离散型随机过程的数字特征
第87炼离散型随机变量分布列与数字特征
第87炼离散型随机变量分布列与数字特征离散型随机变量的分布列（probability mass function, PMF）指的是对于每个可能的取值，该取值发生的概率。
设离散型随机变量X的取值为x₁,x₂,⋯,xn，其对应的概率为p₁,p₂,⋯,pn，则X的分布列可以表示为：X ， x₁ x₂⋯ xnP(X) ， p₁ p₂⋯ pn数学特征是用来度量和描述随机变量的数字。
对于离散型随机变量，常用的数学特征有：1. 期望（mean）：用来度量离散型随机变量的平均值，表示为E(X)或μ。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过对每个可能取值x乘以其发生的概率的加权平均得到。
μ = E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ⋯ + xnpn2. 方差（variance）：用来衡量离散型随机变量的离散程度或波动程度，表示为Var(X)或σ²。
离散型随机变量X的方差可以通过将每个可能取值与其期望的差值的平方乘以其发生的概率的加权平均得到。
σ² = Var(X) = (x₁-μ)²p₁ + (x₂-μ)²p₂ + ⋯ + (xn-μ)²pn3. 标准差（standard deviation）：是方差的平方根，用来衡量离散型随机变量的离散程度或波动程度，表示为σ。
标准差可以通过方差的算术平方根得到。
σ = √(Var(X))4.协方差：用于描述两个随机变量之间的相关性。
如果两个离散型随机变量X和Y的分布列分别为P(X)和P(Y)，则X和Y的协方差可以表示为：Cov(X,Y) = Σ[(xi-μX)(yi-μY)P(X=x,y=y)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和，μX和μY分别表示X和Y的期望。
这些数学特征可以帮助我们更好地理解和分析离散型随机变量的性质和行为。
12随机过程的一般概念
1 s 1 t
2 2
1 st
所以二维概率密度为
1
f ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
2 2 (1 t12 )(1 t 2 ) 1 2 2 1 x2 x1 x2 x2 1 2 2 exp 2 2 2(1 2 ) 1 t1 (1 t12 )(1 t 2 ) 1 t 2
cos s cos t E(Y 2 ) sin s sin t E( Z 2 ) 2 cos (t s)
例7: 考虑随机过程 X(t)=acos(ωt+Θ),t(-∞,+∞)
其中a和ω是常数，Θ是在（0，2π）上服从均匀分布的
随机变量，通常称此随机过程为随机相位正弦波，求随机 相位正弦波的均值函数，方差函数和自相关函数. 1 解: Θ的概率密度为 f ( ) 2 (0,2 ) 于是 0 (0,2 ) 2 1 X (t ) E[ X (t )] E[a cos( t )] a cos( t ) d 0 0 2 RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )] E [a 2 cos( s ) cos( t )]
x2 2 (1 t 2 )
e
又由正态分布的性质知，对于任意 s,t∈T，
(X(s),X(t))服从二维正态分布而
E[X(s)]= E[X(t)]=0；D[X(s)]=1+s2 ,D[X(t)]=1+t2
C X ( s, t ) RX ( s, t ) E[Y ZsY Zt ] 1 s t
其中=x(t1, t2).
四、二维随机过程
随机过程的统计特性—数字特征
Q RX (t1 , t2 ) =
k1 , k2 ∈ ε X
∑
∑k ⋅k
1
2
⋅ P{ X (t1 ) = k1 , X (t2 ) = k2 }
一次结果中，决不会发生t1时刻的状态在ζ3上取值，而到t2时 刻的状态在ζ4上取值。k1,k2不在一条样本上，此情况发生的概率 为0。即P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} =0。 由于一次试验结果只有一 个样本出现，若此次样本ζ3出现，则t1时刻的状态必在ζ3上取值， 且t2时刻的状态必还在ζ3上取值。 k1,k2必在一条样本上，此情况 发生的概率为1/4。 P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} = 1/4。 ←样本ζi发生的概率。
∫
∞
−∞
x ⋅ f X ( x, t )d χ = mX (t )
mx(t) 描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心－－即 在各个时刻摆动的中心 X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。
X (t ) 0
t1
m X (t1 )
m X (t i )
t m X (t )
ti
二、随机过程X(t)的均方值和方差 同理，把过程X (t)中的t视为固定时， X(t)为时刻t的状态（随机 变量）。其二阶原点矩：
例1、设随机过程X(t)=U·t，U在(0,1)上均匀分布，求E[X(t)]， D[X(t)]，Rx(t1,t2)，Cx (t1,t2)。
⎧1， Q fU (u ) = ⎨ ⎩0，
解：
0 ≤ u ≤1 其它
∞ 1
t ∴ E[ X (t )] = E[U ⋅ t ] = t ⋅ E[U ] = t ⋅ ∫ ufU (u )du = t ⋅ ∫ udu = 0 －∞ 2 2 RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[U ⋅ t1 ⋅ U ⋅ t2 ] = t1 ⋅ t2 ⋅ E[U ] t1 ⋅ t2 = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u ⋅ fU (u )du = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u du = −∞ 0 3 t1 ⋅ t2 t1 t2 t1 ⋅ t2 − ⋅ = C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − m(t1 ) ⋅ m(t2 ) = 2 2 12 3 2 t D[ X (t )] = C X (t , t ) = 12
随机变量的分布与数字特征
在决策树中，期望值可以用于评估每个分支的预 期收益或损失，以选择最优路径。
概率分布的确定
通过计算期望值，可以确定概率分布的中心趋势 和平均水平。
03
方差与其他数字特征
方差的定义与性质
方差是衡量随机变量离散程度的量，其计算公 式为：$sigma^2 = E[(X-mu)^2]$，其中$X$ 是随机变量，$mu$是期望值，$E$表示期望。
离散概率分布的性质
离散随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可加性。
连续随机变量的分布
连续随机变量
连续随机变量是在一定范围内可以连续取值的随机变量，例如人 的身高。
连续概率分布
连续随机变量的概率分布可以表示为一个概率密度函数，该函数描 述了随机变量在各个取值范围内的概率。
连续概率分布的性质
连续随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可积性。
随机变量的分布与数 字特征
目 录
• 随机变量的分布 • 随机变量的期望值 • 方差与其他数字特征 • 协方差与相关系数 • 随机变量的其他数字特征
01
随机变量的分布
离是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，例 如投掷一枚骰子出现的点数。
离散概率分布
离散随机变量的概率分布可以表示为一系列概率值的集合，每个 概率值对应一个可能的结果。
分位数
分位数
描述数据分布的位置。例如，中位数是位于数据中间 的数，表示数据的中心位置；上四分位数和下四分位 数分别表示位于数据分布的25%和75%位置的数。
计算方法
对于任意给定的概率p，分位数qp = inf{x | F(x) ≥ p}
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专题06 离散型随机变量及其分布列、数字特征(解析版)
06离散型随机变量及其分布列、数字特征知识点1随机变量(1)定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．随机变量的取值X(ω)随着随机试验结果ω的变化而变化．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称之为离散型随机变量．(2)表示：随机变量通常用大写英文字母表示，例如X，Y，Z；随机变量的取值用小写英文字母表示，例如x，y，z．知识点2离散型随机变量的分布列的定义(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x i，…，x n，我们称X取每一个值x i 的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)表示方法：①表格；②概率分布图．知识点3离散型随机变量的分布列的性质(1)p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．知识点4离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，X x 1x 2…x n Pp 1p 2…p n(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ＝i ii 1nx P =∑为随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称期望．(2)方差：称D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝i 1n=∑(x i －E (X ))2p i 为随机变量X的方差，有时也记为Var (X )，并称D (X )为随机变量X 的标准差，记为σ(X )．(3)均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．