三角形的高线、中线、角平分线PPT课件
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三角形高、中线与角平分线课件
三角形的性质法
利用三角形的性质，如角的和差、 外角等于不相邻两内角之和等性质 来证明角平分线。
角平分线在三角形中的位置
角的内部
角平分线一定在角的内部 。
边的中点
角平分线上的点是相对边 的中点。
垂直平分线
在等腰三角形中，顶角的 角平分线也是底边的垂直 平分线。
04
三角形高、中线与角平分 线的相互关系
中线的判定方法
判定方法一
通过三角形的顶点和对边的中点连接，如果这条线段平分对边，则这条线段是 中线。
判定方法二
如果一条线段经过三角形一边的中点，并且这条线段将相对的边分为两段相等 的部分，则这条线段是中线。
中线在三角形中的位置
中线与三角形其他线的关系
中线与三角形的角平分线、高线等其他重要线段存在特定的位置 关系。
在求解三角形问题时，高、中线和角平分线还可以帮助判断三角形的形状和大小。
在解决实际问题中的应用
三角形高、中线和角平分线在解决实 际问题中也有广泛的应用，如建筑设 计、工程测量和航海等。
在工程测量时，可以利用高、中线和 角平分线的性质来测量物体的尺寸和 角度，以确保工程的质量和精度。
在建筑设计时，可以利用高、中线和 角平分线的性质来设计建筑物的结构 ，以确保建筑物的稳定性和安全性。
中线将相对边分为两个相等的部分，并且与三角 形的两个顶点相连。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两个相等的部分，并且与 三角形的两个角相交于一点。
05
三角形高、中线与角平分 线的应用
在几何证明中的应用
三角形高、中线与角平分线是几何证 明中的重要工具，它们在证明三角形 性质和定理时有着广泛的应用。
高线位置
高线是从三角形的一个顶点垂直 到对边的线段。
利用三角形的性质，如角的和差、 外角等于不相邻两内角之和等性质 来证明角平分线。
角平分线在三角形中的位置
角的内部
角平分线一定在角的内部 。
边的中点
角平分线上的点是相对边 的中点。
垂直平分线
在等腰三角形中，顶角的 角平分线也是底边的垂直 平分线。
04
三角形高、中线与角平分 线的相互关系
中线的判定方法
判定方法一
通过三角形的顶点和对边的中点连接，如果这条线段平分对边，则这条线段是 中线。
判定方法二
如果一条线段经过三角形一边的中点，并且这条线段将相对的边分为两段相等 的部分，则这条线段是中线。
中线在三角形中的位置
中线与三角形其他线的关系
中线与三角形的角平分线、高线等其他重要线段存在特定的位置 关系。
在求解三角形问题时，高、中线和角平分线还可以帮助判断三角形的形状和大小。
在解决实际问题中的应用
三角形高、中线和角平分线在解决实 际问题中也有广泛的应用，如建筑设 计、工程测量和航海等。
在工程测量时，可以利用高、中线和 角平分线的性质来测量物体的尺寸和 角度，以确保工程的质量和精度。
在建筑设计时，可以利用高、中线和 角平分线的性质来设计建筑物的结构 ，以确保建筑物的稳定性和安全性。
中线将相对边分为两个相等的部分，并且与三角 形的两个顶点相连。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两个相等的部分，并且与 三角形的两个角相交于一点。
05
三角形高、中线与角平分 线的应用
在几何证明中的应用
三角形高、中线与角平分线是几何证 明中的重要工具，它们在证明三角形 性质和定理时有着广泛的应用。
高线位置
高线是从三角形的一个顶点垂直 到对边的线段。
高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
培优提能5
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
《三角形的角平分线、中线和高》PPT课件
本节课的知识，你都掌握了吗？ 还有哪些需要加强的？
1.三角形的概念； 2.三角形的边、角、顶点； 3. 用符号表示三角形； 4.三角形的分类； 5.三角形三边关系及运用.
