多项式除法及高次方程的解教程文件
多项式除法
关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．解：所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：所以，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。
多项式课件-新人教版
公式法
公式法是一种基于数学公式进行多项 式因式分解的方法。根据公式，我们 可以将多项式表示为几个整式的积的 形式。常用的公式包括平方差公式、 完全平方公式等。
例如，多项式$a^2 - b^2$可以分解 为$(a + b)(a - b)$，其中使用了平方 差公式。
十字相乘法
01
十字相乘法是一种通过将二次项 和常数项拆分成两个数的乘积， 然后交叉相乘得到一次项系数， 从而找到因式分解结果的方法。
02 多项式的加减法
同次多项式的加减法
同次多项式是指各个项的次数相同的 多项式，例如$2x^3 - 3x^3$。同次 多项式的加减法可以通过系数相加减 ，字母部分不变的方式进行计算。
计算方法：将同次多项式的系数进行 加减运算，例如$2x^3 - 3x^3 = (23)x^3 = -x^3$。
不同次多项式的加减法
解法
通过移项和合并同类项，将方程化为标准形式 ax+b=0，然后求解x=-b/a（当a≠0）。
3
实例
2x+5=0的解是x=-5/2。
一元二次方程的解法
01
定义
一元二次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的方程。
02
解法
通过因式分解或配方法，将方程化为标准形式ax^2+bx+c=0，然后求
解x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
合并同类项
合并同类项是指将多项式中相同或相似项进行合并，例如 $2x^2 + 4x^2 + 6x^2$。合并同类项可以简化多项式，使 其更易于计算和理解。
计算方法：将多项式中相同或相似项的系数进行相加或相减 ，字母部分不变。例如$2x^2 + 4x^2 + 6x^2 = (2+4+6)x^2 = 12x^2$。
高次方程及其解法
高次方程及其解法2009-12—06 11：35：27｜分类：学生园地| 标签：|字号大中小订阅1.一元n次方程：（1）标准形式： a0x n+a1x n—1+a2x n-2+…+a n—1x+a n=0（a0≠0),当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想:高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2。
高次方程根的存在定理设多项式f(x）=a0x n+a1x n—1+a2x n-2+…+a n—1x+a n(a0≠0)(1）因式定理：多项式f(x）含有因式x—a的充要条件是f（a)=0。
(2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f（x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0），那么它必定还有另一个根a—bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f（x）=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根,那么a—√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）;②若√a+√b是方程的根,那么√a—√b，—√a+√b，—√a-√b必也是它的根（其中,√a、√b都是无数）;③若方程有一个虚根√a+√bi（a，b∈R且b≠0），那么√a—bi,—√a+√bi，—√a-√bi必也是它的根(其中，√a、√b都是无理数).(4）整系数方程有理根存在定理:①如果方程f(x）=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中,如果α是方程的整数根，那么二比值f(1）/（α—1)和f（-1）/（α+1)都是整数；③在整系数方程f(x）=0中，如果f(0）与f（1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f（x）=0的有理根都是整数。
如果方程没有整数根，那么它也没有有理根。
3。
一元n次方程的解法:（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n—2+…+a n—1x+a n=0(a0≠0）的解法通常用验根法、因式分解法和换元法。
高等代数综合除法具体步骤讲解 -回复
高等代数综合除法具体步骤讲解-回复高等代数综合除法是代数学中的一种基本运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式。
本文将详细介绍高等代数综合除法的具体步骤，并逐步讲解每个步骤的原理和运算方法。
假设我们需要对一个多项式N(x)进行除法运算，N(x)的表达式为：N(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + ... + a_1*x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0是常数系数，x是未知数。
除数多项式D(x)的表达式为：D(x) = d_m*x^m + d_{m-1}*x^{m-1} + ... + d_1*x + d_0其中，d_m, d_{m-1}, ..., d_1, d_0是常数系数，m是除数的次数。
综合除法的目标是找到商多项式Q(x)和余项多项式R(x)，使得：N(x) = Q(x) * D(x) + R(x)其中，Q(x)是商多项式，R(x)是余项多项式。
具体的综合除法步骤如下：步骤一：将N(x)和D(x)按照次数从高到低排列。
确保N(x)和D(x)都是按照从高次到低次的顺序写出。
步骤二：找到商多项式的首项，即Q(x)的次数最高项。
假设Q(x)的首项为q_k*x^k。
步骤三：将q_k*x^k与D(x)相乘，并记为T_k(x)。
T_k(x)的表达式为：T_k(x) = q_k*x^k * D(x) = q_k*x^k * (d_m*x^m +d_{m-1}*x^{m-1} + ... + d_1*x + d_0)步骤四：于N(x)中找到与T_k(x)次数最高项相同的项加减消去。
假设N(x)的次数最高项为n_l*x^l。
步骤五：计算q_k，并将q_k*x^k - n_l*x^l相减得到新的多项式。
步骤六：将新的多项式作为新的被除多项式，并重新回到步骤二。
重复这个过程，直到被除多项式的次数小于除数的次数。
步骤七：得到最终的商多项式Q(x)和余项多项式R(x)。
14.1.4.6多项式除以多项式讲解
(15 x 2 y 10 x y 2 ) 5 x y;
(8a b 4ab ) 4ab;
2 3 3
( 4 c d c d ) ( 2 c d ).