(4)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值E (X )的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．知识点5均值与方差的性质若Y ＝aX ＋b ，其中X 是随机变量，a ，b 是常数，随机变量X 的均值是E (X )，方差是D (X )．则E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)．知识点6分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．知识点7均值与方差的四个常用性质(1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数．(2)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)．(3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.(4)若X1，X 2相互独立，则E (X 1X 2)＝E (X 1)·E (X 2)．考点1离散型随机变量分布列的性质(1)求a的值；(2)求；(3)求X．【答案】(1)由分布列的性质，得＋＋＋＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝115．(2)＝＋＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45．(3)X＝＋＋＝115＋215＋315＝25．【总结】离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．【变式1-1】设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1，2，3，C为常数，则P(X<3)＝__________．【答案】89【解析】随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1，2，3，∴C2＋C6＋C12＝1，即6C＋2C＋C12＝1，解得C＝43，∴P(X<3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝43＝89．【变式1-2】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0．20．10．10．3m(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．【解析】(1)由分布列的性质知，0．2＋0．1＋0．1＋0．3＋m＝1，得m＝0．3．首先列表为：X012342X＋113579从而Y＝2X＋1的分布列为：Y13579P0．20．10．10．30．3(2)列表为：X01234|X－1|10123∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0．1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0．2＋0．1＝0．3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0．3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0．3．故η＝|X－1|的分布列为：η0123P0．10．30．30．3(3)首先列表为：X01234X2014916从而ξ＝X2的分布列为：ξ014916P0．20．10．10．30．3【变式1-3】设随机变量X的分布列如下：X12345P 112161316p则p为()A.1 6B.13C.14D.112【答案】C【解析】由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.【变式1-4】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P 121－q q－q2则q等于()A．1 B.22或－22C．1＋22D.2 2【答案】D【解析】1－q＋q－q2＝1，1－q≤12，q－q2≤12，解得q＝22.【变式1-5】(多选)设随机变量ξ的分布列为ak(k＝1,2,3,4,5)，则()A．a＝115B．ξ＝15C．ξ＝215D．P(ξ＝1)＝310【答案】AB【解析】对于选项A，∵随机变量ξ的分布列为ak(k＝1,2,3,4,5)，∴P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝115，故A正确；对于B，易知ξ3×115＝15，故B正确；对于C，易知ξ＝115＋2×115＝15，故C错误；对于D，易知P(ξ＝1)＝5×115＝13，故D错误．【变式1-6】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a的值为()A.13B.23C.13或23D．－13或－23【答案】A【解析】≤9a 2－a ≤1，≤3－8a ≤1，a 2－a ＋3－8a ＝1，解得a ＝13.【变式1-7】离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P X 的值为()A.23B.34C.45D.56【答案】D【解析】因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，所以X P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.【变式1-8】若随机变量X 的分布列如下表，则mn 的最大值是()X 024Pm0.5n A.116B.18C.14D.12【答案】A【解析】由分布列的性质，得m ＋n ＝12，m ≥0，n ≥0，所以mn ＝116，当且仅当m ＝n ＝14时，等号成立．【变式1-9】随机变量X 的分布列如下：X －101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______，公差d 的取值范围是______．【答案】23－13，13【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.考点2求离散型随机变量的分布列【例2】双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能．在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者．第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组．之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手(不包括本轮胜者组落败的选手)两人一组相互对阵，败者被淘汰(已经败两场)，胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰．最后一轮，由胜者组最终获胜的选手(此前从未败过，记为A)对阵负者组最终获胜的选手(败过一场，记为B)，若A胜则A获得冠军，若B胜则双方再次对阵，胜者获得冠军．某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛．第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局．(1)设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M，求M的概率；(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列．【分析】(1)先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；(2)①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可；②由题意可得ξ∈{3，4，5，6，7}，然后求出各自对应的概率，从而可得ξ的分布列．【解析】(1)8人平均分成四组，共有C28C26C24C22A44种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为A35，所以P(A)＝A35C28C26C24C22A44＝4 7．(2)①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为23×13×13＋13×23×13＝427．②若甲在第一轮获胜，ξ∈{3，4，5，6，7}．当ξ＝3时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即P(ξ＝3)＝13×13＝19．当ξ＝4时，有两种情况：(ⅰ)甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为23×23×23＝827；(ⅱ)甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率为C12·23×13×13＝427，所以P (ξ＝4)＝827＋427＝49．当ξ＝5时，有两种情况：(ⅰ)甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为23×23×13＝427；(ⅱ)甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，概率为C12·23×13×23×13＝881；所以P (ξ＝5)＝427＋881＝2081．当ξ＝6时，有两种情况：(ⅰ)甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为23×132＝881；(ⅱ)甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为133×13＝8243；所以P (ξ＝6)＝881＋8243＝32243．当ξ＝7时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即P (ξ＝7)＝134＝16243．