平方根与算术平方根的区别
平方根与算数平方根——区别与联系
解：
x 25
2
解：
x 81 0
2 2
x 25 x 5
x 81 x 81 x 9
2.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由 120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 多少？
解：设每块地砖的边长为a米。
答：每块地砖的边长为0.3米。
在实际问题 中，利用平方 根的知识去解 决问题时，一 定要注意未知 数的实际意义！
0的平方根也是0 没有平方根 开平方
负 数
求法 表 示
被开方 数a的取 值范围
Hale Waihona Puke a，其中a是被开方数 ，2是根指数（省略）
a≥0
a≥0
例题解析
1、求下列各式的X。
本题实际是利用了平 方根的定义解方程，为 我们后续学习开平方法 解一元二次方程内容奠 定了基础！
(1) x 25
2
(2) x 81 0
负数没有算术平方根.
平方根的概念及性质
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数 叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
即：a的平方根表示为± 其中a叫做被开方数。
a （读做“正、负根号a” ）
练一练：口算下列各数的平方根： 正数有正负两个平方根,它们互为相反数; 性质 (1)9 (2)1.21 (3) 0 (4) -3 0的平方根是0;
负数没有平方根.
归纳总结：平方根和算术平方根的异同点。
算术平方根
定 义
如果一个正数的平方等于a，那么 这个正数就叫a的算术平方根。
平方根
如果一个数的平方等于a，那么 这个数就叫a的平方根。
性 质
正 有一个算术平方根并且还是正 有两个平方根，它们互为相 反数 数 数 0
平方根与算术平方根的区别
平方根和算术平方根的区别(1)．定义不同．如果x2 =a,那么x叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根．一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．(2)表示方法不同．正数a的平方根，表示为 a．正数a的算术平方根为a．(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1．2．平方根和算术平方根的联系．(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根．(3)零的平方根和零的算术平方根都是零．平方根、算术平方根指导老师：锋行天下班级__________ 姓名___________1、64的平方根记作，等于，即 = ；64的算术平方根记作，等于，即 = ；2、25的平方根记作，等于，即 = ；25的算术平方根记作，等于，即 = ；3、36的平方根记作，等于，即 = ；36的算术平方根记作，等于，即 = ；4、16的平方根记作，等于，即 = ；16的算术平方根记作，等于，即 = ；5、15的平方根记作，等于，即 = ；15的算术平方根记作，等于，即 = ；6、9的平方根记作，等于，即 = ；9的算术平方根记作，等于，即 = ；7、4的平方根记作，等于，即 = ；4的算术平方根记作，等于，即 = ；8、2的平方根记作，等于，即 = ；2的算术平方根记作，等于，即 = ；9、1的平方根记作，等于，即 = ；1的算术平方根记作，等于，即 = ；10、0.81的平方根记作，等于，即 = ；0.81的算术平方根记作，等于，即 = ；11、0.64的平方根记作，等于，即 = ；0.64的算术平方根记作，等于，即 = ；12、0.49的平方根记作，等于，即 = ；0.49的算术平方根记作，等于，即 = ；13、0.36的平方根记作，等于，即 = ；0.36的算术平方根记作，等于，即 = ；14、0.25的平方根记作，等于，即 = ；0.25的算术平方根记作，等于，即 = ；15、0.16的平方根记作，等于，即= ；0.16的算术平方根记作，等于，即= ；16、0.09的平方根记作，等于，即= ；0.09的算术平方根记作，等于，即= ；17、0.04的平方根记作，等于，即= ；0.04的算术平方根记作，等于，即= ；18、0.01的平方根记作，等于，即= ；0.01的算术平方根记作，等于，即= ；19、0的平方根记作，等于，即= ；0的算术平方根记作，等于，即= ；20、-1的平方根存在吗？（填“存在”或“不存在”）；-4呢？-9？-16？-25？……这是为什么呢？答：原来，所有的数，它们的平方都是，反过来也就是说：比小的数没有平方根，所以我们说：“一个正数有个平方根；0只有个平方根，它是0本身；数没有平方根。
平方根与算术平方根
它们互为相反数
• 0的平方根是—— 0 • 负数的平方根—— 负数没有平方根
3．例题解析 例2 判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的算术平方根是7； （2）2是4的平方根；
（3）25的平方根是-5；
（4）64的平方根是 8 ；
（5）-16的平方根是-4．
解 : 设长方形纸片的长为3xcm, 宽为2xcm. 根据边长与面积的关系得:
3x 2 x 300 2 6 x 300 2 x 50
由3 50cm.