拓展与应用！
• 草原上的四口油井 ，位于如图所示的 A、B、C、D四个
位置，现在要建立 一个维修站H，问 H建在何处，才能
使它到四个油井的 距离之和HA+HB ＋HC+HD为最小 ？说明理由。
9.3三角形的角平分线、中线和高
七年级数学
学习目标
1 了解三角形的角平分线、中线、和高及其性质． 会画已知三角形的角平分线、中线和高。让学生了解“叠合” 法是几何中对“相等关系”进行验证试验、探究的一种重要方 法
2 学生通过折叠三角形角平分线、中线培养学生的动手能力， 观察及归纳能力．
3学生在自主的学习过程中获得成功的喜悦，并逐渐形成良好 的与小组人员交流的意识
• 2观察一下这三条高线有什么性质
A A
A D
F OD
D
EB
C
B
CB
E
C
F
O
高线的性质
• 性质：任意三角形都有三条高线，锐角三角形的 三条高交于三角形内一点，直角三角形的高交于 直角顶点，钝角三角形的三条高所在的直线交于 三角形外一点。
请根据自己的实践总结出交点的三种位置
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 角平分线 中线 高线
什么是三角形？
1、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连结所组 成的图形，叫做三角形。
所以，三角形的特征有： （1）不在同一直线上（2）三条线段
（3）首尾顺次连接（形成封闭图形）
2、三角形的表示：
三角形用符号“△”表示
13.1.3三角形的高线中线角平分线.ppt
A
B
C
B
C
A
F D B E C
钝角三角形有三条高，一条在它 的内部，另两条在三角形的外部， O 且它们的延长线交于一点。
发现
①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高线， 三角形的三条高线所在直线相交与一点。
②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点。 直角三角形高线交于直角顶点。 钝角三角形高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
5、如图，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC, DE交AB于E， DF∥AB ，DF交AC 于F，图中∠ADE与∠ADF有什么关系？为 什么？
A
E
B D
F C
张大爷有一块三角形的菜园， 想把它分成形状也是三角形的两块 给他的两个儿子，应该怎样分才公 平呢？
A
B
C
我 来 分 地
• 如图有一块三角形的菜地，现在要求 分成面积比为2：3：4三块，且图中 A处是三块菜地的共同的水源处。问： 怎样分？
相关知识回顾
1.垂线
A C
定义，图形，几 何语言？
A
直线
k B
A
C
B
射线
C B
O
2.中点
3.角平分线
任意画一个三角形，你能画出它的 一个角的平分线吗？
A
B
D
C
A
三角形的角平分线
B
D C
三角形中，一个角的平分线与这个角 的对边相交，顶点与交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。
几何语言？
任意画出一个三角形，并画出它所有的角平分线，你 有什么发现？并与同学交流。几何画板
A
∵AD是△ABC的BC上的
C
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
11.1.2三角形的高、中线与角平分线 课件人教版数学八年级上册
A
F
E
B
D
C
3.如图，AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线， 则∠1=__∠__2__，∠3=__1___A_B_C__，∠ACB=2∠4 。
2
A F 12 E
3
4
B
D
C
探索拓展
三角形的三条高所在直线是否交于一点呢？各内角 的角平分线是否交于一点呢？
A
F E
●
A
●
F ︶1 ●2
E
B
B
●
C
DC
E
∠ AEB=_9__7_._50
B
A
小试牛刀
1.如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这 三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？ 你能说出其中的规律吗？
2.如图，AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则 AB=2__A_F__=2__B__F_，BD=___C_D___，AE=__12__A_C__。
∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
B
DC
谢谢大家
11.1.2三角形的高、中线与角平分 线
温故知新
你还记得过一点画一条直线的垂线吗？ 在三角形中，你还记得怎么作出三角形的高吗？
情境引入
探究新知
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作 垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简 称三角形的高。
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和
表示法
A
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
B D C ∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 三角形中,连结一个顶 的中线 点和它对边中的线段
三角形一个内角的平 三角形的 分线与它的对边相交, 角平分线 这个角顶点与交点之
2024年度部编版八年级上册三角形的三线课件
中线与面积关系的应用
在解决一些与三角形面积相关的问题时，可以通过引入中 线来简化计算过程。例如，已知三角形某一边上的中线和 这边所对的角，可以求出三角形的面积。
中线与面积关系的证明
可以通过作辅助线将三角形划分为两个等底等高的小三角 形，从而证明中线与面积之间的关系。
11
03
三角形高线性质与应用
2024/3/24
求面积
利用角平分线与面积的关 系，可以求出三角形的面 积。
18
角平分线与面积关系探讨
面积公式
三角形的面积可以通过底和高来计算，当底为角平分线时，高就是与角平分线垂直的线段 。
面积关系
角平分线将三角形分为两个小三角形，这两个小三角形的面积之比等于它们底边之比。
2024/3/24
应用