所以ξ的分布列为：ξ34567P194920813224316243【总结】离散型随机变量分布列的求解步骤【变式2-1】为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列．【解析】(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2．3．(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B ，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C ，“这两人送考次数相同”为事件D ．由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝P (D )＝C 220＋C 2100＋C 280C 2200＝83199，P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝C 120C 1100C 2200＋C 1100C 180C 2200＝100199．P (X ＝2)＝P (C )＝C 120C 180C 2200＝16199．∴X 的分布列为：X 012P8319910019916199【变式2-2】(多选)设离散型随机变量X 的分布列为X 01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的有()A ．q ＝0.1B ．E (X )＝2，D (X )＝1.4C ．E (X )＝2，D (X )＝1.8D ．E (Y )＝5，D (Y )＝7.2【答案】ACD【解析】因为q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q ＝0.1，故A 正确；由已知可得E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C 正确；因为Y ＝2X ＋1，所以E (Y )＝2E (X )＋1＝5，D (Y )＝4D (X )＝7.2，故D 正确．考点3求离散型随机变量的均值与方差【例3】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ)．【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3－14－－16－＝124．则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512．(2)ξ可能取值为0，40，80，120，160，则P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124．所以，随机变量ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124∴E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80，D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003．【总结】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ全部的可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E (ξ)，由方差的定义求D (ξ)．【变式3-1】据有关权威发布某种传染病的传播途径是通过呼吸传播，若病人(患了某种传染病的人)和正常人(没患某种传染病的人)都不戴口罩而且交流时距离小于一米90%的机率被传染，若病人不戴口罩正常人戴口罩且交流时距离小于一米时60%的机率被传染，若病人戴口罩而正常人不戴口罩且交流距离小于一米时30%的机率被传染上，若病人和正常人都带口罩且交流距离大于一米时不会被传染．为此对某地经常出入某场所的人员通过抽样调查的方式对戴口罩情况做了记录如下表：男士女士戴口罩不戴口罩戴口罩不戴口罩甲地40203010乙地10304515假设某人是否戴口罩互相独立(1)求去甲地的男士带口罩的概率，用上表估计所有去甲地的人戴口罩的概率．(2)若从所有男士中选1人，从所有女士中选2人，用上表的频率估计概率，求戴口罩人数X 的分布列和期望．(3)上表中男士不戴口罩记为“ξ＝0”，戴口罩记为“ξ＝1”，确定男士戴口罩的方差为Dξ，和女士不戴口罩记为“η＝0”，戴口罩记为“η＝1”确定女士戴口罩的方差为Dη．比较Dξ和Dη的大小，并说明理由．【解析】(1)设“去甲地的男士带口罩”为事件M ，则P (M )＝4040＋20＝23，设“去甲地的人戴口罩”为事件N ，则P (N )＝40＋3040＋20＋30＋10＝710，(2)设“男士带口罩”为事件A ，则P (A )＝40＋1040＋20＋10＋30＝12，设“女士带口罩”为事件B ，则P (B )＝30＋4530＋10＋45＋15＝34，所有男士中选1人，从所有女士中选2人，戴口罩人数X ＝0，1，2，3，P (X ＝0)＝12×14×14＝132，P (X ＝1)＝12×14×14＋12×34×14＋12×14×34＝732，P (X ＝2)＝12×34×14＋12×14×34＋12×34×34＝1532，P (X ＝3)＝12×34×34＝932分布列为：X123P1327321532932E (X )＝0×132＋1×732＋2×1532＋3×932＝2(3)E (ξ)＝0×12＋1×12＝12，D (ξ)＝(0－12)2×12＋(1－12)2×12＝14，E (η)＝0×14＋1×34＝34，D (η)＝(0－34)2×14＋(1－34)2×34＝316．100名男士中有50人戴口罩，50人不戴口罩，100名女士中有75人戴口罩，25人不戴口罩，从数据分布可看出来女士戴口罩的集中程度要好于男士，所以其方差偏小．【变式3-2】已知X 的分布列为X －101P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为()A ．73B ．4C ．－1D ．1【答案】A【解析】∵E (X )＝－12＋16＝－13，∴E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73．【变式3-3】已知离散型随机变量X 的分布列为X 012P0．51－2qq 2则常数q ＝________．【答案】1－22【解析】由分布列的性质得0．5＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22或q ＝1＋22(舍去)．【变式3-4】设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a k，k ＝1，2，3，则a 的值为__________．【答案】2713【解析】因为随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a k，k ＝1，2，3，所以根据分布列的性质有a ·13＋a 2＋a 3＝1，所以a ＋19＋＝a ×1327＝1，所以a ＝2713．【变式3-5】已知随机变量X 的分布列如下：X －101P121316若Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为________．【答案】73【解析】E (X )＝－12＋16＝－13，则E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.【变式3-6】若随机变量X 满足P (X ＝c )＝1，其中c 为常数，则D (X )的值为________．【答案】0【解析】因为P (X ＝c )＝1，所以E (X )＝c ×1＝c ，所以D (X )＝(c －c )2×1＝0.【变式3-7】(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X 的均值E (X )等于()A.32B.53C.74D.95【答案】A【解析】由题意知，X 的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有C 35种，当X ＝1时，取法有C 24种，即P (X ＝1)＝C 24C 35＝35；当X ＝2时，取法有C 23种，即P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，取法有C22种，即P (X ＝3)＝C 22C 35＝110；∴E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【变式3-8】已知随机变量X ，Y 满足Y ＝2X ＋1，且随机变量X 的分布列如下：X 012P1613a则随机变量Y 的方差D (Y )等于()A.59B.209C.43D.299【答案】B【解析】由分布列的性质，得a ＝1－16－13＝12，所以E (X )＝0×16＋1×13＋2×12＝43，所以D (X )×16＋×13＋×12＝59，又Y ＝2X ＋1，所以D (Y )＝4D (X )＝209.【变式3-9】已知m ，n 为正常数，离散型随机变量X 的分布列如表：X －101Pm14n若随机变量X 的均值E (X )＝712，则mn ＝________，P (X ≤0)＝________.【答案】11813【解析】＋n ＋14＝1，－m ＝712，＝112，＝23，所以mn ＝118，P (X ≤0)＝m ＋14＝13.【变式3-10】(2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品(元)(0,100)[100,500)[500,1000)积分246概率141214表2购买虚拟商品(元)(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)积分1234概率13141416(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X 的分布列与均值．【解析】(1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为12＋14＝34，购买虚拟商品不低于100元的概率为16，因此所求概率为34×16＝18.(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为14×＋12×16＝14.