1 2 -2- cd 2
解：
单项式相除
小结
1.系数相除； 2.同底数幂相除； 3.只在被除式里的幂不变.
多项式除以单项式
11
3 8 12 9 3 =- a b c ¸ (-8a 4 b5c) 27 1 12-4 9-5 3-1 = a b c 27 1 8 4 2 = abc. 27
(3)(5ab2c)4÷(-5ab2c2)2. (4)36x4y3z÷(5x2y)2.
(5ab2c)4÷(-5ab2c2)2 【解析】 =(54a4b8c4)÷(52a2b4c4)
3 2
4a 2a 1.
2
（2） (36x
4 3
y 24x y 3x y ) (6x y).
3 2
2
2 2
2
【解析】原式
1 6x y 4xy y. 2
2
【跟踪训练】
1.计算
(1)(2.2×1011)÷(4.4×109).
(3)(5ab2c)4÷(-5a-b 的值。 a b 2a-b 2.已知x =2，x =3，求x 的值。
同底数幂的除法可以逆用：
m-n m n a =a ÷a
多项式除以单项式，先把这个多项式的每 一项除以这个单项式，再把所得的商相加
表达式（a+b+c）÷m=a ÷ m +b ÷ m+c ÷ m。
先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加.
类比的数学思想
【解析】 36x 4 y3z (5x 2 y) 2 =36x 4 y3z 25x 4 y 2 36 = yz. 25
高等代数综合除法具体步骤讲解 -回复
高等代数综合除法具体步骤讲解-回复高等代数中的综合除法是一种用于计算多项式之间的除法的方法。
它是一种重要的代数技术，可以应用于求解多项式的根和因式分解等问题。
在本文中，我将详细介绍综合除法的具体步骤，并通过几个例子来说明。
综合除法的目标是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个商式和余式。
首先，我们需要明确两个多项式的次数和系数的表示方法。
假设被除式是f(x)，除式是g(x)，那么它们的次数分别为n和m。
我们可以将它们表示为：f(x) = aₙxⁿ+ aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀g(x) = bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹+ ... + b₁x + b₀其中aₙ、aₙ₋₁、...、a₀和bₙ、bₙ₋₁、...、b₀分别是各项的系数。
综合除法的具体步骤如下：步骤1：将f(x)和g(x)的系数按照次数从高到低排列，并确保两个多项式的次数对齐。
如果f(x)的次数小于g(x)的次数，可以在f(x)前面添加一个零系数的项，使它们的次数对齐。
步骤2：取f(x)的首项系数与g(x)的首项系数相除，得到一个商式的首项。
将这个商式的首项与g(x)的每一项相乘，得到一个新的多项式，记为q(x)，并将它从f(x)中减去。
这样就得到了一个新的多项式，记为r(x)，它的次数小于等于f(x)的次数。
步骤3：如果r(x)的次数小于g(x)的次数，那么继续前面的步骤，取r(x)的首项系数与g(x)的首项系数相除，得到一个新的商式的首项，并重复上述步骤，直到r(x)的次数大于等于g(x)的次数。
步骤4：当r(x)的次数大于等于g(x)的次数时，说明除法已经完成。
此时，r(x)即为余式，q(x)为商式。
下面通过几个具体的例子来说明综合除法的步骤。
例子1：计算多项式f(x) = 2x⁴+ 9x³- 5x²- 8x + 6 除以g(x) = x ²+ 3x - 2。
首先，按照步骤1，将两个多项式的系数按照次数从高到低排列，并确保它们的次数对齐：f(x) = 2x⁴+ 9x³- 5x²- 8x + 6g(x) = x²+ 3x - 2然后，按照步骤2，取f(x)的首项系数2与g(x)的首项系数1相除，得到一个商式的首项2。
高等代数教案：1.3多项式的整除
课题
授课时间
授课时数
1学时
教学目的及要求
1.使学生熟练掌握多项式的带余除法;
2.使学生牢固掌握多项式整除的定义和基本性质;
教学重点
1.多项式的带余除法定理;
2.多项式整除的定义与基本性质.