利用角平分线与面积的关系，可以解决一些与三角形面积相关的问题，如求三角形的面积 、证明两个三角形面积相等或比较两个三角形面积的大小等。
等边三角形的高线特点
等边三角形的三条高线长度相等，且 都交于一点（重心），同时每条高线 都是对应边的中线和对应角的平分线 。
2024/3/24
15
04
三角形角平分线性质与应用
2024/3/24
16
角平分线定义及性质
2024/3/24
01 02 03 04
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的 顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。 性质
2024/3/24
26
提高训练：挑战难题，提升能力
2024/3/24
复杂图形中的三线问题
在复杂图形中找出并应用三角形的三线性质解决问题，如求面积 、证明线段相等或平行等。
构造法解题
在解决一些与三角形面积相关的问题时，可以通过引入中 线来简化计算过程。例如，已知三角形某一边上的中线和 这边所对的角，可以求出三角形的面积。
中线与面积关系的证明
可以通过作辅助线将三角形划分为两个等底等高的小三角 形，从而证明中线与面积之间的关系。
11
03
三角形高线性质与应用
2024/3/24
求面积
利用角平分线与面积的关 系，可以求出三角形的面 积。
18
角平分线与面积关系探讨
面积公式
三角形的面积可以通过底和高来计算，当底为角平分线时，高就是与角平分线垂直的线段 。
面积关系
角平分线将三角形分为两个小三角形，这两个小三角形的面积之比等于它们底边之比。
2024/3/24
应用
利用角平分线与面积的关系，可以解决一些与三角形面积相关的问题，如求三角形的面积 、证明两个三角形面积相等或比较两个三角形面积的大小等。
等边三角形的高线特点
等边三角形的三条高线长度相等，且 都交于一点（重心），同时每条高线 都是对应边的中线和对应角的平分线 。
2024/3/24
15
04
三角形角平分线性质与应用
2024/3/24
16
角平分线定义及性质
2024/3/24
01 02 03 04
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的 顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。 性质
2024/3/24
26
提高训练：挑战难题，提升能力
2024/3/24
复杂图形中的三线问题
在复杂图形中找出并应用三角形的三线性质解决问题，如求面积 、证明线段相等或平行等。
构造法解题
解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习
【例 2】已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且△ABC 的面积为
( +
- )
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠A= ,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求 cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3
1
1
1
:
:
sin A sin B sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
例题讲解
三角形的中线问题
【例 1】在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线，
， BAC 120 且 AB AC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
=2
，
知识梳理
三、垂线
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
+ -
=
= ,
C,
例题讲解
三角形的高线问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
( +
- )
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠A= ,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求 cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3
1
1
1
:
:
sin A sin B sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
例题讲解
三角形的中线问题
【例 1】在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线，
， BAC 120 且 AB AC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
=2
，
知识梳理
三、垂线
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
+ -
=
= ,
C,
例题讲解
三角形的高线问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》PPT课件
三角形的高、中线与角平分线
人 教 版 八 年 级 上 数 学
想一想，议一议
A
c
b
C
按
按
按
角
角
分
分
按
a
按
边
分
两
按
按
边
角
之
分
按
和
大
于
第
三
边
小
于
B
三角形的表示方法
三角形的分类
三角形的三边关系
两
按
按
边
角
之
分
按
差
你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？
定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的
直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形
PPT教程： w /pow erpoint/
资料下载：w w w /ziliao/
个人简历：w w w /jianli/
试卷下载：w w w /shiti/
教案下载：w w w /jiaoan/
手抄报：w w w /shouchaobao/
1
（1）BE=（ CE ）= （ BC ）；
2
1
（2）∠BAD=（ ∠CAD）= （ ∠BAC ）；
2
（3）∠AFB=（ ∠CFA）=90°；
（4）当BE=8，AF=7时，求△ABC的面积.