(3)由条件可知X 的可能取值为3,4,5.P (X ＝3)＝1313＋14＋14＝25，P (X ＝4)＝P (X ＝5)＝1413＋14＋14＝310，即X 的分布列如下：X 345P25310310E (X )＝3×25＋4×310＋5×310＝3910.考点4均值与方差在决策中的作用【例4】2021年3月5日李克强总理在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t 元；制造商为制定收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表：维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．(1)求X 的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t 定在什么范围？【分析】(1)由题设描述确定2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数的可能值，并确定对应的基本事件，进而求各可能值的概率，写出分布列．(2)根据(1)所得分布列，由各方案的费用与维修次数的关系写出费用的分布列，并求期望，通过期望值的大小关系求参数的范围．【解析】(1)由题意得，X ＝0，1，2，3，4，5，6，P (X ＝0)＝110×110＝1100，P (X ＝1)＝110×15×2＝125，P (X ＝2)＝110×25×2＋15×15＝325，P (X ＝3)＝110×310×2＋15×25×2＝1150，P (X ＝4)＝310×15×2＋25×25＝725，P (X ＝5)＝310×25×2＝625，P (X ＝6)＝310×310＝9100，∴X 的分布列为X 0123456P110012532511507256259100(2)选择方案一：所需费用为Y 1元，则X ≤2时，Y 1＝5000，X ＝3时，Y 1＝6000；X ＝4时，Y 1＝7000；X ＝5时，Y 5＝8000，X ＝6时，Y 1＝9000，∴Y 1的分布列为Y 150006000700080009000P1710011507256259100E (Y 1)＝5000×17100＋6000×1150＋7000×725＋8000×625＋9000×9100＝6860，选择方案二：所需费用为Y 2元，则X ≤4时，Y 2＝6230；X ＝5时，Y 2＝6230＋t ；X ＝6时，Y 2＝6230＋2t ，则Y 2的分布列为Y 262306230＋t 6230＋2t P671006259100E (Y 2)＝6230×67100＋(6230＋t )×625＋(6230＋2t )×9100＝6230＋21t50，要使选择方案二对客户更合算，则E (Y 2)<E (Y 1)，∴6230＋21t50<6860，解得t <1500，即t 的取值范围为[0，1500)．【总结】利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．【变式4-1】直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有56是“年轻人”．(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为710，15，110；方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，310，110．针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．参考数据：独立性检验临界值表α0．150．100．0500．0250．010x α2．0722．7063．8415．0246．635其中，χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d ．【解析】(1)由图1知，“年轻人”占比为45．5%＋34．5%＝80%，即有200×80%＝160(人)，“非年轻人”有200－160＝40(人)，由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为30．1%＋19．2%＋10．7%＝60%，即有200×60%＝120(人)，“不常使用直播销售用户”有200－120＝80(人)．“经常使用直播销售用户的年轻人”有120×56＝100(人)，“经常使用直播销售用户的非年轻人”有120－100＝20(人)．∴补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户10020120不常使用直播销售用户602080合计16040200于是a ＝100，b ＝20，c ＝60，d ＝20．∴χ2＝200×（100×20－60×20）2120×80×160×40＝2512≈2．083>2．072，即有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关．(2)若按方案一，设获利X 1万元，则X 1可取的值为300，－150，0，X 1的分布列为：X 1300－1500p71015110E (X 1)＝300×710＋(－150)×15＋0×110＝180(万元)，D(X1)＝(300－180)2×710＋(－150－180)2×15＋(0－180)2×110＝1202×710＋3302×15＋1802×110＝35100若按方案二，设获利X2万元，则X2可取的值为500，－300，0，X2的分布列为：X2500－3000p 35310110E(X2)＝500×35＋(－300)×310＋0×110＝210(万元)，D(X2)＝(500－210)2×35＋(－300－210)2×310＋(0－210)2×110＝2902×35＋5102×310＋2102×110＝132900∵E(X1)<E(X2)，D(X1)<D(X2)，由方案二的均值要比方案一的均值大，从获利角度来看方案二更大，故选方案二．由方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一．【变式4-2】某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值为E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P (Y ＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P (Y ＝10)＝0.7×0.8＝0.56，则Y 的均值为E (Y )＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，因为E (X )>E (Y )，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．【变式4-3】为加快某种病毒的检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和均值E (X )；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的均值为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【解析】(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的一组每个人进行检测，需要10次，所以总检测次数为20.②由题意，X 可以取20,30，P (X ＝20)＝111，P (X ＝30)＝1－111＝1011，则X 的分布列为X 2030P1111011所以E (X )＝20×111＋30×1011＝32011.(2)由题意，Y 可以取25,30，两名感染者在同一组的概率为P 1＝C 120C 22C 398C 5100＝499，不在同一组的概率为P 1＝9599，则E (Y )＝25×499＋30×9599＝295099>E (X )．【变式4-4】(2022·莆田质检)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A 级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：表一工序第一工序第二工序第三工序概率0.50.750.8表二等级一等品二等品三等品利润2385(1)用η表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；(2)因第一工序加工结果为A 级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元(即每件产品利润相应减少x 万元)时，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x .问该改良方案对一件产品利润的均值是否会产生影响？并说明理由．【解析】(1)由题意可知，η的所有可能取值为23,8,5，产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8＝0.3，产品为二等品的概率为(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5，产品为三等品的概率为1－0.3－0.5＝0.2，所以η的分布列为η2385P0.30.50.2E (η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9.(2)改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响，理由如下：在改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x ，设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为23－x,8－x,5－x ，＋19x 0.75×0.8＝0.3＋x15，二等品的概率为10.75×0.8＝0.5－x15，三等品的概率为10.2，所以E (ξ)－x )－x )＋0.2×(5－x )＝6.9－0.3x ＋2315x －115x 2＋4－0.5x －815x ＋1152＋1－0.2x ＝11.9，因为E (ξ)＝E (η)，所以改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响．