平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
3第二章平稳随机过程
例题3：
设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上 均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周 期过程，讨论其平稳性。
例题4： 随机过程X(t)只取+I和 -I，且P{X(t)=+I} = P{X(t)= -I}=1/2，而正负号在( t, t+ τ) 的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件 AK={N(t,t+τ)=k}的概率为
1 N
N l im P{|Nk1Xk
m|}1
随时间n的无限增长，随机过程的样本函数 按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的 统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长， 则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各 种可能的状态。
例题：
随机过程X(t)=acos(wt+θ ),a,w为常 数，θ 为(0,2π )上均匀分布的随机变量， 试分析X(t)集合平均和时间平均值、相 关函数和时间相关函数。
E| a bX(t)d|2 ta ba bR X(t1,t2)d1d t2t
结论：数学期望和积分可以交换秩序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连 续，则
b
Y(t) X()d a
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区 间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。
具有各态历经性。
定义6.11
如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T} 的均值和相关函数都具有各态历经性， 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍 历性。
定理6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，则它 的均值具有各态历经性的充要条件为
l T .i .m 2 1 T 2 2 T T ( 1 |2 T |)R [ X () |m X |2 ] d 0
平稳随机过程的概念
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
第11章 - 平稳过程
下面来考虑平稳过程的一、二维概
率密度及数字特征。 利用定义式，令 h t1 有
f1 x1 ; t1 f1 x1 ;t 1 h f1 x1 ;0 f1 x1 f 2 x1 , x 2 ; t1 ,t 2 f 2 x1 , x2 ;t 1 h,t 2 h
E{[ N ( t h) N ( t )][ N ( t h) N ( t )]}
为简单起见，不失一般性，可设 0
当 h 时；见图(a)
t
th
t t h
(a)
由于区间 ( t , t h) 与区间 ( t , t h)
但正态过程例外，因为它的概率密度 函数可由均值和协方差矩阵完全确定。所 以，如果均值，自相关函数不随时间的推 移而变化，则概率密度函数也不随时间的 推移而变化。
例：设 { X n , n 0, 1, 2,} 是实的互不相 关随机变量序列, 且 E[ X n ] 0,D[ X n ] 2 , 试讨论随机序列的平稳性。 解: 因为 E[ X n ] 0, 而
RX ( n, n ) E[ X n X n ]
2 E ( X n ), E ( X n ) E ( X n ),
0 0
D( X n ) [ E ( X n )] , 0 , 0 0
2
, 0 0 , 0
第十一章
•
• • • • •
平稳过程
序言
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 平稳过程的概念 平稳过程相关函数性质 各态历经性 随机过程的功率谱密度 随机过程通过线性系统分析
序
言
平稳过程是很重要、应用很广的一类过 程，工程领域中所遇到的过程很多可以认为 是平稳的。例如：实际场合中的各种噪声和 干扰，都可以认为是平稳的。平稳过程是随 机过程重点内容之一。 本章在相关理论范围内主要讨论平稳过 程的数字特征；各态历经性；相关函数的性 质和功率谱密度。
[理学]2平稳随机过程
![[理学]2平稳随机过程](https://img.taocdn.com/s3/m/ddc2322cbb68a98271fefa60.png)
例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B, ,
为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布，
证明: {X(t)},{Y(t)}是平稳相关的，并求RXY()。
解: 1.首先验证 X(t),Y(t)均为平稳过程.