难点
1.多项式的带余除法定理;
2.多项式整除的定义与基本性质.
教学方法
讲授法
教学的主要内容和过程
例1设 , ,求 除 所得的商式
和余式 .
定义1设 , ,如果存在 使
(2)
则称 整除 ,记作 .如果这样的 不存在,则称 不整除 ,记作 .当 时,称 是 的因式.
注2如果 是 的因式且 ,则显然有 .
下面利用带余除法给出整除性的一个判别法:
定理1.3.2若 ,则 (1)式中的 .
例2试确定 使 能够整除 .
们有 .
注4需要指出的是:根据商式和余式是唯一存在的这一事实可知,多项式的整除关系不因数域的扩大而改变.
例3证明:对任意多项式 和任意非零常数 恒有 .
例4证明: 且 且 .
此处需强调!
作业
P20第1题(2),第2题Fra bibliotek参考文献
1.张禾瑞,郝丙新,《高等代数》（第四版）,高等教育出版社,1999年.
2.北京大学数学系,《高等代数》（第三版）,高等教育出版社,1999年.
注3根据整除的定义,对任意多项式 ,如下事实成立:
(1) (零多项式);
(2) ;
(3) , 为非零常数.
下面我们为大家介绍关于整除的几个常用性质:
定理1.3.3 且 . (整除的传递性)
定理1.3.4 且 , 为非零常数.
高次方程解法[整理版]
![高次方程解法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2e1172442323968011ca300a6c30c225901f07c.png)
高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
(完整版)高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),Θ(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
多项式除以多项式
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来． （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-． 综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式综合除法具体步骤讲解
多项式综合除法具体步骤讲解好嘞，今天咱们聊聊多项式综合除法，这个名字听着有点高大上，其实操作起来并不复杂，咱们就像在做一道简单的菜，慢慢来，没事儿的。
多项式就像一堆混合的水果，有的甜，有的酸，有的还带点苦味，真是五味俱全。
综合除法呢，就像是把这些水果放进搅拌机里，搅拌得当，最后能喝上一杯美味的果汁。
哎，别看我开玩笑，这其中的奥妙可真不少呢！好，咱们开始吧。
想象一下，你手里有个多项式，比如说 (2x^3 + 3x^2 x + 5)，然后你还有一个除数，比如 (x 2)。
你就像在准备做饭，得先把材料准备好。
先写下被除式，下面留个空位，接着把除式放到旁边，这样做很方便，心里也有个谱。
然后，想象一下这个被除式就像是一条长长的街道，街道上车水马龙，而除式就像是开着小车的司机，准备上路了。
咱们要把最高次项的系数拿出来，咱们看看，最高次项是 (2x^3)，除以 (x)，哦，那就是 (2x^2)。
这时候你心里得想，司机已经开上路了，真是个老司机。
把 (2x^2) 乘以 (x 2)，咱们来点小计算，得到 (2x^3 4x^2)。
这时候，把它从被除式里减去，就好比在街道上把小车的行李卸下来，瞬间整洁多了。
减完之后，咱们看到，剩下的是(3x^2 + 4x + 5)，就像街道上又多了一些小商铺，热闹非凡。
这时候，你要重复这个过程，继续往下走。
拿着 (3x^2)，除以 (x)，得出 (3x)。
把它乘回去，得到 (3x^2 6x)，接着再减去，这就好比小商铺又关掉了一家，剩下的是(10x + 5)，简直就像有家新开张的小店，越开越热闹。
继续这一路走下去，咱们再来一次，10x 除以 x 得 10，乘上去是 (10x 20)，再减去，剩下的就是 (25)。
嘿，咱们终于来到了终点，街道的尽头有一座小房子，住着常数25。
咱们得出结论，原来的多项式 (2x^3 + 3x^2 x + 5) 除以 (x 2) 的结果就是 (2x^2 + 3x + 10)，余数是25。
简单高次不等式的解法：数轴穿根法、猜根、多项式的竖式除法