50
答:不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形 纸片裁出符合要求的长方形纸片.
36 36 36
的值是————
的算术平方根等于______ 的平方根等于______
算术平方根等于其本身的数是————
平方根等于其本身的数是————
小丽想用一块面积为400cm2 正方形纸片,沿着边的方向裁出一块 面积为300cm2的长方形纸片用来绘 画，使它的长与宽之比为3:2。 不知能否裁出来,正在发愁。小明见 了说“别发愁，一定能用一块面积大 的纸片裁出一块面积小的纸片”，你 同意小明的说法吗？ 小丽能用这块 纸片裁出符合要求的纸片吗？
算术平方根与平方根的联系
, a的取值范围 a中 , a 的取值范围
算术平方根与平方根的区别
一、书写格式
正数a的算术平方根可以表示用 a 表示； 正数a的负的平方根，可以用符号 a 表示， 正数a的平方根用符号 a 表示．
二、取值
• 正数的算术平方根是——正数 • 0的算术平方根是—— 0 • 负数的算术平方根—— 负数没有算术平方根
1的平方根是1对不对
1的平方根是1对不对
这句话是不对的，1的算术平方根是1，1的平方根是±1。
平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根，一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。
平方根和算术平方根的区别：
(1)定义不同：
如果x2=a,那么x叫做a的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
如果x2=a，并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根。
一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。
(2)表示方法不同：
正数a的平方根，表示为±√a；正数a的算术平方根为√a。
(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1。
平方根和算术平方根的联系：
(1)二者有着包含关系：
平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。
(2)存在条件相同.非负数才有平方根和算术平方根。
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零。
第二章平方根、算术平方根和立方根
第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。
2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。
②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。
③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。
④写法不同。
在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2） 联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。
②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有 （ a ）2＝ a 2 。
3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42． （2014 。
东营 ） 的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港） 计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。
厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（ 典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门 ）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（ ） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下 列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数的平 方根有两个，B. 一个有理数的 立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（ ） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是 ）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州） 若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系
解方程：
（1）（x-1）3 125 （4）2（7 x 2）3 125 0
（2）23x 12 8
3
（5） 4x2 25
（3）（x 2）2 3 (6)9x2 49 0
填空题
1.当x X〈时0，.52x-1没有平方根 2.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
0,1
0
0,1,-1
a
a2 a = 0
a
2 a a
a= 1 ,x=
4
3.若 x 2 2，则2x 5的平方根———±——3———
4.化简（a 1）（2 a 1）=——a——-1————
(3 )2
π-3
————————
已知 x y 4 x 2y 5 0，求x，y的值
问题：90的整数部分是什么？小 数部分是什么？
算术平方根平方根立方根表示方法负数正数一个没有互为相反数两个没有正数一个负数一个求一个数的平方根的运算叫开平方求一个数的立方根的运算叫开立方是本身011在求立方根时被开方数越大开立方的结果也越大2开立方前被开方数中小数点每向右或左移动三位开方后立方根中小数点向右或左移动一位
算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系(课堂PPT)
根号a”
2
立方根的定义. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个
数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省 略).
