三角形的高线中线角平分线

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三角形的高,中线与角平分线

角平分线的计算方法
通过角度计算
给定一个三角形，可以通过测量或计算角度来确定角平分线的长度。
通过边长计算
已知三角形的三边长度，可以通过计算来找到角平分线的长度。
角平分线的应用
确定中点和垂直平分线
角平分线可以用来找到一个三角形内的中点，以及过这个中点的垂直平分线。
判定定理的应用
角平分线的性质可以用于证明某些几何定理，如等腰三角形的判定定理。
条垂直于底边的高。
注意事项和难点解析
高的定义
三角形的高是顶点到底边的垂线段。在直角三角形中，斜边上的高是直角边上的高的2倍。
钝角三角形高的画法
在钝角三角形中，需要先确定钝角所对的边，然后在其延长线上作高。
等腰三角形高的画法
在等腰三角形中，需要找到底边的中点，然后过该点作两条相等的高。这两条高与底边形成一个等腰直角三角形。
THANK YOU.
性质
三角形中线平分三角形的三条边，且三条中线交于一点。该交点称为三角形的重心，每条中线与三条边的长度乘积相等。
中线的计算方法
方法一
利用几何作图法，通过三角形的顶点和对边中点直接连接得到中线。
方法二
通过三角形的顶点和对边中点的距离公式来计算中线的长度。公式为：$AD = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$，其中AD为中线长度，AB和AC为三角形的两边长度。
性质
高是连接顶点和垂足的线段，并且高经过三角形的顶点，且平行于底边。
高的计算方法
• 方法一：直接作图法 • 确定顶点和对边； • 过顶点作对边的垂线； • 连接顶点和垂足，得到高。 • 方法二：利用中线和角平分线性质作图法 • 作三角形中线或角平分线； • 在中线或角平分线上取一点，连接这个点和相应顶点，得到高。

三角形的高线、中线、角平分线

数学导案授课教师齐晓宁迟源授课班级七年级授课时间2013年3月5日课题三角形的高、中线与角平分线导学目标1、理解并掌握三角形的三条线段的定义、画法以及表示方法；2、理解三角形的三条线段所表示的意义；3、体会转化数学思想。

导学重难点三角形的三条线段的画法以及表示方法导学流程个案补充一、知识互动1、三角形的高线（1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作，和之间的线段。

（2）图形：（3）表示方法：①AD是△ABC的BC边上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°（4）请画出△ABC另两条边上的高以及△MAN、△DEF的三条高，从高线的位置角度考虑，得出什么结论?2、三角形的中线（1）定义：三角形中，连接一个顶点和它对边的线段。

（2）图形：（3）表示方法：①AE是△ABC的BC边上的中线②BC EC BE 21== （4）请画出△ABC 另两条边上的中线以及△MAN 、△DEF 的三条中线，从中线的位置考虑，你得出什么结论?（5）三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

3、三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

（2）图形：（3）表示方法：①AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线； ②BAC ∠=∠=∠2121 （4）请画出△ABC 另两条角平分线以及△MAN 、△DEF 的三条角平分线，从角平分线的位置考虑，你得出什么结论?（5）三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。

【注】三角形的高、中线、角平分线都是；二垂线是；角平分线是。

二、例题讲解例1 如图1所示，图中共有 6 个三角形，若BC=CD=DE ，则AC 、AD 分别是 △ABD 、 △ACE 的中线。

图1 图2例2 如图2所示，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm ,BC=10cm，∠CAB=90°。

三角形的中线、高线、角平分线

三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

1. AD是△ABC的BC边上的高线。

2. AD⊥BC于D。

3.∠ADB=∠ADC=90°。

三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。

三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。

1. AD是△ABC的BC边上的中线。

2. BD=DC=12BC。

三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

三角形的重心在三角形的内部。

三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。

2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。

的内心。

三角形的内心在三角形的内部。

【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。

甲乙丙丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。

答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。

这道题是过B 点，垂直于AC 边。

例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。

思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。

答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。

根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ，解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。