简单高次不等式的解法：数轴穿根法、猜根、多项式的竖式除法在高中数学的学习过程中有时候会接触到简单高次（一般为3次）不等式问题，本文就和大家一起来探讨一下，如何解简单高次不等式一、该不等式所对应的多项式已经因式分解，能轻易知道其零点，如下题此种情况可以直接利用数轴穿根法步骤1：先画数轴步骤2：在数轴上标出零点步骤3：开始穿根，若最高次项系数为正，则从右上方开始穿根，若最高次项系数为负，则从右下方开始穿根，画波浪线如下图所示【本题最高次项系数为正，所以从右上方开始】步骤4：读取解集，上正下负，所以本题的解为为了让大家能更直观的理解，请看下图【用作图软件画出的精确图形】，手绘的草图虽然不够精确，但是对该不等式最终的解是没有影响的下面我们再看一个例题此例与上面那个题类似，但是该四次多项式的4个根中有两个相等的根“0”，那么是不是有所不一样呢？我们先看看用作图软件画出的精准图形，看看它所对应的四次函数图像长什么样吧！我们发现数轴穿根时，在“0”这个地方并没有穿过去，而是与数轴相切了，那么这是不是偶然现象呢！我们可以自己动手多做几个“实验”就知道了【常见的函数画图软件有：几何画板（Windows版），goodgrapher（ios版），desmos（ios版），mathlab图形计算器（安卓版）等等，有兴趣的同学可以自己动手试试看】相信聪明的你在自己操作之后应该找出了其中的规律：奇穿偶切如果某个根的个数为奇数，则画波浪线时要在该根处穿过数轴如果某个根的个数为偶数，则画波浪线时在该根处不穿过数轴，即与数轴相切在掌握此规律后我们再做此类题就应该很轻松了，比如你能在草稿纸上画出它的大致图像吗？写出它的解集时需要注意“=”哟你写对了吗？二：如果所给的高次不等式没有因式分解，而是像下面这个题似的，我们又该怎么办呢？那么在这种时候我们需要冷静，需要知道如果在高中阶段出现这种三次不等式，它的解一定不会太复杂【如果太复杂的话，就不是高中阶段能解决的了】，我们只需猜根即可，一般猜1，-1，2，-2等整数值，比如本题我们将1代入，发现左边等于0，说明有一个根是1，进而得出该多项式有x-1这个因式，当我们猜出一个根，是否还需要继续猜呢？一般不需要，因为很多的时候我们无法猜出所有的根，就算猜出所有的根，也无法判断每个根具体的个数。
《多项式教案》
《多项式教案》word版第一章：多项式的概念与基本性质1.1 多项式的定义解释多项式的概念，引导学生理解多项式是由常数、变量及它们的运算符组成的代数表达式。
举例说明多项式的不同形式，如ax^2 + bx + c。
1.2 多项式的项解释多项式中的项是指由常数与变量的乘积组成的代数表达式。
强调项中的系数、变量和指数的概念，并提供相关例题进行讲解。
1.3 多项式的度数介绍多项式的度数是指多项式中最高次项的次数。
举例说明如何确定一个多项式的度数，并强调度数与多项式长度之间的关系。
1.4 多项式的系数解释多项式中各项的系数是指变量的系数，即变量前的常数。
提供例题讲解如何计算和理解多项式中各项的系数。
第二章：多项式的运算2.1 多项式的加法解释多项式加法是指将两个多项式相加得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的加法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.2 多项式的减法解释多项式减法是指将一个多项式减去另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的减法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.3 多项式的乘法解释多项式乘法是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的乘法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.4 多项式的除法解释多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的除法运算，并提供练习题让学生进行实践。
第三章：多项式的因式分解3.1 因式分解的概念解释因式分解是指将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积的形式。
强调因式分解的重要性，并展示因式分解的应用示例。
3.2 提取公因式解释提取公因式是指从多项式中提取出一个共同的因式，简化多项式的形式。
演示如何提取公因式，并提供练习题让学生进行实践。
3.3 因式分解的常用方法介绍因式分解的常用方法，如分组分解法、交叉相乘法等。
演示如何应用这些方法进行因式分解，并提供练习题让学生进行实践。
3.4 因式分解的应用解释因式分解在解决代数方程、不等式等问题中的应用。
多项式-方程求解ppt课件
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上机作业
x2y z 4
6.解线性方程组
x
2
y
z
5
x y 4z 1
7. 求方程 x3 5x2 3x 0 在0.5附近的根， 在 [2,5]区间内的根
8. 求方程 x5 11x3 42x2 51x 3 的所有根
x y z 10
9. 解方程组 2 x y z 2
多项式加减运算
Matlab 没有提供专门进行多项式加减运算的函数，事实 上，多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算