2.考虑相关函数
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]}
=E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY() 可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0 性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx()
证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
性质3.|Rx()| Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
| R X ( ) || E[ X ( t ) X ( t )] | E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]
n
2
( 3) lim E ( X nYm ) E ( XY )
n m
证明：(1)由柯西-施瓦兹不等式
| E( X n ) E( X ) |2 | E( X n X ) |2 E[( X n X ) 2 ] 0 (n )
( 2) limE ( X n ) E ( X 2 )
第3章平稳随机过程总
在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
2cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
Z(t)是广义平稳的
E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
所以X(t)是非平稳的。
2 宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程） • 由于求n维概率密度比较困难，有时只用到一、二
阶矩，如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自 相关函数），因此，平稳性的定义不需要那么严格， 若随机过程 X(t)满足
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
• 严平稳与宽平稳的关系： 宽平稳只涉及与一、二维概率密度有关的数字 特征； 严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平 稳的，反之不一定成立； 正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。
E(Y
2)
(1)2
2 3
22
1 3
2 3
4 3
2
E( X 3) E(Y 3) (1)3 2 23 1 2
《概率论 浙大版》 - 平稳随机过程
E{[ N ( t h) N ( t )][ N ( t h) N ( t )]}
为简单起见，不失一般性，可设 0
当 h 时；见图(a)
t
th
t t h
(a)
由于区间 ( t , t h) 与区间 ( t , t h)
满足下列条件，则称作为随机电报信号。 ㈠ 相继取值+I或-I , 且
1 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 2 ㈡ 在任意区间 [t, t ) 内信号变化的次数
N ( t , t ) 服从泊松分布
( )k P{ N ( t , t ) k } e , k 0,1,2, k! 也即在区间 [0, t ) ，电报信号变化次数
2
其中, 为整数，故随机序列的均值
为常数, 相关函数仅与 有关。因此，它
是平稳随机序列。
例：设随机过程 X ( t ) a cos( 0 t ) 式中, a, 0 为常数， 是在 (0,2 ) 上 服从均匀分布的随机变量, 证明 X (t )是 平稳过程。 证: 由于
~ U (0,2 )
但正态过程例外，因为它的概率密度 函数可由均值和协方差矩阵完全确定。所 以，如果均值，自相关函数不随时间的推 移而变化，则概率密度函数也不随时间的 推移而变化。
例：设 { X n , n 0, 1, 2,} 是实的互不相 关随机变量序列, 且 E[ X n ] 0,D[ X n ] 2 , 试讨论随机序列的平稳性。 解: 因为 E[ X n ] 0, 而
一、严平稳随机过程及其数字特征 定义：随机过程 { X ( t ), t T } 若对整数n 任意的 t1 , t 2 ,, t n T 以及任意的实数
随机信号分析 第三章平稳随机过程(1)
C X ( )
0, C X ( 0 ) R X ( 0 ) m X 2 X 2
2.宽平稳随机过程
如果随机过程 X (t )满足 E [ X (t )] m X (t ) m X R X [t1 , t 2 ] R X ( ) 且 E [ X (t )]
0 0 0
T
T
cos w dt lim 4T .2T .cos w
0 T 0
a2
a2 2
cos w0
可见，随机过程 X (t )的时间均值和自相关函 数满足： E [ X (t )] X (t ) 0， R X ( ) X (t ) X (t ) 因此， X (t )是各态历经过程。 a2 2 cos(w0 )
3.1.2各态历经过程
设X(t)是一个平稳过程
1 .若 x (t ) E [ X (t )] m X 以概率 1成立，则称随机过程 X (t )的均值具有各态历经性 。
