高中数学基础知识手册(理科)

原命题若p 则q逆命题若q 则p互为逆互互逆否互第一章 集合与简易逻辑一、集合知识1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.4. 集合运算：交、并、补.5. 主要性质: ①U A B AB A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C ②C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 设集合A 中有n 个元素,则①A 的子集个数为n 2；②A 的真子集个数为12-n ；③A 的非空子集个数为12-n ；④A 的非空真子集个数为22-n. 7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式的解集b ax >（)00<>a a 或分②一元二次不等式的解集)0(02>>++a c bx ax ：（大于取两边，小于取中间） ③一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x 的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过） 2.分式不等式的解法⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f （移项通分，不能去分母）3.含绝对值不等式的解法c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（将x 的系数化为正,大于取两边，小于取中间）三．简易逻辑1．构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )(一真则真)；p 且q(记作“p ∧q ” )（一假则假）；非p(记作“┑q ” )（真假相反） 。

2．四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

(原命题⇔逆否命题)3、充要条件：4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

第二章 函 数一、函数与映射1．映射的性质：从A 到B 的映射：①A 中不能有剩余元素，B 中可以有剩余元素，②允许多对一，不允许一对多。

③若A 有3个元素，B 有4个元素，则有 34 个映射。

2．函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

二、函数的性质（1）奇偶性（在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称）奇函数：)()(x f x f -=-、图象关于原点对称，在两个对称区间具有相同的单调性； 偶函数：)()(x f x f =-、图象关于y 轴对称，在两个对称区间具有相反的单调性； 常用的结论：若)(x f 是奇函数，且定义域∈0，则)1()1(0)0(f f f -=-=或；若)(x f 是偶函数，则)1()1(f f =-；反之不然。

常见的奇函数：①)1lg(2++=x x y ②xx y -+=11lg③xx e e y --= ④12121+-=x y ⑤11+-=x x e e y ⑥2212-+-=x x y非奇非偶函数：f （x ）=xx x x sin cos 1sin cos 1++-+.（2）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）①定义法 步骤：a.设2121,x x A x x <∈且；b.作差)()(21x f x f -；c.判断正负号。

②掌握函数)0();0(>+=≠--+=+=a ax y ac b ac b a b ax y 的图象和性质；③一些有用的结论： .在公共定义域内增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

（3）函数的周期性：)()(x f T x f =+①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) (a>0)恒成立,则y=f(x)的周期为2a ； ②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)的周期为2︱a ︱； ③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x) 的周期为4︱a ︱； ④y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x) 的周期为2a ；三、函数的图象1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。

2、图象的变换：（1）平移变换 （先表示成y =f(x)：左加右减，上加下减。

） （2）对称变换：函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于x 轴对称； 函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称；②如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线a x =对称。

如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线2a bx +=对称。

③)(x f y =→)(x f y = （把x 轴下方的图象翻折到上方）④)(x f y =→)(x f y = （擦掉y 轴左侧的图象，把右侧的图象对称到左侧） ⑤)(1x fy -=与)(x f y =关于直线x y =对称。

性质：a b fb a f =⇔=-)()(1（3）伸缩变换： ②)(x f y =→)0(),(>=a ax f y 系数变小伸长；系数变大缩短。

四、函数的反函数求反函数的步骤：①求原函数)(x f y =，)(A x ∈的值域B ②把)(x f y =看作方程，解出)(y x ϕ=；x ，y 互换的)(x f y =的反函数为)(1x fy -=，)(B x ∈。

五、求函数的值域的常用解题方法：① 配方法。

如函数124+-=x x y 的值域，特点是可化为二次函数的形式；②换元法：如y=x x +-21 ③单调性：如函数x y x2log 2+= x ∈[1,2]④判别式法（△法）如函数y=323222+++-x x x x⑤利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x －2| ⑥利用反函数：如函数y=xxsin 2sin 2+-⑦利用基本不等式：如函数y=322+x ⑧.方程k=f(x)有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；⑨.a ≥f(x) ⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) ⇔a ≤［f(x)］min ;六、指数、对数的性质：1.指数运算：，a a a a a pp 01010=≠=≠-(()),a a a a aa m n m n mnm n =≥=>-((010))， 2.()00log log )(log >>+=N M N M N M a a a ，·对数运算：log log log log log a a a a na M N M N M nM =-=，1，b m n b a n a mlog log = )0(log >=x x axa 对数恒等式：，)(log R k k a k a ∈=,log log log abb c c a =对数换底公式：3. b a log 的符号由口诀“同正异负”记忆; 如：05log .....03log 212<>。

七、复合函数单调性：()[]x g f y =，)()(x g x f 与：同增同减为增，一增一减为减。

第三章 数 列一．数列及数列的通项公式1.数列的前n 项和： n n a a a a S ++++= 3212.数列的通项公式： ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn3.递推公式：已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。

二．等差数列1.定义： 即：成等差数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n d a a ⇔≠≠≥=--2.判定方法：①定义法： d a a n n =-+1(常数)； ②等差中项法： 212+++=n n n a a a 。

3.通项公式：若首项是1a ，公差是d ，则通项为d n a a n )1(1-+=。

是关于n 的一次函数。

4.等差数列的前n 项和： ①2)(1n n a a n S +=② d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数（充要条件）。

5.等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，则有2ba A +=或b a A +=2 6.等差数列的性质： ①．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=②.若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

③.n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。

④.奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和， 结论：(i)n n a n n a a S n ⋅=⋅+=-22121奇项，则若有偶数项；1222+⋅=⋅+=n na n n a a S 偶 所以有()()()nd a a a a a a S S n n =-+⋯+-+-=--1223412奇偶（ii ）)1()1(2121121+⋅=+⋅+=+++n a n a a S n n n 奇项，则若有奇数项 n a n a a S n n⋅=⋅+=+1222偶 ⎩⎨⎧==-⋅+=+⋅=+++中偶奇中偶奇a a S S a n n a S S n n 11)12()12( n n 1S S +=偶奇； 12S S S S S S S n +=-+=-n 偶奇偶奇偶奇 ⑤．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为12-n T ，则1212--=n n n n T S b a 。

(比如：171799T S b a =；19191010T S b a =) 三．等比数列1．定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n q a a⇔≠≠≥=-2.等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么Gb a G =，即ab G =2。