对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量进行 加减运算；
如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系 数不足的高次项用 0 补足，然后进行加减运算。
例： p1 2x3 x2 3
例：解方程组
x 2 y z 27
x
z
3
x2 3 y2 28
>> [x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3', ...
'x^2+3*y^2=28','x','y','z')
输出变量的顺序要书写正确！(字母表顺序)
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求解方程函数小结
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用
p( x) an x n an1x n1 a1x a0 在 Matlab中表示为向量：[an ,an1, ,a1,a0 ]
例： 2x3 x2 3
[2, 1, 0, 3]
注：系数中的零不能省！
三多项式高次方程与复数.doc
三、 多项式、高次方程与复数多项式问题，就内容来说，常涉及到多项式的恒等，多项式的运算，整值多项式，多项式的根，多项式的公因式，因式分解，多元多项式等.一、一元多项式 先从一个实际试题谈起.例1. 计算4444444444(10324)(22324)(34324)(46324)(58324)(4324)(16324)(28324)(40324)(52324)++++++++++ 解：仔细观察各括号中的式子，都具有的形式，而 4()324f a a =+ 422221818218a a a =+⋅⋅+-⋅222(18)(6)a a =+-22(618)(618)a a a a =-+++2()(6)(()618)q a q a q a a a =+⋅=-+命4a =,18,10,16,22,…,58,则 原式(10)(22)(34)(46)(58)(4)(16)(28)(40)(52)f f f f f f f f f f = (10)(16)(22)(28)(58)(64)(4)(10)(16)(22)(58)q q q q q q q q q q q ⋅⋅=⋅⋅ (64)3730373(14)10q q ===. 例2. 以(1)x -的方幂表示232x x ++.解 设2232(1)(1)x x A x B x C ++≡-+-+，于是2232(2)()x x Ax B A x A B C ++≡+-+-+比较恒等式两端同类项的系数，得A=1, 2A+B=3, A-B+C=2.解之，得 A=1, B=5, C=6.于是2232(1)5(1)6x x x x ++≡-+-+.例3. 求多项式()f x 被()()x a x b --除的余式.解 因为除式是二次多项式，所以余式最多是一次二项式.设 (()()()()f x Q x x a x b Ax B =--++令 ,x a x b ==，分别可得(),()f a Aa b f b Ab B =+=+.可此可得()()()(),f a f b bf a af b A B a b b a--==-- 于是所求余式为()()()()f a f b bf a af b x a b b a --+-- 例 4. 试将多项式432()1f x x x x x =++++表示为两个不同次数的实系数多项式的平方差的形式.分析：可以预见到()f x 有形式：222()()()(0)f x x ax b cx d c =++-+≥.想一想为什么？解：设4322221()()x x x x x ax b cx d ++++=++-+432222(2)x ax a b c x =+++-22(22)()ab cd x b d +-+-.其中a b c d 、、、是待定系数，且0c ≥.由多项式的恒等定理得方程组22221,2121,21,221,1.0.a ab a bc ab cd c b d d ⎧=⎪=⎧⎪⎪=+-=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎪⎪-=⎩⎪=⎩ 故 21()12u x x x =++，()v x x =是一个解， 其余三个解为：(),();(),();(),()u x v x u x v x u x v x ----.二、多元多项式多元多项式有多种类型，一般可分为齐次多项式和非齐次多项式两大类.如果对n 元多项式12(,,,)n f x x x 的变数字母的下标集｛1,2,…,n ｝施行任意一个置换后，12(,,,)n f x x x 都不改变，那么就称12(,,,)n f x x x 为一个n 元对称多项式. 