算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2
=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ 做被开方数
a
”，读作“ 根号 a ”。a叫
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
1
平方根定义
一般的，如果一个数X的平方等于a，即
x2=a那么这个数X叫做a的平方根（也叫
3
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根
的运算叫开平方 的运算叫开立方
10
3.说出下列各式的值：
（1） - 81 9 （4） 3 125 5
（2） （-25）2 2 5 （5）-3 0.027 0 .3
（ 3） 25 36
5 （6） - 3 125 5
6
82
11
不 要 遗 漏 哦！
算术平方根和平方根的区别例题
算术平方根和平方根的区别例题算术平方根和平方根的区别例题一、引言在数学中，我们经常会碰到算术平方根和平方根这两个概念。
但是很多人可能会混淆它们之间的区别。
今天，我们就来深入探讨一下算术平方根和平方根的区别，并通过例题来加深理解。
二、算术平方根和平方根的定义1. 算术平方根的定义算术平方根是指对于一个非负数a，其算术平方根记作√a，即一个非负数b，使得b²=a。
√16=4，因为4²=16。
2. 平方根的定义平方根是指对于一个数x，若存在一个数y，使得y²=x，则y称为x 的平方根。
与算术平方根不同的是，平方根可以是负数。
-3的平方是9，所以-3是9的平方根。
从上面的定义可以看出，算术平方根强调的是非负数的平方根，而平方根包括了正负数的情况。
这也是它们最本质的区别所在。
三、例题分析为了更好地理解算术平方根和平方根的区别，我们来看几个例题：1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) 9b) 16c) -252. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4和-4b) 25和-25c) 36和-36四、解题过程及讨论1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) √9=3，因为3²=9；9的平方根为±3，因为3²=9，(-3)²=9，所以9的平方根为±3。
b) √16=4，因为4²=16；16的平方根为±4。
c) -25的算术平方根不存在，因为算术平方根要求被开方数为非负数；-25的平方根为±5，因为5²=25，(-5)²=25，所以-25的平方根为±5。
2. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4的算术平方根为2，平方根为±2，-4的算术平方根不存在，平方根为±2。
可见，当涉及到正负数的情况时，平方根会比算术平方根多出来一个负数解。
算术平方根与平方根的概念及性质
第六章实数专题6 算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0.2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数.正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。
①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0.3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。
4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向左（或向右）移动1b =10b 0.1b =.5.算术平方根的双重非负性满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。
6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥07.两个结论：①2a = (a ≥0)a =. 典例精析例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；②2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②124；③()232---；④4x【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同.【解】（1）因为9²=81，所以；②因为2525636⎛⎫= ⎪⎝⎭56③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-；④因为()22x x =-==x（2）①因为()20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924⎛⎫±= ⎪⎝⎭，所以32==±；③因为()2525±=，5=±；④因为()()2222224x x x x x x x x x ±==⋅=⋅⋅⋅=，2x ±.【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏.拓展与变式1 ___________.拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算例2 已知：（m +1）²，求式子3n m -的值.【分析】两个非负数的和为0，则这两个数均为0.【解】依题意得1030m n +=⎧⎨-=⎩解得13m n =-⎧⎨=⎩，所以3n m -=()331--=4 【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.拓展与变式5 已知：()21m -=m +n 的值为_________.拓展与变式6 0=，a 的值为___________拓展与变式7 已知：()2210m t n --=，代数式2m n t ++的值为_______.【反思】①学过的具有非负性的式子有20a ≥，0a ≥0≥（a ≥0）.②学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例3 ）A .3与4之间B . 4与5之间C . 5与6之间D . 6与7之间【解】因为20＜30＜36且a ＞b ≥00>≥.所以答案为C【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数.拓展与变式8 1________3.拓展与变式9 a ，小数部分为b ，求a 、b 的值【反思】若1m m <+（m 为非负整数）m -m . 专题突破1.（1）x 是81的算术平方根，那么x 的算术平方根是（ ）A .3±B .9±C .3D .9（24±34132=+；④22，其中正确的个数是（ ）A .0B .1C .2D .32.如图6-1所示，点A ，B ，C ，D ，O 分别表示的数是1，2，3，4，0.图6-1（1）点P 从O 2秒后，点P 在线段______上；（2）点P 从B 1秒后，点P 在线段______上.3.a ，b 满足关系式b ab 的平方根.4.解方程：（1）x ²=4； （2）（a -1）²=4； （3）（x -2）²-1=4。
平方根与算术平方根
平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3.2.算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.2、区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。