三角形的角平分线、中线和高基础知识点拨

三角形的角平分线、中线和高基础知识点拨三角形的角平分线、中线和高是三种重要的线段，在以后的学习中经常用到，为帮助大家理解好这三种重要的线段，总结如下。

一、三角形的角平分线1．定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

图1 图2如图1，画∠BAC 的平分线AD ，交对边BC 于点D ，则线段AD 是△ABC 的角平分线。

2．特征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角平分线交三角形内于一点。

如图2，线段AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条角平分线，则有∠1=∠2，∠3=21∠ABC ，∠ACB=2∠4。

3．提示：三角形的角平分线与一般角的平分线不同，三角形的角平分线是线段，而一般角的平分线是一条射线.二、三角形的中线1．定义：在三角形中，连接一顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。

如图3，连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。

图3 图42．特征：任意一个三角形都有三条中线，这三条中线交于三角形内一点。

如图4，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，则有CD=BD ，AF=21AB ，AC=2AE 。

3．提示：三角形的中线是线段，而不是射线，也不是直线。

三、三角形的高1．定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

简称三角形的高。

如图5，从△ABC的顶点A，向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

2．特征：任意三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点。

如图5，锐角△ABC中，三条高AD，BE，CF在三角形的内部，并且它们相交于一点；如图6，直角△ABC中，高AD，BE分别与AC，BC重合，还有一条是斜边是上的高CF；如图7，钝角△ABC 中，钝角边上的两条高AD，CF在三角形外，最大边上的高BE在三角形的内。

三角形的高中线与角平分线

B
C
如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会改变
如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
会改变
如图，在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，它的形状会改变吗？
不会改变
三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性.
A
∵AD是△ABC的BC上的
C
B
D
高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°.
三角形的中线
A
∵ AD是△ABC的BC上
C
B
D
的中线. ∴ BD=CD= ½ BC.
三角形的角平分线
A
2 1
∵.AD是△ABC的
∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
B
D
C
作业设计：p5 练习题 1 2
A.是边BB′上的中线 C.是∠BAB′的角平分线 A
B.是边BB′上的高 D.以上三种性质合一
B
C
B'
2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( D ) A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
A D E
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
● 几 1 2 ∵AD是 △ ABC的角平分线何︶语 ∴∠ BAD = ∠ CAD = １∠BAC ２ ● 言 B
A
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点, 这个交点叫做三角形的内心

9.1.2三角形的高中线角平分线

B
D
∵ AD是△ABC的BC上的中线. C ∴ BD=CD= ½BC.
A
2 1
三角形一个内角的平分线与它的三角形的对边相交,这个角平分线角顶点与交点之间的线段
B
D
C
∵.AD是△ABC的∠BAC 的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、
高这三种线段。 2、会画任意三角形的角平分线、中线和高。 3、了解三角形的角平分线、中线、高会相交于一点。
自学提示：（自学教材P75内容）
1、如何画三角形的高?什么是三角形的高？三角形的高有几条？ 2、如何画三角形的中线?什么是三角形的中线？三角形的中线有几条？ 3、如何画三角形的角平分线?什么是三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？ 4、画出一个锐角三角形的中线，高以及角平分线？ 5、如果把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形你能不能画出它的高，中线以及角平分线？ 6、通过上面的作图，你能否发现三角形的三条高，中线以及角平分线（或所在直线)的交点与三角形的位置关系？
如图有一块三角形的菜地，现在要求分成面
积比为2：3：4三块，且图中A处是三块菜地的共同的水源处。问：怎样分？
A
·
B
··
C
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD，交 ∠A所对的边BC于点D，线段AD叫做ΔABC的 B 角平分线。
●
F●
A
● ●
E
●
●
D
C
画一画画出ΔABC的另外两条角平分线；想一想观察三条角平分线，说说你的发现。
C A D D B C B B
C C