例如 2221212(,,,)n n f x x x x x x =+++. 又如 (,,)f x y z22222x y z xy xz =++++22221yz x y z +---+与 (,,)()()()f x y z x y y z z x =+++.也是对称多项式.由此可见，对称多项式也可以是齐次的，也可以是非齐次的.利用待定系数法可以计算齐次对称多项式的同型项的系数.例5. 求3()a b c ++的展开式解 3()a b c ++的展开式是三次齐次对称多项式.设 3()a b c ++333()L a b c =++222222()M a b ab a c ac b c bc ++++++Nabc +.取1,0,0a b c ===, 得 1L = ①取1,1,0a b c ===,得822L M =+②取1,1,1a b c ===,得27=3L+6M+N.③由①、②、③式解得L=1, M=3, N=6, 于是3()a b c ++333222333a b c a b b a a c =+++++2223336c a b c c b abc ++++.如果对n 元多项式12(,,,)n f x x x 的变数字母按照某种次序施行一次轮换后，得到与原来相同的多项式，那么就称12(,,,)n f x x x 为轮换对称多项式. 例如， 222122331x x x x x x ++； 333()()()x y y z z x -+-+-；()()()x y z y z x z x y -+-+-+都是轮换对称多项式，轮换对称多项式不一定是对称多项式，例如，222x y y z xz ++不是对称多项式，但对称多项式一定是轮换对称多项式.三、多项式的恒等变形.一个多项式用另一个与它恒等的多项式代换称为多项式的恒等变形.由多项式乘法的某些特殊情形的结果而形成多项式恒等变形的常用公式：（1）222()2x y x xy y +=++；（2）222()2x y x xy y -=-+ ；（3）22()()x y x y x y +-=-（4）33223()33x y x x y xy y +=+++；（5）33223()33x y x x y xy y -=-+-；（6）2233()()x y x xy y x y -++=-；（7）2233()()x y x xy y x y +-+=+；（8）2()()()x a x b x a b x ab ++=+++；（9）211()n x x x +++ 2221212131222n n n x x x x x x x x x -=++++++.（10）1221()()n n n n x y x x y xy y -----++++n n x y =-（11）222()()x y z x y z xy yz zx ++++---3333x y z xyz =++-.（12）()n x y +011n n n n c x c xy -=+ 222n k n k k n n n n n c x y c x y c y --+++++. 其中0(1)(1)1.!k n n n n n k c c k --+== (0,,)k n k N n N <≤∈∈.例6. 已知x y a +=，221x y +=，求证455(5)4a a x y -+=. 证：55432234()()x y x y x x y x y xy y +=+-+-+42243223(2)a x x y y x y x y xy =++---22222[()()]a x y xy x xy y =+-++[1(1)]a xy xy =-+.因为22222()()1xy x y x y a =+-+=-， 所以212a xy -=，于是 2245511(5)[1(1)]224a a a a x y a ---+=-+= 四、多项式的因式分解多项式的因式分解与多项式相乘是相反的恒等变形过程，因此，多项式因式分解的基本方法是多项式运算法则与运算律的运用.例7. 将(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++分解因式.解 (1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++222(54)2(54)1x x x x =++++++2222[(54)1](55)x x x x =+++=++.例8. 将51n n x x ++分解因式.解 552211n n n n n n x x x x x x ++=-+++232(1)(1)n n n n x x x x =-++222(1)(1)(1)n n n n n n x x x x x x =-++++++232(1)(1)n n n n x x x x =++-+例9. 将432441369x x x x -+-+分解因式.解 因为首项与常数项分别为完全平方式，于是，设43222441369(23)x x x x x mx -+-+=++.