练 习1．9的平方根是（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．下列说法中正确的是（ ）A ．任何数都有平方根B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身C ．只有正数才有算术平方根D ．不是正数没有平方根3．下列各式正确的是（ ）A ．1691=45B ．414=221 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5．下列各式无意义的是（ ）A ．－5B ．25-C ．51- D ．2)5(- 6．3－2的算术平方根是（ ） A ．61 B ．31C ．3D ．6 7．（－23）2的平方根是（ ） A ．±8 B ．8 C ．－8D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．非正数9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（ ）A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：（1）∵42=16，∴16的算术平方根是 ，用符号表示出来为 ； （2）∵94)32(2=，∴94的算术平方根是 ；用符号表示出来为 ； （3）∵( )2=6，∴6的算术平方根是 .11．若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.12．8116的平方根是____________，（21-）2的算术平方根是____________． 13．y =x x -+-33+2，则x =__________，y =__________．14．一个数的算术平方根是它本身，这个数是______________．15．252－242的平方根是__________，0.04的负的平方根是____________．16．若2-a +|b －3|=0，则a +b －5=____________．17．若4x 2=9，则x =____________．18．81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19． (－π)2的算术平方根为_____.20．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.1)2； (2)(－3.5)2； (4)241.21、求各式的值－01.0 2)5(- 610-22、计算32÷（－3）2+|－61|×（－6）+49．23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2－36=0； (2) (x +1)2－81=0；24、12-x +（y +2）2=0，求x －3+y 3的值．25、 |2a －5|与2+b 互为相反数，求ab 的值．26、已知x ，y 满足x x y 211121-+-=+3，求x y27、请你在数轴上画出表示5的点，并简要说出你的画法．。
11的算术平方根是多少
11的算术平方根是多少
11的算术平方根为正根号11，√11。
一般地说，若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根。
与平方根的关系：正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
负数没有算术平方根。
算术平方根和平方根区别
1、定义不同：
⑴绝大部分地，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a 的算术平方根（arithmetic square root）。
⑵一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根（square root）。
这就是说，如果，那么x叫做a的平方根。
2、表示方法不同：
⑴a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数（radicand）。
⑵a的平方根记为，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数。
3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上“±”。
这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。
零只有一个平方根。
算术平方根和平方根联系
1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。
2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。
3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。
第二章平方根、算术平方根和立方根
第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。
2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。
②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。
③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。
④写法不同。
在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2） 联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。
②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有 （ a ）2＝ a 2 。
3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42． （2014 。
东营 ） 的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港） 计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。
厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（ 典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门 ）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（ ） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下 列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数的平 方根有两个，B. 一个有理数的 立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（ ） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是 ）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州） 若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。
探讨平方根、算术平方根、立方根的联系与区别
解：由题意得AC＝5.5米， BC＝4.5米，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB2=AC2-BC2=-4.52=10
AB= 10 米 所以帐篷支撑竿的高是 10 米
做一做：
2、求x的值
3 x 12 363 解： x 12 121
x 1 121
x 1 11 或 x 1 11
平方根包含算术平方根， 算术平方根 是平方根的一种.
只有非负数才有平方根和算术平方根.
2.平方根、算术平方根、立方根的联系：
0的平方根是0 0的算术平方根是0 0的立方根是0
区别 1. 定义不同：
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根.
一般地，如果一个数x 的平方等于a，即 x2＝a， 那么这个数x 叫做a 的平方根（也叫做二次方根).
