西南交通大学信号处理期末作业

1、考虑两个谐波信号()x t 和()y t ，其中()cos()c x t A w t φ=+,()cos()c y t B w t =式中A 和c

w 为正的常数,φ为均匀分布的随机变量，其概率密度函数为

1

,02()20,f φπφπ

⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩

其他,

而B 是一个具有零均值和单位方差的标准高斯随机变量，即其分布函数为 （1）求()x t 的均值()x u t 、方差2()x t σ、自相关函数()x R τ和自协方差函数()x c τ。 （2）若φ与B 为相互统计独立的随机变量，求()x t 和()x t 的互相关函数()xy R τ与互协方差函数()xy c τ。 解： （1）

()x t 的均值()x u t 为： 方差2()x t σ为：

自相关函数()x R τ为： 自协方差函数()x c τ为： （2）()y t 的均值为：

()(())(cos())()cos()0y B B c c u t E y t E B w t E B w t ====,所以()=0E B

由互相关函数的定义可知：

由题意知道φ与B 为相互统计独立的随机变量，所以有 互协方差函数()xy c τ

2.接收信号由下式给出：cos(),1,2,...,i c i y A i i N ωθω=++=，式中~(0,1)i N ω即i ω是零均值和单位方差的高斯噪声，c ω为载波角频率，而θ是未知的相位。假设12,,...N ωωω相互独立，求未知相位的最大似然估计^

ML θ。

解：由于12,,...N ωωω相互独立，所以1,..N y y 也相互独立并且服从高斯分布，可以得到1,..N y y 与θ的联合概率密度函数分布 由此，可以得到似然函数

该似然函数对θ求偏导，并令该偏导函数为零，即可得到如下公式：

因此，最大似然估计^

ML θ 为上述函数的零点值。 则

该函数为非线性方程，不容易求解，若忽略双倍频率2c ω ，则可简化到如下式子： 根据三角公式分解得到如下式子： 由此，可以得到如下公式

所以相位的最大似然估计如下：

3.离散时间的二阶AR 过程由差分方程12()(1)(2)()x n a x n a x n w n =-+-+ 描述，式

中()w n 是一零均值、方差为2

w σ 的白噪声。证明()x n 的功率谱为

证明：

由AR 过程的功率谱公式知 其中

将其带入第一个公式可得：

4、信号的函数表达式为：()()()()sin(2100) 1.5sin(2300)sin(2200)x t t t A t t dn t n t πππ=++++，其中，()A t 为一随时间变化的随机过程，()dn t 为经过390-410Hz 带通滤波器后的高斯白噪声，()n t 为高斯白噪声，采样频率为1kHz ，采样时间为2.048s 。分别利用周期图谱、ARMA 、Burg 最大熵方法估计信号功率谱，其中ARMA 方法需要讨论定阶的问题。

解：由题意知采样点数一共为：1000×2.048=2048个数据点。()A t 为一随时间变化的随机过程，由于随机过程有很多类型，如维纳过程、正态随机过程，本文采用了均值为0，方差为1的正态随机过程来作为演示，来代替()A t ，高斯白噪声采用强度为2的高斯白噪声代替()n t ，其带通滤波后为()dn t 。其中滤波器采用的是契比雪夫数字滤波器。 可得到x (t)如下图所示： 1、周期图法

matlab 中的周期图功率谱法原理是通过计算采样信号的FFT ，获得离散点的幅度，再根据幅度与功率之间的关系，转换为离散点的功率，再通过坐标变换将离散点的功率图转换为连续功率谱密度。

Step1:计算采样信号x(n)的DFT ，使用FFT 方法来计算。如果此处将复频率处的幅度对称到物理实际频率，得到的就是单边谱，否则就是双边谱

Step2:根据正余弦信号功率与幅度的关系以及直流功率与幅度的关系，将幅度转换为离散功率谱。

Step3:对横纵坐标进行转换，横坐标乘以频率分辨率转换为实际连续物理频率，纵坐标除以频率分辨率转换为功率谱密度。

调用MATLAB 中自带的matlab 中[Pxx,f]=periodogram(x,window,nfft,fs)函数可得计算结果如下： 2、ARMA 方法

参数模型估计的思想是:

✍假定研究的过程X(n)是一个输入序列u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。

✍有已知的X(n)，或其自相关函数来估计H(z)的参数。 ✍由H(z)的参数来估计X(n)的功率谱。

不论X(n)是确定性信号还是随机信号，u(n)与X(n)之间总有如下输入输出关系：

对以上两个式子两边分别取Z 变换，并假定b 0=1，可得 其中1

()1p k

k k A z a z -==+∑,1

()1q k

k k B z b z -==+∑,0

()()k k H z h k z ∞

-==∑。

为了保证H(z)是稳定的最小相位系统，A(z)和B(z)的零点都应该在单位圆内。假定u(n)是一个方差为2σ的白噪声序列，由随机信号通过线性系统的理论可知，输出序列X(n)的功率谱为：

ARMA 阶数确定：

本题目采用AIC 准则确定ARMA 的阶数。分别计算p 、q 从1到20阶数的计算出AIC （p,q ）,如下图所示，当横坐标大概为230左右时，AIC(p,q)取得最小，将此时的p,q 作为带入到模型即可。 ARMA 法谱估计结果： 3、Burg 最大熵法

Burg 算法的具体实现步骤：

步骤1 计算预测误差功率的初始值和前、后向预测误差的初始值，并令m = 1。 步骤2 求反射系数

步骤3 计算前向预测滤波器系数 步骤4 计算预测误差功率 步骤5计算滤波器输出

步骤6 令m ←m+1，并重复步骤2至步骤5，直到预测误差功率Pm 不再明显减小。

最后，再利用Levinson 递推关系式估计AR 参数，继而得到功率谱估计。 Burg 最大熵法谱估计结果如下图：

5.附件中表sheet1为某地2008年4月28日凌晨12点至2008年5月4日凌晨12点的电力系统负荷数据，采样时间间隔为1小时，利用Kalman 方法预测该地5月5日的电力系统负荷，并给出预测误差（5月5日的实际负荷数据如表sheet2）。

解：卡尔曼滤波是以最小均方误差作为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估