2 .若 X (t ) X (t ) E [ X (t ) X (t )] R X ( )以概率 1成立， 则称随机过程 X (t )的自相关函数具有各态 历经性。
0
1
2
t1 ) a cos 2 (t1 t 2 ) a ]da
0.5, t1 t 2 0, t1 t 2
所以，X(t)是宽平稳的
3.1.2各态历经过程
辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平稳过程的一个 样本函数取时间均值.当观察时间充分长,将从概率意义上趋 近它的统计平均.这样的平稳过程就说它具有各态历经性或 遍历性. 各态历经过程的每个样本都经历了随机过程的各种可能 状态,任何一个样本都能充分代表随机过程的统计特性
第2章平稳随机过程汇总
第2章平稳随机过程2．1 平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。
不大起大落。
随机过程X (t) ，当t变化时，得一系列随机变量：X(t1)，X(t2)，⋯⋯X(t n)。
X (t )具有“平稳”性，是指X(t i)的变化稳定，不“大起大落” ，各X (t i )具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。
在统计学中，X (t1 ) ，X (t 2) ，⋯⋯X (t n )往往假设满足“独立同分布” ( iid )。
“独立” 性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性” 。
2．1．1 严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程X(t) 的n维概率密度(或n维分布函数) p X (x1,x2 x n,t1,t2 t n )不随时间起点选择不同而改变。
即：对任何n和，过程X (t )的概率密度满足：p X (x1,x2 x n,t1,t2 t n) p X (x1,x2 x n,t1 ,t2 t n )则称X (t )为严平稳过程。
二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程X(t) 的一维概率密度与时间无关；严平稳过程X (t )的二维概率密度只与t1、t2 时间间隔t2 t1 有关。
证明：当n ＝1时，对任何，有p X (x1,t1) p X(x1,t1 )。
取t1，则有p X (x1,t1) p X (x1,t1 ) p X(x1,t1 t1) p X (x1,0) p X (x1)。
当n＝2时，对任何，有p X(x1,x2,t1,t2) p X (x1,x2,t1 ,t2 )。
取t1，t2 t1，则p X(x1,x2,t1,t2) p X (x1,x2,0,t2 t1) p X(x1,x2, )。
三、严平稳过程的数字特征(1)若X (t )是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。
21证明：m X (t) E(X(t)) xp X (x,t)dx xp X (x)dx m XE( X 2(t)) x2p X(x,t)dx x2p X (x)dx X222D(X(t)) (x m X )2p X (x)dx 2X(2)若X (t )是严平稳过程，则它的自相关函数R X (t1 ,t 2 )只是间间隔t2 t1的单变量的函数。
第二章随机信号分析2.3.1平稳随机过程的定义
第二章随机信号分析2.3.1平稳随机过程的定义
2.3.1 平稳随机过程的定义：
一、平稳随机过程的定义:
如果对于任意和以及有：则称为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。
二.平稳随机过程的数字特征：
1）,平稳随机过程的数学期望与时间无关
2），平稳随机过程的方差与时间无关
3）其中：
4）
平稳随机过程的数学期望及方差与无关，它的自相关函数和协方差函数只与时间间隔有关；随机过程的这种“平稳”数字特征，有时就直接用来判断随机过程是否平稳。
即若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与有关，即我们就称这个随机过程是广义平稳的。
三.宽平稳随机过程（广义平稳）:
若的数学期望为常数，且自相关函数只与有关，则称为宽平稳随机过程，或称广义平稳随机过程。
不难看出，严平稳过程一定是宽平稳过程，反之，不一定。
但对于正态随机过程两者是等价的。
后面，若不加特别说明，平稳过程均指宽平稳过程。
四. 联合宽平稳随机过程：
若，是宽平稳过程，且其中：。
则称和为联合宽平稳随机过程。
平稳随机过程
例2:随机相位正弦波X(t)=acos(0t+Θ) ，a, 0为常
数，Θ是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量,则
{X(t)}是平稳过程，并求其自相关函数.
解: 由假设,Θ的概率密度为
f
(
)
1 /
2
0
0 2
其它
于是,X(t)的均值函数为
E[X (t)]
E[a cos(0 t
)]
a
2
进而协方差，Cx()=E{[X(t)-x][X(t+)-x]}=Rx()-x2只 与有关；
=0时，x2=Cx(0)=Rx(0)-x2 为常数.
二、(弱)平稳过程
1． 定义
设{X(t),tT}是二阶矩过程,如果 (1) E[X(t)]=x(常数)，tT； (2) 对任意的t,t+T, Rx()=E[X(t)X(t+)]只依赖于。 则称{X(t),tT}为宽平稳过程,简称为平稳过程.