1．(多选)设离散型随机变量X 的分布列如下表：X 12345Pm0．10．2n0．3若离散型随机变量Y ＝－3X ＋1，且E (X )＝3，则()A ．m ＝0．1B ．n ＝0．1C ．E (Y )＝－8D ．D (Y )＝－7．8【答案】BC【解析】由E (X )＝1×m ＋2×0．1＋3×0．2＋4×n ＋5×0．3＝3得m ＋4n ＝0．7，又由m ＋0．1＋0．2＋n ＋0．3＝1得m ＋n ＝0．4，从而得m ＝0．3，n ＝0．1，故A 选项错误，B 选项正确；E (Y )＝－3E (X )＋1＝－8，故C 选项正确；因为D (X )＝0．3×(1－3)2＋0．1×(2－3)2＋0．1×(4－3)2＋0．3×(5－3)2＝2．6，所以D (Y )＝(－3)2D (X )＝23．4，故D 选项错误．2．已知随机变量ξ的分布列如下表，D (ξ)表示ξ的方差，则D (2ξ＋1)＝___________．ξ012pa1－2a14【答案】2【解析】由题意可得：a ＋1－2a ＋14＝1，解得a ＝14，ξ012p141214所以E (ξ)＝0×14＋1×12＋2×14＝1，D (ξ)＝14(0－1)2＋12×(1－1)2＋14×(2－1)2＝12，D (2ξ＋1)＝22D (ξ)＝2．3．京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响．下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60莲石路(L 1)的频率0．10．20．30．20．2阜石路(L 2)0．10．40．40．1的频率若甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)(1)甲、乙两人应如何选择各自的路径？(2)按照(1)的方案，用X表示甲、乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望．【解析】(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B1表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i＝1，2，用频率估计相应的概率，则有P(A1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6，P(A2)＝0．1＋0．4＝0．5，P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1；P(B1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8，P(B2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9，P(B1)<P(B2)，所以乙应选择路径L2；(2)用A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲，乙在各自的时间内到达火车站，由(1)知P(A)＝0．6，P(B)＝0．9，且A，B相互独立，X的取值是0，1，2，P(X＝0)＝P(A－B－)＝0．1×0．4＝0．04，P(X＝1)＝P(A－B＋A B－)＝0．4×0．9＋0．6×0．1＝0．42，P(X＝2)＝P(AB)＝0．9×0．6＝0．54，所以X的分布列为：X012P0．040．420．54E(X)＝0×0．04＋1×0．42＋2×0．54＝1．5．4．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出n(n∈N*且n≥4)瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以a1，a2，a3，…，a n表示第一次排序时被排在1，2，3，…，n的n种酒在第二次排序时的序号，并令X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋．．．＋|n－a n|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取n＝4研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立．(1)直接写出X的可能取值，并求X的分布列和数学期望；(2)若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．【解析】(1)X的可能取值为0，2，4，6，8P(X＝0)＝1A44＝124，。
离散型随机变量的特点
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量的值是不连续的呀，就好像楼梯的台阶一样，一级一级的，可不是像滑梯那样连续滑下来的哟。
比如扔骰子，出现的点数就是离散型随机变量呀，不是 1 就是 2，不是 3 就是 4 等等，没有中间其他的值呢。
2. 离散型随机变量有明确的取值呀，这多清楚明白啊！就好比你的考试成绩，要么是 60 分，要么是 70 分，不可能是分呀。
你想想抽奖的时候的中奖号码，不也是明确的几个数字嘛，这就是离散型随机变量的魅力呀。
3. 离散型随机变量是可以列举出来的哟，这一点是不是很厉害！就像你收集的邮票，一张一张都能清楚地数出来嘛。
比如说班级里同学的姓氏，王、李、张等等，都能一个一个列出来，这不就是离散型随机变量的特点嘛。
4. 离散型随机变量的概率加起来等于 1 呀，这就像是拼图的所有碎片拼起来就是一整块呀！你想想抛硬币，正面朝上的概率加上反面朝上的概率不就是 1 嘛，这多神奇！5. 离散型随机变量每个取值都对应一个概率呢，这难道不有趣嘛！好比抽奖中每个奖品都有特定的中奖概率一样。
比如说抓阄决定谁去干活，每个阄的可能性大小不就是和离散型随机变量一样嘛。
6. 离散型随机变量会有不同的分布呢，哇塞，这就跟每个人的性格不一样似的。
像二项分布，不就是在特定情况下出现的嘛。
就好像连续投篮，进与不进就是离散型随机变量的表现呀。
7. 离散型随机变量的计算有时候也挺简单的呀，不像有些东西那么复杂让人头疼！比如算几次扔硬币正面出现的次数，多直观啊。
你想想，这不比解那些超级难的数学题容易多了嘛！8. 离散型随机变量可以帮助我们理解很多实际问题呀，真的太有用了！就好像导航帮我们找到路一样重要。
比如计算彩票中奖的可能性，是不是能让我们心里有点底呀。
9. 离散型随机变量的特点就是这么独特呀，能让我们更好地描述和分析一些现象呢！它们就像夜空中闪烁的星星，各自有着自己的位置和光芒呀。
我们一定要好好掌握它，才能在数学的世界里畅游呀！我的观点结论：离散型随机变量有着诸多独特且重要的特点，我们应该深入理解和掌握呀。
离散型随机变量的数字特征
离散型随机变量的数字特征随机变量是经常出现在数学和统计学中的一个概念，它描述了一个数值在一个随机试验中可能出现的各种可能性。
离散型随机变量也是其中的一种类型，它与连续型随机变量不同，离散型随机变量只能取有限个或可数无限个离散值。
离散型随机变量的数字特征，也就是描述一个随机变量的数字指标，有两种：期望和方差。
首先，期望是随机变量的平均值，用E(X)表示。
对于一个离散型随机变量X，它的期望计算公式为：E(X)=Σ(xi*pi)其中，xi表示X取到的第i个值，pi表示X取到xi的概率。
这个公式的意义是，将X的各个取值乘以对应的概率，再将所有结果相加，得到的就是X的期望。
举个例子，假设X表示掷一枚骰子，它的各个取值及对应概率为：xi: 1 2 3 4 5 6pi: 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6那么X的期望为：E(X)=1/6×1+1/6×2+1/6×3+1/6×4+1/6×5+1/6×6=3.5在这个例子中，我们可以得到结论：如果一枚均匀的骰子被掷的次数很多，那么6出现的次数就会趋近于总次数的1/6，也就是说骰子的期望掷出的数字为3.5。
另一个数字特征是方差，用Var(X)或σ²表示。
方差表示随机变量与它的期望之间的离散程度，它的计算公式是：Var(X)=E{(X-E(X))²}=E(X²)-{E(X)}²其中，E{(X-E(X))²}表示X与E(X)之间的离散程度，也就是上述公式中的方差。
E(X²)表示X的平方的期望，{E(X)}²表示X的期望的平方。
继续以上面的例子为例，X的平方的期望为：E(X²)=1/6×1²+1/6×2²+1/6×3²+1/6×4²+1/6×5²+1/6×6²=15.17所以X的方差为：Var(X)=15.17-3.5²=2.92这个数字特征表达的含义是，如果一个离散型随机变量的各个取值与它的期望比较接近，那么它的方差就比较小；反之，如果各个取值比较分散，那么它的方差就比较大。
第一讲随机过程的概念
随机过程的基本知识
引例：热噪声电压
一、随机过程的定义
定义1 设E是一随机实验,样本空间S={e}，T为参数集
若对每个eS ,X(e,t)都是实值函数, 则称{X(e,t),t T}
为随机过程，简记为X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
称族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。
样本函数： xi (t ) a cos( t i ) , i (0 , 2 )
状态空间:I=（-a，a）
例3: 掷骰子试验
伯努利过程 （伯努利随机序列）
以上都是随机过程，状态空间都是:I={1，2，3，4，5，6}
二、随机过程的分类
离散型随机过程
1. 依状态离散还是连续分为：
s, t 0, C X ( s, t ) DX [min{s, t }].
④ C X ( s, t ) Cov( X ( s), X (t ))
E[ X ( s) X ( s)][X (t ) X (t )]
为{X(t),tT}的协方差函数.
⑤ Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]为{X(t),tT}的自相关函数, 简称相关函数
诸数字特征的关系：
X (t ) f ( x, t )
称 f ( x, t ) 为随机过程的一维密度函数 称{ f ( x, t ), t T } 为一维密度函数族.