A
B
1
解：因为AE为中线，所以点E为BC的中点，BE=CE= BC.
2
因为AD为角平分线，所以∠BAD=∠CAD= 1 ∠BAC.
做三角形角平分线。
A
三角形角平分线的理解
∵AD是△ABC的角平分线
︶
B
人 教 版 八 年 级 上 数 学
想一想，议一议
A
c
b
C
按
按
按
角
角
分
分
按
a
按
边
分
两
按
按
边
角
之
分
按
和
大
于
第
三
边
小
于
B
三角形的表示方法
三角形的分类
三角形的三边关系
两
按
按
边
角
之
分
按
差
你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？
定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的
直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形
PPT教程： w /pow erpoint/
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个人简历：w w w /jianli/
试卷下载：w w w /shiti/
教案下载：w w w /jiaoan/
手抄报：w w w /shouchaobao/
1
（1）BE=（ CE ）= （ BC ）；
2
1
（2）∠BAD=（ ∠CAD）= （ ∠BAC ）；
2
（3）∠AFB=（ ∠CFA）=90°；
（4）当BE=8，AF=7时，求△ABC的面积.
A
B
1
解：因为AE为中线，所以点E为BC的中点，BE=CE= BC.
2
因为AD为角平分线，所以∠BAD=∠CAD= 1 ∠BAC.
做三角形角平分线。
A
三角形角平分线的理解
∵AD是△ABC的角平分线
︶
B
人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线 教学课件(共68张PPT)
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高.
三角形的高
定义
垂线 ，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点 垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高.
三角形的高
定义
垂线 ，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点 垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义
7.1.2三角形的高,中线、角分线课件
6.下列各阴影部分的面积有何关系？
Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙
同底 等高
7.填空：如图，在ΔABC中，AE是 中线，AD是角平分线，AF是高。 1 BC ； （1）BE= CE = 2 1 （2）∠BAD= ∠CAD = 2 ∠BAC ；
A
（3）∠AFB= ∠AFC = 90°
C
E D F
B
8、在△ABC中，AE，AD分别是BC边上 的中线和高。说明△ABE的面积与 △AEC的面积相等。
B
A
C
这节课你有那些收获?
有哪些困惑?
做一做:观察图中三角形的面积，看看有何发现？
等底同高
E D
C
三角形的三条中线交于一点
CF 其中,AB边上的中线是______ AD BC边上的中线是______ BE AC边上的中线是______
∵BE是中线
1 AC ∴____=_____= AE CE 2 _____
A
F
O
B D
E
∵CF是中线
C
做一做
直角三角形的三条高
A
画出直角三角形的三条高线, 它们有怎样的位置关系呢？
直角三角形的三条 高线相交于直角顶点
D B ; C
口答：
直角边BC边上的高是 AB
直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
钝角三角形的三条高
A
钝角三角形的三条高线 也相交于一点吗？试通过 画图来验证。
AF BF ∴AB=2______=2_______
思考:任意三角形的三条中线的交点都在三角形的内部吗?
三角形的角平分线的定义：
• 在三角形中，一个内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线 段叫做三角形的角平分线。 A ∵AD是 △ ABC的 角平分线 C
人教版八年级数学上册11.三角形的高、中线与角平分线课件
由△ABC的面积公式可知,
1 2
AD·BC＝
1 2
BP·AC.
代入数值，可解得BP＝
24 5
.
方法总结
面积法的应用： 若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不
求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法 列等式求解.
新课讲解
2 三角形的中线
问题1： 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A 答：相等，因为两个三角形等底同 高，所以它们面积相等.
问题4 ： 通过问题3你能发现什么规律？B
DE C
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
新课讲解
例2 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点
D是AC的中点，设△ABC、△ADF和△BEF的面积分别为 S△ABC 、 S△ADF和S△BEF，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
三角形一个内角的平
三角形的 分线与它的对边相交,
角平分线 这个角顶点与交点之
间的线段
B
A ∵.AD是△ABC的∠BAC
2 1 的平分线，
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
DC
随堂即练
1．下列说法正确的是 A．三角形三条高都在三角形内
（B ）
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
注意:标明垂直的记号和垂足 的字母.