6.等于它本身的数不同：
算术平方根等于它本身的数是0、1 平方根等于它本身的数是0 立方根等于它本身的数是0、1、-1
7.探索发现的公式不同：
灵活运用公式：
a2 | a|
( a)2 a
, 3
3a a
3 a3 a, 3 a 3 a；
解决问题：
1、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子 AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐 篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多
北师大版数学八年级上册
探讨算术平方根、平方根、 立方根的联系与区别
问题引入：
1、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一 根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地 面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，
则帐篷支撑竿的高是多少米？
平方根算术平方根和立方根
4.已知2a ? 1和3a ? 6是一个正数的两个 平方根.试求出a的值以及这个正数 .
5.已知 x ? 4? | y ? 7 |? 0，试求代数式 2x ? 3 y ? xy的值.
立方根
1.定义：如果一个数的立 方等于 a ,那么 这个数叫做 a的立方根；
表示方法：3 a 立方根的特性：一个正 数有一个正的立
平方根和算术平方根
定义： 1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么
这个数叫做a的平方根； 表示方法：? a
2. 算术平方根：正数的正平方根和0 的平方 根，叫做算术平方根；
表示方法： a
平方根和算术平方根的区别与联系
平方根
算术平方根
个数
正数有两个平方根， 它们互为相反数；0的 平方根是0.负数没有 平方根.
方根小.( ) (4).若x的立方根是它本身，则 x的值
? 1或0.( )
方根；一个负数有一个 负的立方 根；0的立方根是 0；
典型例题
1.求下列各数的立方根：
8
- 27
0 （- 8）2
-8
8 -
125Leabharlann 2.计算下列各式的值 3 - 64 ? 64 3 27 - 9
3.判断正误
(1).有理数一定有立方根 .( ) (2). ? 27的立方根是 ? 3.( ) (3).一个数的立方根总比这 个数的平
正数的算术平方根是正数； 0的算术平方根是0.负数
没有算术平方根.
表示 方法
?a
a
联系
被开方数都必须是非负数；
典型例题
1.求下列各数的平方根和算术平方根
2.计算下列各式
? 36
49
(? 5)2 ? (? 7)2 ? 121
第一讲 平方根与算术平方根
是 49 的平方根，即±
都有意义，则 a 的值是(
(A)a≥0 (B)a≤0 4、求下列各式 x 中的取值范围： (1) x 1 (2)
(C)a＝0
3 x 2x 4
(3) x 2 1
(4) 9 x 2 5、求下列各式的平方根： （1）
(5) 3 x
x3
(6) x 4
-2-
3. 性质： （1） ( a ) 2 a (a 0) （2） a 2 a ：①当 a 0 时， a 2 a ； ②当 a＜0 时， a 2 a 。 4、开平方：①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数； ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算. 例 6、求下列各数的平方根： （1）121； （2）
5 3 x 18
144 ； 49
（2） 10 12 ；
（3）
1 ； 16
（4） 17 2 152
6、求 x 值： ① x 2 24 25 ② 4 x 2 25 ③ ( x 0.7 ) 3 0.027
B 组：能力提升
1、若数轴上的点 A，B，C，D 表示数－2，1，2，3，则表示 (A) AB 上 (B) BC 上 (C) CD 上 (D) OB 上 的点 P 应在线段( ).
3
x x 有意义，则 x 1 的值是
；
；若
x
1 1 ＋ x 有意义，则 8 8
x=
5． （ 2012 江苏）已知 x 、 y 都是实数，且 y 是 . 6. .若 4a 1 有意义，则 a 能取得最小整数是（ A、0 B、1 C、 5 D、 4
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1．平方根和算术平方根的区别．
(1)．定义不同．如果x2 =a,那么x叫做a的平方根．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根．
一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．
(2)表示方法不同．正数a的平方根，表示为 a．正数a的算术平方根为a．
(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1．
2．平方根和算术平方根的联系．
(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．
(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根．
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零．。