RX
(
)
1 2
a2
cos 0
一般地，设s(t)是一周期函数，ΘU(0,T)称 {X(t)=s(t+Θ)}为随机相位周期过程，则其为平稳过程。
例3: 考虑随机电报信号,信号X(t)由只取 I 或-I的电流给出(图12-1画出了的一条样本曲地，当T为离散参数集时，若随机序列{Xn(t)}满 足E(Xn2)<+,以及
(1) E[Xn]=x(常数)，nT； (2) Rx(m)=E[XnXn+m]只与m有关。 称{Xn}为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。
2．严平稳和宽平稳的关系
(1)．严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过 程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过 程时,则它一定是宽平稳过程。
三.平稳随机过程
解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ)
式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得
(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)]与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程
若随机过程 X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
解： mX (t) EX t E t2 Asin t B cost
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t) Asin t B cost
mY (t) EY t EAsin t B cost 0 RY (t1,t2 ) EY t1Y t2 EAsin t1 B cost1Asin t2 B cost2
mX 2 RX 2() 10 所以有
mX mX1 mX2 10
E[ X 2 (t)] RX (0) 300
2 X
RX (0) mX2
300 100 200
严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度 与时间无关
二维概率密度仅 与时间间隔有关
均值、均方值、 方差及 E[ X k (t)] 与时间无关
例5：已知随机过程 X (t) a cosw0t ,其中a和w0是常数，
趋势平稳随机过程的数字特点
趋势平稳随机过程的数字特点趋势平稳随机过程是一种常见的随机过程，其数字特点包括以下几个方面：1. 均值函数和自相关函数趋势平稳随机过程的均值函数和自相关函数是该过程的两个重要数字特点。
均值函数描述了该过程在时间上的平均水平，自相关函数则描述了该过程在不同时间点之间的相关性。
对于趋势平稳随机过程来说，其均值函数是常数，即不随时间变化而变化；而自相关函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
2. 方差和自协方差函数除了均值函数和自相关函数外，趋势平稳随机过程还有方差和自协方差函数这两个数字特点。
方差描述了该过程在不同时间点上的波动强度，而自协方差则描述了该过程在不同时间点之间的协方差。
对于趋势平稳随机过程来说，其方差是常数，即不随时间变化而变化；而自协方差只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
3. 长期趋势和短期波动由于趋势平稳随机过程的均值和方差都是常数，因此该过程具有长期趋势和短期波动两个特点。
长期趋势是指该过程在较长时间尺度上的变化趋势，而短期波动则是指该过程在较短时间尺度上的随机波动。
4. 随机游走和白噪声趋势平稳随机过程可以分解为随机游走和白噪声两个部分。
随机游走描述了该过程的长期趋势，而白噪声则描述了该过程的短期波动。
随机游走是一种连续累加的过程，其均值和方差都会不断增加；而白噪声是一种无序、无相关性的随机波动。
5. 平稳性和非平稳性最后一个数字特点是平稳性和非平稳性。
对于趋势平稳随机过程来说，其均值、方差、自相关函数和自协方差函数都是常数，因此具有平稳性；而对于非趋势平稳随机过程来说，这些数字特点会随时间变化而变化，因此不具有平稳性。
综上所述，趋势平稳随机过程的数字特点包括均值函数、自相关函数、方差、自协方差函数、长期趋势、短期波动、随机游走、白噪声以及平稳性和非平稳性。
这些数字特点可以帮助我们更好地理解和描述趋势平稳随机过程的行为和性质。
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。
一.严平稳随机过程1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1<t2<…<tn ，（ti ∈T ）时刻的n 个状态的n 维概率密度，不随时间平移Δt 而变化。
(Δt 为任意值)12121212(,,...,;,,...,)(,,...,;,,...,)X n n X n n f x x x t t t f x x x t t t t t t =+Δ+Δ+Δ则称该过程为严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。
因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。
a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间进程中不变化。
则此过程就可以认为是平稳的。
例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。
1212121212121212222(,)(,;)()(,)()()(,;)()()(0)(0)[()]X X X X XX X X X XX X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x mx m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=⋅==−−==−=−==∫∫∫∫∞<)]([2t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。