X t 0 ，其中 X Y ( t ) te 例4 设随机过程
e( ) ，求
{Y (t ),t 0}的一维密度函数
y P( X ln ) , t 解： F ( y; t ) P[Y (t ) y ] P(te y ) 0 ,
随机变量的数字特征(2)
性质2 设c是常数，若X的数学期望EX存在，则EcX也存在，
且有 EcX=cEX
证 以连续型X为例。设X的密度函数为(x), 而积分
|cx|(x)dx|c| |x|(x)dx
由于EX存在且收敛，故EcX存在。故有
E cXcx(x)dxcx(x)dxcE X
性质3 若随机向量(XY)的数学期望(EX,EY)存在，则X+Y的数学
则函数f(i X)的数学期望存在，k记为Ef(X)，且有
Ef(X) f(xi)pi
i
二维离散型随机变量函数的数学期望
设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
P{X=xi,Y=yj}=pij (i,j=1,2,…)
如果 g(xi,yj) pij收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，记为
Eg(X,Yi),j，且有
X的一切可能值为：-1, 1, 2, 3 可以用考察EX是否等于零来评价这一游戏规则对下注者 是否有利。 设掷3次骰子，恰好出现所压的数字的次数为Y，则
Y～B(3,1/6)
P(Y k)C 3 k 1 6 k 6 5 3k k0,1,2,3
而Y=0时,X=-1; Y=1时, X=1; Y=2时, X=2; Y=3时, X=3； 所以，X的分布律为
特别有
E g (X ,Y ) g (x ,y )f(x ,y )d x d y
EX xf(x,y)dxdy x f(x,y)dydx xfX(x)dx
EY yf(x,y)dxdy y f(x,y)dxdy yfY(y)dy
式中fX(x) 和fY(y)分别为为X和Y的密度函数。
期望也存在，且有 E(X+Y) = EX+EY 。
证 以连续型(XY)为例。设联合密度函数为f(x,y),
随机过程0-2数字特征、特征函数
第0章 补充知识
第14页
三、特征函数的定义 引言 特征函数是处理概率论问题的有力工具，
其作用在于： ➢ 可将卷积运算化成乘法运算； ➢ 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算； ➢ 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的
函数极限问题； ➢ ……….
第0章 补充知识
第15页
1 .复随机变量 设X，Y 为二维（实）随机变量，则称
则对于 F(x) 的任意连续点 x1和x2 ( x1 x2 ),
有
F
(
x2
)
F
(
x1
)
lim
T
1
2
T eitx1 eitx2 (t )dt.
T
it
此定理的证明略去。
注 : 定理表明,当x1, x2为F ( x)的连续点时, F ( x2 ) F ( x1 )的值完全由特征函数决定.
第0章 补充知识
[a, b] 上存在且 g/(x) 在 [a, b] 上黎曼可积，则
b f ( x)dg( x)存在,且 a
b f ( x)dg( x)
b f ( x)g/ ( x)dx
a
a
定理1.3 若f(x)在[a, b]上连续，设
a c0 c1 c2 cn b
若g( x)在[ck , ck1 )取常数值,则
(t)
e itk
k0
pk
e itk
k0
k
k!
e
e (eit )k e e eit
k0 k !
e . (eit 1)
第0章 补充知识
第19页
（4）设随机变量 X 服从U(a, b), 求其特征函数。
1
解
f
离散随机信号的特征描述及其估计
FFT具有高效性、稳定性和可并行性 等优点，使得它在信号处理领域得到 广泛应用。
03
应用
FFT广泛应用于信号处理、图像处理 、语音处理等领域，例如频谱分析、 滤波器设计、信号去噪等。
小波变换
定义
小波变换是一种时频分析方法，它能够提供信号在不同频率和时间尺度上的信息。小波变 换通过将信号分解为小波函数的叠加，实现了在时间和频率域上的局部化分析。
离散随机信号的特性
随机性
离散随机信号的取值具有随机性，即 每个取值都是随机的，无法预测。
离散性
时变性和空间相关性
离散随机信号的统计特性可能随时间 和空间的变化而变化，同时不同时刻 或位置的信号取值可能存在相关性。
离散随机信号的取值只在离散的时间 或空间点上发生，不连续。
离散随机信号的应用场景
通信系统
Part
02
离散随机信号的特征描述
均值
总结词
离散随机信号的均值描述了信号的平 均水平或“中心趋势”。
详细描述
均值是所有样本点的平均值，表示信 号的“平均水平”或“中心趋势”。 对于离散随机信号，我们通常使用算 术平均值来计算均值。
方差
总结词
方差描述了离散随机信号的波动范围或分散程度。
详细描述
方差是每个样本点与均值的差的平方的平均值，表示信号的波动范围或分散程 度。方差越大，信号的波动或分散程度越大；方差越小，信号越接近均值。
功率谱密度
总结词
功率谱密度描述了离散随机信号的频率成分及其对应的功率。
详细描述
功率谱密度是信号在各个频率上的功率分布，反映了信号的频率成分及其对应的功率。通过分析功率 谱密度，我们可以了解信号中包含哪些频率成分以及各成分的强度。
第4章离散随机信号的特征描述及其估计
❖
Pxx () rxx (m)e jm
❖
rxx ()
m
1 2
Pxx
()e
jm d
（4-20）
❖ 对于实平稳随机序列功率谱，有以下性质：
❖ （1）功率谱是 的偶函数，即
Pxx () Pxx ()
❖ （2）功率谱是实的非负函数，即
❖
Pxx () 0
4.3 线性系统对平稳随机信号的响应
❖ 设一个线性非时变系统H (z) ，它的单位样本响应为h(n)。 如输入一个平稳随机序列 x(n) ，可以证明所得到的响应
0
（4-19）
❖ 当 m 越大时，相关性越小，当 m 趋于无穷大时，可认
为不相关。也就是说
lim
m
rxx
(m)
E[xn
xnm
]
E[xn ]E[xnm
]
mx2
❖ 以上性质说明自相关函数 rxx (m) 是随机过程 {xn}最重要
的统计表征，它蕴含了
m
2 x
、
2 x
、E[
x
2 n
]
等主要物理量。
❖
E[
x
❖ 在以上这些数字特征里，自相关函数和自协方差函数 是表征一个随机过程的最重要的统计特性。
4.2.4 自相关序列和自协方差序列的性质
❖ 设 {xn}和 {yn}是两个实的平稳随机序列，则自相关序列 和自协方差序列具有以下性质：
❖
性质1
xx
(m)
rxx
(m)
m
2 x
❖
xy (m) rxy (m) mx my
平均；随即过程的某个样本序列在不同时刻的各种平均特
性，称为时间平均。
离散型随机变量数字特征课件
2
巩固练习1：
例1：某班有学生30人，某次计算机基础测试的 分数分布如下：70分8人，84分10人，90分10 人，95分2人，则： 2 多个分式相加 ①求出此次测验的平均分 x 及方差 s 。 减，分母不变， ②求出以此次分数为随机变量η的概率分布。分子相加减
解：①1）由题意可得： 1 70 8 84 10 90 10 95 2 x 30
x 83
即平均数 x 为83。
巩固练习1：
例1：某班有学生30人，某次计算机基础测试的 分数分布如下：70分8人，84分10人，90分10 人，95分2人，则： 2 多个分式相加 ①求出此次测验的平均分 x 及方差 s 。 减，分母不变， ②求出以此次分数为随机变量η的概率分布。 分子相加减 x
知识回顾1：离散型随机变量及分布
■随机变量
变量具有明确的对象
（1）随机试验的结果不确定；变量取值随机；取值概率确 定。
■离散型
（1）变量的可能取值能一一列举出来
备注：若变量不能一一列举出来，而是连续的充满某个区间, 称为连续性随机变量
■分布列
（1）表格 （2）变量取值、取值所对应的概率 （3）概率大于等于0小于等于1 （4）概率之和=1
各变量与自身概 率之积的和
思考1：
1 2 2 s [8 7 0 8 3 1 0 8 4 8 3 30 1 0 (9 0 8 3) 2 2 (9 5 8 3) 2 ]
2
8 7 0 8 3 1 0 8 4 8 3 2 s 30 30 1 0 (9 0 8 3) 2 2 (9 5 8 3) 2 30 30 8 10 2 2 2 s 7 0 8 3 8 4 8 3 30 30 10 2 2 (9 0 8 3) (9 5 8 3) 2 30 30 214 2 s 3
新高考数学复习考点知识讲解6---离散型随机变量的数字特征
新高考数学复习考点知识讲解 离散型随机变量的数字特征1、一般地，若离散型随机变量X 的分布列，如图所示则称∑==+++=ni i i n n p x p x p x p x X E 12211 )(为随机变量X 的均值或数学期望，简称期望。
