高中数学 2.3数学归纳法教学设计 新人教A版选修22

数学归纳法教学设计
【教学目标】 （1）知识与技能：
①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤； ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；
③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。

（2）过程与方法：
努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观：
通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

【教学重点】
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题； 【教学难点】
数学归纳法中递推关系的应用。

【辅助教学】
多媒体技术辅助课堂教学。

【教学过程】
一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？
问题2: 如果{}n a 是一个等差数列，怎样得到()11n a a n d =+-? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。

【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。

归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。

（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
二、搜索生活实例，激发学生兴趣
展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？
（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。

）
① 第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下
相当于能推倒第一块骨牌 相当于第k 块骨牌能推倒第1k +块骨牌 三、师生合作，形成概念。

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可以按照以下步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值()
*00 n n N ∈时命题成立；
（2）（归纳递推）假设()
*0 , n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+命题也成立. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法。

四、讲练结合，巩固概念 类型一 用数学归纳法证明等式
例1：用数学归纳法证明：2222(1)(21)
1236
n n n n ++++++=
K
证明：（1）当1n =时，左边：2
11=，右边：
1(11)(21)
16
⨯+⨯+=，左边=右边，等式成立。

（2）假设当*
()n k k N =∈时等式成立，
即2222*(1)(21)
123... ()6
k k k k k N ++++++=
∈
则当()
*1 n k k N =+∈时，
左边()()()()2
2
2
2
2
2
121123116
k k k k k k ++=++++++=
++L (1)(2)(23)
=6
k k k +++=
右边
即当1n k =+时，等式也成立。

由(1)，(2)得：对*n N ∀∈，等式2222(1)(21)
1236
n n n n ++++++=K 成立
【方法技巧】证明中的几个注意问题：
（1）在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳） （2）在第二步中,证明1n k =+命题成立时,必须用到n k =命题成立这一归纳假设，否则就打破数
学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真） （3
）明确变形目标（写明结论，才算完整）
变式训练：用数学归纳法证明：1
122334(1)(1)(2)3
n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++L 证明： （1）当1n =时，左边122=⨯=，右边1
12323
=⨯⨯⨯=，左边=右边，等式成立； （2）假设当n k =时，等式成立，
即()()()1
1223341123
k k k k k ⨯+⨯+⨯+++=++L ， 则当1n k =+时
()()()122334112k k k k ⨯+⨯+⨯++++++L
()()()()1
12123
k k k k k =+++++ ()()11123k k k ⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭ ()()()1
111123
k k k =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以1n k =+，公式成立， 由（1）（2）可知，当*n N ∈时， 公式1
122334(1)(1)(2)3
n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=
++L 成立. 类型二 归纳——猜想——证明 例2：已知数列
()()
1111,,,,,14477103231n n ⨯⨯⨯-+L L n S 为该数列的前n 项和， 计算1234,,,S S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：111144S =
=⨯， 2118247287
S S =+==⨯ 3212137107010S S =+
==⨯， 43131404
101310101313013
S S =+=+==⨯⨯ 根据上述结果，猜想31
n n
S n =
+. 证明：（1）当1n =时，左边114S ==
，右边113114
==⨯+，猜想成立， （2）假设当()
* n k k N =∈时猜想成立，即
()()11111447710323131
k k
S k k k =
++++=⨯⨯⨯-++L ， 那么，当1n k =+时，
()()()()111111
14477103231312311k S k k k k +=
+++++
⨯⨯⨯-++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
L
()()1313134k k k k =++++()()()()()2341341
31343134k k k k k k k k ++++==
++++ ()()()()()()13111313434311
k k k k k k k k ++++=
==+++++， 所以，1n k =+时，猜想成立，
由（1）（2）可知，对于n N ∈，猜想成立，即，*,31
n n
n N S n ∀∈=
+ 【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”的一般环节 学生总结 课件展示 框图呈现 变式训练：设0,()ax a f x a x
>=
+，令111,(),n n a a f a n N *
+==∈， (1)写出123,,a a a ，并猜想出数列{}n a 的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论. 五、课堂小结
1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法；
2.用数学归纳法证明等式：
①找准基础，奠基要稳。

②用上假设，递推才真。

③写明结论，才算完整 3.归纳——猜想——证明 六、当堂检测
1.用数学归纳法证明2
1
2*122221()n n n N ++++++=-∈L 的过程中，在验证1n =时，左端计算
所得的项为( C )
A.1
B.12+
C.2
122++ D. 2
3
1222+++ 2.用数学归纳法证明
*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=⨯⨯⨯⨯-∈L L ，“从k 到1k +”左端增乘的代数式为
221k +（）
3.已知数列{}n a 的前n 项和2
(2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( B )
A.
22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n
- D. 2
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n - 设计意图：检测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能力. 拓展训练（延伸提高，课下思考）
1.用数学归纳法证明2
2 (5,)n
n n n N *
>≥∈. 2. (2014·石家庄高二检测)求证：
*1115
(2,)1236
n n N n n n +++>≥∈++L L .。