即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。
因此，工程中平稳过程的定义如下：二、宽平稳过程1、定义若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。
8平稳随机过程
以上定义说明:平稳过程的统计特性与所选择的时间起点无关。
对连续型严平稳过程，其一、二维概率密度及数字特征有如下性质： (1)如果{X(t)}为严平稳过程，则它的一维概率密度与时间无关， 其均值函数、均方值和方差函数都为常数。 (2)如果{X(t)}为严平稳过程，则它的二维概率密度只与t1,t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关，因此其自相关函数、自协 方差函数也只与时间间隔有关而与时间起点无关。
Fn x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n Fn x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n
则称X t , t T 为严平稳过程。
以上定义的是离散型的严平稳过程。对连续型，则用概率密度来描述→
第八章 平稳随机过程
8.1平稳随机过程的概念及数字特征
一、严平稳过程
设X t , t T 为 一 随 机 过 程 ， 若 对 的 任 意 个 值t 1 , t 2 , , t n 对 任 意 实 数 T内 n
' , t 1 ' , t 2 ' , , t n ' T可 使n维 随 机 变 量X t 1 , X t 2 , , X t n , 与 X t 1 ', X t 2 ',, X t n '有 相 同 的 分 布 ， 即 t , t T 的 分 布 满 足 X
t 0
(2)定理8.2.1：如果随机过程{X(t),t∈T}是均方连续的，则其均值 函数μX(t)必定是连续函数，即
如果 l i m X t t X t
t 0
则有 lim X t t X t
平稳随机过程的数字特征
随机信号分析实验报告实验一平稳随机过程的数字特征班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验内容和步骤设随机电报信号X(n)(-∞<n<+∞)是只取+I和-I 变化的电流信号，对于固定的n,，P{X(n)=+I} =P{X(n)=-I}=0.5,而正负号的变化是随机的，在[n,n+m]时间内正负号变化的次数记为M(n,n+m).设M(n,n+m)服从参数为λ.m 的泊松分布，其中λ=1/学号（38），用VC 、TC 或matlab编程求解：1、E[X(n)]2、R X (m).打印m=-N,…-1,0,1,…N;其中N=64时的自相关序列值，并绘出R X (m)的曲线.3、相关系数序列ρX (m)=C X (m)/ C X (0),并打印m=-N,…-1,0,1,…N;其中N=64时的自相关系数序列值，并绘出ρX (m)的曲线.三、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理四、相关序列和相关系数的图形2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/2220(){()()}(2)!m k mk m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X XC m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=五、程序nunumber=30; %学号为30I=5; %幅值为5u=1/number;Ex=I*0.5+(-I)*0.5N=64;% 实验p0=1; %当m=0时，变化次数为0次；p(1)=exp(-u);for m=2:Nk=1:m/2;p(m)=exp(-u*m)+sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));end;pp=[fliplr(p) p0 p];Rx=(2*pp-1)*I^2;m=-N:N;Kx=Rx-Ex*Ex;rx=Kx/25;subplot(211),plot(m,Rx);axis([-N N 0 I*I]);title('自相关序列');subplot(212);plot(m,rx);axis([-N N 0 1]);title('相关系数');实验二 平稳随机过程的谱分析一、实验目的1、复习信号处理的采样定理2、理解功率谱密度函数与自相关函数的关系3、掌握对功率谱密度函数的求解和分析二、实验内容和步骤已知平稳随机过程的相关函数为：设计程序求:1.利用采样定理求R 1(m)2.利用R X (τ)求S X (w),3.利用功率谱密度采样定理求S(w)(离散时间序列的功率谱密度)4.利用IFFT 求R(m)5.利用求出的R 1(m)，用FFT 求S 1(w)6.比较上述结果。
趋势平稳随机过程的数字特点
趋势平稳随机过程的数字特点介绍随机过程是用来描述随机现象变化的数学模型。
在许多实际应用中，我们经常遇到的是时间序列数据，比如股票价格、气温变化等，而趋势平稳随机过程就是其中一种重要的模型。
本文将深入探讨趋势平稳随机过程的数字特点，包括其概念、性质和应用等方面。
什么是趋势平稳随机过程在介绍趋势平稳随机过程之前，先来了解一下随机过程的基本概念。
随机过程是一个随机变量的集合，表示在不同的时间点观测到的随机现象。
趋势平稳随机过程是指其均值和方差是恒定不变的，即不随时间变化。
趋势平稳随机过程的性质趋势平稳随机过程具有以下几个重要的性质：均值恒定在一个趋势平稳随机过程中，随机变量的均值在时间上是恒定的。
这意味着随机过程的平均值不会随着时间的推移而发生变化。
这个性质对于分析时间序列数据非常有用，可以用来检测是否存在趋势或变化点。
方差恒定趋势平稳随机过程的方差也是恒定的。
这意味着随机过程的波动不会随时间的推移而发生变化。
方差的恒定性使得我们可以对随机过程的波动性进行有效的估计和预测。
自协方差和自相关函数的恒定性趋势平稳随机过程的自协方差和自相关函数是时间的函数，但是对于任意的时间差，它们的值都是恒定的。
这表示随机过程的相关性不会随着时间的推移而改变，这对于分析时间序列数据的相关性和相互关系非常有用。
独立同分布趋势平稳随机过程的各个随机变量是独立同分布的。