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平2、用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值)(X E 的偏差程度，则称∑=-=-++-+-=ni i i n n p X E x p X E x p X E x p X E x X D 122222121))(())(())(())(()( 为随机变量X 的方差，称)(X D 为随机变量X 的标准差，记为)(X σ3、随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散4、重要结论：b X aE b aX E +=+)()(；)()(X D a b aX D 2=+题型一 数学期望中的参数问题例 1 某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：ξ 3 4 5 6 Px0.10.3y已知ξ的均值E (ξ)＝4.3，则y 的值为( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.2D ．0.1C [解析] 由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，又E (ξ)＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3，两式联立解得y ＝0.2.设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A.13 B ．16 C.12D ．56巩固练习知识典例D [解析] 由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.题型二 期望、方差例 2 （多选）一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ，则（ ） A ．a =7 B ．a =11C ．b =12D ．b =9【答案】BD（多选）设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（） A ．0.1q =B ．2EX =， 1.4DX =C ．2EX =， 1.8DX =D ．5EY =，7.2DY =【答案】ACD巩固练习题型三最值问题例3在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则期望()Eξ=____，方差()Dξ的最大值为____．【答案】p 1 4已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)=13，P(ξ=n)=a，若Eξ=2，则Dξ的最小值是_____.【答案】0题型四期望、方差中的计算例4袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．[解] (1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为X 0123 4P 1212011032015所以E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.巩固练习(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4， 所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4.已知随机变量X 的分布列为X 01xP1213p若()23E X =. （1）求()D X 的值；（2）若32Y X =-，求()D Y 的值.【答案】（1）59；（2）5.题型五 实际应用例 5 一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号分别为2，4，6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相巩固练习同)．(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．[解] (1)设A＝“取出的3个球中含有编号为2的球”，则P(A)＝C12C25＋C22C15C37＝20＋535＝2535＝57.(2)由题意得，ξ可能取的值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝C33C37＝135，P(ξ＝1)＝C14·C23C37＝1235，P(ξ＝2)＝C24·C13C37＝1835，P(ξ＝3)＝C34C37＝435.所以ξ的分布列为ξ012 3P 13512351835435所以E(ξ)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但巩固练习不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．[解] (1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1，1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.所以X的分布列为X 0－1 1P 231141142则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.1、已知离散型随机变量X的概率分布列为（）X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 巩固提升则其方差D (X )＝（ ） A ．1 B ．0.6C ．2.44D ．2.4【答案】C2、设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小【答案】D3、已知离散型随机变量X 的分布列如下：由此可以得到期望()E X 与方差()D X 分别为（ ） A ．() 1.4E X =，()0.2D X = B ．()0.44E X =，() 1.4D X = C ．() 1.4E X =，()0.44D X = D ．()0.44E X =，()0.2D X =【答案】C4、随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于 ( )P 0.3 0.2 0.5A．16 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A5、已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则Eξ=（）A．145B．135C．73D．83【答案】A6、由以往的统计资料表明,甲、乙两运动员在比赛中得分情况为:现有一场比赛,派哪位运动员参加较好?()A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定【答案】A7、（多选）已知X的分布列为X －1 0 1P 12a16则下列说法正确的有（）A．P(X＝0)＝13B．E(X)＝－13C．D(X)＝2327D．P(X＞－1)＝12【答案】ABD8、下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平；④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．【答案】49、已知随机变量X的分布列如下表；且()2E X=，则p=________，(23)D X-=_____________.【答案】12410、已知某一随机变量X的分布列如下表：且E(X)＝6，则a＝________，b＝________. 【答案】0.3 611、随机变量X的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________．[解析] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.[答案] 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 12、随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1, 则D (ξ)＝________.[解析] 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.[答案] 2513、甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）.【答案】（1）5681；（2）22481.14、根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30，40)、[40，50)、[50，60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30，50)之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．[解] (1)由题意可知⎩⎨⎧2b ＝a ＋0.015，（0.01＋0.015×2＋b ＋a ）×10＝1，解得a ＝0.035，b ＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．从中抽取3人，并计算3人所获得代金券的总和X ，则X 的所有可能取值为：150，200，250，300，P (X ＝150)＝C 36C 310＝16， P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12， P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310， P (X ＝300)＝C 34C 310＝130. 故X 的分布列为16＋200×12＋250×310＋300×130＝210.E(X)＝150×。
随机过程的基本概念.
FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2}
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
2 FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t2 ) x1x2
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
•均值
mX (t ) E{ X (t )} xf X ( x, t )dx
2 X (t ) E{[ X (t ) mX (t )]2}
•方差
2 E{X 2 (t )} mX (t )
•均值与方差的物理意义：
任意样本函数的未来值不能由 过去的观测值准确地预测 任意样本函数的未来值能由过 去的观测值准确地预测
2.1 随机过程的基本概念及定义
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2)，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时 的一维和二维概率分布。
1 1
x 1 (n)
x 2 (n)
0
0
-1
0 20 40 60
-1 0 20 40 60
高二数学人选择性必修件离散型随机变量的数字特征
和中心极限定理等。
02
拓展应用领域
离散型随机变量的数字特征在各个领域都有广泛的应用，如金融、经济
、生物医学等。未来可以探索更多应用领域，将所学知识应用于实际问
题中。
03
提升计算与分析能力
在学习离散型随机变量的数字特征时，需要具备一定的计算和分析能力
。未来可以通过更多的练习和实践来提升这方面的能力，以便更好地应
联系
当二项分布的试验次数n很大而成功概率p很小时，二项分布的近似分布为泊松分布。此时，二项分布的参数np 近似等于泊松分布的参数λ。
区别
二项分布描述的是固定次数n的独立重复试验中成功次数的概率分布，而泊松分布描述的是单位时间或单位空间 内随机事件发生次数的概率分布。此外，二项分布的图形随参数变化呈现不同形态，而泊松分布的图形始终呈现 右偏态。
数学期望描述随机变量取值的平均水平，而方差描述随机变量取值的离 散程度。
数学期望和方差都是随机变量的数字特征，它们之间存在密切关系。当 数学期望相同时，方差越小，说明随机变量取值越集中；反之，方差越 大，说明随机变量取值越分散。
在实际应用中，数学期望和方差常常一起使用，以全面描述随机变量的 统计特性。例如，在投资决策中，投资者不仅关心投资的平均收益（数 学期望），还关心投资的风险（方差）。
期望效用理论
结合离散型随机变量的数字特征 和期望效用理论，分析不同决策 方案的期望效用值，为决策者提
供最优决策建议。
敏感性分析
通过分析离散型随机变量数字特 征的变化对决策结果的影响程度 ，进行敏感性分析，为决策者提
供风险提示和决策调整建议。
在金融领域中应用
投资组合优化
利用离散型随机变量的数字特征，如期望值、方差等，构建投资组 合优化模型，实现投资收益与风险的平衡。
高三总复习数学课件 离散型随机变量的数字特征
X
0
1
2
P
1 4
a
34－a
所以 E(X)＝0×14＋1·a＋2×34－a＝32－a，因为 E(X)＝1，所以32－a＝1，所以 a
＝12．故 D(X)＝(0－1)2×14＋(1－1)2×12＋(2－1)2×34－12＝12．故选 B． 答案：B
02
考点 分类突破 课堂讲练
理解透 规律明 变化究其本
3)＝P(ξ＝－3)＝18，P(ξ＝1)＝P(ξ＝－1)＝38，故随机变量|ξ|的分布列为
|ξ|
1
3
P
3 4
1 4
故 E(|ξ|)＝1×34＋3×14＝32，D(|ξ|)＝1－322×34＋3－322×14＝34．故选 B．
答案：B
2．已知 X 的概率分布列为
X
－1
0
1
P
1 2
1
1
3
6
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)＝________，D(Y)＝________．
离散型随机变量的均值与方差
考向 1 均值与方差的性质
1．小智参加三分投篮比赛，投中 1 次得 1 分，投不中扣 1 分，已知小智投篮命中
率为 0．5，记小智投篮三次后的得分为随机变量 ξ，则 D(|ξ|)为
()
A．38
B．34
C．32
D．3
解析：由题意可得 ξ 的可能取值为－3,3，－1,1，小智投篮命中率为12，所以 P(ξ＝
1．均值
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
n
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi 为随机变量 X 的均值或数学期望．它
随机过程的数字特征
第三节 随机过程的数字特征定义6.3.1 设随机过程}),({T t t ∈ξ的一维分布函数为，我们称);(x t F ());()]([x t dF x t E t ∫+∞∞−==ξµξ()()∫+∞∞−−==);(][)]([22x t dF t x t D t ξξµξσ分别为随机过程}),({T t t ∈ξ的均值函数和方差函数。
对离散型的随机过程，其均值函数和方差函数分别为：()()∑===ni i i t p x t E t 1)]([ξµξ()()()()t p t x t t E t D t i ni i 2122][])([)]([ξξξµµξξσ∑=−=−==其中：()n i x t P t p i i ,,1},)({"===ξ对连续型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：()dx x t xf t E t ∫+∞∞−==);()]([ξµξ()()()∫+∞∞−−=−==dx x t f t x t t E t D t );(][])([)]([222ξξξµµξξσ均值函数和方差函数刻画了随机过程在不同时刻的统计特性，均值函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的摆动中心。
方差函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的关于()t ξµ的平均偏离程度。
但不能描述在不同时刻之间的相互关系，因此我们必须引入自相关函数和自协方差函数概念。
定义6.3.2 设随机过程}T t ),t ({∈ξ的二维分布函数为，我们称其自相关函数和自协方差函数分别为：),;,(2121x x t t F)x ,x ;t,t (dF x x )]t ()t ([E )t ,t (R 2121212121∫∫+∞∞−+∞∞−==ξξξ T t t ∈21,()[][])t ()t (t )t (E )t ,t (C 221121ξξξµξµξ−−=且：)t ()t ()t ,t (R )t ,t (C 212121ξξξξµµ−=若令，则t t t ==21()t t t R t t C 2),(),(ξξξµ−==D ξ(t )=2ξσ由此可以看出：均值函数()t ξµ和相关函数是最基本的数字特征，协方差函数和方差函数可以由它们确定。
连续参数离散型随机过程
连续参数离散型随机过程随机过程作为数学模型的一个重要分支，在国际数学领域得到了广泛的关注与研究。
而其中的“连续参数离散型随机过程”则是一种特殊的随机过程。
连续参数离散型随机过程是指一个只有一个连续参数的随机过程，其特点是参数的变化范围在无限的连续的数值的范围中，而状态的变化只有有限的离散的可能性。
一般来说，连续参数离散型随机过程具有以下特点：1、数的变化范围是连续的，无限的；2、昀的变化仅有有限的离散的可能性；3、机过程一般都是随机变量跟时间的函数，但连续参数离散型随机过程中，只有一个变量是时间变量，其余都是参数变量；4、续参数离散型随机过程的状态之间不会连续变化，而是突变，而且是以概率分布进行变化。
一般来说，连续参数离散型随机过程被广泛应用于各行各业，其中最重要的应用就是经济学、计算机科学以及自然科学领域。
在经济学领域，连续参数离散型随机过程被广泛用于分析时间序列，并且有助于研究经济系统的演化情况；在计算机科学领域，连续参数离散型随机过程被用来模拟和分析程序与环境之间的复杂关系；而在自然科学领域，连续参数离散型随机过程则常被用于研究大自然中的相互作用，比如气象研究、生态学研究以及环境工程研究等。
从理论上讲，连续参数离散型随机过程可以用来分析系统的动态性能，或者说，它可以用来模拟系统的稳定性，或者说，它可以用来分析系统的自动化特性，尤其是参数设置方面的特性。
了解连续参数离散型随机过程，可以更好地理解系统的工作机制，从而更好地掌控系统的变化及其运行情况。
在实际应用中，连续参数离散型随机过程也有着广泛的应用，比如在金融分析领域，连续参数离散型随机过程可以用来研究金融指数的变动趋势；在决策分析领域，连续参数离散型随机过程可以帮助把握复杂情况下的最优解决方案；而在医学领域，连续参数离散型随机过程可以用来研究进化和发展过程中的时空关系，以及细胞生物学和基因学研究中的空间结构研究。
总之，连续参数离散型随机过程是一种重要的随机过程，它的应用涵盖了经济学、计算机科学以及自然科学等领域，同时也具有重要的理论意义和实际应用价值。