三角形及其角平分线、中线和高线

三角形及其角平分线、中线和高线知识导引1、三角形的有关概念：定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。

三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。

2、三角形的边角关系：边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。

角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。

边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。

3三角形的分类：按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。

典例精析例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。

例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。

求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。

例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。

例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。

三角形的高中线与角平分线

三角形高线的证明方法
证明方法一
利用三角形面积公式证明。
证明方法二
利用中线定理证明。
证明方法三
利用直角三角形的性质证明。
03
三角形的角平分线
三角形角平分线的定义
三角形内角平分线
三角形中一个内角的平分线与这个内角的对边相顶点的距离相等。
三角形外角平分线
联系
高线、中线和角平分线都是从三角形的顶点出发，沿三角形的边或射线延伸到对边或对角的线段，它们的交点位置相同。
作用
三条线段共同支撑着三角形的形状和大小，其中高线和角平分线共同决定着三角形的垂直和平分关系，而中线和角平分线共同决定着三角形的对称性。
05
三角形的面积公式及应用
三角形面积公式的推导及应用
三角形角平分线的证明方法
三角形内角平分线的证明方法
利用全等三角形的方法，通过在已知点和未知点之间构造一对全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，从而证明三角形内角平分线定理。
三角形外角平分线的证明方法
利用相似三角形的方法，通过在已知点和未知点之间构造一对相似三角形，利用相似三角形的性质得到对应边成比例，从而证明三角形外角平分线定理。
2023
三角形的高中线与角平分线
目录
• 三角形基本概念与性质 • 三角形的高线 • 三角形的角平分线 • 三角形的高线与角平分线的比较与联系 • 三角形的面积公式及应用 • 特殊三角形的性质及高线与角平分线的应用
01
三角形基本概念与性质
三角形的定义与分类
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形。
三角形的一个外角平分线与这个角的对边延长线相交，这个交点到这个外角顶点的距离和交点到对边顶点的距离相等。

三角形高中线角平分线

三角形的高、中线与角平分线三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段三角形的中线。

三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段。

三角形角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段。

D C B A D C B A 21D CB A∵AD 是△ABC 的BC 的高线.∵AE 是△ABC 的BC 的中线.∵AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线. ∴AD⊥___ ∴BE=EC=12____. ∴∠1=∠2=12∠_____.∴∠ADB=∠AD C=____°.1．以下说法错误的是（）A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．如图1，BD=12BC ，则BC 边上的中线为______，△ABD 的面积=_____的面积．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC 中，高CD 、BE 、AF 相交于点O ，则△BOC•的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（）A ．梯形B ．菱形C ．三角形D ．正方形6．如图3，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，已知AB=5cm ，AC=3cm ，求△ABD•与△ACD 的周长之差． 7．如图，∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，且BD=CD ．• 可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 8.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）． 10．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ． 1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。

三角形的高、中线、角平分线

(2)什么叫三角形的中线？连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系？
三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段，而过两点的直线有着本质的不同，一个代表的是线段，另一个却是直线．
(3)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系？
三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段，而角平分线指的是一条射线．
导学
目标
知识与
技能
经历折纸，画图等实践过程理解三角形的高、中线与角平分线．毛
过程与
方法
会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图理解三角形的三条高(及所在直线)交于一点，三角形的三条中线，三条角平分线等都交于一点
情感态度与价值观
培养学生辨别水平
各种三角形高线的画法
三角形的三条高交于一点，锐角三角形三条高交点在直角三角形内，直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点，而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部．
2．让学生在练习本上画三角形，并在这个三角形中画出它的三条中线．(假如他们所画的是锐角三角形，接着让他们画出直角三角形和钝角三角形，看看这些三角形的中线在哪里)？观察这三条中线的位置有何关系？
薛坪中学教师引导学生自主学习的预案设计
课题
三角形的高、中线、角平分线
环节
教师活动
预达目标
年级
班级
八年级
学科
数学
导学教师
Yt
课型
新授
探
究
深
化
训
练
为
能
2．仔细观察投影表中的内容，并回答下面问题．
(1)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别和联系？三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线．