这意味着随机变量间的关系不会随时间的推移而改变，它们之间的关系是固定的。
这个性质对于预测和模拟趋势平稳随机过程非常重要。
趋势平稳随机过程的应用趋势平稳随机过程在实际应用中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：经济金融在经济金融领域，趋势平稳随机过程被广泛应用于股票价格、汇率、利率等时间序列数据的建模和预测。
通过对趋势平稳随机过程的分析，可以帮助投资者和决策者做出更加准确的决策。
气象气象数据是一种典型的时间序列数据，趋势平稳随机过程可以用于预测气温、降雨量等气象变量的变化。
趋势平稳随机过程的数字特点
趋势平稳随机过程的数字特点趋势平稳随机过程是指在不同时间点上的观测值之间存在相关性和趋势的一种随机过程。
它具有以下几个数字特点：1. 长期平均值稳定：趋势平稳随机过程的长期平均值是固定的，不会随时间的推移而发生变化。
这意味着在不同时间点上观测到的平均值不会出现明显的偏移。
2. 方差稳定：趋势平稳随机过程的方差是恒定的，不会随时间的推移而改变。
这意味着在不同时间点上观测到的方差不会有显著的波动。
3. 自相关性：趋势平稳随机过程在不同时间点上的观测值之间存在相关性。
这意味着当前观测值与过去观测值之间存在一定的关系，可以用来预测未来的观测值。
4. 趋势性：趋势平稳随机过程在长期观测中存在明显的趋势。
这意味着观测值在时间上呈现出递增或递减的趋势，而不是随机波动。
5. 非周期性：趋势平稳随机过程不具有周期性。
这意味着观测值不会按照固定的周期性模式重复出现。
6. 递增的波动幅度：趋势平稳随机过程的波动幅度随时间的增加而递增。
这意味着随着时间的推移，观测值的变化幅度会逐渐增大。
7. 随机性：趋势平稳随机过程具有随机性，即观测值在一定范围内随机地波动。
虽然存在趋势性，但观测值的具体取值仍然是随机的。
通过以上的数字特点，可以看出趋势平稳随机过程在一定程度上具有一定的可预测性。
通过观察过去的观测值和趋势，可以对未来的观测值进行一定程度的预测。
同时，由于随机性的存在，趋势平稳随机过程也具有一定的不确定性，无法完全准确地预测未来的观测值。
在标题中心扩展下，趋势平稳随机过程的数字特点可以进一步解释如下：1. 长期趋势性：趋势平稳随机过程的长期趋势是固定的，并且在一定范围内保持稳定。
这意味着在长期的观测中，观测值会呈现出一定的增长或减少趋势。
2. 短期波动性：趋势平稳随机过程在短期观测中存在一定的波动性。
观测值会在长期趋势的基础上出现一些随机波动，使得观测值在短期内有一定的不确定性。
3. 自相关性：趋势平稳随机过程的观测值之间存在自相关性，即当前观测值与过去观测值之间存在一定的关联。
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平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程
粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。
一.严平稳随机过程
1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1<t2<…<tn ，（ti ∈T ）时刻的n 个状态的n 维概率密度，不随时间平移Δt 而变化。
(Δt 为任意值)
12121212(,,...,;,,...,)
(,,...,;,,...,)
X n n X n n f x x x t t t f x x x t t t t t t =+Δ+Δ+Δ则称该过程为严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。
因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数
综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。
a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间
进程中不变化。
则此过程就可以认为是平稳的。
例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。
12121212
12
1
21212
2
2
2
(,)(,;)()
(,)()()(,;)()()(0)(0)[()]
X X X X X
X X X X X
X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m
x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=⋅==−−==−=−==∫∫∫∫
∞<)]([2
t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。
即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。
因此，工程中平稳过程的定义如下：
二、宽平稳过程1、定义
若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数
R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关
则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。
可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。
反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。
c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。
即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。
对于随机过程X(t)=αcos(ωot+ϕ)而言，当ϕ在(0，2 π)或(-π，π) 上均匀分布时，X( t )是平稳的。
当ϕ在(0，π)上或ϕ在(0，π/2) 上均匀分布时，X(t) 是非平稳过程。
因为当ϕ在(0，π)上均匀分布时，E[X(t)]=(-2 α/ π)sin ωot≠常数
当ϕ在(0,π/2) 上均匀分布时，E[X(t)]=2 α/ π(sin ωo t-cosωo t) ≠常数τ。