西南交通大学理论力学作业答案⑧

x CA = − x ，
a m2 am 2 2 = = − m1 + m 2 2 (m1 + m 2 ) −
a a b b − x+ ( + ) = − x 2 2 2 2
设 A 向左移动了 x ，则 A、B 质心的水平坐标为：
x CB = −
xC 2 =
m A x CA + m B x CB = mA + mB
y A = e cos ωt + r
aA =
此时刻弹簧压缩量为
d 2 yA = −eω 2 cos ωt 2 dt
δ 0 + e cos ωt + r − (r − e ) = δ 0 + e cos ωt + e
设轮对导板压力为 F，如图所示，则对导板用质心运动定理
aA Fk
mg
F
ma A = F − Fk − mg = F − k (e cos ωt + e + δ 0 ) − mg
∑F ∑F
x y
= 0,
FOx − Fc cos θ = 0
= 0, FOy − P − Fb − Fc sin θ = 0
解方程得：
Ra ) 方向水平向右 r R FOy = (m1 + m2 + m3 sin 2 θ ) g + (m3 sin θ − m2 )a 方向铅垂向上 r FOx = m3 cos ϕ ( g sin θ +
或
F = ma A + k (e cos ωt + e + δ 0 ) + mg
保证导板在运动过程中始终不离开偏心轮的条件为 在任意位置 F ≥ 0
k≥
m(eω 2 cos ωt − g ) δ 0 + e(1 + cos ωt ) m(eω 2 − g ) δ 0 + 2e
由于 cos ωt = 1 时，上面不等式的右边最大，故
提示：先求出图示一般位置导板的加速度 a = eω 2 cos ω t ， 然后在铅垂方向用质心运动定理， 注意到保证导板在运动过程中始终不离开偏心 轮的条件为偏心轮对导板的法向约束力始终应大于等于零即可。
m(eω 2 − g ) 答案：弹簧的弹簧系数 k ≥ δ 0 + 2e
解：初始时刻 C 点在 O 的正上方，以 O 为坐标原量为 m1。转轴 O 为其质心。重物 B 的质量为 m2，
重物 C 的质量为 m3。斜面光滑，倾角为θ。已知 B 物的加速度为 a，求轴承 O 处的约束反力。
A
r
R
O
C
B a
解： 由运动学关系不难得 鼓轮 A 的角加速度为： α = 物块 C 的加速度为： aC =
a r Fb a B m2g C m3g aC Fc FN
k≥
5．图 a 所示传送带的运煤量恒为 20 kg/s，胶带速度恒为 1.5 m/s。求胶带对煤块
作用的水平总推力。
v
Fx
(a)
解
(b)
设皮带作用煤块的总水平推力为 Fx ，皮带在 dt 时间内输送量为 qdt，
由动量定理微分形式得（图 b）
qdt ⋅ v = Fx dt Fx = qv = 20 ×1.5 = 30 N
− m1x + m 2 (
b b − x) (m1 + m 2 ) x − m 2 2 2 = − m1 + m 2 (m1 + m 2 )
Q
∑
F x 合 = 0 水平方向质心守恒， ∴ xC1 = xC 2
∴x =
m 2 ( a + b) （向左） 2(m1 + m2 )
4．图示凸轮导板机构，半径为r的偏心轮的偏心距OC=e，偏心轮绕水平轴以匀 速度ω转动，导板的质量为m。当导板在最低位置时，弹簧的压缩量为δ0。为了 保证导板在运动过程中始终不离开偏心轮，求弹簧的弹性系数k。一切摩擦均可 忽略。
a R r 对物块 B 和 C 分别用质心运动定理
m2 g − Fb = m2 a Fc − m3 g sin θ = m3 aC = m3 a R r
解得
Fb = m2 g − m2 a Fc = m3 a R + m3 g sin θ r
最后以鼓轮 A 为研究对象
FOx FC
P FOy
Fb
由质心运动定理：
2 mlω ，方向如图。 2
注意：图中所示仅是动量的方向，并不表示合动量的作用线。 解：杆 OA 绕 O 做定轴转动
∴ pOA = mω
v A = ωl
l 2
v A = vC cos 45 o
根据投影定理
vC = 2v A = 2ωl
p AB = 2m 2ωl = 2 2mωl
Q 杆 CD 绕 D 做定轴转动
Ra ) 方向水平向右 r 答案： R FOy = (m1 + m2 + m3 sin 2 θ ) g + (m3 sin θ − m2 )a 方向铅垂向上 r FOx = m3 cos ϕ ( g sin θ +
∴ pCD = m
vC 2 2 =m ωl = mωl 2 2 2
2．如图所示，均质杆 AB，长 l，直立在光滑水平面上。求它从铅直位置无初速 地倒下时，端点 A 相对图示坐标系的轨迹。
y
A
C
B
x
提示：水平方向质心守恒。 答案： 4 x 2 + y 2 = l 2
解：如图所示，由水平方向质心守恒： v C = v C 0 = 0 设坐标 A(x, y)， 则 C(0,
a b B
A
提示：水平方向质心守恒。 答案：棱柱体 A 移动的距离 x =
m2 ( a + b ) （向左） 2(m1 + m2 )
解：设初始时棱柱体 A 质心坐标 棱柱体 B 质心坐标 此时
x CA = 0 ，
a 2
x CB = −
xC 1 =
m A x CA + m B x C B mA + mB
动量定理作业参考答案及解答
1．题图所示系统中各杆都为均质杆。已知：杆 OA、CD 的质量各为 m，杆 AB 质量为 2m，且 OA=AC=CB=CD=l，杆 OA 以角速度ω 转动，求图示瞬时各杆动 量的大小并在图中标明其动量的方向。
答案： pOA =
mlω , 2
p AB = 2 2mlω ,
pCD =
AC =
y ) 2
l y = x2 + ( )2 2 2
→
4x 2 + y 2 = l 2
y
A
C
o
B O
x
3．质量为 m1 的棱柱体 A，其顶部铰接一质量为 m2、边长为 a 和 b 的棱柱体 B， 初始静止，如图所示。忽略棱柱 A 与水平面的摩擦，若作用在 B 上的力偶使其 ，试求棱柱体 A 移动的距离。 绕 O 轴转动 90o（由图示的实线位置转至虚线位置） 设 A 与 B 的各边平行。