问题2 ：由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
B
垂足
01 23 4 5
01 23 4 5
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的
线段的点。
3.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个
相等的角，这条射线叫做这 个角的平分线。
.
3
三角形的高
⑴ 什么是三角形的高？（定义）A
如右图，从△ABC的顶点A向它所对 的边BC所在直线画垂线，垂足为D, 所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
Байду номын сангаас
从三角形一个顶点向它的 B
C AD
D
BC B
B C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角 形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
.
16
本 课小结
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
三角形 的高线
从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足 B 之间的线段
分析：ΔDBC的周长是DB+CD+BC
ΔADC的周长是AD+CD+AC
而CD是中线 所以DB=AD 而BC-AC=5
A
所以ΔDBC的周长比ΔADC 的周长大5cm
D
所以ΔADC的周长是20cm
B
C
.
14
现在做中考题
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延 长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判 断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
角平分线的理解
A
∵BE是△ABC的角平分线
F
∴∠_A_B_E_=_∠_C_B_E_=
1 2
∠_A_B__C_
E
O
∵CF是△ABC的角平分线 B
D
C
∴∠ACB=2_∠_A_C_F__=2_∠_B_C__F_
.
13
拓
展
1、在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
①AD是⊿ABE的角平分线 ( ×) ②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ×)
A
③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ×) 1 2 E
④CH是⊿ACD边AD上的高 ( √ ) F H G
B
DC
三角形的高、中线与角平分线都是线段
.
15
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
.
8
如右图
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC 而△ABD的面积=
—21
BD×AE
△ADC的面积= —12 DC×AE B E D
C
故△ABD的面积= △ADC的面积
也就是说： 三角形的任意一条中线把这个三角形分 成了两个面积相等的三角形。
.
9
三角形的中线
请同学们自己任意画一个三角形，然后画出它的中线。 想一想可以画几条？他们有什么特点？
.
1
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、 高这三种线段。
2、会画任意三角形的角平分线、中 线和高。
3、了解三角形的角平分线、中线、 高会相交于一点。
.
2
相关知识回顾
1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线。
A
2 1 ∵.AD是△ABC的∠BAC的 平分线
D C ∴. ∠1=∠2= ½ ∠BAC 17
.
18
C
.
11
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD，交
∠A所对的边BC于点D，
线段AD叫做ΔABC的
●
角平分线。
B
A
F ●
●
●E
●
●
D
C
画一画 画出ΔABC的另外两条角平分线； 想一想 观察三条角平分线，说说你的发现。
对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于
一点
.
12
.
6
练一练
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的
高( D )
C
AD C
B (A)
B D
A (B)
CB
AD (C)
B
C
D
A
(D)
.
7
三角形的中线
A
什么是三角形的中线?
如左图，连接△ABC的顶点和它
所对的边BC的中点D，所得线段
.
AD叫做△ABC的边BC上的中线。
B
D
C
定义：在三角形中，连结 一个顶点和它的对 边中点的线段叫做三角形的中线。
对边所在的直线做垂线，
顶点和垂足间的线段叫做
三角形的高线，简称三角
形的高
.
D
C
4
三角形的高
(2)A怎样画三角A形的高线？（画法）A
G
F
B
E
CB
D
F
CB
CD E
.
5
三角形的高
小结: ①锐角三角形、直角三角形、钝角三角
形都有高线，三角形的三条高线所在直 线相交于一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部 一点。直角三角形高线交于直角顶点。 钝角三角形高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
小结: ①任何三角形都有三条中线，并且都在
三角形的内部交于一点。 ②三角形的中线是一条线段。 ③三角形的任意一条中线把这个
三角形分成了两个面积相等的三角形。
.
10
我来分地
如图有一块三角形的菜地，现在要求分成面 积比为2：3：4三块，且图中A处是三块菜地 的共同的水源处。问：怎样分？
A
·
· · B
三角形 的中线
三角形中,连结
一个顶点和它对
边中的
线段
B
三角形一个内角
三角形的 角平分线
的平分线与它的 对边相交,这个 角顶点与交点之
间的线段
B
A
∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC D C ∠ADB=∠ADC=90°.
A
∵ AD是△ABC的BC上的 中线. D C ∴ BD=CD= ½BC.