13.1.3三角形的角平分线、中线和高线

任意画一个三角形，你能画出它的一个角的平分线吗？
A
B
D
C
A
三角形的角平分线
B
D C
三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的角平分线
1 ∴∠ BAD = ∠ CAD = — ∠BAC 反之也成立 2
任意画出一个三角形，并画出它所有的角平分线，你有什么发现？并与同学交流。
④三角形的三条高线的交点，叫做三角形的垂心。
本
三角形的重要线段概念
课小结
图形表示法
三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
5、如图，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC, DE交AB于E， DF∥AB ，DF交AC 于F，图中∠ADE与∠ADF有什么关系？为什么？
A
E
B D
F C
张大爷有一块三角形的菜园，想把它分成形状也是三角形的两块给他的两个儿子，应该怎样分才公平呢？
A
B
C
本节课你学到了什么？
任意画出一个三角形，并画出它所有的中线，你有什么发现？并与同学交流。
O O O
●
●
●
三角形中线的性质: 一个三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，并且相交于一点.
交点O叫做三角形的重心
如图在△ABC中，AD是BC 边上的中线
猜想:△ABD的面积和△ADC的面积有什么关系？试说明。 A
B D
E

三角形的高线中线角平分线

如右图
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC 而△ABD的面积=
—21
BD×AE
△ADC的面积= —12 DC×AE B E D
C
故△ABD的面积= △ADC的面积
也就是说：三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
三角形的中线
请同学们自己任意画一个三角形，然后画出它的中线。想一想可以画几条？他们有什么特点？
D
C
三角形的高
(2)A怎样画三角A形的高线？（画法）A
G
F
B
E
CB
D
F
CB
CD E
三角形的高
小结: ①锐角三角形、直角三角形、钝角三角
形都有高线，三角形的三条高线所在直线相交于一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点。直角三角形高线交于直角顶点。钝角三角形高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、高这三种线段。
2、会画任意三角形的角平分线、中线和高。
3、了解三角形的角平分线、中线、高会相交于一点。
相关知识回顾
1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的
三角形的中线
三角形中,连结
一个顶点和它对
边中的
线段
B
三角形一个内角
三角形的角平分线
的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之
间的线段
B
A
∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC D C ∠ADB=∠ADC=90°.

2三角形的高、中线与角平分线

AB边上的高呢？
外部
议一议
钝角三角形的三条高
A F B C
钝角三角形的三条高交于一点吗？
钝角三角形的三条高不交于一点
钝角三角形的三条高：“谁说我们不交于一点，我们以自己的方式相交”
D
E
O
钝角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形外部
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高的特性：
D ∠ 1= ∠ 2
C
注意
!
“三角形的角平分线”是一条线段
做一做
p124
三角形的角平分线
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。 (1) 分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?
三角形的三条角平分线交于同一点.
议一议
三角形的中线
直角三角形的三条高交于直角顶点.
B 直角边BC边上的高是 AB边 ; 直角边AB边上的高是 BC边 ;
D C
钝角三角形的三条高
作BC边上的高， BC边不够长怎么办？把CB延长为了便于画出AB边上的高，需要把AB延长 A
做一做
在纸上画出一个钝角三角形，画出钝角三角形的高
F
D B E C
BC边上的高是在三角形的内部还是外部?
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线 A 如图右图AE是BC边上的中线 “三角形的中线”也是一条线段。
B
E BE=EC
C
(1) 在纸上画出一个锐角三角形试画出它的三条中线.
三角形的三条中线
(2) 试画钝角三角形和直角三角形的三条中线