因为 22(23)x mx ++432244(12)69x mx m x mx =+++++.所以 44m =-，从而 11n =-.因为 2212(1)1213m +=-+=，66m =-.所以，1m =-满足所设的等式，于是43222441369(23)x x x x x x -+-+=-+.例10. 将555()x y x y +--分解因式解 555()x y x y +--5432234510105x x y x y x y xy =++++555y x y +--32235(22)xy x x y y x y =+++335[()2()]xy x y xy x y =+++225()()xy x y x xy y =+++例11. 把5555()x y z x y z ++---分解因式分析和解: 不难看出，当x y =-时，已知多项式等于零，因此，多项式能被x y +整除.同样，当x z =-和y z =-时，多项式等于零.因此多项式能被x z +和y z +整除.因此，我们可以肯定多项式能被()()()x y x z y z +++整除.这个结果可以说明，多项式可以写成2()()()(,,)x y x z y z P x y z +++的形式，其中2(,,)P x y z 是二次多项式，由于已知多项式和()()()x y x z y z +++是齐次和对称多项式，所以2(,,)P x y z 也应当是齐次和对称多项式，也就是说，它可以写成：222()()A x y z B xy xz yz +++++，其中A 和B 是待确定的系数.假定恒等式5555()x y z x y z ++---=()()()x y y z z x +++222[()()]A x y z B xy yz zx +++++中先取1,1,0x y z ===，然后取1,1,1x y z ===，得到215A B +=，10A B +=，解得5,5A B ==.于是 5555()x y z x y z ++---5()()()x y y z z x =+++222()x y z xy yz zx +++++.例12. 求证：有无穷多个自然数a ，使得4z n a =+对于任何非零自然数n 均为合数.分析: 根据题意，应设法找到无数个自然数a ，使得4n a +能分解成两个大于1的自然数的积.不妨取1,2,3,4,a =去试，会发现a 是4的倍数时，用拆项、添项、配方较为方便.进一步探索发现a 为44k 形式的数，能使z 分解因式.解 设44a k =（k 为大于1的自然数），则444z n k =+422422444n k n k k n =++-=2222(2)(2)n k kn +-=2222(22)(22)n k kn n k kn +++-.因为1k >，222222()1n k kn n k k ++=++>，222222()1n k kn n k k +-=-+>.所以z 能分解为两个大于1的自然数之积，又k 是任意大于1的自然数，有无穷多个值。
多项式-方程求解ppt课件
例：已知 p(x) 2x3 x2 3，分别取 x=2 和一个 22 矩阵， 求 p(x) 在 x 处的每个分量上的值
>> p=[2,-1,0,3]; >> x=2; y=polyval(p,x) >> x=[-1, 2;-2,1]; y=polyval(p,x)
例：计算多项式 2x3 x2 3 和 2x 1 的乘积 >> p=[2,-1,0,3]; >> q=[2,1]; >> k=conv(p,q)
多项式除法运算： [k,r] = deconv(p,q) 其中 k 返回的是多项式 p 除以 q 的商，r 是余式。
[k,r]=deconv(p,q) <==> p=conv(q,k)+r
求 p( x) 的零点
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上机作业
x2y z 4
6.解线性方程组
x
2
y
z
5
x y 4z 1
7. 求方程 x3 5x2 3x 0 在0.5附近的根， 在 [2,5]区间内的根
8. 求方程 x5 11x3 42x2 51x 3 的所有根
x y z 10
9. 解方程组 2 x y z 2
例： 2x3 x2 3
[2, 1, 0, 3]
注：系数中的零不能省！
多项式的符号形式：poly2sym
>> poly2sym([2,-1,0,3])
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多项式四则运算
多项式加减运算
Matlab 没有提供专门进行多项式加减运算的函数，事实 上，多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算
对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量进行 加减运算；