矩阵求逆的方法

前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。

关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

例2 用初等列变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011012111A 的逆矩阵1.3用定义法求逆矩阵定义：设A 为n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B ，使得E AB BA ==，则称A 为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵。

例4 设n 阶矩阵A 满足方程022=--E A A 证明E A 2+可逆，并求它的逆矩阵1)2(-+E A 。

证：由于022=--E A A ，得04)2)(3(=++-E E A E A ，即E E A E A =+--)2)(3(41或E E A E A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)3(41)2(，由定义可知，)3(41)2(1E A E A --=+-2 特殊的求逆矩阵的方法2.1 由等价标准形求可逆矩阵法定理 2.1.1：设A 是n 阶可逆矩阵，A 的秩等于n ，存在可逆矩阵B 与C ，使E CAB =，11--=B C A ，故BC A =-1。

证明：首先构造矩阵n n E E A D 220⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=然后对D 进行行如下形式的初等变换：（1）对D 的前几行()E A ,进行初等的行变换（2）对D 的前几列⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A 进行初等的列变换则经过有限次上述变换后，D 可以变为⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B C E E E A D 初等行列变换 由此得BC A =-1此种方法在一般教材中很少提到，一般教材只介绍前三种方法，但若同时采用行和列的初等变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单。

它是从等价标准型的角度给出了可逆矩阵的一种求法，是教学上一种新的尝试。

例1：求可逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100152131A 的逆矩阵解：构造矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000100000010000131100100112010001001000100000010000001100100010*********D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-1001122351001120011000101311A 2.2 运用Hamilton-Caley 定理求逆矩阵由Hamilton-Caley 定理：设A 是数域P 上的n 阶矩阵，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 为A 的特征多行式，则0)(111=+++=-=--E a A a A a A A E A f n n n n λ设A 的特征多行式n n n n a A a a A E f +++=-=--111)( λλλλ 若A 可逆，则0)1(≠-=A a n n由Hamilton-Caley 定理得，0111=+++--E a A a A a A n n n n ， 所以E A E a A a A a A a n n n n n=+++-----)(122211 即 )(1222111E a A a A a A a A n n n n n-----+++-= 。

例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111232422A ，求1-A 解：A 的特征多行式1074)(23-+-=-=λλλλλA E f ，由Hamilton-Caley 定理知01074)(23=-+-=E A A A A f因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-10054201625101)74(10121E A A A 例2 设2113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求()1432568A A A E --+-解：A 的特征多行式为()2215713f A E λλλλλλ--=-==-+-用()4325668λλλλ-++-除以()257λλ-+得 ()()()4322566811f λλλλλλλ-++-=-++ 据Hamilton-Caley 定理知，()0f A =得()1432568AA A E --+-[]1121101301A E --⎡-⎤⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11121112113--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2.3 由分块矩阵求逆矩阵法定理2.3.1 设A ，D ，C ，分别是m m ⨯，n n ⨯，m n ⨯矩阵，若A ，D 均可逆，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100D CA D A D C A 证明：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--D A D C A E CA En m 00001两边求逆得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11111000D A E CA E D C A n m即1111111100000mn E A A A CA E C D D D CAD --------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同理可求出0A C D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0A D C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0CA D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵。

故对大型且可分划为以上的分块矩阵，可用此法求逆矩阵。

例1 求矩阵2100110012251113A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵 解：2111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2513B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1211D -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11112A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，13512B --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1119301711B DA ---⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦故111110001200019303571112A A A D B DB ----⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎣⎦2.4 用解方程组的方法求逆矩阵根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵逆矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。

例1 求1000120021301214A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦得逆矩阵 解：设21131324142431000100210314X A X X X X X -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，先求1A -中主对角线下的次对角线上的元素21X ，32X ，43X ，再求31X ，42X 最后求41X 。

设E 为4阶单位矩阵，比较21313241424310001100000212001213003121414X E X X X X X ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的两端对应元素，得到 21111201002X ∙+∙+∙+∙=；解得，2112X =-；31321022003X X ∙+∙++∙=；解得，3216X =-；414243100304X X X ∙+∙+∙+=;解得，43112X =-；31322111003X X ∙+∙++∙=；解得，3112X =-；414243202104X X X ∙+∙+∙+=；解得，4254X =-； 414243111204X X X ∙+∙+∙+=；解得，4318X =-。

于是，所求的逆矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-411215481031612100212100011A 2.5 三角矩阵的一种求逆法定理2.5.1：如果n 阶矩阵T ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--nn n n n n t t t t t t t t T 0000212221111211可逆， 那么它的逆矩阵是⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-------------12122121121221111111111211211110nnnn n nn n t a t a t t a t a t a t t T其中)1,,2,1(11111-=⨯-=+-+++n i t t a ii i i ii),4,3;2,,2,1(11n j n i tt at t a jk i kkik kj jj jj ii =-=-⨯-=∑--利用此定理可以求出其它各种类型三角矩阵的逆矩阵。