式建立方程.
例1已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA
PB x =·，则点P 的轨迹是（） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线
解析：由题知(2)PA x y =---，
，(3)PB x y =--，， 由2PA
PB x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选Ｄ．
例1：两个定点的距离为6，点M 到两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹。

分析：根据题意建立合适的坐标系，列出等量关系即可。

二：定义法（待定系数法）:适用于根据条件可直接判断轨迹是什么曲线，且知道其方程形式的情形（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），运用解析几何中定义,则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

，例2在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．
解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为
重心，则有2
39263
BM CM +=⨯=．
M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，
其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．
∴所求ABC △的重心的轨迹方程为
22
1(0)16925
x y y +=≠． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.
例2：已知:⊙c 1（x+3）2+y 2=1和⊙c 2（x-3）2+y 2=9,动圆M 与⊙c 1,⊙c 2相外切，求动圆 圆心M 的轨迹方程。

三：相关点法（代入法）：若所求动点随另一动点（称为相关点，该点坐标满足某已知曲线方程）有规律运动，根据条件找出它们坐标间的关系，用动点坐标表示相关点坐标，由相关点坐标满足的方程可求得动点轨迹方程。

本法关键找出动点与相关点间的坐标关系。

即设出
动点P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

27.（安徽理21）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2
=上运动，点Q 满足
QA BQ λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,
求点P 的轨迹方程。

本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由MP QM λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设
.
)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①
再设
),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由
解得⎩⎨
⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②
将①式代入②式，消去
y ，得
⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2
211λλλλλλy x y x x ③
又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入2
11x y =，得
.
012),1(,0.
0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,
))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ
故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y
例3已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，
顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G
的轨迹方程．
解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2
00
y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，
即所求曲线方程是24
34(0)3
y x x y =++≠．
例3：已知线段ＡＢ的端点Ｂ（４,３），端点Ａ在圆（x ＋１）2+y 2=４上运动，求线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程。

四：参数法：在求轨迹方程时，变量x ，y 间的关系不易得到，可通过分析动点的变化规律及特点，寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参数用来表示动点的坐标x ，y ，消去参数即可。

常见的参数有角度，直线的斜率，点的坐标，线段的长度等。

例4：设点A ，Ｂ为抛物线y 2=４px(x>0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB,OM ⊥AB,垂足为M ，求点M 的轨迹方程。

分析:点A,B 坐标满足抛物线的方程，又OA ⊥OB ，可设OA 的斜率k,作为参数，可得斜率间的关系，又OM ⊥AB ，也可以得到斜率间的关系，消参可得点M 轨迹方程。

例4已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使有向线段OP OP '，
满足4OP
OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．
设点(0)(0)P t t ≠，，
则由题意，得40P t ⎛⎫
' ⎪⎝⎭
，．
由点斜式得直线AP A P ''
，的方程分别为
4
()()t y x a y x a a ta
=+=--，．
两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．
这就是所求点M 的轨迹方程．
评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.
五：交轨法：求两动曲线交点的轨迹问题时，可将适合于每一条件的轨迹方程做出，联立方程，通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

例5：如图，垂直于x 轴的直线交曲线22a x －2
2
b y ＝1于M,N 两点，A 1，A 2为双曲线顶点，
求直线A 1M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程。

注：求轨迹方程注意参数范围对方程的影响，注意方程的完备性与纯粹性及轨迹与轨迹方程的区别。

过抛物线y 2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA,OB,求抛物线的
顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。

六：点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A ()y x 1
1
, ,B ()y x 2
2
,
并代入圆锥曲线方程，然后作差求出曲线的轨迹方程。

用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。

交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x ’=f(x,y), y ’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等.求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是
)0(42>=p px y
什么。