华东师大版 相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题

例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

例2 已知：如图，

ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2

cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．

例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．

例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？

（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．

例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．

例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到

0.1m ）．

例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．

例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：

（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．

（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．

例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2

．

例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．

例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？

例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）

例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．

（1）求BC 的长；

（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．

相似三角形经典习题答案

例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似

例2． 解 ABCD Θ是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，

又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．

又

)cm (6,)3

1

(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AE

CA

AD BA =

，则问题得证．

证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．

又DAC BAD BAC ∠+∠=∠Θ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．

∵ABD ∆∽ACE ∆，∴

AE

AC

AD AB =

． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AE

AC

AD AB ADE BAC =

∠=∠,

，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．

（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，

则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，

设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，

∴

a a

c c b b a a '

=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．

答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：

画法略．

例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，

30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽AC

AF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴

BC GF

EC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥Θ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴AC

AF

EC DF =

． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，

∴AGF ∆∽ABC ∆，∴

BC GF AC AF =，∴BC

GF

EC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．

解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．

所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．

例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．