三角形的高中线,角平分线的教学设计

三角形的高中线,角平分线的教学设计教学设计：三角形的高中线、角平分线教学目标•熟练掌握三角形高中线、角平分线的概念和性质。

•能够判断给定的三角形中是否存在高、中线、角平分线。

•能够灵活运用高中线、角平分线的性质进行图形推理和证明。

教学内容三角形的高中线•高：从三角形的顶点到与对边垂直的线段。

•中线：连接三角形两个边的中点。

三角形的角平分线•角平分线：从三角形角的顶点到对边上的一点，将角平分为两个相等的角。

教学方法•教师讲解：讲解三角形高中线、角平分线的定义、性质，举例说明，注重概念的把握和性质的理解。

•学生实践：学生在课堂上通过给定的图形进行练习并互相检查。

•学生合作：学生在小组中合作，通过讨论、交流和思考，掌握高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

教学步骤1.导入新知：引入三角形高中线、角平分线的知识，让学生了解学习的目的和意义。

2.概念解释：详细讲解高中线、角平分线的定义和性质，强调掌握概念的准确性。

3.举例说明：通过实例图形讲解高中线、角平分线的应用。

4.学生练习：让学生在课堂上通过给定的三角形进行练习，检查是否理解清楚高中线和角平分线的概念和性质。

5.学生合作：学生分组进行讨论和交流，探讨高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

6.案例分析：通过实际案例，让学生在掌握高中线、角平分线的基础上，在实际问题中运用所学知识进行解决。

7.总结回顾：简单回顾所学的知识点，对学生学习效果进行评估与归纳。

教学评价1.学生课堂练习：通过教师布置的练习题，检查学生是否理解清楚高中线和角平分线的概念和性质。

2.学生小组合作：通过小组探讨和交流，检查学生是否掌握高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

3.个人评价：通过课后作业，检查学生是否掌握高中线、角平分线的应用技巧。

教学资源•三角形高中线、角平分线的图形•高中数学教材及相关辅导书籍•练习题集•课堂讲授PPT教材参考1.高中数学1 第8章三角形的性质2.高中数学2 第5章平面向量与三角形3.沪教版高中数学第一册第八章三角形的性质下册第五章平面向量与三角形教学设计人：AI助手。

(完整版)三角形的中线、高线及角平分线

●
B
C
直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
(1) 钝角三角形的
A
三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流. D
钝角三角形的
三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
F
B
C
E
三角形的高的表示法
叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。
B
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画一个
锐角△ABC,
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明
垂直的记号
和垂足的字母.
B
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 23 4 5
D
C
A
D
C
每个人画一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
线有什么区别？
思
考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线
知识归纳
三角形的重要线段
概念
图形
表示法
从三角形的一个
三角形的高线
顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之
B
间的线段
∵AD是△ABC的BC上的高
A 线.
D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形的中线
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高。

三角形的高线、中线与角平分线

角。
三角形外角性质1
三角形的外角和为360°。
三角形外角性质2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
三角形外角性质3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
02 高线性质与应用
高线定义及性质
性质
三角形的高垂直于对应的底边。
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。
重心坐标
在平面直角坐标系中，若三角形三个顶点的坐标分别为(x1,y1)、 (x2,y2)、(x3,y3)，则重心的坐标为 ((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。
中线在解题中应用举例
利用中线性质求三角形面积：已知三角形两边a、b及夹角C，则三角形面积为S=1/2absinC。若C为直角，则 S=1/2ab。此时，若知道一条中线m，则S=1/2m^2sin2A（A为与中线m所对的角）。
三角形内角和定理
01
02
03
04
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于 180°。
推论1
直角三角形的两个锐角互余。
推论2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
推论3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形外角性质
三角形外角定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外
综合应用
在解决三角形问题时，可以综合应用高线、中线和角平分线的性质。例如，利用高线求三角形的面积，利用中线证明线段相等或平行，利用角平分线证明角度相等或求解角度问题等。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理简介